một số bài toán khảo sát hàm số

Mét sè bµi to¸n liªn quan ®Õn
kh¶o s¸t hµm sè
* T×m giao ®iÓm cña hai ® êng
* ViÕt ph ¬ng tr×nh cña tiÕp tuyÕn

Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đ ờng
Giả sử hàm số y= f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y=g(x) có
đồ thị là (C
1
) . Hãy tìm các giao điểm của (C)và (C
1
).
Giải :
M
0
(x
0
;y
0
) là giao điểm của (C) và (C
1
) khi và chỉ khi
(x
0
;y
0
) là nghiệm của hệ
y = f(x)
y = g(x)
Do đó để tìm hoành độ các giao điểm của (C) và

(C
1
) ta giải ph ơng trình :
f(x) = g(x) (1)
Nếu x
0
, x
1
là nghiệm của (1) thì các điểm M
0
(x
0
; f(x
0
)) ;
M
1
(x
1
; f(x
1
)) là các giao điểm của (C) và (C
1
)

ví dụ 1 : Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm
số y =
2x
3x6x
2

+
+
Và y= x- m
Giải :
Xét ph ơng trình :
mx
2x
3x6x
2
=
+
+
( X - 2 )
x
2
-6x+3 = (x-m)(x+2) (x - 2 )
x
2
-6x+3 = x
2
+ (2-m)x-2m (x - 2 )
(8-m)x-3-2m = 0 (2) (x - 2 )
Biện luận
* m=8 : (2) có dạng 0x-19 = 0
(2) vô nghiệm
Không có giao điểm

* m ≠ 8 :
ph ¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm duy nhÊt

m8
m23
x
−
+
=
nghiÖm nµy kh¸c -2 , v× nÕu
2
m8
m23
−=
−
+
⇔ 3+2m =-16 +2m ⇔ 3= -16 (v« lý )
VËy trong tr êng hîp nµy , cã mét giao ®iÓm lµ (x;y)
víi :
m8
m23
x
−
+
=
; y = x- m
( 8 - m ) x -2m -3 = 0 ( 2 )

y
x
0
-1
1

-2
-4
-2-3
2 3
1
Ví dụ 2
a, Khảo sát hàm số : y =x
3
+ 3x
2
- 4
b, Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của
ph ơng trình : x
3
+ 3x
2
- 4 =m (*)

Giải
a, Ta có đồ thị sau (C)
b, Số nghiệm của ph ơng trình (*) chính là số
giao điểm của (C) và đ ờng thẳng y = m
y =m

y
0
-1
1
-2
-4

-2-3
2 3
1
y = m

KÕt luËn :
⇒ Cã 1 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 1 nghiÖm
y
x
0
-1
1
-2
-4
-2-3
2 3
1
+
+
m = 0
m = - 4
⇒ Cã 2 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 2 nghiÖm
+
- 4 < m < 0 ⇒ Cã 3 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 3 nghiÖm
y= m
m > 0
m < -4

Bài toán 2 : Viết ph ơng trình tiếp tuyến
Cho hàm số y = f(x) . Gọi (C) là đồ thị , viết ph ơng trình tiếp

tuyến của (C) biết :
Tr ờng hợp 1 : Tiếp điểm M
0
(x
0
; y
0
) (C)
Giải :
Ph ơng trình tiếp tuyến của (C) tại M
0
(x
0
; y
0
) là :
y - y
0
= f

(x
0
) (x -x
0
)
Tr ờng hợp 2 :
Đi qua điểm M
1
(x
1

; y
1
)
Giải :
- Đ ờng thẳng d đi qua M
1
(x
1
; y
1
) và có hệ số góc k có ph
ơng trình : y-y
1
= k(x-x
1
) y= k (x-x
1
) + y
1
- Để cho d là tiếp tuyến của (C) hệ sau có nghiệm :


f(x) = k(x-x
1
) + y
1
f (x) = k
+ x
0

y
0
; f(x
0
)
+

y
0


x
0
; f(x
0
)
+ f(x
0
) x
0
; y
0
(y
0
= f(x
0
) )
(Gpt : f(x) =y
0

x
0
)
( Gpt : f(x) = f(x
0
) x
0
)

VÝ dô 3 : Cho ® êng cong y=x
3
. ViÕt ph ¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn
cña ® êng cong ®ã :
a, T¹i ®iÓm (-1 ;-1 )
b, BiÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn b»ng 3
Gi¶i : a, y
’
=3x
2
⇒

y
’
(-1) = 3
Ph ¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ : y+1 =3(x+1)
⇔ y = 3x +2
b , Gi¶i ph ¬ng tr×nh : 3x
2
= 3
⇔ x = ± 1

x= 1 ⇒

y(1) = 1 ⇒ pttt : y- 1 =3(x -1 )
⇔ y = 3x -2
x =-1 ⇒ pttt : y =3x +2

Củng cố
Có thể mở rộng xét vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại
một điểm chung : Cho hai hàm số y =f(x) và y =g(x) có
đồ thị t ơng ứng là (C) và(C

)
Hai đồ thị (C) và (C

) đ ợc gọi là tiếp xúc với nhau tại một
điểm chung ,nếu tại điểm đó chúng có cùng một tiếp
tuyến, khi đó diểm chung đ ợc gọi là tiếp điểm
Nh vậy ,hai đồ thị (C ) và (C

) tiếp xúc với nhau nếu và
chỉ nếu hệ ph ơng trình sau có nghiệm :
f(x)=g(x)
f(x) =g(x)

Bµi tËp vÒ nhµ : 3 ;4 ; «n tËp ch ¬ng 2
VÝ dô 4 : Cho hµm sè : y=x
4
-2x
2
+1 §å thÞ lµ (C)

T×m b ®Ó Parabol : y =2x
2
+b tiÕp xóc víi (C)