Nghiên cứu và điều tra vấn đề chi tiêu hàng tháng đối với sinh viên trường đại học thương mại tại cơ sở hà nam để đưa ra các bài toán ước lượng và so sánh có ý nghĩa

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU..........................................................................................................3
NỘI DUNG...............................................................................................................4
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT.......................................................................4
1.1.

Ước lượng bằng khoảng tin cậy..............................................................4

1.1.1.

Ước lượng giá trị trung bình............................................................4

Trường hợp 1: ĐLNN gốc X phân phối theo quy luật chuẩn, σ 2 đã biết......4
Trường hợp 2: ĐLNN gốc X phân phối theo quy luật chuẩn, phương sai σ2
chưa biết............................................................................................................8
Trường hợp 3: Chưa biết quy luật phân phối của X trên đám đơng, nhưng
kích thước mẫu n>30.....................................................................................11
1.1.2.

Ước lượng tỷ lệ.................................................................................12

1.2. Kiểm định giả thuyết về các tham số........................................................15
1.2.1. Kiểm định giá trị trung bình..............................................................15
1.2.2. Kiểm định tỷ lệ.....................................................................................17
1.3. So sánh mẫu trung bình.............................................................................18
1.3.1. Khái quát..............................................................................................18
1.3.2. So sánh hai số trung bình khi biết σ1và σ2.......................................18
1.3.2.1.So sánh hai số trung bình khi không biết σ1,σ2, mẫu lớn.............18
1.3.2.2.So sánh hai số trung bình khi khơng biết σ1,σ2, mẫu nhỏ.............19
II, ĐỀ TÀI THẢO LUẬN VÀ CÁC BÀI TOÁN................................................20
CHƯƠNG III. CÁC BÀI TOÁN..........................................................................23

3.1.Vấn đề 1: Ước lượng mức chi tiêu trung bình của hàng tháng của các bạn
sinh viên nữ chưa có người yêu...........................................................................23
3.2.Vấn đề 2: Ước lượng tỉ lệ các bạn nam có người yêu..................................25
3.3.Vấn đề 3: So sánh mức chi tiêu trung bình giữa các bạn nam chưa có người
u và các bạn nữ chưa có người yêu..................................................................26
CHƯƠNG IV. Ý NGHĨA RÚT RA TỪ KẾT QUẢ BÀI TOÁN.......................29
1


DANH SÁCH THÀNH VIÊN
STT

MSV

Họ và tên

Lớp
HC

Phân công nhiệm vụ

11

22D190028

Nguyễn Tiến Đạt

K58S
2

Tìm tài liệu

12

22D190033

Nguyễn Thành Đạt

K58S
1

Viết bài, làm
powerpoint

13

22D190019

Tơ Thùy Dung

K58S
1

Tìm tài liệu

14

22D190024

Nguyễn Lê Cơng Dũng

K58S
1

Thuyết trình

15

22D190025

Nguyễn Trọng Anh Dũng

K58S
2

Tìm tài liệu

16

22D190027

Nguyễn Tùng Dương

K58S
1

Tìm tài liệu

17

22D190020

Dương Đình Duy

K58S
2

Thuyết trình

18

22D190036

Hồng Thị Quỳnh Giang

K58S
2

Tìm tài liệu

19

22D190037

Nguyễn Hồng Giang

K58S
1

Viết bài

20

22D190041

Lê Thị Ngọc Hà

K58S
2

Thuyết trình

2


LỜI MỞ ĐẦU
Trong cuộc sống ngày nay, tiền tệ tác động đến mọi hoạt động của con
người như học tập, vui chơi giải trí và sinh hoạt … Hiện nay sự ảnh hưởng đến giá
cả khiến con người ta phải biết quản lý và chi tiêu một cách hợp lý. Vấn đề điều
chỉnh chi tiêu phù hợp với thu nhập cũng như hồn cảnh gia đình trở thành một
vấn đề thiết yếu đối với mỗi người chúng ta. Đặc biệt là đối với sinh viên năm
nhất, thì việc quản lý tài chính là vơ cùng thiết yếu, khi mà đa phần các sinh viên
năm nhất đều chưa đi làm hoặc mới trải qua những cơng việc có thu nhập chưa ổn
định.
Vậy, chi tiêu là gì ? Chi tiêu được hiểu là hoạt động là sử dụng nguồn thu
nhập để phục vụ những nhu cầu từ vật chất cho đến tinh thần, vì vậy nguồn thu
nhập là thứ ảnh hưởng trực tiếp đến chi tiêu. Với thu nhập ở mức thấp, con người
chỉ có thể thực hiện các nhu cầu thực sự cần thiết, và phải có sự cân nhắc giữa các
nhu cầu trong cuộc sống của họ. Tuy nhiên khi chất lượng đời sống được cải thiện,
tiền có thể đáp ứng được các nhu cầu cao hơn của con người. Để chi tiêu khơng bị

