luận văn thạc sĩ toán học phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh

Mục lục
Lời nói đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 9
1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véc tơ riêng . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Toán tử Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Toán tử liên tục Lipschitz, toán tử thế năng . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Định lý hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh 13
2.1 Lý thuyết rẽ nhánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Một vài kí hiệu và bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Ứng dụng 50
3.1 Kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Kết luận 57
i
Lời nói đầu
Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu những phương trình phụ thuộc tham số, đặc
biệt nó tìm những giá trị của tham số mà tại đó cấu trúc tập nghiệm bị thay đổi.
Thời gian gần đây, lý thuyết này được sử dụng nhiều để giải quyết những vấn
đề nảy sinh trong vật lý học, sinh học và những môn khoa học tự nhiên khác.
Nhiều kết quả của lý thuyết rẽ nhánh đã và đang giải quyết có hiệu quả những
vấn đề nảy sinh trong khoa học cũng như trong thực tế cuộc sống và vai trò của
nó ngày càng trở nên quan trọng hơn. Việc nghiên cứu những nghiệm rẽ nhánh
đối với phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số đã được nhiều người quan
tâm và nghiên cứu trong nhiều đề tài khoa học. Với một tham số của phương
trình đã cho có nghiệm, với sự thay đổi của tham số, tính duy nhất của nghiệm
có khi không được bảo đảm, nó có thể có hai hoặc nhiều nghiệm khác nhau. Về
mặt toán học ta có thể mô tả như sau:

Cho F là một hàm số trên tích của không gian Metric (Λ, d) với D là lân
cận của điểm 0 của không gian định chuẩn (X, .) vào không gian định chuẩn
(Y, .). Giả thiết rằng với λ có v(λ) để F (λ, v(λ)) = 0. Bằng cách tịnh tiến, ta
có thể giả thiết v(λ) = 0. Mỗi nghiệm (λ, 0) được gọi là nghiệm tầm thường của
1
Lời nói đầu
phương trình
F (λ, v) = 0, (λ, v) ∈ Λ × D. (1)
Ta sẽ tìm những nghiệm tầm thường (λ, 0) mà tại những lân cận của nó có tính
chất với δ>0, >0 cho trước, tồn tại nghiệm không tầm thường (λ, u) ∈ Λ × D
của phương trình trên với d(λ, λ) < δ và 0 < u < . Nghiệm tầm thường (λ, 0)
này sẽ được gọi là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1), λ được gọi là điểm rẽ
nhánh. Những bài toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1) được
gọi là bài toán rẽ nhánh. Trong lý thuyết rẽ nhánh, người ta thường để cập tới
những bài toán sau:
(i) Sự tồn tại nghiệm rẽ nhánh;
(ii) Tồn tại những nhánh nghiệm;
(iii) Tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất bị phá vỡ;
(iv) Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm rẽ nhánh;
(v) Nghiên cứu số nhánh nghiệm;
(vi) Nghiên cứu cấu trúc của các tập nghiệm rẽ nhánh;
(vii) Nghiên cứu sự rẽ nhánh tại vô cùng;
(viii) Nghiên cứu sự rẽ nhánh toàn cục;
Sau đây là một số ví dụ về lý thuyết rẽ nhánh trong hoạt đông thực tiễn:
1. Thời tiết;
2. Quá trình sinh trưởng của sinh vật;
3. Dòng chảy của các con sông;
4. Quá trình sống, yêu đương và trưởng thành của con người;
2
Lời nói đầu

5. Sự phát triển của một xã hội;
6. Sự phát triển của nền kinh tế trong một thời kỳ;
7. Sự phát triển gen của các tế bào sinh vật;
8. Các phản ứng hóa học, vật lý;
Có rất nhiều phương pháp toán học khác để nghiên cứu những bài toán trên
như:
+ Phương pháp biến phân đã được Wainberg và Krasnoselski đưa ra từ những
năm 50 của thế kỷ trước trong [13], [14], [15];
+ Phương pháp Tôpô sử dụng bậc ánh xạ đã được Krasnoselski đưa ra trong
[3], [6];
+Phương pháp giải tích cho những toán tử khả vi dựa trên các định lý hàm ẩn
đã được trình bày trong [4], [10].
Mỗi phương pháp được ứng dụng cho một phương trình khác nhau. Dựa vào
định lý hàm ẩn, ta dễ dàng thấy rằng mọi điểm rẽ nhánh đều là giá trị riêng
của phần tuyến tính của phương trình. Tuy nhiên không phải giá trị riêng nào
của phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh. Ví dụ:
Xét hệ phương trình vi phân:
u

+ λ(u + v(u
2
+ v
2
)) = 0, trong (0, 1) (2)
v

+ λ(v −u(u
2
+ v
2

)) = 0, trong (0, 1) (3)
u(0) = u(1) = v(0) = v(1) = 0. (4)
Dễ thấy phần tuyến tính của hệ này có giá trị riêng bội hai λ
n
với n = 1, 2, . . . .
Ta nhân phương trình (2) với v và phương trình (3) với u sau đó ta lấy tích phân
của từng phương trình và sử dụng điều kiện (4) rồi trừ hai phương trình đó cho
3
Lời nói đầu
nhau thì được
λ
1

