11 dạng tích phân lương giác điển hình và có úng dụng cao

CLB Gia Sư Khoa Học: Biên Soạn : TRẦN MẬU TÚ –TMT-
WWW.Facebook.com/trituethanghoaniemtintoasang. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Hà nội, Ngày 15-6-2014.

[1]
VIÊC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC – KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI

11 Dạng Tích Phân Lượng Giác Cơ Bản.
♣ Anh xin được gữi tới tất cả các em 11 dạng tích phân lượng giác cơ bản, đây là 11 dạng tích phân mà
khi các em làm toán thường hay đưa về, có 1 số em sẽ rất khó khăn trong việc giải các dạng toán này,
chính vì thế, hôm nay anh sẽ viết 1 chuyên đề này, nhằm cung cấp cho các em 1 số dạng toán vô
cùng quen thuộc mà trong các đề thi đại học thường hay có. Đương nhiên trong các đề thi họ sẽ
không ra như thế này, mà các em cần 1 số bước biến đổi để đưa về 1 trong 11 dạng tích phân này.Do
lần đầu biên soạn nên không tránh khỏi sai sót, mong các em đóng góp ý kiến và chỉ giáo.
• Anh làm các bài tổng quát, nên nhiều em nhìn vào sẽ không giám đọc vì thấy toàn là dạng tổng quát,
nhưng anh đã cố gắng viết súc tích, dễ hiểu, vì thế các em tập trung nghiên cứu nhé, đừng nhìn qua
đã thấy nản chí.
• 1. Dạng 1 : Nguyên hàm của I =
׬
૚
ܛܑܖ
ሺ
࢞ାࢇ
ሻ
.ܛܑܖ ሺ࢞ା࢈ሻ
dx. ( a, b là các hằng số đã biết các em nhé)
Cách làm là như sau các em: Có 1 nhận xét hết sức thú vị như sau các em này: 1 =
ୱ୧୬
ൣ
ሺ୶ ାୟሻ –ሺ୶ାୠሻ
൧

ୱ୧୬ ሺ௔ି௕ሻ
.
Vậy các em thay vào trên thì được cái gì: Là như zậy các em.
I =
׬
ଵ
ୱ୧୬
ሺ
௫ା௔
ሻ
.ୱ୧୬ ሺ௫ା௕ሻ
dx =
׬
ୱ୧୬
ሾሺ
௫ା௔
ሻ
ିሺ௫ା௕ሻ
ሿ

ୱ୧୬
ሺ
௔ି௕
ሻ
.ୱ୧୬
ሺ
௫ା௔
ሻ
.ୱ୧୬ ሺ௫ା௕ሻ
dx. ( Các em hiểu bước này chứ)

Sau khi làm được bước này rồi thì các em làm tiếp như sau:
sin
ሾ
ሺ
ݔ ൅ܽ
ሻ
െ ሺݔ ൅ܾሻ
ሿ
= sin(x+a).cos(x+b) – cos(x+a).sin(x+b). Thay vào nguyên hàm các em có:
I =
׬
ଵ
ୱ୧୬
ሺ
௫ା௔
ሻ
.ୱ୧୬ ሺ௫ା௕ሻ
dx =
׬
ୱ୧୬
ሾሺ
௫ା௔
ሻ
ିሺ௫ା௕ሻ
ሿ

ୱ୧୬
ሺ
௔ି௕
ሻ

.ୱ୧୬
ሺ
௫ା௔
ሻ
.ୱ୧୬ ሺ௫ା௕ሻ
dx
=
ଵ
ୱ୧୬ ሺ௔ି௕ሻ
.
׬
ୱ୧୬ሺ୶ାୟሻ.ୡ୭ୱሺ୶ାୠሻ – ୡ୭ୱሺ୶ାୟሻ.ୱ୧୬ሺ୶ାୠሻ
ୱ୧୬
ሺ
௫ା௔
ሻ
.ୱ୧୬ ሺ௫ା௕ሻ
dx .
=
ଵ
ୱ୧୬ ሺ௔ି௕ሻ
.
ቂ

׬
ୡ୭ୱ ሺ௫ା௕ሻ
ୱ୧୬ ሺ௫ା௕ሻ
dx െ
׬

ୡ୭ୱ ሺ௫ା௔ሻ
ୱ୧୬ ሺ௫ା௔ሻ
dx.
ቃ

Đến đây thì bài toán coi như đã giải quyết xong 80%.
o VD: I=
׬

ଵ
௖௢௦௫
ሾ
௦௜௡௫ା௖௢௦௫
ሿ
dx. Bài này các em biến đổi chút nhé. I=
׬

ଵ
௖௢௦௫
ሾ
௦௜௡௫ା௖௢௦௫
ሿ
݀ݔൌ
׬

ଵ
√ଶ.௖௢௦௫.ୡ୭ୱ ሺ௫ି
೵
ర
ሻ

. Sau đó các em áp dụng bài toán tổng quát nhé.
Lưu ý: Dạng toán này các em có thể áp dụng với:
I= =
׬
ଵ
ୱ୧୬
ሺ
௫ା௔
ሻ
.ୡ୭ୱ ሺ୶ାୠሻ
dx . Bằng cách đồng nhất: 1=
ୡ୭ୱ
ሾ
ሺ௫ା௔ሻିሺ௫ା௕
ሿ
ୡ୭ୱ ሺ௔ି௕ሻ
.
I=
׬

ଵ
ୡ୭ୱ
ሺ
୶ାୟ
ሻ
.ୡ୭ୱ ሺ୶ାୠሻ
dx . Bằng cách đồng nhất : 1=
ୱ୧୬
ሾሺ
௫ା௔

ሻ
ିሺ௫ା௕ሻ
ሿ

ୱ୧୬ ሺ௔ି௕ሻ
.
 Học tập là 1 quá trình tích lũy kiến thức, các em không tích lũy thì sau này khó mà thành tài.
CLB Gia Sư Khoa Học: Biên Soạn : TRẦN MẬU TÚ –TMT-
WWW.Facebook.com/trituethanghoaniemtintoasang. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Hà nội, Ngày 15-6-2014.

