Dc OPF phiên bản dịch

Translated from English to Vietnamese - www.onlinedoctranslator.com

Cơng thức dịng điện tối ưu DC
và giải pháp sử dụng QuadProgJ∗
Tôn Junjie†và Leigh Tesfatsion‡
Tài liệu kinh tế ISU số 06014
Sửa đổi: ngày 1 tháng 3 năm 2010

trừu tượng

Các bài tốn về Dịng cơng suất tối ưu AC phi tuyến tính (OPF) thường được tính gần đúng
bằng các bài tốn DC OPF được tuyến tính hóa để có được các giải pháp cơng suất thực cho thị
trường điện bán buôn được cơ cấu lại. Trước tiên, chúng tơi trình bày bài tốn DC OPF tiêu chuẩn,
bài tốn này có dạng số mong muốn của bài toán quy hoạch bậc hai lồi (SCQP) nghiêm ngặt khi
các góc điện áp bị loại bỏ bằng cách thay thế. Tiếp theo, chúng tôi tăng cường vấn đề DC OPF tiêu
chuẩn này theo cách có ý nghĩa về mặt vật lý, vẫn giữ lại dạng SCQP, sao cho các giá trị nghiệm
cho góc điện áp và giá biên cục bộ có được trực tiếp cùng với việc bơm cơng suất thực và dịng
nhánh. Sau đó, chúng tơi chỉ ra cách giải quyết vấn đề DC OPF tăng cường này bằng cách sử
dụngQuadProgJ, một bộ giải SCQP Java mã nguồn mở mới được các tác giả phát triển để triển
khai thuật toán SCQP tập hoạt động kép nổi tiếng của Goldfarb và Idnani (1983). Để chứng minh
tính chính xác của QuadProgJ, các kết quả so sánh được báo cáo cho một bộ trường hợp thử
nghiệm QP bằng số nổi tiếng với tối đa 1500 biến quyết định cùng với các ràng buộc. Kết quả
QuadProgJ chi tiết cũng được báo cáo cho các trường hợp thử nghiệm DC OPF 3 nút và 5 nút
được lấy từ các văn bản về hệ thống điện và sổ tay đào tạo ISO-NE/PJM.

Từ khóa:Dịng điện tối ưu AC, xấp xỉ DC OPF, Lập trình bậc hai lồi nghiêm ngặt,
Phương pháp tập hoạt động kép; Tăng cường Lagrange, triển khai Java, QuadProgJ,
Gói thị trường AMES
Phân loại JEL:C61, C63, C88
∗Cơng trình này đã được hỗ trợ một phần bởi Quỹ khoa học quốc gia dưới sự tài trợ của NSF-0527460. Các tác giả
rất biết ơn Deddy Koesrindartoto vì sự cộng tác tận tình trong các giai đoạn trước của dự án này. Các tác giả cũng

cảm ơn Donald Goldfarb, William Hogan, Daniel Kirschen, Chen-Ching Liu, Jim McCalley, Michael JD Powell, Jim Price,
Harold Salazar, Johnny Wong và Tong Wu vì những cuộc trị chuyện hữu ích về các chủ đề liên quan đến nghiên cứu
này.

†Bắt đầu từ ngày 9 tháng 7 năm 2007, Junjie Sun sẽ đảm nhận vị trí Chun gia kinh tế tài chính tại Văn
phịng Kiểm soát tiền tệ, Kho bạc Hoa Kỳ, Washington DC

‡Tác giả tương ứng: Leigh Tesfatsion ( ) là Giáo sư Kinh tế và Toán học tại Đại học
Bang Iowa, Ames, IA 50011-1070.

1


1. Giới thiệu
Bài tốn Dịng cơng suất tối ưu AC (OPF) tiêu chuẩn liên quan đến việc giảm thiểu tổng chi phí phát
điện thay đổi theo cân bằng phi tuyến, dòng nhánh và các hạn chế sản xuất đối với công suất thực
và công suất phản kháng; xem Wood và Wollenberg (1996, Chương 13). Trong thực tế, các bài toán
AC OPF thường được tính gần đúng bằng một bài tốn “DC OPF” dễ xử lý hơn, tập trung hoàn toàn
vào các ràng buộc cơng suất thực ở dạng tuyến tính hóa.

Đầu tiên chúng tơi trình bày bài tốn DC OPF tiêu chuẩn ở dạng đơn vị. Bài tốn chuẩn này
có thể được biểu diễn dưới dạnglập trình bậc hai lồi chặt chẽ (SCQP)bài tốn, nghĩa là tối thiểu
hóa dạng bậc hai xác định dương tuân theo các ràng buộc tuyến tính. Một bài tốn SCQP có thể
được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:
Giảm thiểu

f(x) =
liên quan đến

x=

1
xTgx+MộtTx
2

(1)

(x1,x2, . . . ,xM)T

(2)

CTeqx=beq

(3)

CT

(4)

tùy thuộc vào

chỉ số thông minh

x≥bchỉ số thông minh

Ở đâuGlà mộtM×Mđối xứng1ma trận xác định dương.
Như sẽ được làm rõ dưới đây, lời giải của bài toán DC OPF tiêu chuẩn này là bài toán SCQP trực
tiếp cung cấp các giá trị lời giải cho việc bơm công suất thực. Tuy nhiên, các giá trị giải pháp cho giá
biên vị trí (LMP), góc điện áp và dịng điện nhánh công suất thực phải được phục hồi một cách gián
tiếp bằng các thao tác bổ sung đối với các giá trị giải pháp này.

Tiếp theo, chúng tơi trình bày cách tăng cường vấn đề DC OPF tiêu chuẩn này theo cách có ý
nghĩa vật lý, vẫn giữ nguyên dạng SCQP, sao cho các giá trị lời giải cho LMP, góc điện áp và chênh
lệch góc điện áp được phục hồi trực tiếp cùng với các giá trị lời giải cho việc bơm cơng suất thực và
dịng chảy nhánh. Sau đó chúng tơi giải thích cẩn thận cách giải quyết vấn đề SCQP tăng cường này
bằng cách sử dụngQuadProgJ, một bộ giải SCQP mới được các tác giả phát triển. QuadProgJ triển
khai thuật toán SCQP tập hoạt động kép nổi tiếng của Goldfarb và Idnani (1983) và dường như là bộ
giải SCQP nguồn mở đầu tiên được phát triển hoàn tồn bằng Java. Nó được thiết kế cho giải pháp
máy tính để bàn nhanh chóng và hiệu quả cho các vấn đề SCQP quy mô vừa và nhỏ nhằm mục đích
nghiên cứu và đào tạo.
Chính xác hơn, chúng tơi trình bày cách giải quyết vấn đề DC OPF tăng cường ở dạng SCQP bằng
cách sử dụng QuadProgJ kết hợp tùy chọn với lớp vỏ Java bên ngoài (DCOPFJ). Lớp vỏ ngoài này tự
động chuyển đổi dữ liệu đầu vào từ các đơn vị SI tiêu chuẩn thành từng đơn vị (pu), đặt dữ liệu pu
này thành dạng ma trận mà QuadProgJ yêu cầu, sau đó chuyển đổi đầu ra pu
1Ở đây giả sử tính đối xứng khơng mất tính tổng qt. TừxTgx=xTGTx, ma trậnGtrong (1) ln có thể
thay thế bằng ma trận đối xứngḠ= [G+GT]/2.

2


trở lại đơn vị SI. Để chứng minh tính chính xác của QuadProgJ, chúng tôi báo cáo các kết quả so sánh cho
một bộ trường hợp thử nghiệm QP bằng số nổi tiếng với tối đa 1500 biến quyết định cùng với các ràng
buộc. Khi thử nghiệm DCOPFJ kết hợp với QuadProgJ, chúng tơi cũng trình bày các kết quả bằng số chi
tiết cho các trường hợp thử nghiệm DC OPF ba nút và năm nút minh họa được lấy từ các văn bản về hệ
thống điện và sổ tay đào tạo ISO-NE/PJM.

Phần 2 trình bày cấu hình cơ bản của thị trường điện bán buôn được cơ cấu lại hoạt động
trên lưới truyền tải xoay chiều, sử dụng khung tính tốn được các tác giả phát triển trong các
nghiên cứu trước đây. Phần 3 cẩn thận rút ra bài toán DC OPF tiêu chuẩn ở dạng đơn vị cho thị
trường điện bán buôn này và thảo luận cách thức cơng thức tiêu chuẩn này có thể được tăng
cường một cách hữu ích để cho phép tạo ra trực tiếp các giá trị giải pháp cho LMP, góc điện áp,

chênh lệch góc điện áp, bơm cơng suất thực, và dịng chảy nhánh. Phần 4 rút ra rõ ràng và
trình bày một biểu diễn SCQP ma trận hoàn chỉnh cho bài toán DC OPF tăng cường này. Phần 5
minh họa cách biểu diễn này cho các trường hợp thử nghiệm DC OPF ba nút và năm nút.
Phần 6 sau đó giải thích cách giải quyết vấn đề DC OPF tăng cường ở dạng SCQP bằng cách sử
dụng QuadProgJ kết hợp tùy chọn với vỏ DCOPFJ. Phần 7 báo cáo các kết quả so sánh của trường
hợp thử nghiệm QP và Phần 8 trình bày các kết quả bằng số chi tiết cho các trường hợp thử nghiệm
DC OPF ba nút và năm nút. Nhận xét kết luận được đưa ra trong Phần 9. Các lưu ý kỹ thuật về việc
suy ra phương trình dịng điện xoay chiều từ Định luật Ohm và cách biểu diễn SCQP của bài toán DC
OPF tiêu chuẩn được cung cấp trong các phụ lục.