0
(u
2
+ v
2
) dx = 0.
Như vậy, ta suy ra u = v = 0. Tức là với mỗi n thì λ
n
không phải là điểm rẽ
nhánh.
Rất nhiều những công trình của các tác giả khác nhau cho bài toán (i) −(iii)
với các phương pháp biến phân, Tôpô, giải tích cho những trường hợp đặc biệt,
tham số là số thực dạng
T (v) −λC(v) = 0 (λ, v) ∈ R × D.
Phương pháp giải tích đối với lý thuyết rẽ nhánh dựa trên tư tưởng của
Liapunov - Schmidt trong [4] sử dụng phép chiếu và đưa phương trình nghiên
cứu thành hai phần: một phần nằm trong không gian hữu hạn chiều với số chiều

là p; phần còn lại nằm trong không gian vô hạn chiều trực giao. Tức là, ta chuyển
bài toán về p + 1 phương trình p ẩn. Phần nằm trong không gian hữu hạn chiều
thường được gọi là phương trình rẽ nhánh. Phương trình ở trong không gian vô
hạn chiều thì giải được duy nhất nghiệm. Nếu phương trình rẽ nhánh giải được
thì bài toán cũng giải được.
Trong luận văn này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh bằng phương pháp giải tích
để chỉ ra khi nào thì giá trị riêng của phần tuyến tính là nghiệm rẽ nhánh và
tìm hiểu một vài ứng dụng của nó.
Luận văn gồm ba chương:
Chương 1. "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số kiến thức cơ bản trước
khi tiếp cận với lý thuyết rẽ nhánh, bao gồm một số định nghĩa và định lý được
sử dụng trong việc chứng minh các bổ đề và các định lý trong lý thuyết rẽ nhánh.
4
Lời nói đầu
Chương 2. "Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh" trình bày các
khái niệm cơ bản về phép chiếu trong không gian Banach và lược đồ Liapunov
- Schmidt (xem [4]) để chuyển phương trình toán tử về hệ phương trình gồm
hai phần: phần dễ giải thường nằm trong không gian vô hạn chiều và phần khó
giải nằm trong không gian hữu hạn chiều. Nhờ lược đồ này, ta nghiên cứu sự rẽ
nhánh của phương trình phụ thuộc tham số.
Cho X là không gian Banach với chuẩn .. D là tập mở chứa 0 trong X và
Λ là một tập mở của không gian định chuẩn, F : Λ × D −→ X là toán tử phi
tuyến. Ta xét sự rẽ nhánh của phương trình (1) với F (λ, v) có dạng
F (λ, v) = T (v) −L(λ, v) −H(λ, v) −K(λ, v),
trong đó, T : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục, L(λ, .) là toán tử tuyến
tính liên tục với λ ∈ Λ cố định, H : Λ ×
D −→ Y và K : Λ × D −→ Y là các
toán tử phi tuyến liên tục sao cho ∀λ ∈ Λ ta có H(λ, 0) = K(λ, 0) = 0, với (λ, 0)
là nghiệm tầm thường của phương trình (1).
Cho λ ∈ Λ, theo định lý hàm ẩn ta chỉ ra được điều kiện cần để (λ, 0) là

nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1) là ker(T − L(λ, .)) = 0.
Giả thiết ker(T −L(λ, .)) = Span{v
1
, v
2
, . . . , v
p
} là không gian con sinh bởi các
véc tơ v
1
, v
2
, . . . , v
p
∈ X. Gọi (T − L(λ, .))
∗
là toán tử liên hợp của T − L(λ) và
ker(T −L(λ, .))
∗
= ∅. Giả sử ker(T −L(λ, .))
∗
= Span{ψ
1
, ψ
2
, . . . , ψ
p
} là không gian
con sinh bởi các véc tơ ψ
1

, ψ
2
, . . . , ψ
p
∈ Y
∗
. Trong đó Y
∗
là không gian liên hợp
của Y .
Tiếp theo để chỉ ra sự tồn tại nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1) ta đưa
ra ba giả thiết:
5
Lời nói đầu
Giả thiết 1. αL(λ, v) = L(αλ, v), ∀v ∈ D, α ∈ [0, 1].
Giả thiết 2. H là toán tử liên tục Lipschitz trên Λ ×D tức tồn tại hằng số
C
1
sao cho
||H(λ, v) − H(λ

, v

)|| ≤ C
1
(|λ −λ

| + ||v − v

||),

trong đó (λ, v), (λ

, v

) ∈ Λ ×D.
Ngoài ra, tồn tại một số thực a > 1 và hàm thực ρ : R −→ R với ρ = ρ(δ) thỏa
mãn lim
δ→0
ρ(δ) = 0 sao cho:
(i) P
Y
H(λ, tv) = t
a
P
Y
H(λ, v), ∀(λ, v) ∈ Λ ×D, t ∈ [0, 1];
(ii) α
−a
P
Y
K

λ
1 + α
a−1
, αv

→ 0 khi α → 0
+
đều theo v với v ∈ D, và

||K(λ, v) −K(λ

, v

)|| ≤ ρ(|λ −λ

|
Λ
+ ||v − v

||)(|λ −λ

|
Λ
+ ||v −v

||),
với mọi (λ, v), (λ

, v

) ∈ Λ ×D.
Trong đó P
Y
là phép chiếu từ không gian Banach Y lên không gian
Y
1
= { y ∈ Y |  y, ψ
i
 = 0 , i = 1, 2, . . . , p }.