[2]
VIÊC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC – KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI
2. Dạng 2: Tính nguyên hàm : I =
׬

ࢊ࢞
࢙࢏࢔࢞ାࢇ
. Trong đó a là hằng số bất kỳ.
Lời bình: Với loại toán này có 2 hướng giải như sau nhé các em:
• Nếu a là các giá trị đặc biệt (ví dụ như: a=
ቄ
െ1,െ
ଵ
ଶ
,0, 1,
ଵ
ଶ
,….,1
ቅ

).
Thì các em đưa về dạng cho anh nhé: a= sinλ. Khi đó bài toán trở thành như sau:
I =
׬

ௗ௫
௦௜௡௫ା௔
=
׬

ௗ௫
௦௜௡௫ାୱ୧୬λ.
.
Đến đây thì các em áp dụng công thức: Sinx + sinλ= 2Sin
௫ା
λ
ଶ
.ܥ݋ݏ
௫ି
λ
ଶ
. Khi đó:
I =
׬

ௗ௫
௦௜௡௫ା௔
=
׬

ௗ௫
௦௜௡௫ାୱ୧୬λ.
ൌ
׬

ௗ௫
ଶୗ୧୬
ೣశ
λ
మ
.஼௢௦
ೣష
λ
మ
.
Hì Hì: Đến đầy là trở về dạng 1 rồi các em nhĩ. Đến đây các em làm tiếp nhé.
o Ví dụ: Tính I =
׬

ௗ௫
௦௜௡௫ା
భ
మ
.Các em tự chiến bài này nhé.
• Nếu trong trường hợp a là số bất kỳ, không đặc biệt thì làm như thế nào: Khí đó các em làm như sau:
I =
׬

ௗ௫
௦௜௡௫ା௔

. Các em nhận thấy 1 điều vô cùng thú vị là : a= a.sin
2
ሺ
௫
ଶ

)

+ acos
2
ሺ
௫
ଶ
) . Và Sinx = 2sin
௫
ଶ
.cos
௫
ଶ
.
Vậy ta có điều gì: Là như sau các em này:
I =
׬

ௗ௫
௦௜௡௫ା௔
ൌ
׬

ௗ௫

ୟ.ୱ୧୬
మ
ቀ
ೣ
మ
ቁାଶୱ୧୬
ೣ
మ
.ୡ୭ୱ
ೣ
మ
ାୟୡ୭ୱ
మ
ቀ
ೣ
మ
ቁ
.Dạng 10 anh sẽ dạy các em cách tìm loại tích phân này:
o Ví Dụ: I =
׬

ௗ௫
௦௜௡௫ାଶ
. Các em làm nhé. hì.
Nhận xét: Nhìn tổng quan bài toán có thể nói rằng chúng ta áp dụng cho tất cả các trường hợp a bất
kỳ bằng phương pháp thứ 2 trên,sẽ được trình bày ở dạng thứ 10, nhưng anh giới thiệu trường hợp a
là các giá trị đặc biệt để nhằm giúp các em thấy được mối liên hệ giữa Dạng 1 và Dạng 2.

3 .Dạng 3: Tính nguyên hàm của : I =
׬

࢚ࢇ࢔࢞.ܜ܉ܖ
ሺ
࢞ ൅ ࢇ
ሻ
ࢊ࢞
Các em phân tích như sau nhé: ݐܽ݊ݔ.tan
ሺ
ݔ൅ ܽ
ሻ
ൌ
௦௜௡௫.ୱ୧୬ ሺ௫ା௔ሻ
௖௢௦௫.ୡ୭ୱ ሺ௫ା௔ሻ
=
௦௜௡௫.ୱ୧୬
ሺ
௫ା௔
ሻ
ା௖௢௦௫.ୡ୭ୱ
ሺ
௫ା௔
ሻ
ି௖௢௦௫.ୡ୭ୱ ሺ௫ା௔ሻ
௖௢௦௫.ୡ୭ୱ ሺ௫ା௔ሻ

(Bước trên chỉ là thêm bớt thôi các em nhé).

 Các em là những thiên tài, độ nhanh nhạy của ngày mai phụ thuộc vào độ chuyên cần của ngày
hôm nay.
Khi đó: ݐܽ݊ݔ.tan
ሺ

ݔ൅ ܽ
ሻ
=
௦௜௡௫.ୱ୧୬
ሺ
௫ା௔
ሻ
ା௖௢௦௫.ୡ୭ୱ
ሺ
௫ା௔
ሻ
ି௖௢௦௫.ୡ୭ୱ ሺ௫ା௔ሻ
௖௢௦௫.ୡ୭ୱ ሺ௫ା௔ሻ
=
௦௜௡௫.ୱ୧୬
ሺ
௫ା௔
ሻ
ା௖௢௦௫.ୡ୭ୱ
ሺ
௫ା௔
ሻ
௖௢௦௫.ୡ୭ୱ ሺ௫ା௔ሻ
- 1.
CLB Gia Sư Khoa Học: Biên Soạn : TRẦN MẬU TÚ –TMT-
WWW.Facebook.com/trituethanghoaniemtintoasang. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Hà nội, Ngày 15-6-2014.