gián đoạn, địi hỏi sự thu và chi sao cho hợp lý, tránh lãng phí và đảm bảo các hàng
hóa hay dịch vụ mà chúng ta sử dụng phải ở trong mức chi tiêu được. Muốn thực
hiện được như vậy, bản thân mỗi người cần phải thực hành tiết kiệm, thu nhập nên
để ra một phần nhỏ nhằm phục vụ những dự định hoặc những khoản chi tiêu khẩn
cấp.
Hiện nay, tình trạng chi tiêu khơng hợp lý có thể dễ dàng bắt gặp được trong
cuộc sống hàng ngày, nhất là giới trẻ. Giới trẻ ở đây, cụ thể là học sinh, sinh viên,
người mới đi làm đang có cách tiêu tiền “vung tay quá trán” trong bối cảnh giá cả
hàng hoá quá đắt đỏ và đồng thời, những người thuộc độ tuổi này không phải ai
cũng có khả năng có được một mức thu nhập cao. Hãy tạm khơng nhắc đến hội
“con nhà có điều kiện”, thì vấn đề hình thức bên ngồi đang càng ngày được các
3


bạn trẻ quan trọng hóa. Từ những chiếc điện thoại đắt tiền, cho đến đồng hồ, quần
áo quá mức chi tiêu cho phép, nhưng chỉ vì hai chữ “đẳng cấp” mà sẵn sàng chi
tiêu bất hợp lý, để rồi không xây dựng cho bản thân một kế hoạch tài chính bền
vững và ổn định.
Từ thực trạng cuộc sống và những quan ngại về ảnh hưởng của chi tiêu gây ra
cho mọi người xung quanh, cùng với những đề xuất của giảng viên cũng như yêu
cầu của bài thảo luận, Nhóm 2 xin đưa ra lựa chọn về đề tài thảo luận: Nghiên cứu
và điều tra vấn đề chi tiêu hàng tháng đối với sinh viên trường Đại học
Thương Mại tại cơ sở Hà Nam để đưa ra các bài toán ước lượng và so sánh có
ý nghĩa. Từ kết quả khảo sát, Nhóm 2 xây dựng 3 bài tốn bao gồm: 2 bài toán ước
lượng và 1 bài toán so sánh để nghiên cứu về thực trạng chi tiêu hàng tháng sinh
viên trường Đại học Thương Mại tại cơ sở Hà Nam.
Theo đó, mục lục tiểu luận sẽ phân tích đề bài với bốn chương như sau:
• Chương I: Cơ sở lý thuyết
• Chương II: Thảo luận đề tài
• Chương III: Các bài tốn

• Chương IV: Ý nghĩa rút ra từ kết quả

4


NỘI DUNG
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Ước lượng bằng khoảng tin cậy
1.1.1. Ước lượng giá trị trung bình
Giả sử trên một đám đơng ĐLNN X có E(X) = μ và Var(X) = σ 2 . Trong đó
μ chưa biết, cần ước lượng. Từ đám đông ta lấy ra mẫu kích thước n: W=(X 1,

X2,...,Xn). Từ mẫu này ta tìm được trung bình mẫu X´ và phương sai mẫu điều chỉnh
S’2 . Dựa vào những đặc trưng mẫu này ta sẽ xây dựng thống kê G thích hợp. Ta
lần lượt xét ba trường hợp sau:
Trường hợp 1: ĐLNN gốc X phân phối theo quy luật chuẩn, σ 2 đã biết
Vì X

N( μ , σ 2) và ta có X´
U=

N( μ , σ 2 /n). Khi đó:

´
X−μ
σ /n

N(0,1) (1)
α

+ Khoảng tin cậy đối xứng (lấy α 1 =α 2 = 2 )
Với độ tin cậy 1 – α cho trước ta tìm được các phân vị chuẩn u1−α /2 và uα /2 sao
α

cho P(U > u1−α /2) = 1 - α /2 và P(U > uα /2) = 2 . Vì hàm mật độ của phân phối chuẩn
hóa là hàm chẵn, nên u1−α /2= -uα /2. Khi đó ta có
P(−uα /2 < U < uα /2) = 1-α
Viết lại biểu thức trên dưới dạng:
P(|U| < uα /2) = 1- α
Thay biểu thức của U từ (1) vào công thức trên và biến đổi tương đương ta
có:
´
|<
P(| X−μ