2 Cấu hình thị trường điện bán bn
Việc hình thành các bài tốn DC OPF cho thị trường điện bán buôn được cơ cấu lại địi hỏi
thơng tin cấu trúc chi tiết về lưới điện truyền tải cũng như thông tin cung cầu và giá thầu
cho những người tham gia thị trường. Phần này mơ tả ngắn gọn nhưng cẩn thận khung
tính tốn (“AMES”) được các tác giả phát triển trước đây cho nghiên cứu năng động về thị
trường bán buôn điện được tái cơ cấu. Phần 3 sau đây đặt ra bài tốn DC OPF tiêu chuẩn
dựa trên khn khổ thị trường điện bán buôn này.

2.1 Tổng quan về Khung AMES
Vào tháng 4 năm 2003, Ủy ban Điều tiết Năng lượng Liên bang Hoa Kỳ đã đề xuất mộtNền tảng thị
trường điện bán buôn (WPMP)được tất cả các thị trường điện bán buôn Hoa Kỳ áp dụng chung
(FERC, 2003). Trong một loạt các nghiên cứu trước đây2chúng tôi đã phát triển khung Java mơ hình
hóa thị trường điện bán bn được cơ cấu lại hoạt động trên lưới truyền tải AC phù hợp với các tính
năng cốt lõi của WPMP do ISO New England triển khai trong Thiết kế thị trường tiêu chuẩn (ISO-NE,
2003) và bởi ISO Trung Tây trong sáng kiến thị trường tháng 4 năm 2005 (MISO, 2007).

Khung này – được gọi làAME3–bao gồm Nhà điều hành hệ thống độc lập (ISO) và tập hợp
các nhà kinh doanh năng lượng số lượng lớn bao gồm các Thực thể phục vụ phụ tải (LSE)
2Xem

Koesrindartoto và Tesfatsion (2004), Koesrindartoto et al. (2005), Sun và Tesfatsion (2007).
là viết tắt củaMỘTdựa trên quý ôngMca ngợiEđộ điệnSystems.

3AMES

3


và Máy phát điện được phân phối trên các nút của lưới truyền tải.4Nói chung, nhiều Máy phát điện tại
nhiều nút có thể nằm dưới sự kiểm sốt của một công ty phát điện duy nhất (“GenCo”) và tương tự đối
với các LSE. Khía cạnh kiểm sốt này cực kỳ quan trọng cần được nhận biết trong nghiên cứu giao dịch
chiến lược, nhưng nó khơng có vai trị gì trong nghiên cứu hiện tại.

AMES ISO đảm nhận việc vận hành lưới truyền tải hàng ngày trong một hệ thống hai khu định
cư bằng cách sử dụngĐịnh giá cận biên theo địa phương.5Chính xác hơn, vào đầu mỗi ngày hoạt
độngDAMES ISO xác định các cam kết về năng lượng hàng giờ vàGiá cận biên địa phương (LMP)6cho
thị trường ngày tới trong ngàyD+1 dựa trên các đề nghị cung cấp Máy phát điện và giá thầu nhu cầu
LSE (hợp đồng tài chính kỳ hạn). Bất kỳ sự khác biệt nào phát sinh trong ngàyD+1 giữa điều kiện thời
gian thực và hợp đồng được thanh toán và thanh toán trong ngàyDcho thị trường ngày tớiD+1 được
giải quyết bởi AMES ISO trên thị trường thời gian thực choD+1 tại LMP thời gian thực. Tắc nghẽn
lưới truyền tải được quản lý bằng cách đưa các thành phần tắc nghẽn vào LMP.
Như được thảo luận cẩn thận hơn trong Phần 2.3 và 2.4 bên dưới, nghiên cứu hiện tại đưa ra giả
định thông thường dựa trên thực nghiệm rằng giá thầu nhu cầu hàng ngày của AMES LSE thể hiện
độ nhạy cảm về giá không đáng kể và do đó làm giảm cấu hình phụ tải hàng ngày. Ngoài ra, để đơn
giản về mặt ký hiệu, người ta giả định rằng Máy phát điện AMES gửi các đề nghị cung cấp bao gồm
các hàm chi phí biên thực sự và giới hạn sản xuất thực sự của họ (tức là họ không đưa ra các đề nghị
chiến lược). Trong trường hợp này, vấn đề tối ưu hóa mà ISO phải đối mặt trong mỗi giờ của thị
trường ngày tới sẽ giảm xuống thành vấn đề AC OPF tiêu chuẩn yêu cầu giảm thiểu tổng chi phí
phát điện biến đổi (thực) chịu các ràng buộc cân bằng, hạn chế dòng nhánh, sản xuất (thực) các
ràng buộc và tải nhất định. Như thường được thực hiện trong thực tế, AMES ISO tính gần đúng bài

tốn AC OPF phi tuyến này bằng bài toán DC OPF với các ràng buộc được tuyến tính hóa. AMES ISO
gọi QuadProgJ thơng qua trình bao DCOPFJ để giải quyết vấn đề DC OPF này ở dạng đơn vị.

Phần còn lại của phần này giải thích cấu hình của lưới truyền tải AMES và các bên
tham gia thị trường.
4MỘTNgười vận hành hệ thống độc lập (ISO)là tổ chức chịu trách nhiệm chính trong việc duy trì an ninh hệ
thống điện và thường có cả trách nhiệm vận hành hệ thống. ISO “độc lập” ở mức độ khơng có xung đột lợi ích
trong việc thực hiện các trách nhiệm này, chẳng hạn như cổ phần sở hữu trong các cơ sở phát điện hoặc truyền
tải trong hệ thống điện. MỘTThực thể phục vụ tải (LSE)là một cơng ty điện lực, tiện ích truyền tải hoặc cơ quan
tiếp thị điện lực Liên bang có nghĩa vụ theo luật Liên bang, Tiểu bang hoặc địa phương hoặc theo hợp đồng dài
hạn để cung cấp năng lượng điện cho người tiêu dùng sử dụng cuối cùng (dân cư hoặc thương mại) hoặc cho
người khác LSE với người tiêu dùng cuối cùng. LSE tổng hợp nhu cầu của người tiêu dùng cuối cùng thành các
“khối tải” để mua số lượng lớn ở cấp độ bán buôn. MỘTMáy phát điện là đơn vị sản xuất và kinh doanh điện
năng số lượng lớn ở cấp độ bán buôn. MỘTnútlà một điểm trên lưới truyền tải nơi cấp hoặc rút điện.
5Định giá cận biên theo địa phươnglà việc định giá năng lượng điện theo vị trí rút nó ra hoặc đưa vào
lưới truyền tải.

6MỘTGiá cận biên địa phương (LMP)tại bất kỳ nút cụ thể nào của lưới điện truyền tải là chi phí thấp nhất để đáp
ứng nhu cầu cho một đơn vị điện năng (MW) bổ sung tại nút đó.

4


2.2 Cấu hình lưới truyền tải AMES
Lưới truyền tải AMES là lưới điện xoay chiều (AC) được mơ hình hóa dưới dạng mạng ba
pha cân bằng vớiN≥1 chi nhánh vàK≥2 nút. Điện kháng trên các nhánh được coi là tổng
điện kháng (chứ không phải trên mỗi dặm), nghĩa là chiều dài nhánh đã được tính đến. Tất
cả sự dịch chuyển góc pha của máy biến áp được giả định là bằng 0, tất cả các tỷ số nấc của
máy biến áp được giả định là 1, tất cả các điện dung sạc đường dây được giả định là 0 và
nhiệt độ được giả định là không đổi theo thời gian.