[3]
VIÊC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC – KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI

• Như vậy các em ạ: I =
׬
ݐܽ݊ݔ.tan
ሺ
ݔ൅ ܽ
ሻ
݀ݔ =
׬
ሺ
௦௜௡௫.ୱ୧୬
ሺ
௫ା௔
ሻ
ା௖௢௦௫.ୡ୭ୱ
ሺ
௫ା௔
ሻ
௖௢௦௫.ୡ୭ୱ ሺ௫ା௔ሻ
െ 1ሻdx =
׬

௖௢௦௔
௖௢௦௫.ୡ୭ୱ ሺ௫ା௔ሻ
dx - x + C. ( Áp dụng công thức lượng giác nhe).
Đến đây chúng ta lại đưa bài toán về dạng thứ 1 rồi các em nhé, trong đó cos(a) là 1 hằng số nhé em:
Nhận xét: Các em hãy ghi nhớ dạng thứ nhất em nhé: Rất quan trọng.
o VD: I =
׬
ݐܽ݊ݔ.tanቀݔ൅
௽

ସ
ቁ݀ݔ. Dạng này khá hay, các em làm bài này nhé. hì
4. Dạng 4: Tính nguyên hàm: I =
׬

ࢊ࢞
ࢇ.࢙࢏࢔࢞ା࢈.ࢉ࢕࢙࢞
. Trong đó a, b bất kỳ các em nhé:
Lời bình: Dạng toán này thì các em nên đi kiểm tra biểu thức :
√
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
ൌܿ.
Lưu ý cho các em rằng trường hợp của lời giải này là : -1 ൑
௔
௖
ݒà
௕
௖
൑ 1
• Trong đó
௔
௖
và
௕
௖
là các số dặc biệt
ቄ

െ1,െ
ଵ
ଶ
,
ଵ
ଶ
,…,1
ቅ
. Nói chung là
௔
௖
và
௕
௖
đặc biệt,cũng như là số
không đặc biệt thì các em làm bình thường bằng cách: I =
׬

ௗ௫
௔.௦௜௡௫ା௕.௖௢௦௫
=
ଵ
√௔
మ
ା௕
మ
.
׬

ௗ௫

ୱ୧୬ ሺ௫ା
λ
ሻ
.
Trong đó cos
λ
ൌ
௔
௖
. và sin
λ
ൌ
௕
௖
.
Đến đây thì: I =
ଵ
√௔
మ
ା௕
మ
.
׬

ௗ௫
ୱ୧୬ ሺ௫ା
λ
ሻ
là 1 dạng tích phân rất cơ bản rồi, anh tin là các em đã làm được hết.
• Các em nên nhớ:

λ
nó là 1 giá trị tồn tại thực nếu c đặc biệt, còn c không đặc biệt thì nó là 1 số bí
ẩn mà thỏa mãn: cos
λ
ൌ
௔
௖
. và sin
λ
ൌ
௕
௖
.
Ngoài ra các em còn có thể làm theo cách sau:
Các em đi phân tích: a. sinx + b.cosx = b. cos
2
(
௫
ଶ
) + b.sin
2
(
௫
ଶ
) + 2a.sin
௫
ଶ
.coݏ
௫
ଶ

.
Đến đây: I =
׬

ௗ௫
௔.௦௜௡௫ା௕.௖௢௦௫
=
׬

ௗ௫
ୠ.ୡ୭ୱ
మ
ሺ
ೣ
మ
ሻ ା ୠ.ୱ୧୬
మ
ሺ
ೣ
మ
ሻ ା ଶୟ.ୱ୧୬
ೣ
మ
.ୡ୭௦
ೣ
మ
. Đến đây thì các em thấy quen chưa,
chính là cach làm của dạng 10 mà anh sẽ trình bày sau.
Ngoài ra các em có thể dùng đến phương pháp đại số hóa, bằng việc đặt t =tan
௫

ଶ
.( cũng khó đó, dài nữa).
Nhận Xét: Các dạng 2 và 4 chúng ta sẽ làm tổng quát cho dạng 10. Hay nói cách khác Dạng 10 sẽ trả
lời tổng quát nhất cho các dang 2 và 4.
o VD: I =
׬

ௗ௫
௦௜௡௫ ା
√
ଷ.௖௢௦௫
(dễ nhĩ) . I =
׬

ௗ௫
ଶ௦௜௡௫ା௖௢௦௫
. I =
׬

ௗ௫
௦௜௡௫ା √ଶ
.

 Kẻ lười biếng là kẻ ngồi chăm, còn người học giỏi là người chăm ngồi học.
5. Dạng 5: Tìm nguyên hàm của : I =
׬
܉૚ ܛܑܖܠ ା ܊૚܋ܗܛܠ
܉૛.ܛܑܖܠ ା ܊૛.܋ܗܛܠ
ࢊ࢞ .
Lời bình:

CLB Gia Sư Khoa Học: Biên Soạn : TRẦN MẬU TÚ –TMT-
WWW.Facebook.com/trituethanghoaniemtintoasang. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Hà nội, Ngày 15-6-2014.

[4]
VIÊC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC – KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI
Có 1 số em sẽ nói dạng 5 này sẽ tổng quát hơn dạng 4 nhiều, nhưng tại sao anh lại viết dạng 4, mà không
viết dạng 5 luôn, câu trả lời:
Hoàn toàn khác nhau.
Cách làm dạng này là: Các em biến đổi: a
1
sinx + b
1
cosx = A.( a
2
.sinx + b
2
.cosx) + B. (a
2
.cosx -
b
2
.sinx)
Sau đó các em đi đồng nhất thức 2 vế để chúng ta tìm A và tìm B.Nhưng nhiều em cũng không biết đồng nhất
thức là gi cũng nên nhĩ: Tức là như zây các em:
a
1
sinx + b
1
cosx = A.( a

2
.sinx + b
2
.cosx) + B. (a
2
.cosx -b
2
.sinx) = ( A.a
2
- B.b
2
).sinx + (A.b
2
+ B.a
2
)cosx.
Đến đây các em đi đồng nhất 2 vế, nghĩa là ta có hệ sau:
ቄ
A.a2 െ B.b2ൌa1
A.b2 ൅ B.a2ൌ b1

; sau đó các em tìm A,B.
Như vậy các em đi phân tích được:

୅.ሺ ୟଶ.ୱ୧୬୶ ା ୠଶ.ୡ୭ୱ୶ሻ ା ୆.ሺୟଶ.ୡ୭ୱ୶ ିୠଶ.ୱ୧୬୶ሻ
ୟଶ.ୱ୧୬୶ ା ୠଶ.ୡ୭ୱ୶
.
=
୆.ሺୟଶ.ୡ୭ୱ୶ ିୠଶ.ୱ୧୬୶ሻ
ୟଶ.ୱ୧୬୶ ା ୠଶ.ୡ୭ୱ୶

