Bài tập về con lắc và sóng

HD giải 30 bài tâp về dao động sóng và con lắc
( Trích Bài của Nguyễn Trung Hiếu Tóm: tăt lí thuyết & giải chi tiết 30 bài tập thường gặp trong thi ĐH-CD)
CHỦ ĐỀ I. CON LẮC ĐƠN
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
* Con lắc đơn
1. Con lắc đơn gồm một vật nặng treo vào sợi dây không giản, vật nặng kích thước không đáng kể so
với chiều dài sợi dây, sợi dây khối lượng không đáng kể so với khối lượng của vật nặng. Cơ năng của
con lắc đơn được bảo toàn nếu bỏ qua ma sát.
2. Khi dao động nhỏ (sinα ≈ α (rad)), CLĐ dao động điều hòa với
phương trình:
s = S
0
cos(ωt + ϕ) hoặc α = α
0
cos(ωt + ϕ) với s = αl, S
0
= α
0
l
⇒ v = s’ = -ωS
0
sin(ωt + ϕ) = -ωlα
0
sin(ωt + ϕ)
⇒ a = v’ = -ω
2
S
0
cos(ωt + ϕ) = -ω
2
lα

0
cos(ωt + ϕ) = -ω
2
s = -ω
2
αl
3. Tần số góc:
g
l
ω
=
;
chu kỳ:
2
2
l
T
g
π
π
ω
= =
;
tần số:
1 1
2 2
g
f
T l
ω

π π
= = =
Điều kiện dao động điều hoà: Bỏ qua ma sát, lực cản và α
0
<< 1 rad hay S
0
<< l
4. Lực kéo về (lực hồi phục)
2
sin
s
F mg mg mg m s
l
α α ω
= − = − = − = −
Lưu ý: + Với con lắc đơn lực hồi phục tỉ lệ với khối lượng
+ Với con lắc lò xo lực hồi phục không phụ thuộc vào khối lượng.
Lưu ý: S
0
đóng vai trò như A còn s đóng vai trò như x
5. Hệ thức độc lập:
* a = -ω
2
s = -ω
2
αl
*
2 2 2
0
( )

v
S s
ω
= +
Tìm chiều dài con lắc:
2 2
max
2
v v
g
α
−
=
l

*
2
2 2
0
v
gl
α α
= +
6. Năng lượng của con lắc đơn.
Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng O
+ Động năng : W
đ
=
2
1

mv
2

1
+ Thế năng: W
t
= mgl(1 - cosα) =
2
1
mglα
2
(α ≤ 1rad, α (rad)).
+ Cơ năng: W = W
t
+ W
đ
= mgl(1 - cosα
0
) =
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
2 2 2 2
mg
m S m l S mgl
l
ω ω α α
= = =
Lưu ý: Cơ năng của con lắc đơn tỉ lệ với khối lượng vật còn cơ năng của con lắc lò xo không phụ
thuộc vào khối lượng của vật

7. Khi con lắc đơn dao động với α
0
bất kỳ. Cơ năng, vận tốc và lực căng của sợi dây con lắc đơn
W = mgl(1-cosα
0
); v
2
= 2gl(cosα – cosα
0
) và T
C
= mg(3cosα – 2cosα
0
)
Lưu ý: - Các công thức này áp dụng đúng cho cả khi α
0
có giá trị lớn

2 2
0
(1 1,5 )
C
T mg
α α
= − +

2
0
max 0 min
(1 ); (1 )

2
T mg T mg
α
α
= + = −
* Con lắc đồng hồ.
- Đồng hồ quả lắc có con lắc làm bằng thanh kim loại mảnh và dao động của con lắc có thể coi
như dao động điều hoà của con lắc đơn.
- Chu kỳ chạy đúng của đồng hồ là T trong một số trường hợp do nhiệt độ môi trường thay đổi
và vị trí con lắc thay đổi nên đồng hồ chạy sai. Gọi chu kỳ chạy sai của đồng hồ là T
2
(còn chu kỳ chạy
đúng T =T
1
) và độ biến thiên chu kỳ là
∆
T = T
2
– T
1
. Nếu:
+
∆
T> 0: T
2
> T
1
: Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm.
+
∆

T< 0: T
2
< T
1
:Chu kỳ giảm, đồng hồ chạy nhanh.
+
∆
T= 0. Chu kỳ không đổi, con lắc chạy đúng.
- Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời gian
τ
:
+ Thời gian biểu kiến con lắc chạy sai chỉ là:
1
'
nT
=
τ
.
Với n là số chu kỳ con lắc chạy sai T
2
trong khoảng thời gian
τ
:
1
n
T
τ
=
.
+ Thời gian chạy sai:

12
'
T
T
T
T
∆
≈
∆
=−=
ττττθ
Nếu T
2
thay đổi không đáng kể so với T
1
thì:
1
T
T
∆
≈
τθ
B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Đại cương về con lắc đơn.
Dạng 2: Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo các yếu tố:
2
2.1/ Chiều dài con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường.
2.2/ Gia tốc g thay đổi theo độ cao, độ sâu, vị trí địa lí đặt con lắc.
2.3/ Lực lạ là lực điện, lực đẩy Acsimet, lực quán tính.
Sử dụng một số công thức gần đúng:

Nếu
ε
rất nhỏ so với 1 thì:
;1)1(
εε
n
n
+≈+

;1)1(
εε
n
n
−≈−

2121
1)1)(1(
εεεε
±±≈±±
Dạng 1: DẠNG CHUNG VỀ CON LẮC ĐƠN
* Phương pháp:
- Viết công thức tính chu kỳ T theo chiều dài l
1
;l
2
:( giả sử l
2
>l
1
).

g
l
T
1
1
2
π
=
g
l
T
2
2
2
π
=
- Chu kỳ T của con lắc chiều dài l là
g
l
T
π
2
=
l = l
1
+l
2
Biến đổi ta được :
2
2