Ta định nghĩa ánh xạ A : R
p
−→ R
p
, A = (A
1
, A
2
, . . . , A
p
) với
A
i
(x) =

T

p

j=1
x
j
v
j

− H

λ,
p


j=1
x
j
v
j

, ψ
i

,
i = 1, 2, . . . , p và x = (x
1
, x
2
, . . . , x
p
) ∈ R
p
.
Khi đó, A
i
(x) =

A
1
(x), A
2
(x), . . . , A
p
(x)


∈ R
p
là toán tử liên tục.
Giả thiết 3.
Giả sử Giả thiết 1, 2 là thỏa mãn, ánh xạ A được định nghĩa như trên là toán
tử liên tục khả vi, x ∈ R
p
, x = 0 sao cho
A(x) = 0
6
Lời nói đầu
và
γ = det

∂A
i
∂x
k
(x
k
)

i,k=1, ,p
= 0.
Ta sẽ chỉ ra rằng với  > 0 cho trước và Giả thiết 1 − 3 được thỏa mãn thì
(λ, 0) là một nghiệm rẽ nhánh của phương trình (1). Hơn vậy, nếu δ > 0 thì tồn
tại một lân cận I
3
của 0 trong R sao cho với mỗi α ∈ I

3
, α = 0, có thể tìm được
x(α) = (x
1
(α), x
2
(α), . . . , x
p
(α)) ∈ U
∗
trong đó U
∗
là một lân cận của x = 0 trong
R
n
. Ngoài ra ta có thể tìm được một nghiệm không tầm thường (λ(α), v(α)) của
phương trình (1) với
λ(α) =
λ
1 + |α|
a−1
và v(α) =
p

j=1
|α|x
j
(α)v
j
+ o


|α|

khi α → 0
thỏa mãn |λ(α) − λ| < δ và 0 < v(α) < .
Từ kết quả này ta có được một số hệ quả của bài toán tìm nghiệm rẽ nhánh
của phương trình (1).
Khi viết bản luận văn này tác giả đã sử dụng các tài liệu [5], [7], [8], [10],
trong đó đã nêu ra được điều kiện đủ để giá trị riêng của phần tuyến tính là điểm
rẽ nhánh và công thức biểu diễn nghiệm của phương trình theo véc tơ riêng.
Chương 3. "Ứng dụng" trình bày một số ứng dụng của lý thuyết rẽ nhánh
cho hệ phương trình trong vật lý bán dẫn tại siêu hộp G ⊂ R
n
, n = 1, 2, 3. Hệ
phương trình này đã được Roosbroeck đưa ra đầu tiên vào năm 1950 trong bài
báo [11].
Luận văn được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và
Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy hướng dẫn
GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người đã trực tiếp giúp đỡ và chỉ đạo tận tình
7
Lời nói đầu
tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này. Xin
chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc và có những nhận xét quý
báu cho bản luận văn này và tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban lãnh
đạo Viện Toán học, trung tâm đào tạo sau đại học, các thầy cô và cán bộ công
nhân viên của Viện Toán học đã quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi
cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại Viện Toán học.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Khoa Tự nhiên, Ban
giám hiệu trường Cao đẳng Sư phạm Tỉnh Điện Biên; xin cảm ơn gia đình và

các bạn lớp cao học Toán K19 - Viện Toán học đã quan tâm, giúp đỡ và động
viên tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này.
Hà Nội, ngày 15 tháng 08 năm 2013
Phạm Thị Thu Phương
8
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản trước khi tiếp cận với lý thuyết
rẽ nhánh, bao gồm một số định nghĩa và định lý được sử dụng trong việc chứng
minh các bổ đề và các định lý trong lý thuyết rẽ nhánh.
1.1 Không gian Banach
Định nghĩa 1.1.1. Một không gian định chuẩn X là một không gian vectơ,
trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X, ta có một số ||x|| gọi là chuẩn của nó, sao
cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X; ||x|| = 0 ⇔ x = 0,
(ii) ||λx|| = |λ|||x||, với mọi x ∈ X, mọi λ ∈ R,
(iii) ||x + y|| ≤ ||x||+ ||y||, ∀x, y ∈ X .
Định nghĩa 1.1.2. Một dãy cơ bản (dãy Cauchy) trong không gian định chuẩn
X là một dãy x
n
∈ X sao cho lim
m,n→∞
||x
n
− x
m
|| = 0.
9
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Định nghĩa 1.1.3. Nếu trong không gian định chuẩn X mọi dãy cơ bản đều

hội tụ, tức:
||x
n
− x
m
|| → 0 −→ ∃x
0
∈ X sao cho x
n
−→ x
0
,
thì không gian ấy được gọi là không gian định chuẩn đủ hay không gian Banach.
Cho X là không gian tuyến tính. Nếu trên X có một hàm song tuyến tính, đối
xứng ·, · : X × X → R thỏa mãn x, x ≥ 0 với mọi x ∈ X, x, x = 0 thì x = 0.
Ta gọi X là không gian tiền Hilbert. Hơn vậy, nếu ta định nghĩa
x =

x, x,
thì (X, .) là không gian định chuẩn. Nếu không gian này đủ thì (X, ·, ·) được
gọi là không gian Hilbert.
1.2 Toán tử liên hợp, giá trị riêng, véc tơ riêng
Cho hai không gian vectơ bất kỳ X và Y . Một ánh xạ A : X −→ Y gọi là một
ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu
(i) A(x
1
+ x
2
) = A(x
1