+ A.
Vậy: I =
׬
ୟଵ ୱ୧୬୶ ା ୠଵୡ୭ୱ୶
ୟଶ.ୱ୧୬୶ ା ୠଶ.ୡ୭ୱ୶
݀ݔ ൌ +
׬
ܣ݀ݔ = B.
׬
ୢሺୟଶ.ୱ୧୬୶ାୠଶୡ୭ୱ୶ሻ
ୟଶ.ୱ୧୬୶ ା ୠଶ.ୡ୭ୱ୶
+ A.x+ C.
Đến đây rõ ràng bài toán đã được giải quyết 80% rồi các em nhé:
o VD: Tìm nguyên hàm của:
I =
ଷ௦௜௡௫ାସ.௖௢௦௫
ଶ௦௜௡௫ା௖௢௦௫
dx
I =
׬
ௗ௫
ଵା௧௔௡௫
( Bài này các em biến đổi 1 chút sẽ ra dạng toán 5 mà chúng ta đang bàn tới).
I =
׬

ୡ୭ୱ
మ
௫
௦௜௡௫ା

√
ଷ ௖௢௦௫
dx.
Bài này các em đặt khác 1 chút. HÌ. Hơi khó nhĩ. Động não đi em.

 Cuộc đời học sinh chứa những điều vô cùng tuyệt đẹp, tình yêu, tình bạn, tình bằng hữu, tình
thầy trò.Chúng ta sinh ra để được thế giới biết đến, để được người đời công nhân, hãy sống và
cháy hết mình, hãy đổ giọt mồ hôi trên những trang vở, hãy để nước mắt rơi khi nhận lấy vinh
quang, đừng để giọt nước mắt của những thất bại, thất bại.



CLB Gia Sư Khoa Học: Biên Soạn : TRẦN MẬU TÚ –TMT-
WWW.Facebook.com/trituethanghoaniemtintoasang. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Hà nội, Ngày 15-6-2014.

[5]
VIÊC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC – KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI
6. Dạng 6: Tính nguyên hàm : I =
׬

܉૚ ܛܑܖܠ ା ܊૚܋ܗܛܠ
ሺ
܉૛.ܛܑܖܠ ା ܊૛.܋ܗܛܠ
ሻ
૛
dx
Lời bình:
• Các em nhìn qua trông có vẻ giống với dạng 5 nhĩ, đúng vậy, cách làm hoàn toàn giống với dạng 5:
Các em đi biến đổi: a

1
sinx + b
1
cosx = A( a
2
.sinx + b
2
.cosx) + B.( a
2
.cosx - b
2
.sinx).
Đến đây các em cũng đồng nhất 2 vế để tìm A và B. Khi đó:
I =
׬

ୟଵ ୱ୧୬୶ ା ୠଵୡ୭ୱ୶
ሺ
ୟଶ.ୱ୧୬୶ ା ୠଶ.ୡ୭ୱ୶
ሻ
మ
dx =
׬

୆.ሺ ୟଶ.ୡ୭ୱ୶ ି ୠଶ.ୱ୧୬୶ሻ.
ሺ
ୟଶ.ୱ୧୬୶ ା ୠଶ.ୡ୭ୱ୶
ሻ
మ
dx + A

׬

ௗ௫
ୟଶ.ୱ୧୬୶ ା ୠଶ.ୡ୭ୱ୶
.
• Đến đây anh nghĩ các em biết cách làm rồi nhĩ, dạng toán này anh đã trình bày ở bài trước nhé.
Tích phân này thì dễ nhé:
׬

୆.ሺ ୟଶ.ୡ୭ୱ୶ ି ୠଶ.ୱ୧୬୶ሻ.
ሺ
ୟଶ.ୱ୧୬୶ ା ୠଶ.ୡ୭ୱ୶
ሻ
మ
dx và tích phan : A
׬

ௗ௫
ୟଶ.ୱ୧୬୶ ା ୠଶ.ୡ୭ୱ୶
dx thì anh đã trình bày
cách giải quyết dạng toán này ở trên rồi nhé các em.

o VD: I =
׬

଼.௖௢௦௫
ଶା
√
ଷ.௦௜௡ଶ௫ି௖௢௦ଶ௫
dx .

Bài toán này các em phải phân tích mẫu số của nó về dạng của mẫu như trong bài toán tổng quát trên:
Cụ thể các em biến đổi mẫu số về: 2 ൅
√
3.ݏ݅݊2ݔ െ ܿ݋ݏݔൌሺ
√
3ݏ݅݊ݔ ൅ ܿ݋ݏݔሻ
2
.
Đến đây thì bài toán đã định hướng được cách giải các em nhé:
Nhận xét: Qua dạng thứ 6 này thì các em thấy rằng việc biết cách tích các tích phân đơn giản này sẽ
có lợi ích cho các em rất nhiều trong việc giải toán,các dạng này sẽ liên quan mật thiết với nhau, dạng
này sẽ cần áp dụng vào dạng kia, chúng sinh ra nhau, có mối liệ hệ lẫn nhau, vì thế, để chinh chiến
được các bài tích phân lượng giác, các em cần phải nắm chắc cách làm của các dạng toán này.

 Sự cố gắng của hiện tại sẽ nói lên kết quả của tương lai, sự lười biếng của hôm nay là liều thuốc
độc cho những ngày sắp tới, cuộc sống là đấu tranh với con quỹ dữ trong mình, ai thoát được
nó, ai thoát được sự lười biếng hằng ngày, ai đấu tranh thắng phần quỷ trong mình, người đó
sẽ nắm giữ tương lai của mình.

7. Dạng 7. Tính nguyên hàm : I =
׬

ࢊ࢞
܉ ܛܑܖܠ ା ܊܋ܗܛܠା܋

Lời bình:
Loại toán này anh tin rằng nhiều em đang không biết cách xữ lý như thế nào:
CLB Gia Sư Khoa Học: Biên Soạn : TRẦN MẬU TÚ –TMT-
WWW.Facebook.com/trituethanghoaniemtintoasang. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Hà nội, Ngày 15-6-2014.