5

σ
uα /2) = 1 – α
√n

(2)


⟺ P( X´ – ε < μ < X´ + ε ) = 1 – α

Trong đó:

ε=

σ
uα /2
√n

(3)
(4)

Vậy khoảng tin cậy với độ tin cậy 1 – α của μ là
( X´ –

σ
σ
uα /2 ; X´ +
uα /2 ¿
√n
√n

Từ (3) ta có:
Độ tin cậy của ước lượng là 1 – α .
Khoảng tin cậy đối xứng của μ là ( X´ -ε ; X´ – ε )

(5)

Độ dài của khoảng tin cậy là 2ε .
Sai số của ước lượng là ε , được tính bằng cơng thức (4)
Từ đó ta có sai só của ước lượng bằng một nửa độ dài của khoảng tin cậy. Vì
vậy nếu biết khoảng tin cậy đối xứng (a,b) thì sai số được tính theo cơng thức:
ε=

b−a

2

(6)

Ở đây ta có bài tốn cần giải quyết:
Bài tốn 1: Biết kích thước mẫu n, biết độ tin cậy 1 – α , cần tìm sai số hoặc
khoảng tin cậy.
Nếu biết độ tin cậy 1 – α ta tìm được α /2, tra bảng ta tìm được uα /2 từ đó ta
tính được ε theo cơng thức (4) và cuối cùng nếu cần, ta có thể tìm được khoảng tin
cậy (5) của μ.
Chú ý 1: Khoảng tin cậy (5) là khoảng tin cậy ngẫu nhiên, trong khi μ là một
số xác định. Đối với mẫu ngẫu nhiên W = ( X 1, X 2, ... , X n), vì độ tin cậy 1 – α khá
gần 1 nên theo nguyên lý xác suất lớn có thể coi biến cố ¿ – ε < μ < X´ + ε ) sẽ xảy ra
trong một lần thực hiện phép thử. Nói một cách chính xác, với xác suất 1 – α
khoảng tin cậy ngẫu nhiên (5) sẽ chụp đúng E(X) = μ
6


Trong một lần lấy mẫu ta được mẫu cụ thể w = ( x 1, x 2 ,..., x n). Từ mẫu cụ thể
này ta tìm được một giá trị cụ thể ´x của ĐLNN trung bình mẫu. Khi đó với độ tin
cậy 1 – α , ta tìm được một khoảng tin cậy cụ thể của μ là ( ´x – ε , ´x + ε ).
Bài toán 2: Biết kích thước mẫu n và sai số ε (nếu biết khoảng tin cậy đối
xứng (a,b) thì ta có thể tính được sai số ε theo cơng thức (6)) cần tìm độ tin cậy. Từ
ε n
(4) ta tìm được u = √ , tra bảng tìm được α /2 từ đó tìm được độ tin cậy 1 – α .
α /2

σ

Bài toán 3: Biết độ tin cậy 1 – α , biết sai số ε cần tìm kích thước mẫu n. Nếu

biết độ tin cậy 1 – α ta tìm được α , tiếp đến ta tìm được uα /2. Cuối cùng từ (4) ta tìm
được
n=

σ 2 u2 α / 2
ε2

(7)

Đó chính là kích thước mẫu tối thiểu cần tìm.
Chú ý 2: Từ biểu thức (4) cũng như (7) ta thấy: Nếu giữ nguyên kích thước
mẫu n và giảm sai số ε thì uα /2 cũng giảm, có nghĩa là giảm độ tin cậy. Ngược lại,
nếu giữ kích thước mẫu n không đổi và tăng độ tin cậy 1 – α thì sẽ làm giảm uα /2
dẫn đến sai số ε cũng tăng theo.
Chú ý 3: Trong trường hợp chưa biết σ , nhưng kích thước mẫu lớn (n>30)
mà biết độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chinh s’ thì ta có thể lấy σ ≈ s’ ( vì S’2 là ước
lượng không lệch tốt nhất của σ 2)
Chú ý 4: Trong trường hợp đã biết μ, cần ước lượng X´ thì từ cơng thức (2) ta
có
σ
σ
P( μ− .u α2 < X´ < μ− .u α2 ) = 1 – α
√n
√n

