phương pháp tô pô và giải tích trong lý thuyết rẽ nhánh

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM









NGUYỄN THỊ HẬU









PHƯƠNG PHÁP TÔ PÔ VÀ GIẢI TÍCH TRONG
LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC














Thái Nguyên, năm 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên





ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ HẬU






PHƯƠNG PHÁP TÔ PÔ VÀ GIẢI TÍCH TRONG
LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH



Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 60.46.01.02



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn

Thái Nguyên, năm 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng
dẫn của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn. Các số liệu và kết quả nghiên cứu
nêu trong Luận văn này là hoàn toàn trung thực, chưa từng được công bố
trong bất kỳ một công trình của tác giả nào khác.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Hậu
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo
của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn, Viện Toán học. Em xin được bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến
Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Đại học sư phạm, Đại học Thái
Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên
trong lớp cao học toán K19 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong
suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn
nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp

ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Thị Hậu
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
MỞ ĐẦU 1
1 LÝ THUYẾT BẬC ÁNH XẠ 8
1.1 Các kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Định nghĩa bậc ánh xạ C
1
trong R
n
. . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Định nghĩa bậc ánh xạ C trong R
n
. . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Ứng dụng của bậc ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 LÝ THUYẾT RẼ NHÁNH 24
2.1 Một số kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Một số kí hiệu và bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
KẾT LUẬN 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO 54
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, nhiều hiện tượng tự nhiên và vấn đề khoa học có thể
mô tả bằng ngôn ngữ toán học qua việc giải phương trình phụ thuộc
tham số, chẳng hạn như hiện tượng thời tiết, quá trình sinh trưởng của
động vật, sự phát triển của nền kinh tế trong một thời kì, sự phát triển
gen của các tế bào sinh vật, các phản ứng hóa học vật lý, . . . Việc nghiên
cứu các lĩnh vực này cần nhiều sự hỗ trợ của lý thuyết rẽ nhánh. Đây
là vấn đề được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu,
phát triển mạnh mẽ và ứng dụng trong những bài toán thực tế.
Lý thuyết rẽ nhánh nghiên cứu những phương trình phụ thuộc tham
số, đặc biệt nó tìm những giá trị tham số mà tại đó cấu trúc tập nghiệm
bị thay đổi. Thời gian gần đây, lý thuyết này được sử dụng nhiều để
giải quyết những vấn đề nảy sinh trong vật lý học, sinh học và những
môn khoa học tự nhiên khác. Nhiều kết quả của lý thuyết rẽ nhánh đã
và đang giải quyết có hiệu quả những vấn đề nảy sinh trong khoa học
cũng như thực tế cuộc sống. Việc nghiên cứu những nghiệm rẽ nhánh
đối với phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số đã được nhiều người
quan tâm và nghiên cứu trong nhiều đề tài khoa học.
Nói một cách ngắn gọn, cho trước một phương trình phụ thuộc tham
số, phương trình này có thể có nghiệm với giá trị nào đó của tham số,
khi giá trị tham số thay đổi thì tính duy nhất nghiệm của phương trình
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
có thể không được đảm bảo. Hiện tượng này có mô tả toán học như sau.
Cho hàm số F : Λ × D → Y , trong đó Λ là không gian mêtric
với metric d, D là lân cận của điểm 0 trong không gian định chuẩn
X, và Y là không gian định chuẩn. Giả thiết rằng với λ có v(λ) để
F (λ, v(λ)) = 0. Bằng cách tịnh tiến, ta có thể giả thiết v(λ) = 0. Mỗi
nghiệm (λ, 0) được gọi là nghiệm tầm thường của phương trình:

F (λ, v) = 0, (λ, v) ∈ Λ ×
¯
D. (0.1)
Ta sẽ tìm những nghiệm tầm thường (
¯
λ, 0) mà tại những lân cận của
nó có tính chất: với δ > 0,  > 0 cho trước, tồn tại nghiệm không
tầm thường (λ, u) ∈ Λ ×
¯
D của phương trình trên với d(λ,
¯
λ) < δ và
0 < u < . Nghiệm tầm thường (
¯
λ, 0) này được gọi là nghiệm rẽ
nhánh của phương trình (0.1) và
¯
λ được gọi là điểm rẽ nhánh. Những
bài toán nghiên cứu nghiệm rẽ nhánh của phương trình được gọi là bài
toán rẽ nhánh.
Trong lý thuyết rẽ nhánh, người ta thường đề cập tới những bài toán
sau:
1) Sự tồn tại của nghiệm rẽ nhánh;
2) Tồn tại những nhánh nghiệm;
3) Tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất bị phá vỡ;
4) Nghiên cứu tính ổn định của nghiệm rẽ nhánh;
5) Một số bài toán khác.
Có rất nhiều phương pháp toán học khác nhau nghiên cứu những bài
toán trên như:
- Phương pháp biến phân đã được Wainberg và Krasnoselski đưa ra từ