2
1
TTT
+=

l = l
1
- l
2
Tương tự:
2
2
2
1
TTT
−=
* Bài tập ví dụ:
1) Bài 1: Con lắc đơn chiều dài l
1
dao động điều hoà tại một nơi với chu kỳ T
1
= 1,5s. Con lắc
đơn chiều dài l
2
cũng dao động điều hoà tại nơi đó với chu kỳ T
2
=0,9s. Tính chu kỳ của con lắc
chiều dài l dao động điều hoà ở nơi trên với:
l = l
1

+l
2
và l = l
1
- l
2
Hướng dẫn:
-Với l = l
1
+l
2
Sử dụng công thức
2
2
2
1
TTT
+=
Thay số:
sT 75,19,05,1
22
=+=
-Với l = l
1
- l
2
Sử dụng công thức
2
2
2

1
TTT
−=
Thay số:
sT 2,19,05,1
22
=−=
2) Bài 2:
Một con lắc đơn có dây treo chiều dài l. Người ta thay đổi độ dài của nó tới giá trị l
’
sao cho chu kỳ
dao động mới chỉ bằng 90% chu kỳ dao động ban đầu. Hỏi chiều dài l
’
bằng bao nhiêu lần chiều dài l ?
3
Hướng dẫn: Chu kỳ con lắc chiều dài l và l
’
lần lượt là:
g
l
T
π
2
1
=
và
g
l
T
'

2
2
π
=
Tỷ số:
9,0%90
'
1
2
===
l
l
T
T

ll 81,0
'
=⇒
3) Bài 3:
Tại một nơi trên mặt đất một con lắc đơn dao động điều hoà.Trong khoảng thời gian
t
∆
, con lắc thực
hiện 60 dao động toàn phần; thay đổi chiều dài con lắc một đoạn 44 cm thì cũng trong khoảng thời
gian
t
∆
ấy, nó thực hiện 50 dao động toàn phần. Xác định chiều dài ban đầu của con lắc ?
Hướng dẫn:
Gọi chu kỳ con lắc chiều dài l

1
, l
2
là T
1
;T
2
Xét trong khoảng thời gian
t
∆
như nhau thì: 60T
1
= 50T
2
5
6
1
2
1
2
==⇒
l
l
T
T

25
36
1
2

=⇒
l
l

12
25
36
ll
=⇒
và l
2
= l
1
+44. Giải hệ được: l = 100 cm.
4) Bài 4:
Một con lắc đơn gồm một quả cầu nhỏ khối lượng m làm bằng thép treo vào đầu một sợi dây mềm có
khối lượng không đáng kể dài l = 1 m.Phía dưới điểm treo Q theo phương thẳng đứng của sợi dây một
chiếc đinh được đóng vào điểm O
’
cách Q một đoạn O
’
Q = 50 cm sao cho con lắcvấp phải đinh trong
quá trình dao động điều hoà.
a/ Xác định chu kỳ dao động của quả cầu? cho gia tốc g = 9,8 m/s
2
b/Nếu không đóng đinh vào O
’
mà đặt tại vị trí cân bằng O một tấm thép được giữ cố định thì hiện
tượng xảy ra như thế nào? (Coi rằng va chạm của quả cầu vào vật cản là hoàn toàn đàn hồi)
Hướng dẫn:

a/ Trong quá trình dao động con lắc bị vướng vào đinh O
’
nằm trên phương thẳng đứng của dây treo
nên mỗi dao động toàn phần của con lắc gồm 2 giai đoạn
+ Giai đoạn đầu con lắc dao động với chiều dài l =1m và chu kỳ
s
g
l
T 2
8,9
1
22
1
===
ππ
.
+ Giai đoạn còn lại nó dao động với chiều dài l
’
= OO
’
=0,5m và chu kỳ
'
2
0,5
2 2 1,4
9,8
l
T s
g
π π

= = =
.
Chu kỳ của con lắc bị vướng đinh là:
4
)(
2
1
2
1
2
1
2121
TTTTT
+=+=
= 1/2 (2+1,4) = 1,7 s
b/ Tấm thép đặt tai VTCB O: Vì va chạm giữa quả cầu và tấm thép là hoàn toàn đàn hồi nên khi quả
cầu va chạm vào tấm thép nó sẽ bật ngược lại với vận tốc có cùng độ lớn ngay trước lúc va chạm và
vật lại lên đúng vị trí cao nhất A ( Vì cơ năng bảo toàn).
Vậy con lắc chỉ dao động trên cung OA nên chu kỳ dao động là: T = 1/2T
1
= 1 s.
Dạng 2: SỰ PHỤ THUỘC CỦA CHU KỲ CON LẮC ĐƠN VÀO YẾU TỐ BÊN NGOÀI
* Dạng 2a Chu kỳ con lắc đơn thay đổi theo nhiệt độ môi trường.
- Con lắc đơn có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh khi nhiệt độ môi trường thay đổi từ t
1
đến t
2

thì chiều dài của dây được xác định bởi:
).1(

12
tll
∆+=
α
với
12
ttt
−=∆
: Là độ biến thiên nhiệt độ của môi trường;
α
: là hệ số nở dài của kim loại (Thường có giá trị rất nhỏ).
* Phương pháp:
+ Công thức tính chu kỳ T
1
; T
2
tương ứng với chiều dài l
1
, l
2
của con lắc:
g
l
T
1
1
2
π
=

g
l
T
2
2
2
π
=
+ Xét tỷ số:
tt
l
tl
l
l
T
T
∆+≈∆+=
∆+
==
αα
α
2
1
1)1(
)1(
2
1
1
1
1