) + A(x
2
),
(ii) A(αx) = αA(x) với ∀x ∈ X, ∀α ∈ R.
Để cho gọn ta viết Ax thay cho A(x) để chỉ phần tử ứng với x trong ánh xạ A.
Toán tử A được gọi là liên tục nếu x
n
→ x
0
luôn kéo theo Ax
n
→ A(x
0
) với
mọi dãy {x
n
} ∈ X, x
0
∈ X.
Toán tử A được gọi là bị chặn nếu có một hằng số K > 0 để cho
(∀x ∈ X) Ax
Y
≤ Kx
X
Định lý. Một toán tử tuyến tính A : X → Y là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn.
10
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Cho X và Y là hai không gian Banach với X
∗
= {f|f : X −→ R} và

Y
∗
= { g|g : Y −→ R } tương ứng là các không gian đối ngẫu của X và
Y . Cho A : X −→ Y là một toán tử tuyến tính liên tục.
Toán tử liên hợp A
∗
: Y
∗
−→ X
∗
của A là toán tử tuyến tính, được xác định
bởi công thức:
A
∗
y, x = y, Ax (x ∈ X, y ∈ Y
∗
).
Cho X là không gian Hilbert, toán tử tuyến tính liên tục A : X → X gọi là
đối xứng nếu ta có Ay, x = y, Ax.
Ta nói một toán tử tuyến tính A trong không gian Banach X là hoàn toàn
liên tục nếu nó biến mỗi tập bị chặn thành một tập hoàn toàn bị chặn.
Một toán tử đối xứng hoàn toàn liên tục A bao giờ cũng có một giá trị riêng
λ với |λ| = A.
Ta nói một số λ là giá trị riêng của toán tử A : X −→ X nếu phương trình
Ax = λx có nghiệm không tầm thường (nghĩa là x = 0). Khi ấy nghiệm x này
gọi là một véc tơ riêng của A, ứng với trị riêng λ .
1.3 Toán tử Fredholm
Cho X, Y là hai không gian Banach, cho A : X −→ Y là một toán tử tuyến tính
với A
∗

: Y
∗
−→ X
∗
là toán tử liên hợp. Xét các không gian con
ker A = {x ∈ X|Ax = 0} và ker A
∗
= {y ∈ Y
∗
|A
∗
y = 0}.
Các không gian này được gọi là không gian riêng của A và A
∗
.
Nếu dim ker A = p (p < +∞) và dim ker A
∗
= q (q ≤ p, q < +∞) thì A được gọi
là toán tử Fredholm với chỉ số s = p − q.
11
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
1.4 Toán tử liên tục Lipschitz, toán tử thế năng
Cho X và Y là các không gian định chuẩn, ta nói rằng
(i) Toán tử f : X −→ Y là liên tục Lipschitz nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho
||f(x) − f(y)||
Y
≤ L||x −y||
X
với mọi x, y ∈ X,
(ii) f là Lipschitz địa phương tại x nếu tồn tại lân cận U  x để f là Lipschitz

trên U.
Xét toán tử A : X → X
∗
, A được gọi là toán tử thế năng nếu tồn tại hàm khả
vi f : X → R sao cho A(x) = ∂f(x), với ∂f(x) là vi phân của f tại x.
1.5 Định lý hàm ẩn
Cho X, Y và Z là các không gian Banach, U ⊂ X ×Y là một tập mở, f : U −→ Z
là một ánh xạ liên tục tại điểm (a, b) ∈ U thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) f(a, b) = 0,
(ii) Đạo hàm riêng f

y
tồn tại trong U và liên tục tại (a, b),
(iii) f

y
(a, b) ∈ Isom(Y, Z), (hay f

y
(a, b) là ánh xạ 1 − 1 và lên).
Khi ấy, tồn tại một lân cận mở V
1
của a trong X, một lân cận mở V
2
của b trong
Y sao cho V
1
× V
2
⊂ U, và một ánh xạ g : V

1
−→ V
2
liên tục tại a sao cho với
∀(x, y) ∈ V
1
× V
2
ta có
f(x, y) = 0 ↔ y = g(x).
12
Chương 2
Phương pháp giải tích trong lý
thuyết rẽ nhánh
2.1 Lý thuyết rẽ nhánh
Trong suốt chương này X, Y luôn được coi là không gian Banach thực với đối
ngẫu tương ứng là X
∗
và Y
∗
. Chuẩn và tích vô hướng giữa các phần tử của X,
X
∗
và Y , Y
∗
được kí hiệu theo thứ tự là ||.|| và ·, ·. Λ là một tập con mở của
không gian định chuẩn. Chuẩn của không gian định chuẩn chứa Λ hạn chế trên
Λ được kí hiệu là |.|
Λ
. Gọi D là tập mở chứa 0 trong X. Xét toán tử phi tuyến

F : Λ × D −→ Y,
với D là bao đóng của D trong X.
Nếu với mỗi λ ∈ Λ tồn tại v(λ) ∈ D sao cho F (λ, v(λ)) = 0 thì (λ, v(λ)) được
gọi là nghiệm tầm thường của phương trình
F (λ, v) = 0, (2.1)
Bằng cách tịnh tiến, ta luôn có thể giả thiết v(λ) = 0, ∀λ ∈ Λ, thật vậy
Đặt
∼
F (λ, v(λ)) := F (λ, v(λ) + v(λ)),
13
Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh
⇒ F (λ, v(λ)) = 0 ⇔
∼
F (λ, 0) = 0.
⇒ (λ, 0) là nghiệm tầm thường của phương trình (2.1)
Một nghiệm tầm thường (λ, 0) được gọi là nghiệm rẽ nhánh của phương
trình (2.1) nếu ∀δ > 0, ∀ > 0, ∃(λ, v) ∈ Λ × D là nghiệm không tầm thường
với |λ − λ|
Λ
< δ và 0 < ||v|| < .
Hay nói cách khác, (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánh của phương trình (2.1) nếu
(λ, 0) ∈ cl{(λ, v) ∈ Λ × D|F (λ, v) = 0, v = 0},
với cl(A) là bao đóng của tập A. Khi đó, λ được gọi là điểm rẽ nhánh.
Những bài toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh của phương trình (2.1) được gọi
là bài toán rẽ nhánh.
Trong luận văn này ta luôn xét phương trình (2.1) với
F (λ, v) = T (v) −L(λ, v) −H(λ, v) −K(λ, v),
tức là phương trình
T (v) = L(λ, v) + H(λ, v) + K(λ, v),
trong đó

T : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục;
L(λ, .) : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục với λ ∈ Λ cố định;
H : Λ × D −→ Y
và
K : Λ × D −→ Y.
là các toán tử phi tuyến liên tục sao cho với mọi λ ∈ Λ, ta có
H(λ, 0) = K(λ, 0) = 0 .
14
Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh
Ta sẽ xét sự rẽ nhánh của phương trình (2.1) với F : Λ ×D −→ Y là toán tử
phi tuyến trong không gian C
1
(Λ × D, Y ) với F (λ, 0) = 0 cho mọi λ ∈ Λ. Ta xét
phương trình
F (λ, v) = 0 với (λ, v) ∈ Λ × D.
Theo khai triển Taylor của hàm F tại (λ, 0) ta có
F (λ, v) = F (λ, 0) + F

(λ, 0)(v) +
1
2
F

(λ, 0)(v, v) + K
1
(λ, v),
trong đó
K
1
(λ, v) = F (λ, v) − F (λ, 0) − F


(λ, 0)(v) −
1
2
F

(λ, 0)(v, v).
Do (λ, 0) là nghiệm tầm thường của (2.1) nên
F (λ, v) = F

(λ, 0)(v) +
1
2
F

(λ, 0)(v, v) + K
1
(λ, v).
Lấy λ
1
bất kỳ thuộc Λ, áp dụng khai triển Taylor của F

(λ, 0)(v) tại (λ
1
, 0) ta có
F

(λ, 0)(v) = F

(λ

1
, 0)(v) + F

λ
(λ
1
, 0)(λ − λ
1
)(v)
+
1
2
F

λλ
(λ
1
, 0)(λ − λ
1
, λ − λ
1
)(v) + K
2
(λ, 0)(v),
trong đó
K
2
(λ, 0)(v) = F

(λ, 0)(v) − F


(λ
1
, 0)(v) − F

λ
(λ
1
, 0)(λ − λ
1
)(v)
+
1
2
F

λλ
(λ
1
, 0)(λ − λ
1
, λ − λ
1
)(v).
Do đó,
F (λ, v) = F

(λ
1
, 0)(v) − F


λ
(λ
1
, 0)(λ
1
)(v) + F

λ
(λ
1
, 0)(λ)(v)
+
1
2
F

λλ
(λ
1
, 0)(λ − λ
1
, λ − λ
1
)(v) +
1
2
F

(λ, 0)(v, v)

+ K
1
(λ, v) + K
2
(λ, 0)(v).
15
Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh
Nếu λ
1
∈ Λ sao cho tồn tại v = 0 để
F

λ
(λ
1
, 0)(λ
1
)(v) −F

(λ
1
, 0)(v) − F

λ
(λ
1
, 0)(λ)(v) = 0,
thì ta đặt
T (v) = F


λ
(λ
1
, 0)(λ
1
)(v) −F

(λ
1
, 0)(v);
L(λ, v) = F

λ
(λ
1
, 0)(λ)(v);
H(λ, v) =
1
2
F

(λ, 0)(v, v);
K(λ, v) = F (λ, v) + T (v) − L(λ, v) −H(λ, v).
Trong trường hợp này phương trình (2.1) của ta có thể viết dưới dạng
T (v) = L(λ, v) + H(λ, v) + K(λ, v)
trong đó
T : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục;
L(λ, .) : X −→ Y là toán tử tuyến tính liên tục với λ ∈ Λ cố định;
H : Λ × D −→ Y
và

K : Λ × D −→ Y.
là các toán tử phi tuyến liên tục sao cho với mọi λ ∈ Λ, ta có
H(λ, 0) = K(λ, 0) = 0 .
Ta sẽ tìm điều kiện cần và đủ để (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánh của phương trình
(2.1) bằng phương pháp giải tích.
16
Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh
2.2 Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh
2.2.1 Một vài kí hiệu và bổ đề
Định nghĩa 2.2.1. Cho T và L như ở trên, ta gọi λ ∈ Λ là giá trị riêng của cặp
(T, L) nếu tồn tại v ∈ X, v = 0 sao cho T(v) = L(λ, v).
Xét phương trình
T (v) = L(λ, v) + H(λ, v) + K(λ, v), (λ, v) ∈ Λ ×D. (2.1)
được xác định như trên. Giả sử λ là giá trị riêng của cặp (T, L) sao cho T −L(λ, .)
là toán tử Fredholm, tức
ker(T − L(λ, .)) = {v ∈ X|T (v) −L(λ, v) = 0},
là không gian con tuyến tính hữu hạn chiều của X,
ker(T − L(λ, .))
∗
= {γ ∈ Y
∗
|(T (v) −L(λ, v))
∗
(γ) = 0},
là không gian con tuyến tính hữu hạn chiều của Y
∗
.
Giả sử
dim ker(T − L(λ, .)) = p (p < +∞);
dim ker(T − L(λ, .))