[6]
VIÊC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC – KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI
Với loại này các em đi theo các hướng tư duy sau đây:
• Hướng 1: Nếu bài toán cho : c =
√
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
thì các em thực hiện 1 phép biến đổi thú vị sau:
Các em làm như zậy: a sinx ൅ bcosx൅ c = c.(
௔
௖
.sinx +
௕
௖
.cosx +1)
Vì c =
√
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
nên c.(
௔
௖
.sinx +
௕
௖

.cosx +1) = c.[1+ cos(x-
λ
)]= 2c.cos
2
ሺ
௫ି
λ

ଶ
).
Trong đó là gì các em, trong đó : sin
λ
ൌ
௔
௖
và cos
λ
ൌ
௕
௖
.
Vậy : I =
׬

ௗ௫
ୟ ୱ୧୬୶ ା ୠୡ୭ୱ୶ାୡ
=
׬

ௗ௫

ଶୡ.ୡ୭ୱ
మ
ሺ
ೣష
λ

మ
ሻ
.
Đến đây thì bài toán đã được giải quyết 80% rồi nhé em.Anh tin với loại này các em làm được rồi.
• Hướng 2: nếu c = െ
√
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
. Thì các em vẫn làm theo cách bình thường như trên thôi nhe, khôngcó
gì khó khăn với bước này cả.
Chỉ có điều khi đó : I =
׬

ௗ௫
ୟ ୱ୧୬୶ ା ୠୡ୭ୱ୶ାୡ
=
׬

ௗ௫
ଶୡ.ୱ୧୬
మ
ሺ

ೣష
λ

మ
ሻ
. (Bài này không xa lạ gì với các em nhĩ).
• Hướng 3: Nếu như c ്
√
ܽ
ଶ
൅ ܾ
ଶ
thì các em sẽ xữ lý thế nào:
Cac em làm zậy: hì hì, không còn cách nào khác ngoài việc đặt t= tan
௫
ଶ
. Khi đó
Sinx=
ଶ௧
௧
మ
ା ଵ
; cosx =
௧
మ
ିଵ
௧
మ
ାଵ
và dx =

ଶௗ௧
ଵା௧
మ
. Đến nước bí thì các em cũng cần linh động nhé.
VD: I =
׬

ௗ௫
ଶା௖௢௦௫ା
√
ଷ.௦௜௡௫
; I =
׬

ௗ௫
௦௜௡௫ା௖௢௦௫ାଶ
Cố gắng làm các em nhé.
Nhận xét: qua dạng này, các em thấy dược sự vất vả của việc không biết cách tính các dạg cơ bản
trong tích phân lượng giác rồi chứ. Dạng này phẩn ánh được độ phức tạp của việc mù kiến thức cơ
bản.

 Biển học mênh mang, chơi vơi giữa dòng, nhặt cành hoa lạ, ngữi mùi thơm phức, nhớ nhung 1
ai, tìm trong biển nhớ, mùi hoa của gió, từ cội nguồn ấy, của vùng đất mới, ngôi trường đại học.



8. Dạng 8: Tìm nguyên hàm của : I =
׬

܉૚ ܛܑܖܠ ା ܊૚.܋ܗܛܠା܋૚

܉૛.ܛܑܖܠ ା ܊૛.܋ܗܛܠା܋૛
dx .
Lời bình:
CLB Gia Sư Khoa Học: Biên Soạn : TRẦN MẬU TÚ –TMT-
WWW.Facebook.com/trituethanghoaniemtintoasang. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Hà nội, Ngày 15-6-2014.

[7]
VIÊC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC – KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI
Có thể nói đây là dạng tổng quát nhất cho các dạng chúng ta đã đi làm:
Dạng này chúng ta sẽ tiến hành làm như sau cac em :
• Các em đi phân tích: a
1
sinx + b
1
cosx + c
1
= A(a
2
.sinx + b
2
.cosx + c
2
) + B.( a
2
.cosx -b
2
.sinx) + C.
Bước tiếp theo là các em đi đồng nhất 2 vế của biểu thức để tìm A, B, C.
Sau khi tìm được thì bài toán trở nên hết sức quen thuộc:

I =
׬

ୟଵ ୱ୧୬୶ ା ୠଵ.ୡ୭ୱ୶ାୡଵ
ୟଶ.ୱ୧୬୶ ା ୠଶ.ୡ୭ୱ୶ାୡଶ
dx =
׬

୅ሺୟଶ.ୱ୧୬୶ ା ୠଶ.ୡ୭ୱ୶ ା ୡଶሻ ା ୆.ሺ ୟଶ.ୡ୭ୱ୶ ିୠଶ.ୱ୧୬୶ሻ ା େ
ୟଶ.ୱ୧୬୶ ା ୠଶ.ୡ୭ୱ୶ାୡଶ
dx =
=
׬

୆.ሺ ୟଶ.ୡ୭ୱ୶ ିୠଶ.ୱ୧୬୶ሻ
ୟଶ.ୱ୧୬୶ ା ୠଶ.ୡ୭ୱ୶ାୡଶ
dx + C.
׬

ௗ௫
ୟଶ.ୱ୧୬୶ ା ୠଶ.ୡ୭ୱ୶ାୡଶ
+ A
׬
݀ݔ .
Đến đây thì các em nhận ra các dạng quen thuộc mà chúng ta đã từng làm rồi chứ:
o VD: I =
׬

ଶ ୱ୧୬୶ ା ୡ୭ୱ୶ାଵ
ଶୱ୧୬୶ ା ଷୡ୭ୱ୶ାଶ

dx ; I =
׬

ହ௦௜௡௫
ଶ௦௜௡௫ି௖௢௦௫ାଵ
݀ݔ
(Hai bài này không có gi khó khăn nữa nhé các em).
Nhận xét: Qua đây các em thấy rằng, muốn giải quyết các bài toán phức tạp thì các em cần có 1 nền
móng vững chắc, những kiến thức căn bản, nếu anh đưa dạng này lên đầu tiên thì các em sẽ giải
quyết như thế nào khi chưa biết các cách trước, vì thế , các em cần có chắc 1 đống kiến thức nền tảng
đã nhé.