Vậy khoảng tin cậy 1 - α của X´ tương ứng là
σ
σ
( μ− .u α2 ; μ− .u α2 )
√n

√n

7


+ Khoảng tin cậy phải (lấy α 1 = 0, α 2 = α ; dùng để ước lượng giá trị tối thiểu
của μ)
Ta vẫn dùng thống kê ở (1). Với độ tin cậy 1 – α cho trước ta tìm được phân
vị chuẩn uα sao cho
P( U < uα )= 1- α
Thay biểu thức của U từ (1) vào cơng thức trên ta có
P(
Hay P( X´ -

´
X−μ
< uα )= 1 – α
σ /√ n

σ
uα < μ) = 1 – α
√n

Vậy khoảng tin cậy phải với độ tin cậy 1 – α của μ là
( X´ –

σ
uα ;+∞ ¿
√n

+ Khoảng tin cậy trái ( lấy α 1 = α , α 2 = 0 dùng để ước lượng giá trị tối đa
của μ)
Ta vẫn dùng thống kê ở (1). với độ tin cậy 1 – α cho trước ta tìm được uα sao
cho
P(-uα < U) = 1- α
Thay biểu thức của U từ (1) vào cơng thức trên ta có
P(-uα <

´
X−μ
) = 1- α
σ /√ n

Biến đổi tương đương ta được
P( μ< X´ +

σ
uα ) = 1- α
√n

Như vậy khoảng tin cậy trái 1- α của μ là

8


(−∞ ; X´ +

σ
uα ¿
√n

Trường hợp 2: ĐLNN gốc X phân phối theo quy luật chuẩn, phương sai
σ chưa biết
Ta xây dựng thống kê:
2

T=

X−μ
S' / √ n

(9)

T là ĐLNN phân phối theo quy luật Student với số bậc tự do là n – 1.



Khoảng tin cậy đối xứng (lấy α 1=α 2=α /2)

n−1)
( n−1)
Với độ tin cậy 1−α ta tìm được phân vị t (1−α
/ 2 và t α / 2 sao cho
n−1)
( n−1)
P(T > t (1−α
/ 2) = 1−α /2 và P(T>t α / 2 )=α /2
n)
(n )
Vì hàm mật độ của phân phối Student là hàm chẵn nên t (1−α

/ 2 = -t α / 2

)
Khi đó ta có P(|T| < t (αn−1
/2 ) = 1 - α

Biến đổi tương đương ta được:
S ' (n−1)
P(| X - μ| < t α / 2 ) = 1 - α
√n

Hay

P( X - ε < μ< X + ε ) = 1 - α

Trong đó ε =

S ' (n−1)
t α/ 2
√n

(10)
(11)

(12)

S ' (n−1)
S ' (n−1)
Vậy khoảng tin cậy của μlà ( X - t α ; X + t α )
√n

√n

Từ (11) ta có:
Độ tin cậy của ước lượng là 1 - α
Khoảng tin cậy đối xứng của μlà ( X - ε ; X + ε )
Độ dài của khoảng tin cậy: 2 ε
Sai số của ước lượng là ε , được tính bằng cơng thức 7.14
9


Ta có 3 bài tốn cần giải quyết. Riêng bài tốn 3 (Bài tốn xác định kích
thước mẫu) ta sẽ giải quyết bằng phương pháp mẫu kép như sau:
Bước 1: Điều tra một mẫu sơ bộ kích thước k≥2; W1 = (X1, X2,..,Xk). Từ mẫu
này ta tìm được phương sai mẫu điều chỉnh là:
k

S' 2 =

1
2
X i− X ) , trong đó X
∑
(
k−1 i=1

k

=

1

∑X
k i=1 i

Bước 2: Giả sử mẫu cần tìm có kích thước n: W1 = (X1, X2,...,Xn).
n

1
∑ X −μ ~ T (k−1 )
n i=1 i
S' / √ n

Ta có:

(13)

n

1
( k−1 ) S' 2
X i−μ
∑
2
Thật vậy, vì U = n i=1
~ N(0,1) và χ =
= χ 2 ( k−1 ) nên
σ2
σ /√n
n

U

n

1
1
X i−μ
∑
∑ X −μ : ( k−1 ) S ' 2 =
T = n i=1
= n i=1 i
σ 2 ( k −1 )
'
σ
/
n
S / √n
√

√

√

( k−1 )
χ2 ~ T
k −1

Do T ~ T (k−1 ), ta có thể tìm được phân vị t (k−1)
α / 2 sao cho:
)
P(|T| < t (αk−1