Lưới truyền tải AMES được giả định làđã kết nốitheo nghĩa là nó khơng có thành phần
biệt lập; mỗi cặp nútkVàtơiđược kết nối bằng một đường nhánh được liên kết bao gồm
một hoặc nhiều nhánh. Nếu hai nút kết nối trực tiếp với nhau thì được coi là thơng qua
nhiều nhất một nhánh, tức là các nhóm nhánh khơng được xem xét rõ ràng. Tuy nhiên,
khả năng kết nối hồn chỉnhkhơnggiả sử, nghĩa là các cặp nút làkhôngnhất thiết phải kết
nối trực tiếp với nhau thông qua một nhánh duy nhất.
Để chuẩn hóa trên mỗi đơn vị trong triển khai DC OPF, thông thường chỉ định cài
đặt giá trị cơ bản cho công suất biểu kiến (vôn-ampe) và điện áp.7Đối với lưới truyền
tải AMES, công suất biểu kiến cơ sở, ký hiệu làSồ, được giả sử được đo bằng
megavoltamperes ba pha (MVA) và điện áp cơ sở, ký hiệu làV.ồ, được giả định được đo
bằng kilovolt đường dây (kV).
Người ta cũng cho rằngLuật hiện tại của Kirchoff (KCL)quản lý dòng điện trong mạng điện
dành cho lưới truyền tải AMES trong mỗi giờ hoạt động. Như được trình bày chi tiết trong
Kirschen và Strbac (2004, Phần 6.2.2.1), KCL ngụ ý rằng công suất tác dụng và công suất phản
kháng phải cân bằng ở mỗi nút. Do đó, cơng suất thực cũng phải cân bằng trên toàn bộ lưới
điện, theo nghĩa là tổng công suất thực bị tiêu thụ cộng với tổn thất truyền tải tổng hợp phải
bằng tổng công suất thực được đưa vào.
Trong các thị trường điện bán buôn được cơ cấu lại theo thiết kế thị trường WPMP do
FERC đề xuất (FERC, 2003), lưới điện truyền tải được phủ một mạng lưới thương mại bao
gồm các “địa điểm định giá” để mua và bán điện. MỘTvị trí định giá là địa điểm mà tại đó
các giao dịch thị trường được giải quyết bằng cách sử dụng LMP có sẵn cơng khai. Để đơn
giản, giả định rằng tập hợp các vị trí định giá cho AMES trùng với tập hợp các nút lưới
truyền tải.

2.3 Cấu hình của AMES LSE
Các LSE AMES mua điện số lượng lớn trên thị trường điện bán buôn AMES để phục vụ nhu cầu
(phụ tải) của khách hàng trong thị trường bán lẻ hạ nguồn. Người dùng chỉ định sốJcủa các LSE
cũng như vị trí của các LSE này tại các nút khác nhau của lưới truyền tải. LSE không tham gia
vào các hoạt động sản xuất, kinh doanh trên thị trường bán bn điện. Do đó, các LSE chỉ mua
điện từ Máy phát điện chứ không phải từ nhau.

Vào đầu mỗi ngày hoạt độngD, mỗi AMES LSEjnộp mộthồ sơ tải hàng ngày vào thị trường
ngày tới trong ngàyD+1. Thông tin phụ tải hàng ngày này cho biết nhu cầu điện năng thực tếPLj
(H) phải được LSE phục vụjtrong thị trường bán lẻ hạ nguồn của mình cho mỗi 24
7Để thảo luận chi tiết và cẩn thận về việc xác định giá trị cơ bản và tính toán theo đơn vị cho các ứng dụng hệ
thống điện, hãy xem Anderson (1995, Chương 1) và Gönen (1988, Chương 2).

5


giờ liên tiếpH. Trong mơ hình AMES hiện tại, giả định tiêu chuẩn được đưa ra là những nhu cầu này
khơng nhạy cảm về giá. Một cách giải thích có thể có cho giả định khơng nhạy cảm về giá này là các
quy định bán lẻ yêu cầu các AMES LSE phải phục vụ hồ sơ tải của họ như là “bản địa”số 8nghĩa vụ phụ
tải và lợi nhuận (doanh thu trừ chi phí) mà LSE nhận được để thực hiện các nghĩa vụ phụ tải này
được quy định là khoản tăng thêm đơn giản bằng đô la so với chi phí và khơng phụ thuộc vào mức
chi phí. Trong những điều kiện này, các LSE khơng có động cơ để gửi các hồ sơ dự thầu có nhu cầu
nhạy cảm về giá vào thị trường ngày tới.

2.4 Cấu hình của máy tạo AMES
Máy phát điện Ames là đơn vị phát điện. Người dùng chỉ định sốTÔI của các Máy phát điện cũng
như vị trí của các Máy phát điện này tại các nút khác nhau của lưới điện truyền tải. Các máy phát
điện chỉ bán điện cho các LSE chứ khơng bán cho nhau.
Mỗi Trình tạo AMES được người dùng định cấu hình với các thuộc tính cơng nghệ, tài ngun và
học tập. Chỉ các thuộc tính cơng nghệ có liên quan đến nghiên cứu hiện tại. Về vấn đề thứ hai, người
ta giả định rằng mỗi Máy phát điện có chi phí sản xuất thay đổi và cố định. Tuy nhiên, Máy phát điện
khơng phải chịu chi phí không tải, khởi động hoặc tắt máy và không gặp phải các hạn chế về tăng
tốc.9
Chính xác hơn, các thuộc tính cơng nghệ được giả định cho mỗi Máy phát điệnTơicó dạng sau.
Máy phát điệnTơicó cơng suất tối thiểu và tối đa để sản xuất điện năng thực tế hàng giờ
mức độPGi(tính bằng MW), ký hiệu làPLGiVàPbạn Gi, tương ứng.10Nghĩa là, đối với mỗiTơi,

PGiL ≤PGi ≤Pbạn

Gi

(5)

Ngồi ra, Máy phát điệnTơicó mộthàm tổng chi phíđưa ra tổng chi phí sản xuất mỗi giờ
cho mỗi mức sản xuất hàng giờP. Hàm tổng chi phí này có dạng
TCTơi(P) =MộtTơi·P+bTơi·P2+Chi phíTơi

(6)

Ở đâuMộtTơi($/MWh),bTơi($/MW2h) và FChi phíTơi($/h) là các hằng số ngoại sinh. Lưu ý rằng TCTôi(P)
được đo bằng đô la mỗi giờ ($/h). Máy phát điệnTơi'Shàm tổng chi phí biến đổi Và(tính theo tỷ lệ) chi
phí cố địnhcho bất kỳ mức sản xuất hàng giờ khả thi nàoPsau đó được cho bởi

TVCTơi(P) = TCTơi(P)−TCTơi(0) =MộtTơi·P+bTơi·P2
số 8Khách

(7)

hàng tải gốc đối với LSE là những khách hàng có nhu cầu điện năng mà LSE có nghĩa vụ phải đáp ứng theo quy định,

nhượng quyền thương mại, yêu cầu quy định hoặc hợp đồng.
9Như là tiêu chuẩn trong kinh tế,chi phí biến đổilà những chi phí thay đổi theo mức độ sản xuất, vàfichi phí cố định
là các chi phí như nợ và nghĩa vụ vốn liên quan đến đầu tư nhà máy không phụ thuộc vào mức độ sản xuất và phát
sinh ngay cả khi ngừng sản xuất. Theo chi tiết của Kirschen và Strbac (2004, Phần 4.3), khái niệm vềchi phí khơng tải
trong kỹ thuật điện đề cập đếngần như cố địnhchi phí mà Máy phát điện sẽ phải gánh chịu nếu chúng có thể tiếp tục
chạy ở mức đầu ra bằng 0 nhưng chi phí đó sẽ biến mất sau khi xảy ra tình trạng ngừng hoạt động.Chi phí khởi động
là những chi phí phát sinh cụ thể khi Máy phát điện khởi động vàchi phí tắt máylà những chi phí phát sinh cụ thể khi

Máy phát điện ngừng hoạt động. Cuối cùng,hạn chế tăng tốcđề cập đến các hạn chế vật lý về tốc độ mà Máy phát
điện có thể tăng hoặc giảm đầu ra của chúng.
10Trong mơ hình AMES hiện tại, giới hạn sản xuất thấp hơnPL Gicho mỗi máy phát điệnTôiđược hiểu là một
doanh nghiệp “phải chạy” mức sản xuất điện tối thiểu. Nghĩa là, nếuPL
Gilà dương thì tắt máy phát điện
Tơikhơng phải là một tùy chọn cho AMES ISO. Do đó, đối với hầu hết các ứng dụng AMES, các giới hạn sản xuất thấp hơn này

phải được đặt thành 0.

