cực trị của hàm số

Bài toán:
1. Dựa vào đồ thị của các hàm số sau, hãy chỉ ra các điểm
tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các
khoảng đã cho.
a) y=-x
2
+1 trong khoảng (-∞;+∞)
b) trong các khoảng
2. Lập bảng biến thiên của các hàm số trên tương ứng với các
khoảng đã cho.
2
x
y .(x 3)
3
= −
1 3 3
; & ;4
2 2 2
   
 ÷  ÷
   
−2 2 4 6 8 10
−2
2
4
x
y
−6 −4 −2 2 4 6 8
−4

−2
2
x
y
x -∞ 0

+∞
y’
y
1
x 1/2 1 3/2 3 4
y’
y
4/3
0

1. Khái niệm cực trị của hàm số:
Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D và x
0
∈ D
a) x
0
là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
(a;b) chứa x
0
sao cho (a;b) ⊂ D và
f(x) < f(x
0
) với mọi x

∈
(a;b) \{x
0
}.
•
Ta nói hàm số đạt cực đại tại x
0

•
f(x
0
) gọi là giá trị cực đại của hàm số ,ta viết y
CĐ
hoặc f
CĐ

1. Khái niệm cực trị của hàm số:
Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D và x
0
∈ D
⊂
Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x
o,
ta gọi là hàm số đạt
cực trị tại x
o
. f(x
o
) gọi là giá trị cực trị của hàm số.

b) x
0
là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng
(a;b) chứa x
0
sao cho (a;b) ⊂ D và
f(x) > f(x
0
) với mọi x
∈
(a;b) \{x
0
}.
•
Ta nói hàm số đạt cực tiểu tại x
0

•
f(x
0
) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số ,ta viết y
CT
hoặc f
CT

2. Điều kiện cần để có cực trị:
Định lý 1:
Nếu f có đạo hàm tại x
o
và đạt cực trị tại x

o
thì f’(x
o
) =0
Chứng minh: (xem SGK)
Chú ý : Đảo lại của định lí là sai

Hàm số y=x
3
Hàm số có đạo hàm triệt tiêu tại x=0 nhưng không có cực
trị tại x=0.
−6 −4 −2 2 4 6 8
−2
2
4
x
y
có đồ thị:
Ví dụ 1:
Hàm số y = x
3
tăng trên R . Có y’=3x
2, .
y’=0 <=> x=0.

Ví dụ 2: b) Hàm số
3
2
x (5 x)−
3

2
y x .(5 x)= −
−6 −4 −2 2 4 6 8
2
4
6
x
y
Hàm số đạt cực đại tại x=2 ,cực tiểu tại x=0.
Chú ý: là hàm không có đạo hàm tại x=0
có đồ thị:
Như vậy: Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại
đó đạo hàm của hàm số bằng không hoặc không xác định

3)Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
a) Nếu f’(x) >0; ∀x∈(a; x
0
) và f’(x) <0; ∀x∈(x
0
;b) thì hàm
số đạt cực đại tại x
0
.
Định lý 2: (điều kiện đủ 1)
Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0

và có đạo hàm trên các khoảng (a; x
0
) và ( x

0
;b). Khi đó:
b) Nếu f’(x) <0; ∀x∈(a; x
0
) và f’(x) >0; ∀x∈(x
0
;b) thì hàm
số đạt cực tiểu tại x
0
.

x a x
0
b
y’ + -
y
CĐ
x a x
0
b
y’ - +
y
CT
Chú ý: Tại x
0
chỉ cần hàm số liên tục, không nhất thiết có
đạo hàm
Ta có BBT:

Quy tắc 1: Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:

1)Tìm y’
2)Tìm các điểm x
i
(i=1, 2, ) tại đó đạo hàm của hàm số
bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
3)Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm.
4)Từ Bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị
{ }
\ 0¡

Bảng biến thiên
x -∞ -1 0 1 +∞
y’ + 0 - - 0 +
y -1 11
•
Hàm số đạt cực đại tại x=-1,y
CĐ
=-1 và đạt cực tiểu tại
x=1,y
CT
=11
Ví dụ 3: Tìm các điểm cực trị của hàm số:
TXĐ: D=R\{0}
Đạo hàm:
3
y 3x 5
x
= + +
2
3

y 3
x
= −
2
2
3(x 1)
0
x
−
= =
x 0
x 1
≠

⇔

= ±

Ví dụ 4: Áp dụng quy tắc 1 để tìm cực trị của hàm số: y=│x│

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a; b) chứa
điểm x
0
, f’(x
o
)=0 và f’’(x
o
)≠0 tại điểm x
o
.