/2 ) = 1 - α

Thay giá trị của T trong biểu thức (13) vào công thức trên và biến đổi tương
n

1
S'
)
đương ta có: P( ∑ X i−μ < t (αk−1
/2 ) = 1 - α
n i=1
√n

|

Từ đó:

|

ε=

S ' (k−1)
t α/ 2
√n

=> n =(

S ' ( k−1) 2
t )
ε α /2

(14)

Chú ý 1: Công thức 7.16 cho ta giá trị tối thiểu của kích thước mẫu cần tìm.
Chú ý 2: Trong thực hành vì có mẫu sơ bộ W 1 = (X1, X2,…, Xk) ta chỉ cần
điều tra thêm mẫu kích thước n – k là đủ.
10



Khoảng tin cậy phải (lấy α 1 = 0, α 2=α ; dùng để ước lượng giá
trị tối thiểu của μ)
Ta vẫn dùng thống kê 7.11. Với độ tin cậy 1 - α cho trước, ta tìm được phân
vị t (αn−1) sao cho
P(T < t (αn−1) ) = 1 - α
Thay biểu thức của T từ 7.11 vào công thức trên ta có:
P(
Hay

X−μ
< t (αn−1) ) = 1 - α
'
S / √n

P( X -

S ' (n−1)
t α < μ) = 1−α
√n

S'
Vậy khoảng tin cậy phải của μlà ( X - t (αn−1); + ∞)
√n


Khoảng tin cậy trái (lấy α 1 = α , α 2 = 0; dùng để ước lượng giá
trị tối đa của μ)
vị t

( n−1)
α

Ta vẫn dùng thống kê 7.11. Với độ tin cậy 1 - α cho trước, ta tìm được phân
sao cho
P( -t (αn−1) < T) = 1−α
Thay biểu thức của T từ 7.11 vào cơng thức trên ta có:
P(-t (αn−1) <
Hay

X−μ
) = 1−α
S ' / √n

S' (n−1 )
P( μ< X + t α ) = 1−α
√n

Vậy khoảng tin cậy trái của μlà (−∞ ; X +

S' (n−1 )

t α ).
√n

Chú ý 3: Ta đã biết khi n tăng thì phân phối Student sẽ tiệm cận với phân
phối chuẩn hóa rất nhanh. Do đó khi n > 30 ta có thể dùng phân vị chuẩn uα thay
cho phân vị Student t (αn−1) .

11


Chú ý 4: Khi n > 30 ta vẫn có thể dùng thống kê ở 7.11, nhưng người ta
thường dùng thống kê ở 7.3 và lấy σ ≈ s' .
Trường hợp 3: Chưa biết quy luật phân phối của X trên đám đơng, nhưng
kích thước mẫu n>30.
Khi kích thước mẫu n>30 ĐLNN trung bình mẫu X´ có phân phối xấp xỉ
σ2
chuẩn với các tham số E( X´ ) = μ và Var( X´ ) = . Do đó
n

U=

´
X−μ
σ /√ n

N(0,1)

(15)

Khi đó ta có thể tìm được phân vị uα /2 sao cho

P(|U|
(16)

Thay biểu thức của U ở (15) vào (16) và biến đổi ta được
´
|<
P(| X−μ

Hay
Trong đó

σ
.u )≈1–α
√ n α /2

P( X´ – ε < μ< X´ + ε ) ≈ 1 – α
ε =¿

σ
uα /2
√n

Ta có khoảng tin cậy đối xứng của μ là: ( X´ – ε ; X´ + ε )
Các phần còn lại được giải quyết tương tự như trong trường hợp 1.1.1.
Riêng đối với bải toán 3 (bài toán ước lượng kích thước mẫu), vì chưa biết
quy luật phân phối xác suất của X, kích thước mẫu cũng chưa biết (đang cần tìm)
nên ta phải giả thiết X´ có phân phối chuẩn. Bằng cách này ta lại quay về trường
hợp 1.1.1.
Chú ý: Nếu σ chưa biết, vì n>30 nên ta có thể lấy σ ≈ s’.