2
1
2
12
)
2
1
1( TtT
∆+=⇒
α
Và :
t
T
TT
T
T
∆=
−
=
∆
α
2
1
1
12
1
* Nhận xét:
Khi nhiệt độ của môi trường tăng thì chu kỳ của con lắc sẽ tăng (đồng hồ chạy chậm) và ngược lại.
Thời gian chạy sai sau một khoảng thời gian
τ

:
t
T
T
∆=
∆
=
αττθ
2
1
1
* Bài tập ví dụ:
5
O
O
A
5) Bài 1: Một đồng hồ quả lắc đếm giây có chu kỳ T = 2s. Quả lắc được coi như một con lắc đơn
với dây treo làm bằng đồng có hệ số nở dài
α
= 17.10
-6
K
-1
. Giả sử đồng hồ chạy đúng ở chân
không, nhiệt độ 20
0
c.
Tính chu kỳ của con lắc trong chân không ở 30
0
c ? ở 30

0
c đồng hồ chạy nhanh hay chậm? Mỗi ngày
chạy sai bao nhiêu?
Hướng dẫn: + Sử dụng công thức:
12
)
2
1
1( TtT
∆+=
α
Thay số:
2)).2030(10.17
2
1
1(
6
2
−+=
−
T
= 2,00017 s
+ Chu kỳ T
2
>T nên đồng hồ chạy chậm.
Thời gian chạy chậm trong một ngày đêm :
τ
= 24.60.60 s là:
t
T

T
∆=
∆
=
αττθ
2
1
1
= 24.3600.1/2.17.10
-6
.10 = 7,34 s.
6) Bài 2: Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ vào mùa nóng khi nhiệt độ trung bình là 32
0
c, con
lắc có thể xem là con lắc đơn. Hệ số nở dài của dây treo con lắc
α
= 2.10
-5
K
-1
. Vào mùa lạnh
nhiệt độ trung bình là 17
0
c hỏi con lắc sẽ chạy như thế nào? Một tuần nó chay sai bao nhiêu?
Hướng dẫn: Do nhiệt độ vào mùa đông giảm nên chu kỳ con lắc giảm, đồng hồ chạy nhanh. Một
tuần :
τ
= 7.24.60.60 s đồng hồ chạy nhanh một thời gian:
t
T

T
∆=
∆
=
αττθ
2
1
1
= 7.24.3600.1/2.2.10
-5
.15 = 90,72 s.
7) Bài 3: Con lắc đồng hồ có dây treo làm bằng thanh kim loại mảnh. khi nhiệt độ môi trường
tăng thêm 10
0
c thì trong 12 giờ con lắc chạy chậm 30s.
Nếu muốn con lắc chạy mỗi ngày chỉ chậm 45s thì nhiệt độ môi trường phải tăng lên bao nhiêu?
Coi gia tốc trọng trường không thay đổi.
Hướng dẫn:
Vận dụng công thức:
t
T
T
∆=
∆
=
αττθ
2
1
1
Khi nhiệt độ tăng thêm30

0
c thì mỗi ngày sẽ chạy chậm:
1 1
1
60
2
t s
θ α
= ∆ =
;
6
Nếu con lắc chạy chậm mỗi ngày 45s thì nhiệt độ tăng lên
2
t∆
thoả mãn:
0
2 2 2 1
1
45 3/ 4 11,25
2
t s t t c
θ α
= ∆ = ⇒ ∆ = ∆ =
2.2 Chu kỳ con lắc thay đổi theo gia tốc trọng trường g.
2.2.1 Gia tốc g thay đổi theo độ cao.
* Phương pháp:
+Tại mặt đất gia tốc g được xác định: g = G
2
R
M

. Chu kỳ
g
l
T
π
2
1
=
Tại độ cao h so với mặt đất ( h rất nhỏ so với R): g
’
= G
2
)( hR
M
+
. Khi đó
'
2
2
g
l
T
π
=
+ Tỷ số
R
h
R
hR
g

g
T
T
+=
+
==
1
'
1
2
12
)1( T
R
h
T
+=⇒
R
h
T
T
=
∆
⇒
1
* Nhận xét: Đưa con lắc lên cao chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm. Thời gian con lắc đồng hồ chạy
chậm sau khoảng thời gian
τ
:
R
h

T
T
ττθ
=
∆
=
1
8) Bài 1:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất với chu kỳ T =2s. Đưa con lắc lên độ cao h=1km so
với mặt đất và coi như nhiệt độ ở độ cao đó không đôi so với mặt đất.
a/ Xác định chu kỳ của con lắc tại độ cao đó? Cho bán kính trái đất R= 6370 km.
b/ Tại độ cao h con lắc chạy nhanh hay chậm , mỗi ngày chạy sai bao nhiêu?
Hướng dẫn:
a/ Chu kỳ của đồng hồ ở độ cao h:
12
)1( T
R
h
T
+=
. Thay số:
2).
6370
1
1(
2
+=
T
=2.00013 s.
b/ Chu kỳ tăng, đồng hồ chạy chậm:

6370
1
.3600.24
1
==
∆
=
R
h
T
T
ττθ
= 13,569 s
9) Bài 2:
Một con lắc đơn có chu kỳ dao động T = 4s tại mặt đất. Đem con lắc lên độ cao h so với mặt đất thì
chu kỳ dao động thay đổi 0,2% so với ban đầu. Tính độ cao h? Cho bán kính trái đất R = 6400 km.
7
Hướng dẫn: + Tại mặt đất chu kỳ T = 4s. Lên độ cao h chu kỳ T
’
và có:
∆
T = T
’
- T = 0,2% T
002,0
=
∆
⇒
T
T

+ áp dụng công thức:
R
h
T
T
=
∆
002,0
=⇒
R
h

kmRh 8,12002,0
==⇒
Dạng 2 .2 Gia tốc trong trường g thay đổi theo độ sâu.
*Phương pháp:
+ Tại mặt đất lực hấp dẫn của trái đất tác dụng lên vật:
mg
R
mR
G
R
Vm
G
R
mM
GF
====
2
3

22
3
4
.
.

