tổng hợp công thức lượng giác

TỔNG HỢP CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cộng

sin .cos cos .sin sin( )a b a b a b  

sin .cos cos .sin sin( )a b a b a b  

cos .cos sin .sin cos( )a b a b a b  

cos .cos sin .sin cos( )a b a b a b  

tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b

 


tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b

 

2. Công thức góc nhân đôi, nhân ba


sin2 2sin .cosa a a

2 2
os2 os sinc a c a a 
=
2
2cos 1a 
=
2
1 2sin a

3
sin3 3sin 4cosa a a 

3
cos3 4cos 3cosa a a 
Một số trường hợp hay sử dụng:

2
1 cos2 2cosa a 
3 3
3 1
cos .cos3 sin .sin3 cos2 cos6
4 4
a a a a a a  

2
1 cos2 2sina a 
3 3

1
sin .cos3 cos .sin3 sin4
4
a a a a a 

2
1 sin2 (sin cos )a a a  

cos2 (cos sin ).(cos sin )a a a a a  
3. Công thức hạ bậc

1
sin .cos sin2
2
a a a

2
1
cos (1 cos2 )
2
a a 

2
1
sin (1 cos2 )
2
a a 

2
1 cos2

tan
1 cos2
a
a
a




3
1
sin (3sin sin3 )
4
a a a 

3
1
cos (3cos cos3 )
4
a a a 
4. Công thức biểu diễn theo
tan
2
x
t 

2
2
sin
1

t
a
t


2
2
tan
1
t
a
t



2
2
1
cos
1
t
a
t



2
1
cot
2

t
a
t


5. Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2.cos .cos
2 2
a b a b
a b
 
 

cos cos 2.sin .sin
2 2
a b a b
a b
 
  

sin sin 2.sin .cos
2 2
a b a b
a b
 
 

sin sin 2.cos .sin
2 2

a b a b
a b
 
 
Một số trường hợp đặc biệt hay sử dụng:

sin cos 2.sin( ) 2. os( )
4 4
a a a c a
 
    

sin cos 2.sin( ) 2. os( )
4 4
a a a c a
 
     

sin 3.cos 2.sin( ) 2.cos( )
3 6
a a a a
 
    

sin 3.cos 2.sin( ) 2.cos( )
3 6
a a a a
 
     
6. Công thức biến đổi tích thành tổng


 
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b   

 
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b   

 
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b   
7. Công thức hay sử dụng khác

4 4 2
1 3 1
sin cos 1 sin 2 cos4
2 4 4
a a a a    

6 6 2
3 5 3
sin cos 1 sin 2 cos4
4 8 8

a a a a    

4 4 2 2
cos sin cos sin cos2a a a a a   

2
tan cot
sin2
a a
a
 
;
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b

 

sin( 2 ) sin ; cos(a+k2 )= cosaa k a
 
 
 Cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém tan, cot ( phải hiểu câu này nhé)
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình cơ bản

2
sin sin ( )

2
x k
x k
x k
 

  
 

  

  



2
cos cos ( )
2
x k
x k
x k
 

 
 

  

  




tan tan ( )x x k k
  
    

cot cot (k )x x k
  
    
Một số trường hợp đặc biệt:

sin 0 ( )x x k k

   

sin 1 2 (k )
2
x x k


    

cos 0 ( )
2
x x k k


    

cos 1 2 (k )x x k


   
.
2. Phương trình bậc hai của hàm số lượng giác

2
.sin sin 0a x b x c  

2
.cos cos 0a x b x c  

2
tan tan 0a x b x c  

2
cot cot 0a x b x c  
Đặt
sin (cos )t x x
(
1 1t  
) hoặc
tan (cot )t x x
(
t
)
Pt trở thành :
2
. . 0a t bt c  
Lưu ý: Với phương trình bậc 3 cũng làm tương tự
3. Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx


.sin .cos 0a x b x c  
2 2 2 2 2 2
sin cos
sin( ) sin
a b c
x x
a b a b a b
x
 

  
  
  
Trong đó:
2 2 2 2 2 2
cos ;sin ;sin
a b c
a b a b a b
  

  
  
Điều kiện phương trình có nghiệm
2 2 2
a b c  
§inh TiÕn NguyÖn 0982 648 156
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai theo sinx và cosx

2 2

.sin sin .cos .cosa x b x x c x d  
 Cách 1:
 cosx = 0  sinx= ±1. Thay vào phương trình kiểm tra có là
nghiệm không ( a = d thì pt có nghiệm)
 cosx ≠ 0. Chia hai vế cho cos
2
x ta được:
2 2
2
.tan tan (tan 1)
( ).tan tan 0
a x b x c d x
a d a b x c d
   
     
 Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc 2.

2 2
1 1 1
sin (1 cos2 ) ; cos (1 cos2 ) ; sinx.cosx= sin2
2 2 2
x x x x x   
(1 cos2 ) sin2 (1 cos2 )
2 2 2
a b c
pt x x x d     
.
5. Phương trình đối xứng theo sinx và cosx

.(sin cos ) sin .cos 0a x x b x x c   

Đặt :
sin cos 2cos( ) ( - 2 2)
4
t x x x t

     
2
1
sin .cos ( 1)
2
x x t  
. Thay vào phương trình ta được:
2 2
. ( 1) 0 2 . 2 0
2
b
a t t c bt at c b        
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai theo sinx và cosx

2 2
.sin sin .cos .cosa x b x x c x d  
 Cách 1:
 cosx = 0  sinx= ±1. Thay vào phương trình kiểm tra có là
nghiệm không ( a = d thì pt có nghiệm)
 cosx ≠ 0. Chia hai vế cho cos
2
x ta được:
2 2
2
.tan tan (tan 1)

( ).tan tan 0
a x b x c d x
a d a b x c d
   
     
 Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc 2.

2 2
1 1 1
sin (1 cos2 ) ; cos (1 cos2 ) ; sinx.cosx= sin2
2 2 2
x x x x x   
(1 cos2 ) sin2 (1 cos2 )
2 2 2
a b c
pt x x x d     
.
5. Phương trình đối xứng theo sinx và cosx

.(sin cos ) sin .cos 0a x x b x x c   
Đặt :
sin cos 2cos( ) ( - 2 2)
4
t x x x t

     
2
1
sin .cos ( 1)
2

x x t  
. Thay vào phương trình ta được:
2 2
. ( 1) 0 2 . 2 0
2
b
a t t c bt at c b        
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai theo sinx và cosx

2 2
.sin sin .cos .cosa x b x x c x d  
 Cách 1:
 cosx = 0  sinx= ±1. Thay vào phương trình kiểm tra có là
nghiệm không ( a = d thì pt có nghiệm)
 cosx ≠ 0. Chia hai vế cho cos
2
x ta được:
2 2
2
.tan tan (tan 1)
( ).tan tan 0
a x b x c d x
a d a b x c d
   
     
 Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc 2.

2 2
1 1 1
sin (1 cos2 ) ; cos (1 cos2 ) ; sinx.cosx= sin2

2 2 2
x x x x x   
(1 cos2 ) sin2 (1 cos2 )
2 2 2
a b c
pt x x x d     
.
5. Phương trình đối xứng theo sinx và cosx

.(sin cos ) sin .cos 0a x x b x x c   
Đặt :
sin cos 2cos( ) ( - 2 2)
4
t x x x t

     
2
1
sin .cos ( 1)
2
x x t  
. Thay vào phương trình ta được:
2 2
. ( 1) 0 2 . 2 0
2
b
a t t c bt at c b        