cac bai toan phu cua khao sat ham so

trờng trung học phổ thông quỳ hợp 1
lớp:12A
giáo viên:trần bá hải
tổ một * lớp 12A

Các dạng toán thờng gặp ở hàm bậc 3
Bài toán 1:Tìm điều kiện để hàm số đồng biến
Rx

Ph ơng pháp giải: Tìm điều kiện để
Rx 0y
,

Ví dụ 1: Cho hàm số y=x
3
-3(2m+1)x
2
+(12m+5)x+2
Tìm m để hàm số luôn đồng biến.
giải :
Để hàm số đồng biến trên R thì:
y
Rx 0

<=> y=3x
2
-6(2m+1)x+12m+5
Rx 0

<=>

>
0
0a
'
<=>



++=
>
05)3(12m1)9(2m
03
2'

<=>



++

01536m1)4m9(4m
m
2
<=>36m
2
-6

0 <=>
6
6
m
6
6


Kết luận:Vậy
6
6
m
6
6


là những giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho hàm số y=mx
3
-(2m-1)x
2
+(m-2)x-2
Tìm m để hàm số luôn đồng biến.
giải :
Để hàm số đồng biến trên R thì:
y
Rx 0

<=> y=3mx
2

-4(2m-1)x+m-2
Rx 0

<=>




>
0
0a
'
<=>



=
>
02)-3m(m1)(2m
0m
2'
4

<=>



++
>
06m3m1)4m4(4m

0m
22
<=>



+
>
013m
0m
2
410m
<=>vô nghiệm
Kết luận:Vậy không tồn tại m thoả mãn ycbt.
Ví dụ 3: Cho hàm số y=
3
1
x
3
-
2
1
(sina+cosa)x
2
+
4
3
x.sin2a+1
Tìm a để hàm số luôn đồng biến.
1

Đáp số:
Z)(k k
12
5
ak
12
+

+

Bài toán 2: Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến
Rx

Ph ơng pháp giải : Tìm điều kiện để
Rx 0y
,

Ví dụ : Cho hàm số y=
3
1
(a
2
-1) x
3
+(a-1)x
2
-2x+1
Tìm a để hàm số nghịch biến trên R.
giải :
Để hàm số nghịch biến trên R thì:

y
Rx 0

<=> y=(a
2
-1)x
2
+2(a-1)x-2
Rx 0

<=>




<
0
0a
'

<=>



+=
<
01)-2(a1)(a
01)-(a
22'
2

<=>




<<
012a3a
1a1
2
<=>







<<
1a
3
1
1a1
<=>
1a
3
1
<

Kết luận:Vậy
1a
3
1
<

là những giá trị cần tìm .
Bài toán 3: a>Tìm điều kiện để hàm số đồng biến
Ax

b> Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến
Ax

Ph ơng pháp giải: a>Tìm điều kiện để
Ax 0y
,

b> Tìm điều kiện để
Ax 0y
,

Ví dụ1: Cho hàm số y=2x
3
+3mx
2
-2m+1
Tìm m để hàm số nghịch biến trên (1;2)
Đáp số:m -2
v í dụ 2 : cho hàm số y=x
3

-3x
2
+3mx-1
tìm m để hàm số đồng biến trên
( )
+
2;
Đáp số:m 0
Ví dụ3 : Cho hàm số y=x
3
-(m+3)x
2
+mx+m+5
Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2.
Đáp số:



=
=
3m
0m
Bài toán 4: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị
Ph ơng pháp giải: Tìm điều kiện để
p/b nghiệm2 có 0y
,
=
Ví dụ 1: cho hàm số y=
3
1

x
3
-
2
1
(sina+cosa)x
2
+
4
3
x.sin2a+1
Tìm a để hàm số có cực trị.
giải : Ta có :y=x
2
-(sina +cosa)x+
4
3
sin2a
Để hàm số có cực trị thì y=0 có 2 nghiệm phân biệt
<=>
0
>
<=>(sina +cosa)
2
-3sin2a >0
2
<=> 1-2sin2a >0 <=>
2
1
sin2a1

<
k2
6
13
2ak2
6
5
+<<+
vậy




k2
12
13
ak2
12
5
+<<+
là những gí trị cần tìm.
Ví dụ 2: Cho hàm số y=
3
2
x
3
+ ( cosa-3 sina)x
2
-8(cos2a+1)x +1
CMR: Hàm số luôn có cực tri

Hớng dẫn: Tính y=12cos2a-3sin2a+21 và chứng minh y>0
a


Ví dụ 3: Cho hàm số y=x
3
-ax
2
+9
Với giá trị nào của a thì hàm số có cực trị.tìm tập hợp các điểm cực trị của đờng cong
đã cho khi a biến thiên.
Đáp số:Với
0a

thì hàm số có cực trị.Tập hợp tất cả các điểm M cần
tìm là đồ thị của hàm số y=
2
1

x
3
+9.
Bài toán 5: Tìm điều kiên để hàm số không có cực trị
Ph ơng pháp giải: Tìm điều kiện để



=
nghiệm1 có
nghiệmvô

0y
,
Ví dụ : Cho hàm số y=(x+a)
3
+(x+b)
3
-x
3
Tìm diều kiện của a,b để hàm số không có cực trị
giải:
Ta có :
[ ]
222
bab)x2(ax3y'
++++=
để hàm số không có cực trị =>y=0 vô nghiệm koặc có nghiệm kép
<=>
0)b(ab)(a
222
++=
'