πρ
ρ
Và chu kỳ
g
l
T
π
2
1
=

+ Xét ở độ sâu h trong lòng trái đất, lực hấp dẫn tác dụng lên vật:
'
2
3
2
'
2
'
'
)(
3
4
.

.

mg
R
mhR
G
R
mV
G
R
mM
GF
=
−
===
πρ
ρ
Khi đó chu kỳ
'
2
2
g
l
T
π
=
+ Tỷ số
R
h
R

h
hR
R
g
g
T
T
2
1)1(
2
1
'
1
2
+≈−=
−
==
−
12
)
2
1( T
R
h
T
+=⇒

R
h
T

T
2
=
∆
⇒
* Nhận xét: Đưa con lắc xuống sâu trong lòng đất chu kỳ của con lắc tăng lên, đồng hồ chạy chậm.
Thời gian đồng hồ quả lắc chạy chậm sau khoảng thời gian
τ
:
R
h
T
T
2
1
ττθ
=
∆
=
10) Bài 1:
8
Một con lắc đơn có chu kỳ dao động nhỏ tại mặt đất là T= 2s. Đưa con lắc xuống giếng sâu 100m so
với mặt đất thì chu kỳ của con lắc là bao nhiêu ? Coi trái đất như một hình cầu đồng chất bán kính R =
6400km và nhiệt độ trong giếng không thay đổi so với nhiệt độ trên mặt đất.
Hướng dẫn:
Vận dụng công thức:
sT
R
h
T 0000156,2)

6400.2
1,0
1()
2
1(
12
=+=+=
Chu kỳ con lắc dưới giếng tăng lên so với con lắc đặt trên mặt đất.
11) Bài 2:
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ trên mặt đất. Đưa đồng hồ lên cao 320m so với mặt đất thấy đồng
hồ chạy chậm. Đưa đồng hồ xuống hầm mỏ sâu h
’
so với mặt đất lại thấy đồng hồ chạy giống ở độ cao
h.
a/ Xác định độ sâu của hầm mỏ? Coi nhiệt độ không thay đổi .
b/ Sau một tuần thì đồng hồ chạy sai bao nhiêu thời gian? Coi trái đất hình cầu đồng chât bán kính R =
6400km.
Giải:
a/ Gọi chu kỳ chạy đúng của đồng hồ là T
1
; chu kỳ ở độ cao h và ở hầm mỏ là T
2
và T
2
’
.
⇒
T
2
= T

2
’

1 1
'T T
T T
∆ ∆
⇒ =
b/ Thời gian đồng hồ chạy chậm sau 1 tuần :
Vận dụng công thức:
s
R
h
T
T
24,30
6400.2
64,0
.3600.24.7
2
1
===
∆
=
ττθ
Dạng 2.3 Thay đổi vị trí địa lí đặt con lắc.
* Phương pháp:
9
mhh
R

h
R
h
6402
2
'
'
==⇒=⇔
Đặt con lắc tại 2 vị trí A(g
1
); B(g
2
) Với g
1
; g
2
lệch nhau một lượng
g
∆
(Giả sử g
2
= g
1
+
g
∆
)
thì chu kỳ con lắc lần lượt là:
1
1

2
g
l
T
π
=
và
2
2
2
g
l
T
π
=
11
1
2
1
1
2
2
1
g
g
gg
g
g
g
T

T
∆
−≈
∆+
==⇒

1
1
2
)
2
1( T
g
g
T
∆
−=⇒
Với
g
∆
= g
2
-g
1
.
11
2g
g
T
T

∆
−=
∆
⇒
+ Thời gian con lắc đồng hồ chạy sai sau khoảng thời gian
τ
:
11
2g
g
T
T
∆
=
∆
=
ττθ
12) Bài 1.
Một đồng hồ quả lắc chạy đúng giờ tại Hà Nội (T = 2s). Đưa con lắc vào Hồ Chí Minh giả sử nhiệt độ
không thay đổi, Biết gia tốc ở Hà Nội và Hồ Chí Minh lần lượt là: g
1
= 9,793m/s
2
và g
2
= 9,787m/s
2
.
a/ Hãy xác định chu kỳ của con lắc tại Hồ Chí Minh?
b/ Tại Hồ Chí Minh con lắc chạy nhanh hay chậm? Sau 12giờ nó chạy sai bao nhiêu thời gian?

Hướng dẫn:
a/
g
∆
= g
2
-g
1
= 9,787 – 9,793 = -0,006.
Sử dung công thức:
1
1
2
)
2
1( T
g
g
T
∆
−=
Thay số T
2
= 2,006 s.
b/ Chu kỳ tăng nên đồng hồ chạy chậm. Thời gian con lắc chạy chậm trong một ngày đêm:
s
g
g
T
T

23,13
793,9.2
006,0
.3600.12
2
11
==
∆
=
∆
=
ττθ
13) Bài 2; Con lắc đơn dao động nhỏ được đưa từ Quảng Ngãi vào thành phố Hồ Chí Minh, thì
chu kỳ dao động tăng 0,015%. Xác định gia tốc tại Quảng Ngãi biết gia tốc trọng trương tại Hồ
Chí Minh là
g = 9,787m/s
2
?
Hướng dẫn: Vận dụng công thức:
11
2g
g
T
T
∆
−=
∆
⇒
0 0
0

2
0
0,00015 0,00015
0,00015 9,788 /
g
g g g
g
g g g m s
∆
⇒ = − ⇒ − = −
⇒ = + =
10
Dạng 2 .3 Chu kỳ con lắc đơn thay đổi khi có thêm lực lạ.
* Phương pháp:
Ngoài trọng lực
P
con lắc còn chịu thêm tác dụng của lực
F
không đổi thì coi như con lắc
chịu tác dụng của trọng lực hiệu dụng
hd
P
với
hd
P
=
P
+
F
hd

