bài toán liên quan khảo sát hàm số

Bài 7: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ
Hãy tìm toạ độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số sau :

GiẢI
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) :

3 2
(C) : y x 2x= +
I. Bài toán: Tìm toạ độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số
3 2
2 x 2+ = +x x
1,
1,
2,
x
x
x
=


⇔ = −


= −

y=3
y= 1
y=0
Vậy (C) và (d) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt A(1:3), B(-1:1) ,C (-2;0)
và (d): y = x + 2

3 2
2 2 0⇔ + − − =x x x
(
d
)
:

y

=

x
+

2
(C): y= x
3
+2x
2

A
C
B
II. BÀI TOÁN: Biện luận số giao điểm của 2 đồ thị hàm số
Cho (C) : y= f(x)
(G): y = g(x)
Hãy biện luận số giao điểm của (C) và (G)
PP:
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (G) :
f(x) = g(x) (1)

Giải và biện luận pt (1) , có bao nhiêu nghiệm thì (C) và (G)
có bấy nhiêu giao điểm
Ví dụ: Cho hàm số và đường thẳng (d) đi qua
A(-4;0) và có hệ số góc là m . Hãy biện luận theo m số
giao điểm của (C) và (d)
2
x 2
y
x
+
=
GIẢI
Phương trình đường thẳng (d) : y = mx+4m
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) :
2
x 2
mx 4m
x
+
= +
BIỆN LUẬN PT (1)
TH1

:
m 1 0 m 1− = ⇔ =
Phương trình trở thành :
1
4x 2 0 x
2
− = ⇔ =

(1)
⇒ pt (1) có 1 nghiệm ⇒ (C) và (d) có 1 giao điểm




TH2

:
m 1 0 m 1− ≠ ⇔ ≠
2
(m 1)x 4mx 2 0− + − =
Qui đồng ta được
PT:
Khi x = 0 , Pt (1) trở thành : -2 = 0 (vô nghiệm với ∀m) nên
2
x 2
mx 4m
x
+
= +
2
(m 1)x 4mx 2 0− + − =
⇔
Bảng xét dấu của
'∆
m -1 1/ 2
+ 0 - 0
'∆
− ∞ + ∞

1
Vậy ta có:

+ m< -1 V ½ < m < 1 V m>1

+ m = -1 V m= ½
+ -1 < m < ½ ⇒ Pt (1) vô nghiệm ⇒ (C) và (d) không có giao
điểm
++
-1
1/ 2
⇒ Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
⇒ (C) và (d) có 2 giao điểm
⇒ Pt (1) có 1 nghiệm
⇒ (C) và (d) có 1 giao điểm
2
' 4m 2m 2∆ = + −
III. BÀI TOÁN: Biện luận số nghiệm của phương trình
Cho phương trình h(x) = 0 (Có chứa tham số là m)
PP:
+ Đưa h(x) = 0 về dạng : f(x) = g(m) ( *)
+ Pt (*) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số
(C) : y= f(x) và đường thẳng nằm ngang (d) : y = g(m)
+ Vậy để biện luận (*) ta đi bl số giao điểm của (C) và (d)
bằng cách vẽ đồ thị của chúng trên cùng 1 hệ trục toạ độ
CHÚ Ý: “Số giao điểm = số nghiệm của phương trình”
Hãy dùng đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của PT trên
theo tham số m
Ví dụ:
1) Vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x

3
- 3x
2
+ 2
2) Dùng (C) biện luận theo a số nghiệm của phương trình :
x
3
- 3x
2
- a = 0
GIẢI
1
1
2
2-2
-1
-
1
-2
-3 3
4
-3
3
-4
4
-4
(C): y = x
3
-3x
2

+2
1)
2)
(C) : y = x
3
- 3x
2
+ 2 đã vẽ
(d) : y = a + 2 cùng phương trục Ox (có dạng nằm ngang)
Biến đổi ta được : x
3
- 3x
2
+ 2 = a + 2 (*)
Phương trình (*) là pt hoành độ giao điểm của (C) và (d)
1
1
2
2-2
-1
-1
-2
-3 3
4
-3
3
-4
4
-4
(C): y = x

3
-3x
2
+2
•
(d): y= a+2
a+2
•
(C): y = x
3
-3x
2
+2
.
.
Từ đồ thị ta có:
⇒ (C) Và (d) có 1 giao điểm
a 2 2 a 4

a 2 2 a 0
+ < − < −
 
⇔
 
+ > >
 
⇒ Pt (*) có 1 nghiệm
+

(C): y = x
3
-3x
2
+2
Từ đồ thị ta có:
⇒ (C) Và (d) có 1 giao điểm
a 2 2 a 4

a 2 2 a 0
+ < − < −
 
⇔
 
+ > >
 
a 2= 2 a 4

a 2 2 a 0
+ − = −
 
⇔
 
+ = =
 
⇒ (C) Và (d) có 2 giao điểm
⇒ Pt (*) có 1 nghiệm
⇒ Pt (*) có 2 nghiệm
+
+

(C): y = x
3
-3x
2
+2
Từ đồ thị ta có:
⇒ (C) Và (d) có 1 giao điểm
a 2 2 a 4

a 2 2 a 0
+ < − < −
 
⇔
 
+ > >
 
a 2= 2 a 4

a 2 2 a 0
+ − = −
 
⇔
 
+ = =
 
⇒ (C) Và (d) có 2 giao điểm
2 a 2 2 4 a 0− < + < ⇔ − < <
⇒ Pt (*) có 1 nghiệm
⇒ Pt (*) có 2 nghiệm
⇒ (C) Và (d) có 3 giao điểm

⇒ Pt (*) có 3 nghiệm
+
+
+