 Học tập là quá trình các em tìm tòi và chịu khó, chăm chỉ , cần cù bù thông minh, không có cần
thì không ai bù được, không chăm thì không có thông được, học tập là việc liên tục, là 1 cuộc
đua dài, nó không có đích và cũng không có người thắng cuộc, chỉ có kẻ bỏ cuộc, kẻ ngồi nghĩ
mát giữa phố hè nóng nực.




9. Dạng 9: Tính nguyên hàm: I =
׬

ࢇ૚.ܛܑܖ
૛
࢞ା࢈૚.࢙࢏࢔࢞.ࢉ࢕࢙࢞ାࢉ૚.܋ܗܛ
૛
࢞
ࢇ૛࢙࢏࢔࢞ା࢈૛.ࢉ࢕࢙࢞

dx.
Lời bình:
• Đối với dạng toán này các em ạ, chúng ta cần đi phân tích như sau:
CLB Gia Sư Khoa Học: Biên Soạn : TRẦN MẬU TÚ –TMT-
WWW.Facebook.com/trituethanghoaniemtintoasang. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Hà nội, Ngày 15-6-2014.

[8]
VIÊC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC – KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI
Các em thấy tử có hệ số nhiều hơn mẫu và có số mũ cao hơn.
Loại toán này các em cũng đi biến đổi nhứ sau:

ܽ1.sin
ଶ
ݔ൅ ܾ1.ݏ݅݊ݔ.ܿ݋ݏݔ൅ ܿ1.cos
ଶ
ݔ = (A.sinx + B. cosx).( ܽ2ݏ݅݊ݔ ൅ ܾ2.ܿ݋ݏݔ) + C( sin
2
x + cos
2
x)
Các em cũng đồng nhất thức 2 vế vế biểu thức để tìm , A, B, C.
Khi đó: I =
׬

௔ଵ.ୱ୧୬
మ
௫ା௕ଵ.௦௜௡௫.௖௢௦௫ା௖ଵ.ୡ୭ୱ
మ
௫

௔ଶ௦௜௡௫ା௕ଶ.௖௢௦௫
dx =
׬

ሺ୅.ୱ୧୬୶ ା ୆.ୡ୭ୱ୶ሻ.ሺ ௔ଶ௦௜௡௫ା௕ଶ.௖௢௦௫ሻ ା େሺୱ୧୬
మ
௫ ାୡ୭ୱ
మ
௫ሻ
௔ଶ௦௜௡௫ା௕ଶ.௖௢௦௫
dx
=
׬
ሺA.sinx ൅ B.cosxሻdx +
׬

஼.ௗ௫
௔ଶ௦௜௡௫ା௕ଶ.௖௢௦௫
.
Đến đây thì các em đã thấy chúng ta đưa bài toán về các dạng quyen thuộc rồi chứ, các dạng toán này chúng
ta đã rình bày ở phần trên, vì thế các em có thể tự giải quyết được bài toán này rồi nhé.
o VD: I =
׬

ୱ୧୬
మ
௫ାଷ௦௜௡ଶ௫ାଵ
௦௜௡௫ାଶ.௖௢௦௫
dx ; I =
׬

ሺସ.ୡ୭ୱ
మ
௫ାଵሻ
√
ଷ.௖௢௦௫ା௦௜௡௫
dx. Bây giờ di giải quyết laoij toán này
không còn là khó khăn gì nữa các em nhĩ. hì.

Nhận xét: Các em có thể thấy, bằng việc chúng ta phân tích trên tử làm sao cho trên tử và dưới
mẫu có mối quan hệ với nhau, điều này sẽ giúp bài toán đưa về các dạng quen thuộc của chúng ta,
bước đồng nhất thức , các em có thể làm ngoài nháp, rồi dựa vào kết quả đó để đi phân tích tử, hoặc
làm trực tiếp vào bài thi,anh nghĩ các em nên làm trực tiếp vào bài thi của mình, vì dù gì đó cũng là
cách làm,cách trình bày bài toán.


 Ở trên đời không có việc gì dễ mà cũng chẳng có việc gì khó, cái cốt lõi ở đây là tâm người, tâm
mà cao thanh thì đạo càng hạnh nhân, tâm mà chu tính mưu sâu thì toàn cầu danh vọng đấu đá,
cuộc đời lúc nỗi khi chìm, thân ai lặn lội giữa chốn nào. Học tập là con đường vinh quang, là sứ
mệnh mỗi con người phải hoàn thành, là đạo gia của tâm người.





10.Dạng 10: Tìm nguyên hàm của: I =
׬

ࢊ࢞
ࢇ.ܛܑܖ

૛
࢞ା࢈.࢙࢏࢔࢞.ࢉ࢕࢙࢞ାࢉ.܋ܗܛ
૛
࢞
.
CLB Gia Sư Khoa Học: Biên Soạn : TRẦN MẬU TÚ –TMT-
WWW.Facebook.com/trituethanghoaniemtintoasang. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Hà nội, Ngày 15-6-2014.

[9]
VIÊC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC – KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI
Lời bình:
Như vậy chúng ta đã đi đến dạng 10, như anh đã nói ở các dạng toán trước thì dạng 10 cũng là 1 cách để
chúng ta đi giải quyết các bài toán ở các dạng đã trình bày ở trên:
Vậy thì với loại toán này chúng ta đi làm như sau. Chúng ta nhân cả tử và mẫu cho :
ଵ
ୡ୭ୱ
మ
௫

Khi đó: I =
׬

ௗ௫
௔.ୱ୧୬
మ
௫ା௕.௦௜௡௫.௖௢௦௫ା௖.ୡ୭ୱ
మ
௫
ൌ

׬

ௗ௫
ሺ
௔.୲ୟ୬
మ
௫ା௕.௧௔௡௫ା௖
ሻ
.ୡ୭ୱ
మ
௫
=
׬

ௗሺ௧௔௡௫ሻ
ሺ
௔.୲ୟ୬
మ
௫ା௕.௧௔௡௫ା௖
ሻ
.
.
Đến đây các em đặ: t= tanx , thì bài toán trở thành đi tìm tích phân của : I =
׬

ௗ௧
௔.௧
మ
ା ௕.௧ା௖

Loại toán này thì dễ làm rồi nhé các em. Bài toán đã được giải quyết 80% nhé:
o VD: I =
׬

ௗ௫
ଶୱ୧୬
మ
௫ା௦௜௡ଶ௫ିଶ.ୡ୭ୱ
మ
௫ାଵ
. I =
׬

ௗ௫
ଶା௦௜௡௫
.