P
gây ra
hd
g
(ở VTCB nếu cắt dây vật sẽ rơi với gia tốc
hd
g
này)
hd
g
=
m
P
hd
Chu kỳ mới của con lắc được xác định bởi:
hd
g
l
T
π
2
=
Dạng 2 .3.1 Lực lạ là lực điện
* Bài tập ví dụ:
14) Bài 1: Con lắc đơn có chiều dài l, vật nặng m tích điện +q đặt trong điện trường đều có cường
độ
E
ở nơi có gia tốc trọng trường g. Tính chu kỳ dao động của con lắc.
*Phương pháp:
a) Khi cường độ điện trường hướng thẳng đứng xuống dưới:

hd
P
=
P
+
F

P
hd
= P+F
m
qE
g
m
F
gg
hd
+=+=
hd
g
l
T
π
2
=
m
qE
g
l
+

=
π
2
b) Khi cường độ điện trường hướng thẳng đứng lên trên,
xuống dưới:
hd
P
=
P
+
F
P
hd
= P- F
m
qE
g
m
F
gg
hd
−=−=
11
P
a
F
P
F
E
P

F
E
hd
P
F
P
θ
E
hd
g
l
T
π
2
=
2
l
qE
g
m
π
=
−

Nếu F>P thì có hiện tượng như bóng bay và
g
m
qE
l
T

−
=
π
2
c) Khi cường độ điện trường hướng sang phải, sang trái:
* Vị trí cân bằng được xác định bởi
θ
:
tan
θ
=
mg
qE
P
F
=
*
hd
P
=
P
+
F
Theo hình vẽ:
( )
2
2
qEPP
hd
+=

2
2






+=
m
qE
gg
hd
2
2
2






+
=
m
qE
g
l
T
π

Dạng 2 3.2 Lực lạ là lực đẩy Acsimet.
15) Bài 1: Hãy so sánh chu kỳ của con lắc đơn trong không khí với chu kỳ
của nó trong chân không biết vật nặng có khối lượng riêng D, không khí có
khối lượng riêng là d.
• Phương pháp:
12
hd
P
F
P
θ
E
hd
P
F
P
θ
E
hd
P
F
P
θ
E
Trong chân không:
g
l
T
π
2

0
=
Trong không khí:
hd
P
=
P
+
a
F
P
hd
= P - F
a

g
D
d
g
DV
dVg
gg
hd
−=−=

T =







−
D
d
g
l
1
2
π

D
d
T
T
−
=
1
1
0
2.3.3 Lực lạ là lực quán tính
a) Khi điểm treo con lắc có gia tốc
0
a
hướng thẳng đứng
lên trên.
(Tức điểm treo chuyển động thẳng đứng lên trên nhanh dần
đều hoặc chuyển động thẳng đứng xuống dưới chậm dần
đều)
Ở đây :

hd
P
=
P
+
Fqt
P
hd
= P + F
qt
0
maPP
hd
+=
g
hd
=g+a
0
0
2
ag
l
T
+
=
π
13
P
qt
F

0
a
P
qt
F
0
a
b) Khi điểm treo con lắc có gia tốc
0
a
hướng thẳng
đứng xuống dưới.
(Tức điểm treo chuyển động thẳng đứng đi xuống nhanh
dần đều hoặc chuyển động thẳng đứng lên trên chậm dần
đều)
Ở đây :
hd
P
=
P
+
Fqt
P
hd
= P - F
qt
0
maPP
hd
−=

g
hd
=g - a
0
0
2
ag
l
T
−
=
π
/
(điều kiện g>a
0
)
c) Khi điểm treo con lắc có gia tốc
0
a
hướng ngang sang
phải, sang trái.
* Vị trí cân bằng được xác định bởi
θ
:
tan
θ
=
g
a
mg

ma
P
F
o
qt
==
0
*
hd
P
=
P
+
qt
F
Theo hình vẽ:
( )
2
0
2
maPP
hd
+=
2
0
2
agg
hd
+=

2
0
2
2
ag
l
T
+
=
π
CHỦ ĐỀ II: CÁC DẠNG SÓNG & DAO ĐỘNG SÓNG
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CÁC ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CỦA SÓNG
A.LÍ THUYẾT
+ Xác định từ dữ kiện
14
hd
P
qt
F
P
θ
0
a
-Chu kỳ (T), vận tốc (v), tần số (f), bước sóng (λ) liên hệ với nhau :

T
1
f
=
;

f
v
vTλ
==
;
t
s
v
∆
∆
=
với ∆s là quãng đường sóng truyền trong thời gian ∆t.
+ Quan sát hình ảnh sóng có n ngọn sóng liên tiếp thì có n-1 bước sóng. Hoặc quan sát thấy từ ngọn
sóng thứ n đến ngọn sóng thứ m (m > n) có chiều dài l thì bước sóng
nm
l
λ
−
=
;
+ Số lần nhô lên trên mặt nước là N trong khoảng thời gian t giây thì
+ Xác định từ phương trình.
+Chú ý: Phân biệt khái niệm vận tốc truyền sóng và vận tốc truyền pha dao động.
B.VÍ DỤ
16) Bài 1 : Một sóng cơ truyền trên một sợi dây đàn hồi rất dài. Phương trình sóng tại một điểm
trên dây: u = 4cos(20
π
t -
.x
3