1.1.2. Ước lượng tỷ lệ

12


Giả sử ta cần nghiên cứu một đám đơng kích thước N, trong đó có M phần
tử mang dấu hiệu A. Khi đó P(A) = M/N = p là tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A trên
đám đơng. Vì không điều tra cả đám đông nên thường chưa biết p. Từ đám đơng ta
lấy ra mẫu kích thước n, điều tra trên mẫu này thấy có n A phần từ mang dấu hiệu
nA

A. Khi tần suất xuất hiện dấu hiệu A trên mẫu là f = n . Ta đi ước lượng p thông
f −p
≈
qua f. Khi n khá lớn thì f ≈ pq N(0;1)
n

√

(18)

Trong đó q = 1 – p.
+ Khoảng tin cậy đối xứng (lấy α1 = α2 = α/2)
Với độ tin cậy 1 – α cho trước, ta tìm được phân vị chuẩn uα/2, lập luận tương
tự như mục 1.1.1 ta có
P(|U| < uα/2) ≈ 1 – α

(19)

Thay biểu thức của U trong (18) vào (19) và biến đổi ta có:

P(| f – p | <

√

pq
. uα/2) ≈ 1 – α
n

(20)

Biến đổi tương đương, ta được
P( f – ε < p < f + ε ) ≈ 1 – α
Trong đó ε =

√

pq
. uα/2
n

(21)

(22) là sai số của ước lượng

Khi p chưa biết, n lớn để tính sai số ε ta thay p xấp xỉ bằng ước lượng hiệu
quả nhất của nó là f : p ≈ f và q ≈ 1 – f. Khi đó
ε≈

√

f (1−f )
. uα/2
n

(23)

Độ tin cậy của ước lượng là 1 – α
Khoảng tin cậy đối xứng của p là f – ε < p < f + ε
13

(24)


Độ dài của khoảng tin cậy là 2ε .
Chú ý: Để tránh dùng công thức gần đúng (23), ta biến đổi tương đương biểu
thức trong ngoặc vế trái của (20) bằng cách bình phương hai vế bất đẳng thức
|f – p| <

√

pq
. uα/2,
n

chuyển vế và xét dấu tam thức bật hai đối với p ta được
P(p1 < p < p2) ≈ 1 – α
Ở đây ta cũng có ba bài toán cần giải quyết như trong ước lượng ký vọng
toán của ĐLNN và cách giải quyết cũng hoàn toàn tương tự. Riêng bài tốn 3, để
có (18) ta phải giả thiết f có phân phối chuẩn.
Chú ý 1: Nếu biết p, cần ước lượng f thì từ (20) ta có

P( p – ε < f < p + ε ) ≈ 1 – α
Từ đó ta có khoảng tin cậy đối xứng của f là p – ε < f < p + ε
Chú ý 2:
 Từ khoảng tin cậy của p: f – ε < p < f + ε , vì p = M/N nến nếu biết N ta
có khoảng tin cậy của M là N(f – ε ) < M < N(f + ε )
Đương nhiên, nếu biết M ta cũng có thể tìm được khoảng tin cậy của N:
M(f – ε ) < N < M(f + ε )
 Nếu biết khoảng tin cậy của f: p – ε < f < p + ε , mà f = nA/n, ta có khoảng
tin cậy của nA là n(p – ε ) < nA < n(p + ε )
+ Khoảng tin cậy phải của p (lấy α1 = 0, α2 = α; dùng để ước lượng giá trị
tối thiểu của p)
Ta vẫn dùng thống kê ở (18). Với độ tin cậy 1 – α cho trước ta tìm được u α
sao cho
P(U < uα) ≈ 1 – α

14


Thay biểu thức của U ở (18) vào biểu thức trên và biến đổi tương đương ta
có
P(f – p <
Hay P(f –

√

pq
. uα) ≈ 1 – α
n

√

pq
. uα < p) ≈ 1 – α
n

Vì p chưa biết nên khi n lớn ta lấy p ≈ f. Ta có khoảng tin cậy phải của p là
(f –

√

pq
. uα ; +∞))
n

+ Khoảng tin cậy trái của p (lấy α 1 = α, α2 = 0; dùng để ước lượng giá trị
tối đa của p)
Ta cũng dùng thống kê ở (18). Với độ tin cậy 1 – α cho trước ta tìm được u α
sao cho
P(- uα < U) ≈ 1 – α
Thay vào biểu thức của U ở (18) vào công thức trên và biến đổi ta có
P(-

√

pq
. uα < f - p) ≈ 1 – α
n

Hay P(p < f +

√

pq
. uα ) ≈ 1 – α
n

Vì p chưa biết nên khi n lớn ta lấy p ≈ f. Ta có khoảng tin cậy trái của p là
(-∞); f –

√

pq
. uα).
n

1.2. Kiểm định giả thuyết về các tham số
1.2.1. Kiểm định giá trị trung bình
Giả sử dấu hiệu X cần nghiên cứu trên đám đơng có E(X) = µ, Var(X) = σ2
trong đó µ chưa biết, từ một cơ sở nào đó người ta tìm được µ = µ0, nhưng nghi
ngờ về điều này. Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần kiểm định giả thuyết H 0: µ =
µ0.