Bây giời thì các em làm tốt rồi chứ, bài này các em cần biến đổi 1 chúy để đưa về dạng toán của chúng ta.
Nhận xét: Dạng 10 là cách làm khá hay, nó có thể là 1 cách khá hữu dụng trong những dạng toán mà
các em sẽ gặp trong đề thi, các em nên nhớ cách làm các loại tích phân cơ bản này nhé.





 Chặng đường nào không có gian chuân, bước chân nào không có thử thách,đã từng thử và đã
từng thất bại, không sao cả ,hãy thử lại, lại thất bại, thất bại tốt hơn.

11.Dạng 11: Tìm nguyên hàm: I =
׬

࢙࢏࢔࢞.ࢉ࢕࢙࢞
ሺ
ࢇ
૛
.ܛܑܖ
૛
࢞ା࢈
૛
.܋ܗܛ
૛
࢞
ሻ
α
αα
α
dx.
Lời bình:
Với loại toán này các em có 1 nhận xét vô cùng lý thú là:
CLB Gia Sư Khoa Học: Biên Soạn : TRẦN MẬU TÚ –TMT-
WWW.Facebook.com/trituethanghoaniemtintoasang. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Hà nội, Ngày 15-6-2014.

[10]
VIÊC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC – KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI
ݏ݅݊ݔ. ܿ݋ݏݔ ൌ
ଵ

ଶሺ௔
మ
ି ௕
మ
ሻ
.
׬
݀ሺܽ
ଶ
.sin
ଶ
ݔ൅ ܾ
ଶ
.cos
ଶ
ݔሻ. Vậy áp dụng vào bài toán này, các em sẽ có:
I =
׬

௦௜௡௫.௖௢௦௫
ሺ
௔
మ
.ୱ୧୬
మ
௫ା௕
మ
.ୡ୭ୱ
మ
௫

ሻ
α
dx =
ଵ
ଶሺ௔
మ
ି ௕
మ
ሻ
.
׬

ௗሺ௔
మ
.ୱ୧୬
మ
௫ା௕
మ
.ୡ୭ୱ
మ
௫ሻ.
ሺ
௔
మ
.ୱ୧୬
మ
௫ା௕
మ
.ୡ୭ୱ
మ

௫
ሻ
α
=
ൌ
ቐ
ଵ
ଶ
ሺ
௔
మ
ି ௕
మ
ሻ
.݈݊ሺܽ
ଶ
.sin
ଶ
ݔ൅ ܾ
ଶ
.cos
ଶ
ݔሻ. ݄݇݅
α
ൌ1
ଵ
ଶ
ሺ
௔
మ

ି ௕
మ
ሻ
ሺଵି
α
ሻ
.
ሺ
ܽ
ଶ
.sin
ଶ
ݔ൅ ܾ
ଶ
.cos
ଶ
ݔ
ሻ
ଵି
α
൅ C .khi
α
് 1

;
 Như vậy các em vừa đi qua 11 dạng tích phân lượng giác cơ bản rồi nhĩ:
Trên đó là các dạng toán rts đơn giản, nhưng có 1 số em vẫn chưa biết tới cách giải quyết nên anh viết chuyên
đề này nhằm giúp các em phần nào trong việc ôn thi của mình. Trong các đề thi họ sẽ không ra như thế,
nhưng các em qua 1 số phép phân tích , biến đổi thì có thể ra được các dạng như thế, và nếu ra được thì việc
áp dụng sẽ vô cùng dễ dàng, nếu các em nắm được 11 dạng cơ bản này.

 VÀ ĐỂ CHO CÁC EM ÔN THI TỐT HƠN, ANH XIN ĐƯỢC TÓM TẮT CÁC CÁCH GIẢI
QUYẾT KHI GẶP BÀI TOÁN TÍCH PHÂN:
1. Các em vận dụng tích phân từng phần
2. Dùng các phép đổi biến, phân tích, biến đổi lượng giác
3. Các em có thể dùng thêm các nguyên hàm phụ, phép biến đổi hạ bậc.
4. Dùng phương pháp đặt ẩn phụ, kết hợp các tính chất của lượng giác.
5. Các em dùng đến tcasch tính của các dạng tích phân đặc biệt
6. vận dụng 11 dạng toán lượng giác cơ bản mà anh đã nêu trong bài viết này.
7. Các em dùng phương pháp biến đổi hỗn hợp để ra cách làm,ra các dạng toán quen thuộc.

 Người duy nhất không mắc sai lầm là không làm gì cả- Đừng sợ sai lầm, miễn là bạn đừng mắc
sai lầm lần hai.

BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2014.
♣ Giai các phương trình lượng giác sau:
Đây là những bài toán anh đã sưu tầm trong các đề thi thử ĐH, các em hãy cố gắng làm hết nhé, xem
như đây cũng là cơ hội để các em làm đề, nhưng chỉ làm tích phân lượng giác, các bài này là các câu
trong đề thi thử các em nhé, cố gắng nhai hết nhé. Chúc các em ngon miệng.

1) ܬ ൌ
׬
ୡ୭ୱ
మ
ሺ௫ା
೵
ఴ
ሻ
௦௜௡ଶ௫ା௖௢௦௖௢௦ଶ௫ା√ଶ

೵

ర
଴
dx………………… …………………………….Đ/S : J = O.
CLB Gia Sư Khoa Học: Biên Soạn : TRẦN MẬU TÚ –TMT-
WWW.Facebook.com/trituethanghoaniemtintoasang. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Hà nội, Ngày 15-6-2014.