π
)(mm).Với x: đo bằng met, t: đo bằng giây. Tốc độ truyền sóng trên
sợi dây có giá trị. A. 60mm/s B. 60 cm/s C. 60 m/s
D. 30mm/s
Giải: Ta có
.x
3
π
=
2 .x
π
λ
=> λ = 6 m => v = λ.f = 60 m/s (chú ý: x đo bằng met) Đáp án C
17) Bài 2 : Một người quan sát một chiếc phao trên mặt biển thấy phao nhấp nhô lên xuống tại chỗ
16 lần trong 30 giây và khoảng cách giữa 5 đỉnh sóng liên tiếp nhau bằng 24m. Vận tốc truyền
sóng trên mặt biển là
A. v = 4,5m/s B. v = 12m/s. C. v = 3m/s D. v = 2,25 m/s
Giải: Ta có: (16-1)T = 30 (s) ⇒ T = 2 (s)
Khoảng cách giữa 5 đỉnh sáng liên tiếp: 4λ = 24m ⇒ 24m ⇒ λ = 6(m)→
6
3
2
v
T
λ
= = =
(m/s).
Đáp án C.
18) Bài 3 Một sóng ngang có biểu thức truyền sóng trên phương x là :
3cos(100 )u t x cm

π
= −
, trong
đó x tính bằng mét (m), t tính bằng giây (s). Tỉ số giữa tốc độ truyền sóng và tốc độ cực đại của
phần tử vật chất môi trường là :
A:3 B
A:3 B
( )
1
3
π
−
. C 3
. C 3
-1
-1
.
.
D
D
2
π
.
.
Giải: Biểu thức tổng quát của sóng u = acos(ωt -
λ
π
x2
) (1)
Biểu thức sóng đã cho : u = 3cos(100πt - x) (2).

Tần số f = 50 Hz;Vận tốc của phần tử vật chất của môi trường: u’ = -300πsin(100πt – x) (cm/s) (3)
So sánh (1) và (2) ta có :
λ
π
x2
= x > λ = 2π (cm)
Vận tốc truyền sóng: v = λf = 100π (cm/s) Tốc độ cực đại của phần tử vật chất của môi trường u’
max
=
300π (cm/s). Suy ra:
1
max
3
3
1
300
100
'
−
===
π
π
u
v
Chọn C
15
DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH SÓNG
A.LÍ THUYẾT
+Tổng quát: Nếu phương trình sóng tại nguồn O là
)cos(

0
ϕω
+=
tAu
thì
+ Phương trình sóng tại M là
2
cos( )
M
x
u A t
π
ω ϕ
λ
= +
m
.
* Sóng truyền theo chiều dương của trục Ox thì:
u
M
= A
M
cos(ωt + ϕ -
x
v
ω
) = A
M
cos(ωt + ϕ -
2

x
π
λ
) t ≥ x/v
* Sóng truyền theo chiều âm của trục Ox thì:
u
M
= A
M
cos(ωt + ϕ +
x
v
ω
) = A
M
cos(ωt + ϕ +
2
x
π
λ
)
+Lưu ý: Đơn vị của , x, x
1
, x
2
,
λ
và v phải tương ứng với nhau.
B.VÍ DỤ
19) Bài 1: Một sóng cơ học lan truyền trên một phương truyền sóng với vận tốc 40cm/s . Phương

trình sóng của một điểm O trên phương truyền sóng đó là: u
0
= 2.cos 2
π
t (cm). Phương trình
sóng tại một điểm M nằm trước O và cách O một đoạn 10cm là :
A. u
M
= 2.cos(2
π
t +
)
2
π
(cm). B. u
M
= 2.cos(2
π
t -
)
2
π
(cm).
C. u
M
= 2.cos(2
π
t +
)
4

π
(cm). D. u
M
= 2.cos(2
π
t -
)
4
π
(cm)
Giải:
:λ=v.T=40cm ;d= 10cm .
5cos(4 )( )
2
M
u t cm
π
π
= +
. Chọn A
20) Bài 2: Nguồn phát ra sóng có phương trình u = 3 cos(20 πt) cm. Vận tốc truyền sóng là 4 m/s.
Tìm phương trình sóng tại điểm M cách nguồn 20 cm.( sóng truyền theo chiều dương)
A.u =3 cos (20 πt + π ) cm B. u =3 cos (20 πt + π/2 ) cm
C. u =3cos (20 πt + π/3 ) cm D.u =3 cos (20 πt - π ) cm
Giải:
:λ=v.T=40cm ;d= 20cm .
3cos(20 )( )
M
u t cm
π π

= −
. Chọn A
21) Bài 3 : Một sóng cơ học lan truyền trên mặt nước với tốc độ 25cm/s. Phương trình sóng tại
nguồn là
u = 3cos
π
t(cm).Vận tốc của phần tử vật chất tại điểm M cách O một khoảng 25cm tại thời điểm t =
2,5s là: A: 25cm/s. B: 3
π
cm/s. C: 0. D: -3
π
cm/s.
Giải: Bước sóng:
.2 25.2
50 /
v
cm s
π π
λ
ω π
= = =
16
O
x
M
x
M
x
O
x

Phương trình sóng tại M (sóng truyền theo chiều dương ) là:
25
3cos( 2 ) 3cos( )
50
M
u t t cm
π π π π
= − = −
Vận tốc thì bằng đạo hàm bậc nhất của li độ theo t:
. sin( ) 3. .sin( .2,5 ) 3.sin(1,5 ) 3 /
M
v A t cm s
ω ω ϕ π π π π π
= − + = − − = − =
Chọn B
DẠNG 3: ĐỘ LỆCH PHA GIỮA HAI ĐIỂM TRÊN CÙNG MÔT PHƯƠNG TRUYỀN SÓNG
A.LÍ THUYẾT
Độ lệch pha giữa hai điểm cách nguồn một khoảng x
M
, x
N:

2
N M N M
MN
x x x x
v
ϕ ω π
λ
− −

∆ = =

+Nếu 2 điểm M và N dao động cùng pha thì:
2 2 2
N M
MN N M
x x
k k x x k
ϕ π π π λ
λ
−
∆ = <=> = <=> − =
. ( k ∈ Z )
+Nếu 2 điểm M và N dao động ngược pha thì:
(2 1) 2 (2 1) (2 1)
2
N M
MN N M
x x
k k x x k
λ
ϕ π π π
λ
−
∆ = + <=> = + <=> − = +
. ( k ∈ Z )
+Nếu 2 điểm M và N dao động vuông pha thì:
(2 1) 2 (2 1) (2 1)
2 2 4
N M