6


Và

Chi phíTơi=TCTơi(0)

(số 8)

tương ứng. cuối cùnghàm chi phí cận biêncho máy phát điệnTơicó hình thức

MCTơi(P) =MộtTơi+2·bTơi·P

(9)

Vào đầu mỗi ngày hoạt độngD, mỗi máy phát điệnTôinộp mộtcung cấp cung cấpvào thị trường
ngày tới để sử dụng trong mỗi giờHtrong ngàyD+1. Ưu đãi cung cấp này bao gồm hàm chi phí cận
biên được báo cáo được xác định trong khoảng thời gian sản xuất khả thi được báo cáo. Nói chung,
lời đề nghị cung cấp này có thể mang tính chiến lược theo nghĩa là hàm chi phí cận biên được báo
cáo lệch khỏi Máy phát điệnTơihàm chi phí cận biên thực sự củaMCTôi(P) và báo cáo
khoảng thời gian sản xuất khả thi khác với Máy phát điệnTôikhoảng thời gian sản xuất khả thi thực sự của [PL

PGibạn
]. Tuy nhiên, vì mục đích của bài viết này, nó có thể được giả định mà khơng mất tính tổng qt

Gi,

rằng mỗi máy phát điệnTơibáo cáo hàm chi phí cận biên thực sự và khoảng thời gian sản xuất khả thi thực sự
của nó.11

3 Xây dựng bài toán DC OPF
Bài toán DC OPF là một bài toán gần đúng cho bài toán AC OPF cơ bản dưới một số hạn
chế đơn giản hóa liên quan đến cường độ điện áp, góc điện áp, điện nạp và công suất phản
kháng. Để giảm bớt nguy cơ mất ổn định về số, các biến xuất hiện trong bài toán DC OPF
thường được biểu diễn dưới dạng chuẩn hóatrên mỗi đơn vị (pu)giá trị sao cho độ lớn của
các biến này gần bằng nhau hơn.12Trong Phần 3.1, chúng tôi phác thảo ngắn gọn nhưng
cẩn thận cách thức giải quyết vấn đề DC OPF tiêu chuẩn. được biểu thị bằng giá trị pubắt
nguồn từ một vấn đề AC OPF cơ bản được biểu thị bằng SI tiêu chuẩn (Hệ thống đơn vị
quốc tế).
Sử dụng kết quả của Phần 3.1, sau đó chúng tơi rút ra trong Phần 3.2 một bài toán DC
OPF tiêu chuẩn ở dạng cấu trúc pu đầy đủ cho thị trường bán buôn điện AMES nêu trong
Phần 2. Đặc biệt, chúng tôi chứng minh rằng bài tốn này có thể được biểu diễn dưới dạng
lồi chặt bài tốn lập trình bậc hai (SCQP) khi các góc điện áp được loại bỏ bằng cách thay
thế các ràng buộc của bài tốn. Một cơng thức SCQP rất được mong muốn từ quan điểm
của nghiệm số ổn định. Thật khơng may, sự thay thế góc điện áp này loại bỏ các ràng buộc
cân bằng nút và do đó khả năng tạo ra các giá trị giải pháp trực tiếp cho LMP, theo định
nghĩa là giá bóng cho các ràng buộc cân bằng nút.
11Do đó, nguồn cung của Máy phát điện có dạng đường cung tuyến tính dốc lên. Như được trình bày chi tiết trong Sun và
Tesfatsion (2007), cách trình bày về nguồn cung này tạo điều kiện thuận lợi rất nhiều cho việc mơ hình hóa q trình học của
Máy phát điện. Trong thị trường điện bán buôn ISO-NE và MISO thực tế, các nhà phát điện gửi đề nghị cung cấp của họ dưới
dạng hàm bước không giảm (MW/khối giá) được xác định theo khoảng thời gian sản xuất khả thi của họ. Tuy nhiên, với sự

cho phép của trình tạo, ISO sử dụng các điểm bước để xây dựng các xấp xỉ ưu đãi được làm mịn.

12Như sẽ được làm rõ trong các phần tiếp theo, QuadProgJ có thể trực tiếp chấp nhận các đầu vào biến DC OPF
được biểu thị dưới dạng pu để tất cả các tính tốn nội bộ được thực hiện dưới dạng pu. Ngồi ra, như được giải thích
trong Phần 6, QuadProgJ có thể được ghép nối với lớp vỏ DCOPFJ bên ngoài để tự động chuyển đổi các biến số thị
trường điện bán buôn từ SI tiêu chuẩn sang dạng đơn vị trước khi gọi QuadProgJ.

7


Do đó, trong Phần 3.3 và 3.4, chúng tơi phát triển một phiên bản thay thế của bài toán DC
OPF tiêu chuẩn này ở dạng pu bằng cách sử dụng phép tăng Lagrange có ý nghĩa vật lý. Bài
tốn DC OPF tăng cường này trực tiếp tạo ra các giá trị giải pháp cho LMP, góc điện áp và
chênh lệch góc điện áp cũng như việc bơm cơng suất thực và dòng nhánh trong khi vẫn giữ
được dạng SCQP mong muốn về mặt số lượng.

3.1 Từ AC OPF đến DC OPF trên mỗi đơn vị
Việc chuyển đổi một bài toán AC OPF thành một bài toán gần đúng DC OPF dưới dạng đơn vị đòi hỏi
sự chú ý cẩn thận đến các phép biến đổi trong cả ràng buộc bài toán và hàm mục tiêu bài toán. Ở
đây trước tiên chúng ta xem xét các chuyển đổi ràng buộc và sau đó thực hiện các chuyển đổi cần
thiết cho hàm mục tiêu.
Các ràng buộc chính trong bài tốn AC OPF được đơn giản hóa trong phép tính gần đúng DC
OPF là các biểu diễn cho dịng cơng suất tác dụng và công suất phản kháng. Cho phépkmbiểu thị
một nhánh kết nối các nútkVàtơivớik=tơi. Cho phépPkm(tính bằng MW) biểu thị dịng điện nhánh
công suất thực chokm, và đểQkm(trong MVAR) biểu thị dịng nhánh cơng suất phản kháng chokm.
Cho phépV.kVàV.tơibiểu thị cường độ điện áp (tính bằng kV) tại các nútkVàtơi, và đểδkVàδtơi

biểu thị các góc điện áp (tính bằng radian) tại các nútkVàtôi. Cuối cùng, hãygkmVàbkmbiểu
thị độ dẫn và độ nhạy (tính bằng mhos) cho nhánhkm.13
Với những quy ước ký hiệu này,PkmVàQkm(k=tơi) có thể được biểu diễn như sau:14

Pkm = V.k2gkm−V.kV.tơi[gkmcos(δk− δtôi) +bkmtội(δk− δtôi)]

(10)

Qkm = − V.k2bkm−V.kV.tôi[gkmtội(δk− δtôi)−bkmcos(δk− δtôi)]

(11)

Ba giả định cơ bản được sử dụng để rút ra phép tính gần đúng DC OPF từ bài toán
AC OPF cơ bản như sau (xem Kirschen và Strabac, 2004, trang 186, và McCalley, 2006):
[A1] Điện trởrkmcho mỗi chi nhánhkmkhông đáng kể so với phản ứngxkm
và do đó có thể được đặt thành 0.

[A2] Biên độ điện áp tại mỗi nút bằng điện áp cơ sởV.ồ.
[A3] Sự chênh lệch góc điện ápδk− δtơitrên bất kỳ chi nhánh nàokmđủ nhỏ trong
độ lớn sao cho cos(δk− δtôi)≈1 và tội lỗi(δk− δtôi)≈[δk− δtôi].
Với giả định [A1], suy ra rằnggkm=0 vàbkm= [−1/xkm], Ở đâuxkmbiểu thị điện kháng (tính
bằng ohm) cho nhánhkm. Như vậy,Pkm=V.kV.tơi[1/xkm] tội(δk− δtơi) VàQkm=
13Trở

√

khángcó dạng phức tạpz=r+−1x, Ở đâur(tính bằng ohm) biểu thị điện trở và√x(tính bằng ohm)
biểu thị phản ứng.Sự thừa nhận(nghịch đảo của trở kháng) sau đó có dạng phứcy=g+−1b, ở đâuđộ dẫn
điệnđược đưa ra bởig=r/[r2+x2] (bằng mhos) vàsự ăn uốngđược đưa ra bởib=−x/[r2+x2] (bằng mhos).
14Xem

Phụ lục A để biết cách rút ra chính xác các phương trình dịng cơng suất này từ Định luật Ohm.

số 8


V.k2[1/xkm]−VkV.tơi[1/xkm] vì(δk−δtơi). Thêm giả định [A2],Pkm=V.2
ồ[1/xkm] tội(δk−δtơi)
VàQkm=V.2 ồ[1/xkm]−V.2 ồ[1/xkm] vì(δk− δtơi). Cuối cùng, thêm giả định [A3],
Pkm=V.2

ồ·[1/xkm]·[δk−

δtơi]

và dịng nhánh cơng suất phản khángQkmtrong phương trình (11) giảm xuốngQkm=V.2

V.ồ2[1/xkm]·1 = 0.