∗
= q (q < +∞, q ≤ p).
Đặt s = p −q là chỉ số của toán tử Fredholm (T − L(λ, .)).
Để đơn giản ta chỉ xét trường hợp s = 0 (trường hợp s > 0 ta nghiên cứu tương
tự)
Ta có F(λ, 0) = 0. Nếu λ không là giá trị riêng của cặp (T, L) tức
ker ( T − L (λ, .)) = { 0 } và (T − L(λ, .)) là ánh xạ 1 − 1 và lên, khi đó
theo định lý hàm ẩn từ F (λ, 0) = 0 suy ra (λ, 0) là nghiệm nên tồn tại lân cận
17
Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh
V  λ, lân cận U  0 thỏa mãn (λ, 0) ∈ V × U và tồn tại duy nhất ánh xạ
v : V −→ U sao cho
F (λ, v(λ)) = 0 ⇒ v(λ) = 0, ∀λ ∈ V.
Điều này chứng tỏ với mọi lân cận của (λ, 0) thì (2.1) chỉ có nghiệm dạng (λ, 0)
hay (λ, 0) không là nghiệm rẽ nhánh của (2.1). Do đó (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánh
của (2.1) chỉ khi λ là giá trị riêng của cặp (T, L) hay ker (T −L(λ, .)) = { 0 } .
Tuy nhiên đây chỉ là điều kiện cần để (λ, 0) là nghiệm rẽ nhánh của (2.1) vì
không phải giá trị riêng nào của phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh. Vì vậy,
để nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình (2.1) ta đi tìm điều kiện đủ để (λ, 0)
là nghiệm rẽ nhánh của nó, với λ là giá trị riêng của cặp (T, L).
Giả sử {v
1
, v
2
, . . . v
p
} là cơ sở của không gian ker(T − L(λ, .)) và giả sử
{ψ
1
, ψ

2
, . . . , ψ
p
} là cơ sở của không gian ker(T − L(λ, .))
∗
. Theo định lí Haln -
Banach có thể tìm được p phiếm hàm tuyến tính liên tục γ
1
, γ
2
, . . . γ
p
trên X và
p phần tử z
1
, z
2
, . . . z
p
của Y sao cho:
v
i
, γ
j
 = δ
ij
=








1 khi i = j
0 khi i = j,
z
m
, ψ
n
 = δ
nm
=







1 khi n = m
0 khi n = m,
trong đó i, j, n, m = 1, 2, . . . , p.
Ta kí hiệu các tập:
X
0
= ker(T − L(λ, .)) = [v
1
, v
2

, . . . , v
p
];
X
1
= {x ∈ X|x, γ
i
 = 0, i = 1, 2, . . . , p};
18
Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh
Y
0
= [z
1
, z
2
, . . . , z
p
];
Y
1
= {y ∈ Y |y, ψ
j
 = 0, j = 1, 2, . . . , p},
với [z
1
, z
2
, . . . , z
p

] kí hiệu cho không gian sinh bởi {z
1
, z
2
, . . . , z
p
}.
Dễ thấy
X = X
0
⊕ X
1
;
Y = Y
0
⊕ Y
1
,
toán tử T − L(λ, .) hạn chế trên X
1
là tuyến tính liên tục từ X
1
lên Y
1
.
Tiếp theo ta xét các phép chiếu:
P
X
: X −→ X
0

; P
Y
: Y −→ Y
0
;
Q
X
: X −→ X
1
; Q
Y
: Y −→ Y
1
.
xác định bởi :
P
X
(x) =
p

j=1
x, γ
j
v
j
; P
Y
(y) =
p


j=1
y, ψ
i
z
i
;
Q
X
(x) = x − P
X
(x) ; Q
Y
(y) = y −P
Y
(y).
với x ∈ X; y ∈ Y.
Do F (λ, v) = 0 ∈ Y , mà mỗi phần tử y ∈ Y = Y
0
⊕ Y
1
nên y được biểu diễn dưới
dạng y = P
Y
(y) + Q
Y
(y) do đó
y = 0 ⇔








P
Y
(y) = 0
Q
Y
(y) = 0
Vì thế, để tìm nghiệm của phương trình (2.1) ta đi tìm nghiệm của hệ phương
trình







P
Y

T (v) −L(λ, v) −H(λ, v) −K(λ, v)

= 0,
Q
Y

T (v) −L(λ, v) −H(λ, v) −K(λ, v)


= 0.
(2.2)
19
Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh
Để đơn giản, ta kí hiệu M(λ, v) = H(λ, v) + K(λ, v). Theo định nghĩa của P
Y
, ta
có hệ (2.2) tương đương với hệ







T (v) −L(λ, v) −M(λ, v), ψ
i
 = 0,
Q
Y

T (v) −L(λ, v) −M(λ, v)

= 0,
(2.3)
với i = 1, 2, . . . , p. Do mỗi v ∈ X = X
0
⊕ X
1
đều có thể viết được dưới dạng

v = P
X
(v) + Q
X
(v),
mà
P
X
(v) ∈ X
0
= ker(T − L(λ, .)) = [v
1
, v
2
, . . . , v
p
],
nên
P
X
(v) =
p

j=1

j
v
j
với  = (
1

, 
2
, . . . , 
p
) ∈ R
n
.
(R
n
là không gian vectơ Euclid n chiều với chuẩn |.|).
Do đó,
v =
p

j=1

j
v
j
+ ω với ω ∈ X
1
.
Vì vậy, việc giải hệ (2.3) tương đương với việc tìm λ ∈ Λ;  = (
1
, 
2
, . . . , 
p
) ∈ R
p

và ω ∈ X
1
thỏa mãn:

T

p

j=1

j
v
j
+ ω) −L(λ,
p

j=1

j
v
j
+ ω) −M(λ,
p

j=1

j
v
j
+ ω


, ψ
i

= 0, (2.4)
Q
Y

(
p

j=1

j
v
j
+ ω) −L(λ,
p

j=1

j
v
j
+ ω) −M(λ,
p

j=1

j

v
j
+ ω)

= 0, (2.5)
với i = 1, 2, . . . , p.
Để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình (2.4), (2.5) ta cần một số
giả thiết sau:
20
Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh
Giả thiết 1. αL(λ, v) = L(αλ, v), ∀v ∈ D, α ∈ [0, 1].
Giả thiết 2. H là toán tử liên tục Lipschitz trên Λ ×D, tức tồn tại hằng số
C
1
sao cho
||H(λ
1
, v
1
) −H(λ

1
, v

1
)|| ≤ C
1
(|λ
1
− λ


1
| + ||v
1
− v

1
||),
trong đó (λ
1
, v
1
), (λ

1
, v

1
) ∈ Λ ×D.
Ngoài ra, tồn tại một số thực a > 1 và hàm thực ρ : R −→ R với ρ = ρ(δ) thỏa
mãn lim
δ→0
ρ(δ) = 0 sao cho:
(i) P
Y
H(λ, tv) = t
a
P
Y
H(λ, v), ∀(λ, v) ∈ Λ ×D, t ∈ [0, 1],

(ii) α
−a
P
Y
K

λ
1+α
a−1
, αv

→ 0 khi α → 0
+
đều theo v với v ∈ D, và
||K(λ, v) −K(λ

, v

)|| ≤ ρ(|λ −λ

|
Λ
+ ||v − v

||)(|λ −λ

|
Λ
+ ||v −v


||),
với mọi (λ, v), (λ

, v

) ∈ Λ ×D.
Ta sẽ tìm nghiệm (λ, v) tại lân cận (λ, 0) với λ có dạng
λ(α) =
λ
1 + α
(λ ∈ Λ),
trong đó α thuộc lân cận I
0
của 0, I
0
∈ (−1, 1) sao cho
λ
1 + α
∈ Λ, ∀α ∈ I
0
.
Tiếp theo, ta tìm (α, , ω) thỏa mãn hệ phương trình

T (
p

j=1

j
v

j
+ ω) −L(
λ
1 + α
,
p

j=1

j
v
j
+ ω) −M(
λ
1 + α
,
p

j=1

j
v
j
+ ω), ψ
i

= 0,
Q
Y


T (
p

j=1

j
v
j
+ ω) −L(
λ
1 + α
,
p

j=1

j
v
j
+ ω) −M(
λ
1 + α
,
p

j=1

j
v
j

+ ω)

= 0,
với i = 1, 2, . . . , p.
Từ Giả thiết 1: αL(λ, v) = L(αλ, v), ∀v ∈ D, α ∈ [0, 1] ta có
21
Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh

(1 + α)T (
p

j=1

j
v
j
+ ω) −L(λ,
p

j=1

j
v
j
+ ω)
− (1 + α)M(
λ
1 + α
,
p


j=1

j
v
j
+ ω), ψ
i

= 0,
Q
Y

T (
p

j=1

j
v
j
+ ω) −L(
λ
1 + α
,
p

j=1

j

v
j
+ ω) −M(
λ
1 + α
,
p

j=1

j
v
j
+ ω)

= 0,
với i = 1, 2, . . . , p.
Mặt khác, do T , L là các toán tử tuyến tính nên hệ trên tương đương với

T (
p

j=1

j
v
j
) + T(ω) + αT (
p


j=1

j
v
j
+ ω) −L(λ,
p

j=1

j
v
j
)
− L(λ, ω) − (1 + α)M(
λ
1 + α
,
p

j=1

j
v
j
+ ω), ψ
i

= 0,
Q

Y

(1 + α)T (
p

j=1

j
v
j
+ ω) −L(λ,
p

j=1

j
v
j
+ ω)
− (1 + α)M(
λ
1 + α
,
p

j=1

j
v
j

+ ω)

= 0.
Lại do λ là giá trị riêng của cặp (T, L) nên ta có

T (ω) + αT (
p

j=1

j
v
j
+ ω) −L(
λ, ω) −(1 + α)M(
λ
1 + α
,
p

j=1

j
v
j
+ ω), ψ
i

= 0, (2.6)
Q

Y

T (ω) + αT (
p

j=1

j
v
j
+ ω) −L(
λ, ω) −(1 + α)M(
λ
1 + α
,
p

j=1

j
v
j
+ ω)

= 0. (2.7)
Vì T − L(λ, .) : X
1
−→ Y
1
; ω ∈ X

1
; X
1
= X
⊥
0
nên
T (ω) −L(λ, ω), ψ
i
 = 0, i = 1, 2, . . . , p.
Do đó phương trình (2.6) có dạng