MN N M
x x
k k x x k
π π λ
ϕ π
λ
−
∆ = + <=> = + <=> − = +
. ( k ∈ Z )

với k = 0, 1, 2 Lưu ý: Đơn vị của d, x, x
1
, x
2
,
λ
và v phải tương ứng với nhau.
B.VÍ DỤ
22) Bài 1 : A,B,C,D là bốn đỉnh của hình vuông trên bề mặt chất lỏng có chiều dài cạnh a =20cm. A
là nguồn sóng dao động theo phương thẳng đứng với tần số f=25Hz, tốc độ truyền sóng v=
1m/s. Tổng số điểm trên các cạnh của ABCD dao động ngược pha với nguồn A là:
A. 14 B. 10 C. 28 D. 12
Bài giải:
Số điểm dao đông ngược pha với A cách A một khoảng:

2
(2 1)
d
k
π

π
λ
= +
suy ra d=(k+1/2)λ, λ=4cm
Số điểm dao động ngược pha với A trên hình vuông bằng tổng số điểm trên 4 cạnh.
17
Cạnh AD và AB:
1
0 ( )4 20
2
k + ≤p
có 5 giá trị của k, có 10 điểm ngược pha với A trên AD và AB
Cạnh DC và CB:
1
20 ( )4 20 2
2
k
+ ≤
p
có 2 giá trị của k, có 4 điểm ngược pha với A trên DC và CB
Vậy trên hình vng có 14 điểm dao động ngược pha với nguồn A
23) Bài 2: Một nguồn phát sóng dao động điều hòa tạo ra sóng tròn đồng tâm O truyền trên mặt
nước với bước sóng λ. Hai điểm M và N thuộc mặt nước, nằm trên hai phương truyền sóng mà
các phần tử nước đang dao động. Biết OM = 8λ, ON = 12λ và OM vng góc với ON. Trên
đoạn MN, số điểm mà phần tử nước dao động ngược pha với dao động của nguồn O là
A. 5. B. 4. C. 6. D. 7.
Giải :
( ) ( )
( )
( )

2 2 2
GiảihệBPT
1 1 1 24
OMNvuông OH
OH ON OM
13
24
d 2k 1 8
2
2 d
13
2k 1 d 2k 1 có6giátròcủak
2
24
d 2k 1 12
2
13
∆ → = + → = λ

λ
≤ = + ≤ λ

π λ

= + π → = + →   →

λ
λ

≤ = + ≤ λ



24) Bài 3 :Một dao động lan truyền trong mơi trường liên tục từ điểm M đến điểm N cách M một
đoạn 7λ/3(cm). Sóng truyền với biên độ A khơng đổi. Biết phương trình sóng tại M có dạng u
M
= 3cos2πt (u
M
tính bằng cm, t tính bằng giây). Vào thời điểm t
1
tốc độ dao động của phần tử M
là 6π(cm/s) thì tốc độ dao động của phần tử N là
A. 3π (cm/s). B. 0,5π (cm/s). C. 4π(cm/s). D. 6π(cm/s).
Giải: Phương trình sóng tại N: u
N
= 3cos(2πt-
3
72
λ
λ
π
) = 3cos(2πt-
3
14
π
) = 3cos(2πt-
3
2
π
)
Vận tốc của phần tử M, N: v

M
= u’
M
= -6πsin(2πt) (cm/s)
v
N
=u’
N
= - 6πsin(2πt -
3
2
π
) = -6π(sin2πt.cos
3
2
π
- cos2πt sin
3
2
π
) = 3πsin2πt (cm/s)
Khi tốc độ của M: v
M
= 6π(cm/s) => sin(2πt)  =1
Khi đó tốc độ của N: v
N
= 3πsin(2πt)  = 3π (cm/s). Chọn A
25) Bài 4 : Mợt sóng ngang có chu kì T=0,2s trùn trong mơi trường đàn hời có tớc đợ 1m/s. Xét
trên phương trùn sóng Ox, vào mợt thời điểm nào đó mợt điểm M nằm tại đỉnh sóng thì ở sau
M theo chiều trùn sóng, cách M mợt khoảng từ 42 đến 60cm có điểm N đang từ vị tri cân

bằng đi lên đỉnh sóng . Khoảng cách MN là:
A. 50cm B.55cm C.52cm D.45cm
Giải: Khi điểm M ở đỉnh sóng, điểm N ở vị trí cân bằng đang đi lên, theo hình vẽ thì khoảng cách MN
18
M
N
O
M
N
H
P
Q
MN =
4
3
λ + kλ với k = 0; 1; 2; Với λ = v.T = 0,2m = 20cm
42 < MN =
4
3
λ + kλ < 60 => 2,1 – 0,75 < k < 3 – 0,75 => k = 2. Do đó MN = 55cm. Chọn B
DẠNG 4: CHO BIẾT LI ĐỘ CỦA ĐIỂM M SAU THỜI GIAN T VÀ CỦA N
CÁCH M MỘT KHOẢNG X
A.LÍ THUYẾT
Phương pháp giải:
+Tìm li độ của điểm M ở thời điểm sau:
26) Bài tổng quát
Cách 1:Phương trình sóng của điểm M ở thời điểm t:
( , ) .cos 2 .
x
u x t a t