(12)
ồ[1/xkm]−

Như được trình bày chi tiết trong Anderson (1995, Chương 1) và Gönen (1988, Chương 2), bất kỳ
đại lượng nào trong mạng điện đều có thể được chuyển đổi thành đại lượng pu không thứ nguyên
bằng cách chia giá trị số của nó cho giá trị cơ bản có cùng thứ ngun. Trong tính tốn hệ thống
điện, chỉ cần hai giá trị cơ bản; và chúng thường được coi là điện áp cơ sở và công suất biểu kiến cơ
sở (voltampere). Giả sử mạng ba pha cân bằng có điện áp cơ sởV.ồđược đo bằng kV giữa các đường
dây và công suất biểu kiến cơ sởSồđược đo bằng MVA ba pha,trở kháng cơ sởZồ(tính bằng ohms)
được chỉ định là

Zồ=V.2

ồ/Sồ

(13)

Được choZồ, cácphản ứng puxkmcho chi nhánhkmđược định nghĩa là

xkmpu =xkm/Zồ

(14)

Lưu ý rằngxkmpu là một đại lượng không thứ nguyên. Sử dụng giả định [A3],tính nhạy cảm của pu bkmcho
chi nhánhkmđược đưa ra bởi

bkmpu =−1/[xkmpu]

(15)

Ngồi ra,dịng điện nhánh pu thựcFkmcho chi nhánhkmđược đưa ra bởi

Fkm=Pkm/Sồ

(16)

Bây giờ chia mỗi vế của phương trình dịng công suất thực (12) cho công suất biểu kiến cơ
sởSồ. Ngoài ra, hãy đểBkmbiểu thị mức âm của độ nhạy pu trên nhánhkm. Tức là xác định

Bkm =−bkmpu = [1/xkmpu]

(17)

Sau đó, từ các phương trình (13) đến (17) mà phương trình dịng cơng suất thực (12) có thể được

biểu diễn dưới dạng pu tuyến tính đơn giản thường thấy trong sách giáo khoa về hệ thống điện sau
đây:

Fkm=Bkm[δk− δtôi]

(18)

Như sẽ được làm rõ dưới đây, một sự thay đổi bổ sung của các biến cần thiết để thể hiện bài toán DC
OPF theo thuật ngữ pu là chia đại lượng công suất thực ở mọi nơi cho công suất biểu kiến cơ sốSồ. Vì
vậy, ví dụ, sức mạnh thực sựPGiđược tiêm bởi mỗi máy phát điệnTôiđược thể hiện dưới dạng pu như

PGi=PGi/Sồ
9

(19)


và tải điện thực tếPLjbị thu hồi bởi mỗi LSEjđược thể hiện dưới dạng pu như

PLj=PLj/Sồ

(20)

Hàm mục tiêu của bài toán DC OPF phải được biểu diễn dưới dạng pu cũng như các ràng
buộc. Như vậy, hàm tổng chi phí và hàm chi phí biến đổi được xác định ở Mục 2.4 cho mỗi Máy
phát điệnTôiđược biểu diễn dưới dạng hàm của cơng suất thực puPGinhư sau:

TCTơi(PGi) =MỘTTơi·PGi+BTơi·P2

Gi+Chi

TVCTơi(PGi) =MỘTTơi·PGi+BTơi·P2

phíTơi

(21)

Gi

(22)

Ở đâuMỘTTơi($/tayBTơi($/h) là hệ số chi phí được điều chỉnh pu được xác định bởi
MỘTTơi=MộtTơiSồ

(23)

BTơi=bTơiS2ồ

(24)

Lưu ý rằng hàm chi phí được điều chỉnh pu TCTôi(PGi) và TVCTôi(PGi) vẫn được đo bằng đô
la mỗi giờ ($/h).
Cuối cùng, như thường lệ, một nút cần được chọn làm nút tham chiếu với góc điện áp
được chỉ định. Để cụ thể hóa, chúng tơi đưa ra giả định sau:
[A4] Nút 1 là nút tham chiếu có góc điện áp được chuẩn hóa thành 0.

3.2 DC OPF tiêu chuẩn ở dạng PU kết cấu
Tiểu mục này đặt ra bài toán DC OPF tiêu chuẩn cho thị trường điện bán buôn AMES ở dạng pu cấu
trúc đầy đủ, tận dụng những phát triển trong Phần 3.1. Sau đó người ta thấy rằng bài tốn tiêu
chuẩn này có thể được biểu diễn dưới dạng SCQP mong muốn bằng số nếu các góc điện áp được

loại bỏ bằng cách thay thế các ràng buộc của bài toán.
Để dễ dàng tham khảo, các biến ngoại sinh được chấp nhận và các biến nội sinh được sử dụng
trong công thức DC OPF tiêu chuẩn được tập hợp tương ứng trong Bảng 1 và 2. Những định nghĩa
đa dạng này sẽ được sử dụng trong suốt phần còn lại của nghiên cứu này.

Với các định nghĩa thay đổi trong Bảng 1 và 2, bài toán DC OPF tiêu chuẩn cho thị trường
điện bán buôn AMES được xây dựng theo thuật ngữ pu như sau:
Giảm thiểu

∑TƠI

2

[MỘTTơiPGi+BTơiPGi]

Tơi=1

liên quan đến

δk, k=1, ..., K

PGi, Tơi=1, ..., TƠI;
tùy thuộc vào:

Ràng buộc cân bằng công suất thực cho mỗi nút k=1, ...,K:

10

(25)

Bảng 1: Các biến ngoại sinh được chấp nhận của DC OPF trên mỗi

Hạn chế chấp nhận K >0

Biến đổi

đơn vị Mơ tả

K
N
TƠI
J
TƠIk
Jk
Sồ
V.ồ
V.k

Tổng số nút lưới truyền tải Tổng số
nhánh mạng riêng biệt Tổng số máy
phát điện
Tổng số LSE

PLj
km
BR

suất thực (pu) được rút bởi LSEj Các nút kết nối

Tập hợp các máy phát điện đặt tại nútk
Tập hợp các LSE đặt tại nútk
Công suất biểu kiến cơ sở (trong MVA ba pha)
Điện áp cơ sở (trong kV đường dây)

Biên độ điện áp (tính bằng kV) tại nútk Tải cơng

N >0
tơi >0

J >0
Thẻ(∪K k=1TÔIk) =TÔI
Thẻ(∪K k=1Jk) =J
S ồ≥ 1
V.ồ>0
V.k=V.ồ, k=1, . . . , KPLj
≥0, j=1, . . . , Jk=tôi

nhánhkVàtôi(nếu có) Tập hợp tất cả các nhánh

Máy phát điệnTơi Hệ số chi phí (pu đã điều chỉnh) cho Máy phát

BR=∅
xkm=xmk>0, km∈BR
Bkm=Bmk>0, km∈BR
Fbạn
km>0, km∈BR
δ1=0
PLGi≥0, Tơi=1, . . . , TƠI
Pbạn

Gi>0, Tơi=1, . . . , TƠI

MỘTTơi, BTơi

điệnTơi Chi phí cố định (tỷ lệ theo giờ) cho Máy phát điệnTôi MCTôi(

BTôi>0, Tôi=1, . . . , TƠI Chi

Chi phíTơi

P) =MỘTTơi+2BTơiP=Máy phát điệnTơichức năng MC của

phíTơi≥0, Tơi=1, . . . TƠI

xkm
Bkm
Fbạn
km
δ1
PLGi
Pbạn
Gi

riêng biệtkm,k < m Điện kháng (pu) cho nhánhkm
[1/xkm] cho chi nhánhkm
Giới hạn nhiệt (pu) đối với dịng điện thực bậtkm Góc điện áp nút
tham chiếu 1 (tính bằng radian) Giới hạn cơng suất thực thấp hơn
(pu) cho Máy phát điệnTôi Giới hạn công suất thực trên (pu) cho

MCTôi(P)

MCTôi(PGi
L )≥0, Tôi=1, . . . TÔI

Bảng 2: Các biến nội sinh DC OPF trên mỗi đơn vị
Biến đổi

Sự miêu tả

PGi
δk

Phun công suất thực (pu) bằng máy phát điệnTôi=1, . . . ,

Fkm

suất thực (pu) chảy trong nhánhkm∈BR Tổng công suất

PGenk

thực được đưa vào (pu) tại nútk=1, . . . , K Tổng công suất

Tảik
PNetTiêmk

thực rút ra (pu) tại nútk=1, . . . , K Tổng cơng suất thực thực

TƠI Góc điện áp (tính bằng radian) tại nútk=2, . . . , K Công

(pu) tại nútk=1, . . . , K

11


0 = Tảik−PGenk+PNetTiêmk

(26)

Ở đâu

∑

=

Tảik

j∈Jk

PGenk =

∑

Tơi∈TƠIk

PNetTiêmk

=

PLj

(27)

PGi

(28)

∑

Fkm

(29)

kmhoặcmk∈BR

Fkm =Bkm[δk− δtơi]

(30)

Giới hạn nhiệt cơng suất thực cho mỗi km nhánh∈BR:

|Fkm| ≤Fbạn

(31)

km

Hạn chế sản lượng điện thực tế cho mỗi Máy phát điện i=1, ..,TÔI:

PLGi ≤PGi ≤Pbạn

Gi

(32)

Cài đặt góc điện áp tại nút tham chiếu 1:

δ1 = 0

(33)