[11]
VIÊC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC – KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI
2) J =
׬
௫
మ
ାୱ୧୬
మ
௫ ି௦௜௡௫
௫ା௖௢௦௫
dx
೵
మ
଴
……………………………………………Đ/S:
௽
మ
଼
െ 1 ൅ ݈݊
௽
ଶ

3) J =

׬
௫
మ
.௦௜௡௫ାଵ
ଵାଶ.ୡ୭ୱ
మ
௫
dx
೵
ర
ି
೵
ర
………………………………………… Đ/S: ߎ
ଶ
.
√
ଷ
ଽ

4)
׬

௫
మ
ାୱ୧୬
మ
௫ିଷ.ୡ୭ୱ
మ
௫ିଶ.௦௜௡௫

௫ାଶ.௖௢௦௫

೵
మ
଴
݀ݔ …………………………………………………Đ/S:
௽
మ
଼
െ 2 ൅ ݈݊
௽
ସ

5)
׬
௦௜௡௫
√ଵାସ.୲ୟ୬
మ
௫
dx
೵
ర
଴
……………………. Đ/s: Tự làm coi các em. hì
6)
׬
ୡ୭ୱ
మ
௫
ୱ୧୬

య
௫.ୱ୧୬ ሺ௫ା
೵
ర
ሻ

೵
ర
–
೵
ల
dx …………………… Đ/s: Tự làm coi các em. hì
7)
׬
௖௢௦௫.୪୬ ሺ ௦௜௡௫ሻ
ୱ୧୬
మ
௫
೵
మ
೵
ల
dx …………………………… Đ/s: Tự làm coi các em. hì
8) Tính nguyên hàm của: J =
׬


sin
3
.cos

5

dx…………………………………………… Đ/s: Làm nhé.
9)
׬
ା
√
3ା2


4
0
 …………………….Đ/ S:

6

10) Tính: J =
׬
2
ඥ

2
.sin
2
ା
2
.cos
2



4
0
dx Đ/s: Dài lắm, tự làm zậy.
11) GSR: F(x) liên tục trên
ሾ
,1
ሿ
,  ׷
׬
ሺሻ

2
0
=
׬
ሺሻ

2
0
. Ap Dụng.
I =
׬
4.
ሺ
ା
ሻ
3
dx


2
0
I =
׬
sin
3

ା
dx

2
0
HD: Ap dụng bài toán
trên
׬
ሺሻ

2
0
=
׬
ሺሻ

2
0
. Sau đó cộng 2 tích phân này lại, và thay vì tính 1 tích
phân I, thì giờ các em tính tích phân tổng I + I =2I.
12)
׬
3.ା4.

3.sin
2
ା4.cos
2

dx

2
0
………………………………. Đ/S:

√
3
6
൅ ݊3
13)
׬
2
ି
√
3

5
3
3
2
dx ………………………………. Đ/s :
1
8
3 െ

√
3ି1
2

14) Các em nên nhớ thêm mấy tính chất,các dạng tích phân có hàm đặc biệt để giải quyết bài toán
nhanh hơn nhé.
 Vinh quang nằm trong nổ lực, không phải kết quả(mà không đúng với các em hiện giờ), nổ lực
hết mình là thắng lợi hoàn toàn.

15) I =
∫
+
−
4
0
2
2sin1
sin21
π
dx
x
x
16) I =
∫
++
+−
2
0
5cos3sin4
1sin3cos4

π
dx
xx
xx

CLB Gia Sư Khoa Học: Biên Soạn : TRẦN MẬU TÚ –TMT-
WWW.Facebook.com/trituethanghoaniemtintoasang. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Hà nội, Ngày 15-6-2014.

[12]
VIÊC HỌC NHƯ ĐI THUYỀN NGƯỢC NƯỚC – KHÔNG TIẾN ẮT SẼ LÙI
17) I =
2
0
sin 2 cos
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫
18) I =
( )
∫
π
−
2
0
33

dxxsinxcos

19) I =
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
dx
x
π
+
+
∫
20) I =
∫
π
+
4
0
22
2
dx
xcosxsin
xcos

21) I =
∫







π
3
2
0
3
dxxsin
21) I =
∫
π
0
dxxsinxcos

23) I =
∫
π
+
2
0
20032003
2003
xcosxsin
xdxcos
24) I =
∫
π
+

2
0
20032003
2003
xcosxsin
xdxsin

25) I =
∫
−
+
+
4
4
66
16
cossin
π
π
dx
xx
x
26) I =
∫
−
2
0
5
6
3

cossincos1
π
xdxxx

27) I =
∫
π






+
4
0
66
4
dx
xcosxsin
xsin
28) I=
∫
π
+
4
0
22
dx
xcosxsin

xcosxsin


 Từng chút một, từng chút một là bí quyết của thành công
Đường tuy ngắn,không đi không đến- việc tuy nhỏ, không làm không nên?
…………………………………………………………………………HẾT…………………………………
………………………………………………




CLB Gia Sư Khoa Học: Biên Soạn : TRẦN MẬU TÚ –TMT-
WWW.Facebook.com/trituethanghoaniemtintoasang. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Hà nội, Ngày 15-6-2014.

[13]
VIÊC H
Ọ
C NH
Ư

Đ
I THUY
Ề
N NG
ƯỢ
C N
ƯỚ
C – KHÔNG TI
Ế

N
Ắ
T S
Ẽ
LÙI

CLB Gia Sư Khoa Học: Biên Soạn : TRẦN MẬU TÚ –TMT-
WWW.Facebook.com/trituethanghoaniemtintoasang. BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN
Hà nội, Ngày 15-6-2014.

[14]
VIÊC H
Ọ
C NH
Ư

Đ
I THUY
Ề
N NG
ƯỢ
C N
ƯỚ
C – KHÔNG TI
Ế
N
Ắ
T S
Ẽ
LÙI