a) Nếu f’’(x
0
) <0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x
o
.
b) Nếu f’’(x
0
) >0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x
o
.
Chú ý: Nếu f’’(x
0
)=0 thì trở lại dấu hiệu đủ thứ 1
Ví dụ 5: Hàm số y =x
4
có y’’(0)=y’(0)=0 ,dấu hiệu đủ thứ
1 cho ta hàm đạt cực tiểu tại 0
Định lý 3: (điều kiện đủ 2)

Quy tắc 2: Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:
1)Tìm f’(x)
2)Tìm các nghiệm x
i
(i=1, 2, ) của phương trình f’(x)=0.
3)Tìm f”(x) và tính f”(x
i
).
* Nếu f’’(x
i
) <0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x

i
.
* Nếu f’’(x
i
) >0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x
i
.
{ }
\ 0¡

Ví dụ 6: Dùng dấu hiệu đủ 2 tìm cực trị hàm số:
1) y= x
4
-2x
2
-1
2) y= sin2x+x.
Bài tập :
1)BTSGK
2)Tìm m để hàm số y= x
3
-6x
2
+3(m+2)x-m-6.
a) Hàm số có cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua
hai điểm cực trị của đồ thị .
b) Có đồ thị cắt trục hoành 3 điểm phân biệt, 1 điểm, 2 điểm.

Quy tắc 1: Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:
1)Tìm y’

2)Tìm các điểm x
i
(i=1, 2, ) tại đó đạo hàm của hàm số
bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
3)Lập bảng biến thiên, xét dấu đạo hàm.
4)Từ Bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

Quy tắc 2: Để tìm cực trị hàm số ta làm các bước sau:
1)Tìm f’(x)
2)Tìm các nghiệm x
i
(i=1, 2, ) của phương trình f’(x)=0.
3)Tìm f”(x) và tính f”(x
i
).
* Nếu f’’(x
i
) <0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x
i
.
* Nếu f’’(x
i
) >0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x
i
.
{ }
\ 0¡

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số.
PP: Dùng dấu hiệu 1 hoặc dấu hiệu 2.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đạt CĐ, CT hay
đạt cực trị tại một điểm.
PP: B1: Dùng dấu hiệu 1 lập phương trình hoặc dấu hiệu 2
lập hệ gồm phương trình và bất phương trình ẩn là tham số.
B2: Giải để tìm giá trị của tham số.
B3: Thử lại (khi sử dụng dấu hiệu 1).
Dạng 3: CMR hàm số luôn có 1 CĐ và 1 CT.
PP: Ta CM y’=0 luôn có 2 nghiệm phân biệt và qua 2
nghiệm đó y’ đổi dấu 2 lần

Bài 1: Tìm cực trị của hàm số.

Bài 2: Tìm cực trị của hàm số.

3 2
1
1)y x 2x 3x 1
3
= + + −
4
2)y x 3
x
= + −
4 2
3)y x 2x 3= + −
2
x 2x 3
4)y
x 1
− +

=
−
1)f (x) x sin2x 2= − +
2)f(x) 3 2cosx cos2x= − −

Bài 3: Cho hàm số: . Tìm m để
1) Hàm số đạt CT tại x=2.
2) Hàm số đạt CĐ tại x=2.
Bài 4: Cho hàm số: . Tìm m để
1) Hàm số có 1 CĐ và 1 CT.
2) Hàm số có 1 CĐ, 1 CT và các cực trị của đồ thị hàm số
cách đều gốc tọa độ.
2
x mx 1
y
x m
+ +
=
+
3 2 2 2
y x 3x 3(m 1)x 3m 1= − + + − − −

Bài 5: Cho hàm số: . CMR hàm số đã cho
luôn có 1 CĐ, 1CT và bình phương khoảng cách giữa 2 cực
trị của hàm số bằng 20.
Bài 6: Cho hàm số: . Tìm m để
hàm số có 1 CĐ, 1 CT và các điểm cực trị của đồ thị hàm số
cùng với gốc tọa độ tạo thành một tam giác vuông tại O.
2
x (m 1)x m 1

y
x 1
+ + + +
=
+
2 2
x 2(m 1)x m 4m
y
x 2
+ + + +
=
+