Như hiện tại, bài toán DC OPF tiêu chuẩn ở dạng pu này là một bài toán dươngbán xác định
bài toán quy hoạch bậc hai. Để thấy điều này, hãy nhớ lại dạng ma trận tổng quát của một bài
tốn quy hoạch bậc hai được mơ tả ở Phần 1. Hàm mục tiêu (25) được biểu diễn dưới dạng bậc
hai (1) vớix= (PG1, . . . , PGI, δ1, . . . , δK)Tđòi hỏi một ma trận đường chéoGvới các mục tích cực
trong lần đầu tiênTƠIcác phần tử đường chéo tương ứng với công suất tác dụng thực tế PGi
nhưng số 0 ở phần còn lạiKcác phần tử đường chéo tương ứng với các góc điện ápδk, ngụ ý
rằngGlà ma trận nửa xác định dương.
Như được trình bày trong Phụ lục B, có thể sử dụng các ràng buộc cân bằng nút (26)
cho k=2, . . . , Kcùng với ràng buộc chuẩn hóa (33) để biểu thị vectơ góc điện áp (δ2, . . . , δK)
là hàm affine tuyến tính của vectơ tiêm cơng suất thực (PG1, . . . , PGI). Sử dụng mối quan hệ
này ở mọi nơi để loại bỏ các góc điện áp sẽ dẫn đến một vấn đề SCQP mong muốn hơn về
mặt số lượng. Thật không may, việc loại bỏ góc điện áp này cũng ngăn cản việc xác định
trực tiếp các giá trị giải pháp cho LMP vì theo định nghĩa, LMP là giá bóng cho các ràng
buộc cân bằng nút.
Tiểu mục sau đây phát triển một phần mở rộng đơn giản có ý nghĩa vật lý của hàm mục
tiêu DC OPF tiêu chuẩn cho phép tạo trực tiếp các LMP tối ưu và giải pháp góc điện áp
trong khi vẫn giữ được dạng SCQP mong muốn về mặt số lượng.

12

3.3 Tăng cường vấn đề DC OPF tiêu chuẩn
Hãy xem xét phần tăng thêm sau đây của hàm mục tiêu DC OPF tiêu chuẩn (25) với
hàm phạt mềm trên tổng các chênh lệch góc điện áp bình phương:
[
]
∑TƠI
∑
[MỘTTơiPGi+Tơi
B2PGi] +π
[δk− δtơi]2
(34)
km∈BR

Tơi=1

Như được trình bày cẩn thận trong Phần 4 bên dưới, phần mở rộng này biến đổi vấn đề DC
OPF tiêu chuẩn thành vấn đề SCQP có thể được sử dụng để tạo trực tiếp các giá trị giải
pháp cho LMP và góc điện áp cũng như việc bơm cơng suất thực và dịng nhánh, một lợi
ích rõ ràng. Tuy nhiên, sự gia tăng này cũng có hai lợi ích tiềm năng bổ sung dựa trên
những cân nhắc về mặt vật lý và tốn học:

• Cân nhắc về mặt vật lý:Việc tăng cường cung cấp một cách để tiến hành các thử

nghiệm độ nhạy về độ chênh lệch góc điện áp có thể mang lại thơng tin cho việc
ước tính kích thước và kiểu sai số gần đúng AC-DC.

• Cân nhắc tốn học:Việc tăng cường có thể giúp cải thiện tính ổn định số và tính
hội tụ của bất kỳ phương pháp giải nào được áp dụng.

Mặt khác, việc mở rộng dường như cũng đi kèm với một chi phí tiềm ẩn. Cụ thể, nó có thể
gây ra biến dạng đáng kể trong các giá trị giải pháp DC OPF tiêu chuẩn không?
Tiểu mục này sẽ lần lượt xem xét từng vấn đề. Điểm mấu chốt, được hỗ trợ bởi bằng
chứng thực nghiệm, là sự biến dạng của lời giải dường như có thể kiểm sốt được trên
thực tế ở mức độ nhỏ tùy ý thông qua các thiết lập nhỏ thích hợp của trọng số hình phạt
mềm.π. Do đó, lợi ích của việc tăng cường dường như lớn hơn nhiều so với chi phí.
3.3.1 Lợi ích tiềm năng dựa trên những cân nhắc về mặt vật chất
Bài toán DC OPF tiêu chuẩn ở dạng pu nêu trong Phần 3.2 yêu cầu tối thiểu hóa tổng chi phí
biến đổi tn theo một tập hợp các ràng buộc tuyến tính hóa. Như được trình bày chi tiết trong
Phần 3.1, dạng pu này dựa trên bốn giả định đơn giản hóa [A1] đến [A4]. Cụ thể, dạng tuyến
tính của các ràng buộc dịng nhánh dựa trên giả định [A3] khẳng định rằng chênh lệch góc điện
áp giữa các nhánh vẫn nhỏ.
Do đó, sự chênh lệch góc điện áp nhỏ là cơ sở để hình thành phép tính gần đúng DC cho bài
tốn AC OPF cơ bản thực sự. Tuy nhiên, bài toán DC OPF tiêu chuẩn khơng hạn chế sự khác biệt
về góc điện áp ngồi các ràng buộc được áp đặt thơng qua các giới hạn dòng nhánh, một loại
ràng buộc khác biệt về mặt khái niệm được thúc đẩy theo các thuộc tính vật lý của đường dây
truyền tải. Nếu giả định về chênh lệch góc điện áp nhỏ bị vi phạm thì sai số gây ra do dựa vào
phép tính gần đúng DC có thể trở nên lớn đến mức khơng thể chấp nhận được.

Cịn nhiều việc phải làm về mức độ nhỏ đủ nhỏ đối với chênh lệch góc điện áp
nhằm đạt được xấp xỉ DC OPF thỏa đáng không chỉ đối với các giải pháp số lượng AC
OPF (bơm cơng suất thực và dịng nhánh) mà cịn cho các giải pháp giá AC OPF (

13


LMP tại mỗi nút). Chúng tơi chỉ có thể tìm thấy một nghiên cứu về vấn đề này (Overbye et al., 2004)
xem xét cả giải pháp số lượng và giá cả. Kết luận mà các tác giả đưa ra dựa trên hai trường hợp
nghiên cứu là lạc quan một cách thận trọng đối với các giải pháp về số lượng. Tuy nhiên, như các tác
giả lưu ý, LMP được xác định bởi các ràng buộc luồng nhánh liên kết, do đó những thay đổi nhỏ của

luồng nhánh gây ra những thay đổi trong các ràng buộc luồng nhánh liên kết có thể có tác động
riêng biệt và có khả năng lớn đến các giải pháp LMP. Ví dụ, trong nghiên cứu trường hợp thứ hai
của các tác giả, phép tính gần đúng DC đã bỏ lỡ gần 50% các ràng buộc ràng buộc đối với bài toán
AC. Mặc dù nhiều trong số đó là “suýt trượt”, nhưng ảnh hưởng của những lần suýt trượt này lên
các phép tính gần đúng LMP trong một số trường hợp là rất đáng kể.

Vì những lý do này, có vẻ cần thận trọng khi chú ý kỹ đến độ lớn của chênh lệch góc điện áp
khi thực hiện các phép tính gần đúng DC OPF cho các bài toán AC OPF. Các giải pháp DC thu
được với chênh lệch góc điện áp lớn có thể khác biệt đáng kể so với các giải pháp xoay chiều,
do đó đưa ra các tín hiệu sai lệch - đặc biệt là tín hiệu giá - đối với hoạt động của thị trường
điện bán buôn được cơ cấu lại.
Việc giới thiệu chức năng xử phạt mềm đối với chênh lệch góc điện áp cho phép tiến hành kiểm
tra độ nhạy để xác định độ nhạy của các giải pháp DC OPF đối với việc áp đặt điều kiện tiên quyết
này đối với phép tính gần đúng AC-DC. Lý tưởng nhất là các giải pháp DC OPF thu được với trọng số
phạt mềm đủ nhỏπnên tái tạo các giải pháp DC OPF thu được trong trường hợp không áp dụng bất
kỳ hình phạt nhẹ nào, làm cơ sở để so sánh. Điều này thực sự được thấy là đúng trong trường hợp
sốπkết quả độ nhạy được báo cáo trong Phần 8.4.

3.3.2 Lợi ích tiềm năng dựa trên những cân nhắc về mặt tốn học
Như đã biết, tính ổn định số và tính hội tụ của các bài tốn quy hoạch phi tuyến với mục
tiêu cực tiểu hóa (cực đại hóa) thường có thể được tăng cường bằng cách tăng độ lồi (độ
lõm) của các hàm mục tiêu của chúng thơng qua các phép tăng cường phù hợp.
Ví dụ, gói Fortran ZQPCVX do Powell (1983) phát triển cho các bài tốn tối thiểu hóa QP
lồi bao gồm một phép tăng nhân tạo đơn giản để tạo ra độ lồi nghiêm ngặt. Cụ thể, đường
chéo ma trận của dạng bậc hai bán xác định dương biểu thị phần phi tuyến của hàm mục
tiêu được tăng thêm các hằng số có giá trị dương để tạo ra tính xác định dương. Tổng quát
hơn, Shahidehpour et al. (2002, Phụ lục B.2) thảo luận về toàn bộ lớp tăng cường nhân tạo
phù hợp cho các bài tốn lập trình phi tuyến với các ràng buộc bất đẳng thức. Các tác giả
sử dụng các phiên bản của những bổ sung này ở trang 288-289 và những nơi khác trong
văn bản của họ để cải thiện tính lồi (do đó có tính hội tụ) của các loại vấn đề tối ưu hóa

khác nhau phát sinh cho hệ thống điện.
Mặc dù các phần mở rộng nhân tạo có thể hoạt động tốt để đảm bảo tính ổn định và hội tụ
nhưng chúng không cung cấp thông tin nhạy cảm có ý nghĩa cho vấn đề vật lý hiện tại. Thật
may mắn, như đã giải thích ở trên, một phép mở rộng có ý nghĩa vật lý đã có sẵn cho bài tốn
DC OPF tiêu chuẩn nhằm hồn thành việc lồi chặt của hàm mục tiêu với một số lợi ích phụ quan
trọng.