15


Để kiểm định giả thuyết nêu trên, từ đám đông ta lấy ra một mẫu kích thước
n
1
1
n: W = (X1, ..., Xn). Từ mẫu này ta tính được X´ = ∑ Xi , S’2 =

n i=1

n−1

n

∑ ( Xi− X´ )2. Ta
i=1

lần lượt xét những trường hợp sau:
Trường hợp 1: ĐLNN X trên đám đơng có phân phối chuẩn với σ2 đã biết
σ2

Vì X có phân phối chuẩn nên ta có X´

N(µ, n ). Xây dựng tiêu

chuẩn kiểm định:
´
X−μ
0
U= σ
√n

(25)

Nếu H0 đúng, ta có U N (0,1). Tùy thuộc vào đối thuyết H1 ta có những bài
tốn sau:

{H 0 : µ=µ 0

Bài tốn 1: H 1 :µ ≠ µ 0

Với α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn uα/2 sao cho
P(|U| > uα/2) = α
Vì α khá bé, theo nguyên lý xác xuất nhỏ ta có thể coi biến cố (|U| > u α/2)
không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử. Nên nếu trong một lần lấy mẫu ta
´
X−μ
0
tìm được utn = σ mà |utn| > uα/2 thì giả thuyết H0 tỏ ra khơng đúng, ta có cơ sở
√n

để bác bỏ H0. Do đó ta có miền bác bỏ Wα = {uutn : |utn| > uα/2}
Quy tắc kiểm định:
Lấy một mẫu cụ thể w = (x1, ..., xn). Từ mẫu này ta tính được utn
+ Nếu utn ∈ Wα ta bác bỏ H0 chấp nhận H1
+ Nếu utn ∉ Wα ta chưa có cơ sở bác bỏ H 0 (trong thực hành vẫn chấp
nhận H0)
Theo quy tắc kiểm định trên ta mắc sai lầm loại 1 với xác suất bằng α.
Bài toán 2: Với mức ý nghĩa α cần kiểm định

16


0
{HH 01:: µ=µ
µ> µ 0

Ta vẫn dùng TCKĐ cũ. Nếu H0 đúng thì U

N(0,1).

Với α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn uα sao cho
P(U > uα) = α
Vì α khá bé, theo nguyên lý xác xuất nhỏ ta có thể coi biến cố (U > u α)
khơng xảy ra trong một lần thực hiện phép thử. Nên nếu trong một lần lấy mẫu ta
´
X−μ
0
tìm được utn = σ mà utn > uα thì giả thuyết H0 tỏ ra khơng đúng, ta có cơ sở để
√n

bác bỏ H0. Do đó ta có miền bác bỏ
Wα = {uutn : utn > uα}
Quy tắc kiểm định:
Lấy một mẫu cụ thể w = (x1, ..., xn). Từ mẫu này ta tính được utn
+ Nếu utn ∈ Wα ta bác bỏ H0 chấp nhận H1
+ Nếu utn ∉ Wα ta chưa có cơ sở bác bỏ H0 (trong thực hành vẫn chấp nhận
H0)
Bài toán 3: Với mức ý nghĩa α cần kiểm định
0
{HH 01:: µ=µ
µ< µ 0

Ta vẫn dùng TCKĐ cũ. Nếu H0 đúng thì U

N(0,1).

Với α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn uα sao cho
P(U < -uα) = α
Vì α khá bé, theo nguyên lý xác xuất nhỏ ta có thể coi biến cố (U < -u α)
không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử. Nên nếu trong một lần lấy mẫu ta
´
X−μ
0
tìm được utn = σ mà utn < -uα thì giả thuyết H0 tỏ ra khơng đúng, ta có cơ sở để
√n

bác bỏ H0. Do đó ta có miền bác bỏ
Wα = {uutn : utn < -uα}
17


Quy tắc kiểm định:
Lấy một mẫu cụ thể w = (x1, ..., xn). Từ mẫu này ta tính được utn
+ Nếu utn ∈ Wα ta bác bỏ H0 chấp nhận H1
+ Nếu utn ∉ Wα ta chưa có cơ sở bác bỏ H0 (trong thực hành vẫn chấp nhận
H0)
1.2.2. Kiểm định tỷ lệ
Giả sử trên một đám đơng có tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A là p (p chính là
xác suất để rút ngẫu nhiên được một phần tử mang dấu hiệu A từ đám đông). Từ
một cơ sở nào đó người ta tìm được p = p 0 nhưng nghi ngờ về điều này. Với mức ý
nghĩa α cần kiểm định giả thuyết H0: p = p0. Chọn từ đám đơng một mẫu kích
thước n. Gọi f là tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A trên mẫu. Như đã biết, khi kích
pq
thước mẫu n lớn thì f ≈ N(p, n ¿.

Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định

f −p 0
U = p 0 q 0 , trong đó q0 = 1 – p0.
n

√

Nếu H0 đúng thì U ≈ N(0,1)

{H 0 : p=p 0

Bài toán 1: H 1 : p ≠ p 0 . Với mức ý nghĩa α cho trước ta tìm được phân vị
chuẩn uα/2 sao cho P(|U| > uα/2) = α. Vì α khá bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có
f −p 0
miền bác bỏ Wα = {uutn : |utn| > uα/2}, trong đó utn = p 0 q 0 .
n

√

{H 0 : p=p 0

Bài toán 2: H 1: p> p 0 . Với mức ý nghĩa α cho trước ta tìm được phân vị
chuẩn uα sao cho P(U > uα) = α. Lập luận tương tự như trong bài tốn 1 ta có miền
bác bỏ Wα = {uutn : utn > uα}.

{H 0 : p=p 0

Bài toán 3: H 1: p< p 0 . Với mức ý nghĩa α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn uα
sao cho P(U < -uα) = α. Từ đó ta có miền bác bỏ Wα = {uutn : utn < -uα}.

18

1.3. So sánh mẫu trung bình
1.3.1. Khái quát
Xét biến X của hai tổng thể có trung bình là μ1, μ2 và phương sai là σ1, σ2. Ta lấy
ngẫu nhiên hai mẫu có kích thước n1và n2. Kết quả tính tốn trên hai mẫu cho biết
chúng có trung bình là ¯x1,¯x2, và độ lệch chuẩn là s1,s2.
Thơng thường, mục đích của chúng ta là so sánh trung bình của hai tổng thể với độ
tin cậy 1−αα (hay mức ý nghĩa α) cho trước. Như vậy giả thuyết không sẽ là:
    Ho : μ1=μ2 (8)
Khi so sánh, ta có thể biết độ lệch chuẩn của X hay không, mẫu nhỏ hay mẫu
lớn, ... Những sự khác biệt này sẽ cần những cách tiến hành kiểm định khác nhau
như ta sẽ xem xét. Trong thống kê, các phương pháp này được gọi là kiểm
định z (z-test) hay kiểm định t (t-test) tùy theo trường hợp.
1.3.2. So sánh hai số trung bình khi biết σ1và σ2
Khi ta đã biết độ lệch chuẩn σ1và σ2 của các tổng thể, ta sử dụng tiêu chuẩn kiểm
định z sau:

Tiêu chuẩn z này tuân theo phân phối chuẩn tiêu chuẩn N(0,1)
1.3.2.1.So sánh hai số trung bình khi không biết σ1,σ2, mẫu lớn
Khi ta không biết độ lệch chuẩn, nhưng sử dụng các mẫu có kích thước lớn, ta vẫn
có thể sử dụng tiêu chuẩn kiểm định z tương tự cơng thức (9), trong đó σ được thay
thế bằng s:

Tiêu chuẩn này cũng tuân theo phân phối chuẩn tiêu chuẩn.

19


1.3.2.2.So sánh hai số trung bình khi khơng biết σ1,σ2, mẫu nhỏ

Trong trường hợp này, ta lại có hai trường hợp nhỏ sau :
Phương sai hai tổng thể bằng nhau
Nếu bằng cách nào đó, ta biết rằng phương sai của hai tổng thể bằng nhau (nhưng
ta không biết giá trị này). Khi ấy, ta định nghĩa phương sai gộp (pooled variance)
như sau:

Và ta sử dụng tiêu chuẩn kiềm định t theo công thức sau:

Tiêu chuẩn này tuân theo phân phối Student với độ tự do của kiểm định là 
ν=n1+n2−2
Phương sai hai tổng thể không bằng nhau
Trong trường hợp này, ta dùng tiêu chuẩn kiểm định t tính theo cơng thức sau:

Tiêu chuẩn này có phân phối Student với độ tự do xác định theo công thức sau:

20