αT (
p

j=1

j
v
j
+ ω) −(1 + α)M(
λ
1 + α
,
p

j=1

j
v

j
+ ω), ψ
i

= 0. (2.8)
22
Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh
Mặt khác, do toán tử T − L(λ, .) hạn chế trên X
1
là tuyến tính liên tục từ X
1
lên Y
1
và ω ∈ X
1
nên T (ω) − L(λ, ω) ∈ Y
1
, mà Q
Y
: Y −→ Y
1
do đó phương trình
(2.7) trở thành
T (ω) −L(λ, ω) = −Q
Y

αT (
p

j=1


j
v
j
+ ω) −(1 + α)M(
λ
1 + α
,
p

j=1

j
v
j
+ ω)

. (2.9)
Hơn nữa, T − L(λ, .) : X
1
−→ Y
1
là ánh xạ 1 − 1 và lên, nên tồn tại ánh xạ
Π = (T − L(λ, .))
−
1. Khi đó (2.9) có thể viết thành
ω + ΠQ
Y

αT (

p

j=1

j
v
j
+ ω) −(1 + α)M(
λ
1 + α
,
p

j=1

j
v
j
+ ω)

= 0. (2.10)
Vì vậy, việc giải hệ (2.6), (2.7) trở thành giải hệ (2.8), (2.10):

αT (
p

j=1

j
v

j
+ ω) −(1 + α)M(
λ
1 + α
,
p

j=1

j
v
j
+ ω), ψ
i

= 0, (2.8)
ω + ΠQ
Y

αT (
p

j=1

j
v
j
+ ω) −(1 + α)M(
λ
1 + α

,
p

j=1

j
v
j
+ ω)

= 0. (2.10)
Ta xét phương trình (2.10).
Chọn hình cầu mở U
0
= U(0, r) trong R
p
sao cho
p

j=1

j
v
j
+ ω ∈ P
X
(D), ∀(
1
, 
2

, . . . , 
p
) ∈ U
0
, D ⊂ X.
Đặt V
0
= I
0
× U
0
× Q
X
(D) và định nghĩa ánh xạ G
1
: V
0
−→ X
1
xác định bởi
G
1
(z, ω) = ΠQ
Y

αT (
p

j=1


j
v
j
+ ω) −(1 + α)M(
λ
1 + α
,
p

j=1

j
v
j
+ ω)

,
với z = (α, 
1
, . . . , 
p
) ∈ I
0
× U
0
, ω ∈ Q
X
(D)
Khi ấy phương trình (2.10) tương đương với phương trình
ω + G

1
(z, ω) = 0. (2.11)
Giải phương trình (2.11) ta sẽ tìm được ω = ω(z) với z = (α, 
1
, . . . , 
p
). Vì thế ta
chỉ còn phải tìm (α, 
1
, . . . , 
p
) ∈ I
0
× U
0
.
Để giải được phương trình (2.11), ta cần có một vài bổ đề sau:
23
Chương 2. Phương pháp giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh
Bổ đề 2.2.1. Với Giả thiết 1, 2 tồn tại các lân cận V ⊂ V
0
và một hằng số C
2
sao cho
||G
1
(z, ω) −G
1
(˜z, ˜ω)|| ≤ C
2

|z − ˜z| +
1
3
||ω − ˜ω||, ∀(z, ω), (˜z, ˜ω) ∈ V.
Chứng minh. Đặt V (t) = tV
0
, ∀t ∈ (0, 1). Khi đó, với bất kì (z, ω) ∈ V (t) có thể
viết là z = (α, 
1
, . . . 
p
) = (tα

, t

1
, . . . , t

p
) với (α

, 

1
, . . . , 

p
) ∈ I
0
× U

0
và ω = tω

với ω

∈ Q
X
(D). Hơn nữa, ta định nghĩa ánh xạ N
i
: V
0
−→ X
1
, (i = 1, 2, 3) xác
định bởi:
N
1
(z, ω) = ΠQ
Y

|α|T (
p

j=1

j
v
j
+ ω)


;
N
2
(z, ω) = (1 + |α|)ΠQ
Y

H(
λ
1 + |α|
, (
p

j=1

j
v
j
+ ω)

;
N
3
(z, ω) = (1 + |α|)ΠQ
Y

K(
λ
1 + |α|
, (
p


j=1

j
v
j
+ ω)

,
với z = (α, 
1
, . . . , 
p
) ∈ I
0
× U
0
, ω ∈ Q
X
(D).
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết Q
X
(D) = B(0, s) là hình cầu mở
trong X
1
với tâm 0 và bán kính s.
Ta xét (z, ω), (˜z, ˜ω) ∈ V (t), t ∈ (0, 1) và ω = tω

, ˜ω = t˜ω


z = (α, 
1
, . . . 
p
) = (tα

, t

1
, . . . , t

p
);
˜z = (˜α, ˜
1
, . . . , ˜
p
) = (t˜α

, t˜

1
, . . . , t˜

p
).
Đặt γ := ΠQ
Y
, ta có
N

1
(z, ω) −N
1
(˜z, ˜ω) =



ΠQ
Y
(|α|T (
p

j=1

j
v
j
+ ω)) −ΠQ
Y
(|˜α|T (
p

j=1
˜
j
v
j
+ ˜ω))




= γ||T ||

|α||| + |α|||ω|| −|˜α||˜| + |˜α|||˜ω||

= γ||T ||

|α||| − |˜α||| + |α|||ω||−|˜α|||ω|| − |˜α||˜| − |˜α|||+ |˜α|||ω|| − |˜α|||˜ω||

≤ γ||T ||

|α − ˜α|(|| + ||ω||) + |˜α|(| − ˜| + ||ω − ˜ω||)

24