ω π
λ
 
= −
 ÷
 
=a
Sau thời gian ∆t nào đó:
( , ) .cos ( ) 2 .
x
u x t t a t t
ω π
λ
 
+ ∆ = + ∆ −
 ÷
 
Dựa vào mối quan hệ lượng giác để tìm ra li độ ở thời điểm sau.
Cáh 2: Coi sóng là hàm tuần hoàn của thời gian, xác định vị trí ban đầu trên đường tròn, xác định góc
quay trong thời gian ∆t và tìm li độ ở thời điểm sau.
+Tìm li độ của điểm N cách M một khoảng x
Xác định độ lệch pha giữa hai điểm M, N dùng đường tròn để giải.
B.BÀI TẬP
27) Bài 1 : Một nguồn O dao động với tần số f = 50Hz tạo ra sóng trên mặt nước có biên độ
3cm(coi như không đổi khi sóng truyền đi). Biết khoảng cách giữa 7 gợn lồi liên tiếp là 9cm.
Điểm M nằm trên mặt nước cách nguồn O đoạn bằng 5cm. Chọn t = 0 là lúc phần tử nước tại O
đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Tại thời điểm t
1
li độ dao động tại M bằng 2cm. Li độ
dao động tại M vào thời điểm t

2
= (t
1
+ 2,01)s bằng bao nhiêu ?
A. 2cm. B. -2cm. C. 0cm. D. -1,5cm.
Bài giải: Phương trình truyền sóng từ nguồn O đến M cách O đoạn x theo chiều dương có dạng:






−−=






−−=
2
.22cos.
2
.22cos.),(
π
λ
ππ
π
ππ
x

fta
v
x
fftatxu
.
Theo giả thiết:
cm
2
3
=⇒
λ
,
2
10002,0
1
12
T
Ttts
f
T ++=⇒==
Điểm M tai thời điểm






−−==⇒
2
.22cos.2:

111
π
ππ
v
x
fftacmut
M
.
Vậy sóng tại hai thời điểm trên có li độ ngược pha nhau nên chọn đáp án B.
19
28) Bài 2 : Một sóng cơ học lan truyền dọc theo 1 đường thẳng có phương truyền sóng tại nguồn O
là :
uo = Acos(
T
π
2
t +
2
π
) (cm). Ở thời điểm t = T/2 một điểm M cách nguồn bằng 1/3 bước sóng có độ
dịch chuyển u
M
= 2(cm). Biên độ sóng A là
A. 4cm. B. 2 cm. C. 4/
3
cm. D. 2
3
cm
Giải: Biểu thức của nguồn sóng tại O: uo = Acos(
T

π
2
t +
2
π
) (cm).
Biểu thức của sóng tại M cách O d = OM: u
M
= Acos(
T
π
2
t +
2
π
±
λ
π
d2
) (cm)
Với : dấu (+) ứng với trường hợp sóng truyền từ M tới O;
dấu (-) ứng với trường hợp sóng truyền từ O tới M
Khi t = T/2; d = λ/3 thì u
M
= 2 cm
u
M
= Acos(
T
π

2
t +
2
π
±
λ
π
d2
) = Acos(
T
π
2
2
T
+
2
π
±
3.
2
λ
πλ
) = Acos(
2
3
π
±
3
2
π

) = 2 cm
=> Acos(
6
13
π
) = Acos(
6
π
) = 2 (cm) => A= 4/
3
cm. Chọn C
=> Acos(
6
5
π
) = 2 (cm) => A < 0 (Loại)
29) Bài 3: Sóng có tần số 20Hz truyền trên chất lỏng với tốc độ 200cm/s, gây ra các dao động theo
phương thẳng đứng của các phần tử chất lỏng. Hai điểm M và N thuộc mặt chất lỏng cùng
phương truyền sóng cách nhau 22,5cm. Biết điểm M nằm gần nguồn sóng hơn. Tại thời điểm t
điểm N hạ xuống thấp nhất. Hỏi sau đó thời gian ngắn nhất là bao nhiêu thì điểm M sẽ hạ xuống
thấp nhất?
A.
3
( )
20
s
B.
3
( )
80

s
C.
7
( )
160
s
D.
1
( )
160
s
Hướng dẫn+ Ta có : λ = v/f = 10 cm
4
2
λ
λ
+=⇒
MN
. Vậy M và N dao động vuông pha.
+ Tại thời điểm t điểm N hạ xuống thấp nhất thì sau đó thời gian ngắn nhất là 3T/4 thì điểm M sẽ hạ
xuống thấp nhất.
s
f
T
t
80
3
4
3
4

3
===∆⇒
. Chọn B
30) Bài 4 : Hai điểm M, N cùng nằm trên một phương truyền sóng cách nhau x = λ/3, sóng có biên
độ A, chu kì T. Tại thời điểm t
1
= 0, có u
M
= +3cm và u
N
= -3cm. Ở thời điểm t
2
liền sau đó có u
M
= +A, biết sóng truyền từ N đến M. Biên độ sóng A và thời điểm t
2
là
A.
cm32
và
12
11T
B.
cm23
và
12
11T
C.
cm32
và

12
22T
D.
cm23
và
12
22T
Giải:
+ Ta có độ lệch pha giữa M và N là:
3
22
π
λ
π
ϕ
==∆
x

6
π
α
=⇒
,
20
+ Từ hình vẽ, ta có thể xác
định biên độ sóng là: A =
32
cos
=
α

M
u
(cm)
+ Ở thời điểm t
1
, li độ của
điểm M là u
M
= +3cm, đang
giảm.
Đến thời điểm t
2
liền sau đó, li
độ tại M là u
M
= +A.
+ Ta có
ϖ
ϕ
/
12
∆
=−=∆ ttt

với :
T
π
ϖ
π
απϕ

2
;
6
11
2
/
==−=∆
12
11
2
.
6
11
12
TT
ttt
==−=∆⇒
π
π
Vậy:
12
11
12
T
ttt
=−∆=

21
t
∆ϕ

M
M
2

M
1

u(cm)
N
A
3
-3
α
∆ϕ’
-A