<=> ab

0
Kết luận:với a,b thoả mãn ab

0 thì hàm số đã cho không có cực trị.
Bài toán 6: Viết phơng trình qua 2 điểm cực trị của hàm số
Ph ơng pháp giải: Lấy y chia cho y

=>Y=Y

.g(x)+R(x) và chứng minh :R(x) là đờng thẳng qua 2 điểm cực trị.
Ví dụ : Cho hàm số y=x
3
-3(m-1)x
2
+(2m
2
-3m+2)x-m(m-1)
Viết phơng trình qua 2 điểm cực trị của hàm số
Đáp số:
1)m1)(x3m(m
3
2
y
2
++

=
Bài toán 7: Tìm điều kiên để hàm số đạt cực trị tại x=x
0
Ph ơng pháp giải: Sử dụng phơng pháp điều kiện cần và điều kiện đủ
B
1

:giả sử hàm số đạt cực trị tại x=x
0
=>y

(x
0
)=0 =>đk
B
2

:kiểm tra lại bằng dấu hiệu=>kết luận
ví dụ: cho hàm số y=mx
3
+3x
2
+5x+2
tìm m để hàm số đạt cực trị tại x=2
Đáp số :m=
12
17

Ví dụ1 : Cho hàm số y=-mx
3
+2m
2
x
2
+5
3
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x=
3
4
đó là điểm cực đại hay cực tiểu.
Đáp số:m=1và x=

3
4
là điểm cực đại
Ví dụ2: Cho hàm số y=x
3
-3mx
2
+3(m
2
-1)x+m
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x=2
Đáp số:m=1
Ví dụ 3: Cho hàm số y=x
3
-(3+m)x
2
+mx+m+5
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x=2
Đáp số:m=0
Bài toán 8: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và 2 điểm cực trị cách đều trục
tung.
Ph ơng pháp giải : Tìm điều kiện để :




=
oy uốn iểmĐ
p/b nghiệm2 có 0y'
Ví dụ1: Cho hàm số y=x

3
+3(m-1)x
2
+2(m
2
-4m+1)x-4m(m-1)
Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị cách đều trục tung.
Đáp số :m=-1
Ví dụ 2:Cho hàm số y=2x
3
+mx
2
-12x+13
Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị cách đều trục tung.
Đáp số:m=0
Bài toán 9: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và 2 điểm cực trị cách đều trục
hoành.
Ph ơng pháp giải : Tìm điều kiện để :




=
ox uốn iểmĐ
p/b nghiệm2 có 0y'
Ví dụ 1: Cho hàm số y=x
3
-(2m+1)x
2
-9x

Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị cách đều trục hoành.
Đáp số:m=
2
1

Ví dụ 2: Cho hàm số y=x
3
-3ax
2
-x+4a
3
Tìm a để hàm số có cực trị và cực trị cách đều trục hoành.
Đáp số:a=0
Bài toán 10: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại một điểm
(Cách phát biểu khác :Tìm điều kiện để phơng trình ax
3
+bx
2
+cx+d=0 có 1 nghiệm, a0
Ph ơng pháp giải : Tìm điều kiện để








>
0.yy

trị cực có số Hàm
trị cực có khôngsố Hàm
CTCĐ
Ví dụ1:Cho hàm số y=x
3
-3mx+3m
Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.
Đáp số:
4
9
m
<
Ví dụ2:Cho hàm số y=x
3
-3x
2
+3(1-m)x+1+3m
Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm.
4
Đáp số: m<1
Bài toán 11: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại hai điểm
(Cách phát biểu khác :Tìm điều kiện để phơng trình ax
3
+bx
2
+cx+d=0 có 2 nghiệm, a 0)
Ph ơng pháp giải : Tìm điều kiện để

=
0.yy
trị cực có số Hàm
CTCĐ
Ví dụ:Cho hàm số y=x
3
-3x
2
+3(1-m)x+1+3m
Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm.
Đáp số: m=1
Bài toán 12:Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại ba điểm
(Cách phát biểu khác :Tìm điều kiện để phơng trình ax
3
+bx
2
+cx+d=0 có 3 nghiệm ,a 0)
Ph ơng pháp giải : Tìm điều kiện để



<
0.yy
trị cực có số Hàm
CTCĐ
Ví dụ:Cho hàm số y=x
3
+mx
2
-m

Tìm điều kiện để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm.
Đáp số:







<
>
2
33
m
2
33
m
Bài toán 13: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
(cách phát biểu khác:1.Tìm điều kiện để phơng trình bậc ba:ax
3
+bx
2
+cx+d=0 có 3
nghiệm lập thành cấp số cộng)
2.Tìm điều kiện để đồ thị hàm số bậc ba cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt A,B,C =>AB=BC
=>x
A
, x

B
, x
C
lập thành cấp số cộng.
Ph ơng pháp giải : Tìm điều kiện để :





<

0.yy
trị cực có số Hàm
ox uốn iểmĐ
CTCĐ

Ví dụ1: Cho hàm số y=x
3
-3mx
2
+4m
3
Xác định m để đờng thẳng y=x cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt lập thành cấp
số cộng.
Đáp số :m=0 hoặc m =
2
2

Ví dụ2: Cho hàm số y=x

3
+x
2
-16x+20
Tìm điều kiện của a,b để đ/t y=ax+b cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt A,B,C
sao cho B là trung điểm của AC
5