14


3.3.3 Chi phí tiềm ẩn do bóp méo giải pháp
Trong Phần 8.4, chúng tôi báo cáo các phát hiện từ các thử nghiệm mở rộng được thực hiện với các vấn
đề DC OPF 3 nút và 5 nút để kiểm tra mức độ mà việc tăng cường chức năng phạt mềm ảnh hưởng đến
các giá trị giải pháp DC OPF tiêu chuẩn. Tóm lại, những phát hiện này chỉ ra rằng tác động của việc tăng
thêm này lên các giá trị lời giải thu được là không đáng kể đối với một thiết lập đủ nhỏ của trọng số hình
phạt mềm.π. Hơn nữa, khơng có vấn đề mất ổn định về số lượng hoặc hội tụ nào được phát hiện đối với
bất kỳ thử nghiệm nàoπcác giá trị.

3.4 DC OPF tăng cường ở dạng PU giảm
Bài toán DC OPF tăng cường ở dạng cấu trúc pu thu được bằng cách thay thế hàm mục
tiêu DC OPF tiêu chuẩn (25) bằng hàm mục tiêu tăng cường (34) có thể được biểu diễn
ngắn gọn ở dạng rút gọn sau:
Giảm thiểu

[

∑TƠI

2

[MỘTTơiPGi+BTơiP Gi ]

∑

+π

1tơi∈BR

Tơi=1

liên quan đến

δtơi
2+

]

∑

[δk− δtơi] 2

(35)

km∈BR, k≥2

PGi, Tơi=1, ..., TƠI;δk, k=2, ..., K

tùy thuộc vào:

Ràng buộc cân bằng công suất thực cho mỗi nút k=1, ...,K (vớiδ1≡0):

∑

Tơi∈TƠIk

PGi−

∑

Bkm[δk− δtơi] =

∑

j∈Jk

kmhoặcmk∈BR

PLj

(36)

Giới hạn nhiệt cơng suất thực cho mỗi km nhánh∈BR (vớiδ1≡0):
− Bkm[δk− δtôi]

≥ − Fbạn
km

Bkm[δk− δtôi] ≥

− Fbạn

km

(37)
(38)

Hạn chế sản xuất điện năng thực tế cho mỗi Máy phát điện i=1, ..,TÔI:

PGi ≥ PLGi
− PGi ≥

15

− Pbạn
Gi

(39)
(40)


4 DC OPF tăng cường ở dạng SCQP
Là bước sơ bộ hướng tới mơ tả SCQP cho bài tốn DC OPF tăng cường ở dạng rút gọn được
trình bày trong Phần 3.4, việc giới thiệu một số quy ước ký hiệu để đơn giản hóa việc trình
bày là rất hữu ích. Hai tiểu mục tiếp theo phát triển các biểu diễn ma trận cho hàm mục
tiêu và các ràng buộc. Tiểu mục cuối cùng sau đó trình bày mơ tả SCQP hoàn chỉnh ở dạng
ma trận phù hợp với giải pháp QuadProgJ.

4.1 Mô tả hàm mục tiêu
Trước tiên, hãy xem xét sự phát triển của biểu diễn dạng bậc hai cho hàm phạt mềm áp dụng
cho chênh lệch góc điện áp trong hàm mục tiêu DC OPF tăng cường (35). Như được trình bày
chi tiết trong Phần 2.2, cần phải cẩn thận trong cách trình bày này để giải thích cho việc thiếu

các kết nối nhánh trực tiếp giữa các nút.
Để đạt được mục đích này, hãy xác địnhma trận kết nối nhánhEnhư sau:

⎡

0
⎢⎢TƠI(2↔1)
⎢
E =⎢TƠI(3
↔1)
⎢
⎣
...

TƠI(1↔2)

TƠI(1↔3)

TƠI(3↔2)

0

0

TƠI(2↔3)

...

...

...

TƠI(K↔1)

···
···
···

TƠI(K↔2)

TƠI(K↔3)

···

TƠI(1↔K)

⎤

TƠI(2↔K)⎥ ⎥
TƠI(3↔K)⎥ ⎥
⎥
.. .
⎦
0

(41)
K×K

Ở đâuTƠI(·) là hàm chỉ báo được định nghĩa là:

{
TƠI(k↔tơi) =

1
0

nếu một trong haikmhoặcmk∈BR
nếu khơng thì

TừTƠI(k↔tơi) =TƠI(tơi↔k) cho tất cảkVàtơi, nó theo sau đóEkm=Emkcho tất cảkVàtơi. Như
vậy,Elà một ma trận đối xứng.
Sử dụng cấu trúc hàm chỉ báo này, sốNcủa các nhánh lưới điện truyền tải riêng biệt
có thể được xác định như sau:

[

N=

∑K

]

TƠI(k↔tơi)/2

(42)

k, m=1

Nếu lưới truyền tải được kết nối hồn tồn thìN=K[K −1]/2.

Tiếp theo, xác định(chênh lệch góc điện áp) ma trận trọng sốW(K) BẰNG

⎡∑
⎢
⎢
⎢
W(K) = 2π⎢
⎢
⎣

k=1Ek1

− E21
− E31
...

− EK1

−
∑ E12

− E13
− E 23
∑

k=2Ek2

− E32

k=3Ek3

...

...

− EK2

− EK3
16

···
···
···
...

···

− E1K
− E2K
− E3K
..
∑.

k=KEkk

⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥

⎦

(43)
K×K


Ví dụ, trong trường hợp đặc biệt của một lưới được kết nối hồn tồn, ma trận trọng sốW(
K) có dạng

⎡

K −1
⎢ −1
⎢
⎢ −1
W(K) = 2π⎢
⎢
⎣
...
−1

−1
K −1
−1

−1
−1
K −1

...

...

−1

.. .

−1

⎤

−1
−1
−1
.. .

···
···
···

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

K −1

···

(44)
K×K

Cho phépδ(K)T= [δ1. . . δK] biểu thị một tùy ýKvectơ góc điện áp thứ ngun có ít nhất một
phần tử khác 0. VìK=2 có thể dễ dàng xác minh rằng

[

1
δ(2)TW(2)δ(2) =π[δ1− δ2]2=π
2

]

∑

[δk− δtơi] 2

>

0

(45)

km∈BR

Do đó,W(2) là ma trận xác định dương đối xứng. Một lập luận quy nạp đơn giản trênK
sau đó xác lập rằngW(K) là ma trận xác định dương đối xứng cho tùy ýK≥2.
Bây giờ giả sửδ1≡0 vàδk=0 đối với một sốk=2, . . . , K, và đểδT

− 1(K)

= [δ2. . . δK].

Ngoài ra, hãy đểWrr(K) biểu thịma trận trọng lượng giảmđược xây dựng từW(K) bằng cách xóa hàng đầu
tiên và cột đầu tiên của nó như sau:

⎡∑
⎢
⎢
Wrr(K) = 2π⎢
⎣

k=2Ek2

− E32
...

− EK2

−
∑ E23

···
···

k=3Ek3

...

...

− EK3

···

− E2K
− E3K
..
∑.

⎤
⎥
⎥
⎥
⎦

k=KEkk

(46)
(K−1)×(K−1)

Sau đó dễ dàng chứng minh bằng một lập luận quy nạp đơn giản rằng

1
δ(K)TW(K)δ(K)
2

=

=

1
δ−1(K)TWrr(K)δ−1(K)
2[
∑
∑
δtơi
2 +
π
1tơi∈BR

(47)

]
[δk− δtơi]2

> 0

km∈BR, k≥2

Do đó,Wrr(K) là ma trận xác định dương đối xứng có dạng bậc hai exnhấn số hạng phạt mềm trong hàm mục tiêu DC OPF tăng cường (35). Để đơn giản cho
việc trình bày, đối số thứ ngunKvì ma trận này sau đó sẽ bị loại bỏ.
Hãy để máy phát điện'ma trận thuộc tính chi phíbạnđược định nghĩa là

⎡
bạn=chẩn đốn [ 2B1,2B2,· · · ,2BTÔI] =⎢

17

⎤
2B1 0 · · ·
0
⎢ 0 2B2 · · ·
0 ⎥⎥
⎢
.. .
. . ⎥⎦
⎣ ...
....
0
0 · · · 2BII×TƠI

(48)


Nhắc lại từ Bảng 1 rằng hệ số chi phí của Máy phát điệnBTơiđược giả định là hồn tồn tích
cực, dễ dàng thấy rằngbạnlà ma trận xác định dương đối xứng.
Cuối cùng, để ma trậnGđược xác định bởi

[
G=khốiDiagbạn

]

Wrr

Ma trậnGrõ ràng là đối xứng.

[

=

]

bạn 0
0 Wrr

(49)
(TƠI+K−1)×(TƠI+K−1)

Hơn thế nữa,Glà xác định dương vì nó liên quan

dạng bậc hai ánh xạ bất kỳ vectơ nàoxT= [PG1, . . . , PGI, δ2, . . . , δK] có ít nhất một thành phần khác 0 thành
một đại lượng vơ hướng dương hồn tồn. Đó là,

1
xTgx
2

∑TƠI
=
[B2TơiPGi] +π

[

∑
1tơi∈BR

Tơi=1

δtơi
2+

∑

]
[δk− δtơi]2

> 0

(50)

km∈BR, k≥2

Cụ thể, khi so sánh (50) với (35), người ta thấy rằng (50) cung cấp biểu diễn dạng bậc
hai xác định dương cho các số hạng phi tuyến trong hàm mục tiêu DC OPF tăng cường.

4.2 Miêu tả ràng buộc
Yếu tố chính làm phức tạp việc biểu diễn ma trận của các ràng buộc đối với bài toán DC OPF
tăng cường, một lần nữa, là cần phải cho phép khả năng khơng có các kết nối nhánh trực tiếp
giữa các nút. Tiểu mục này dẫn xuất các ma trận đặc biệt để tạo thuận lợi cho việc biểu diễn
ràng buộc này.
Giả sử định nghĩa (17) choBkmđược mở rộng cho tất cảk=tơinhư sau:

Bkm=

⎧
⎨

1

xkmpu

⎩

>

0 nếukmhoặc

0

mk∈BR

nếu khơng thì

Từxkmpu =xmkpu cho tất cảkm∈BR, nó theo sau đóBkm=Bmkcho tất cảk=tơi. Sử dụng định
nghĩa này choBkm, xây dựngma trận tiếp nhận xe buýtB'như sau:
⎡∑
⎤
− B12
− B13
···
− B1K
k=1Bk1
∑
⎢
⎥
− B21
− B23
···
− B2K

k=2Bk2
⎢
⎥
∑
⎢
⎥
− B31
− B32
···
− B3K
B'=⎢
(51)
⎥
k=3Bk3
⎢
⎥
...
.
.
⎣
⎦
...
...
...
∑.
− BK1
− BK2
− BK3
···
k=KBkk

K×K
Cácma trận tiếp nhận xe buýt giảmB'

dạng sau:

rbao

gồmB'với hàng đầu tiên bị bỏ qua rồi mất

18


⎡
B'r=⎢

− B21
⎢⎢−B31
⎣

∑

...

k=2Bk2
− B32

∑

...

− BK1

− B23
k=3Bk3

...

...

− BK2

− BK3

⎤

− B2K
− B3K
..
∑.
k=KBkk

···
···
···

⎥
⎥
⎥
⎦

(52)
(K−1)×K

Cho phépBIbiểu thị việc liệt kê cácNcác nhánh riêng biệtkm∈BRtạo thành lưới truyền tải,
được sắp xếp theo từ điển như trong từ điển từ các nút được đánh số thấp hơn đến cao hơn.
Cho phépBINbiểu thịNchi nhánh thứ được liệt kê trongBI. Sau đóma trận kềMỘTvới các mục
nhập 1 cho nút “từ” và−1 cho nút “đến” có thể được biểu thị như sau:

⎡

A =⎢

J(2,BI1)
J(2,BI2)

J(1,BI1)
⎢⎢J(1,BI2)

⎣

...

...

...

J(2,BIN)

J(1,BIN)

J(K,BI1)
J(K,BI)⎥
..
.
J(K,BIN)

···
···
···

⎤
⎥
⎥
⎦

2

(53)
N×K

Ở đâuJ(·) là hàm chỉ báo được định nghĩa là:

⎧
nếu nhưBINcó hình thứcij∈BRcho một số nútj > tơi nếu
⎨ +1
− 1 nhưBINcó hình thứckỷ∈BRcho một số nútj < tơi nếu
J(Tơi,BIN) =
⎩
0 khơng thì
cho tất cả các nútTơi=1, ..., Kvà cho tất cả các chi nhánhN=1, ..., N

Hãy đểma trận kề giảmMỘTrđược định nghĩa làMỘTvới cột đầu tiên của nó đã bị xóa. Như vậy,MỘTr
được thể hiện như

⎡

J(2,BI1)
⎢⎢J(2,BI2)· · ·

MỘTr=⎢

⎣

J(K,BI1)
J(K,BI2)⎥

···
...

...

J(2,BIN)

...

J(K,BIN)

···

⎤

⎥
⎥
⎦

(54)
N×(K−1)

Ngồi ra, hãy xác định ma trậnIIqua

⎡
II=⎢

TƠI(1∈TƠI1)

⎢⎢TƠI(1∈TƠI2)
⎣

TƠI(2∈TƠI1)
TƠI(2∈TƠI2)
...

...

TƠI(1∈TƠIK)

TƠI(2∈TƠIK)

{

Ở đâu

TƠI(Tơi∈TƠIk) =

1
0

···
···

...

···

TƠI(TƠI∈TƠI1)

⎤

TƠI(TƠI∈TƠI2⎥)⎥

.. .

TƠI(TƠI∈TƠIK)

(55)

⎥
⎦

K×TƠI

nếu nhưTơi∈TƠIk

nếu như/Tơi∈
TƠIk

cho mỗiTơi=1, . . . , TƠIVàk=1, . . . , K. Cuối cùng, xác định ma trậnDlà ma trận đường chéo mà các
phần tử đường chéo của nó cho kết quảBkmgiá trị cho tất cả các nhánh được kết nối riêng biệtkm∈
BR ra lệnh như trongBI. Đó là, với một số lạm dụng ký hiệu nhẹ:

19


]

[

D=chẩn đốnD1 D2 · · ·DN

(56)

N×N

Ở đâuDN=Bkmnếu nhưBIN(cácthứ nmột yếu tố củaBI) tương ứng với nhánhkm∈BR.15

4.3 Mơ tả SCQP hồn chỉnh
Sử dụng ký hiệu từ Phần 4.1 và 4.2, mô tả SCQP hồn chỉnh cho bài tốn DC OPF tăng
cường ở dạng pu rút gọn nêu trong Phần 3.4 có thể được biểu diễn như sau:
Giảm thiểu

1
f(x) =xTgx+MộtTx
2

(57)

liên quan đến

]T

[
x=PG1 . . . PGI δ2 . . . δK

(TƠI+K−1)×1

tùy thuộc vào

CTeqx=beq

(58)

CT

(59)

chỉ số thông minh

x≥bchỉ số thông minh

Trong mô tả SCQP này, ma trận xác định dương đối xứngGđược định nghĩa như trong (49), và vectơ
MộtTđược đưa ra bởi

]

[

MộtT=MỘT1 · · ·MỘTTƠI 0· · ·0

1×(TƠI+K−1)

Ma trận ràng buộc đẳng thứcCT eqcó dạng:

CTeq=II

[

− Br'T

]
K×(TƠI+K−1)

Ở đâuB' rđược định nghĩa như trong (52) vàIIđược định nghĩa như trong (55). Ràng buộc bình đẳng liên quan
vectơbeqcó dạng:

beq=

[∑

j∈J

PLj
1

∑

j∈J2

PLj

· ··

∑

j∈J

K

PLj

]T
K×1

Cuối cùng, hãy xem xét ma trận ràng buộc bất đẳng thứcCchỉ số thông minh. Ma trận này có thể
được phân tách thành nhiều ma trận con theo cột tương ứng với các ràng buộc nhiệt (37) (gọi
nó làCt1), các ràng buộc nhiệt (38) (gọi nó làCt2), hạn chế sản xuất thấp hơn (39)
15Lưu ý rằng ma trậnH≡DMỘTránh xạ vectơδ= (δ2, . . . , δK)Tcác góc điện áp vàoN×1 thực tế
rrδ, Ở đâuPTiêm
vector dịng điện nhánhF≡Hδ. Ngồi ra, như được nêu trong Phụ lục B,PTiêm=B'
biểu thị (K −1)×1 vectơ tiêm cơng suất thực nút mạng PNetInjectk,k=2, . . . , K, VàB'
rrbiểu thị
ma trậnB'trong (51) với hàng đầu tiên và cột đầu tiên bị loại bỏ (tương ứng với nút tham chiếu 1).

Xác địnhma trận dịch chuyểnS≡H[B'

rr]−1,

nó theo sau đóF=S·PTiêm. So sánh CAISO (2003, trang 24-25).

20