những năm 50 của thế kỉ trước trong [4], [12];
- Phương pháp tô pô sử dụng bậc ánh xạ đã được Krasnoselski đưa ra
trong [3], [5], [10];
- Phương pháp giải tích cho những toán tử khả vi dựa trên các định lý
hàm ẩn đã được trình bày trong [8], [11], . . .
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mỗi phương pháp được ứng dụng cho một phương trình khác nhau.
Dựa vào định lí hàm ẩn, ta dễ dàng thấy rằng mọi điểm rẽ nhánh đều
là giá trị riêng của phần tuyến tính của phương trình. Tuy nhiên, không
phải giá trị riêng nào của phần tuyến tính cũng là điểm rẽ nhánh.
Ví dụ 0.1.
Xét hệ phương trình vi phân:
u” + λ[u + v(u
2
+ v
2
)] = 0 trong (0, 1) (0.2)
v” + λ[v − u(u
2
+ v
2
)] = 0 trong (0, 1) (0.3)
u(0) = u(1) = v(0) = v(1) = 0. (0.4)
Ta dễ dàng thấy phần tuyến tính của hệ này có giá trị riêng bội hai λ
n
với n = 1, 2, . . . Nhân phương trình (0.2) với v và nhân phương trình
(0.3) với u, sau đó lấy tích phân của từng phương trình và sử dụng điều
kiện (0.4) rồi trừ hai phương trình đó cho nhau, ta được
λ

1

0
(u
2
+ v
2
)dx = 0 ⇒ v = u = 0.
Tức là với mỗi n thì λ
n
không phải là điểm rẽ nhánh.
Rất nhiều những công trình của các tác giả khác nhau cho các bài
toán 1) - 3) với các phương pháp biến phân, tô pô, giải tích cho những
trường hợp đặc biệt tham số là những số thực có dạng
T (v) −λC(v) = 0 (λ, v) ∈ R ×
¯
D.
Trong trường hợp X là không gian Hilbert, T là toán tử đồng nhất,
C là toán tử hoàn toàn liên tục từ X → X với C(0) = 0 và là đạo
hàm của một hàm liên tục yếu g nào đó, thì Krasnoselski [4] đã chỉ
ra: mỗi giá trị riêng của phần tuyến tính đều là điểm rẽ nhánh. Ông
đã sử dụng phương pháp biến phân dựa trên tư tưởng của Lyusternik
- Schnirelman. Kết quả này đã được Berger tổng quát hóa trong công
trình [1].
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Cho X là không gian Banach, T = id, C = L+H, trong đó L là toán
tử đạo hàm Fréchet của C tại 0 và H có tính chất
lim
v→0

H(v)
v
= 0.
Nếu C là toán tử hoàn toàn liên tục, thì mỗi giá trị riêng của L với bậc
đại số lẻ đều là điểm rẽ nhánh. Kết quả này được Petryshyn mở rộng
cho lớp ánh xạ tổng quát hơn trong [7].
Phương pháp giải tích đối với lý thuyết rẽ nhánh dựa trên tư tưởng
của Liapunov - Schmidt sử dụng phép chiếu là đưa phương trình nghiên
cứu về hai phần: một phần nằm trong không gian hữu hạn chiều với số
chiều là p; phần còn lại nằm trong không gian vô hạn chiều trực giao.
Tức là, ta chuyển bài toán về một hệ p + 1 phương trình p ẩn. Phần
nằm trong không gian hữu hạn chiều thường được gọi là phương trình
rẽ nhánh. Phương trình nằm trong không gian vô hạn chiều thì giải
được duy nhất nghiệm. Nếu phương trình rẽ nhánh giải được thì bài
toán cũng giải được.
Trong luận văn này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh bằng phương pháp
kết hợp giữa phương pháp tô pô và phương pháp giải tích để chỉ ra khi
nào thì giá trị riêng của phần tuyến tính là nghiệm rẽ nhánh.
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày một số vấn đề về lý thuyết bậc ánh xạ, dựa vào phương
pháp tô pô và giải tích để nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương trình
toán tử và ứng dụng trong thực tế.
Trình bày các kiến thức học tập về phương pháp tô pô và giải tích
trong lý thuyết rẽ nhánh phân dưới dạng một luận văn thạc sĩ với những
sáng tạo liên quan đến ứng dụng giải phương trình rẽ nhánh.
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Sự tồn tại của nghiệm rẽ nhánh;
- Các nhánh nghiệm;

- Tìm những giá trị tham số tại đó tính duy nhất bị phá vỡ.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích, sử dụng phương pháp tô pô và giải tích để chỉ ra khi nào
thì giá trị riêng của phần tuyến tính là nghiệm rẽ nhánh. Vận dụng kiến
thức của bậc ánh xạ và của giải tích hàm, giải tích hiện đại và lý thuyết
phương trình toán tử để xét sự rẽ nhánh của phương trình nghiên cứu.
5. Bố cục của Luận văn
Luận văn bao gồm: Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và
Tài liệu tham khảo.
Chương 1. Trình bày lý thuyết bậc ánh xạ với các nội dung sau.
Cho D là tập mở giới nội trong R
n
với biên ∂D, ta định nghĩa
C(D, R
n
) = {f :
¯
D → R
n
| f liên tục trên
¯
D},
C
r
(D, R
n
) = {f ∈ C(D, R
n
) | f có các đạo hàm riêng cấp r trong D
và liên tục trên

¯
D}.
Với mỗi D, φ ∈ C(D, R
n
), p ∈ ∂D ta cho tương ứng với một số nguyên
và được gọi là bậc ánh xạ φ tại p trong D như sau:
1) Trường hợp φ
−1
(p) ∩ Z = ∅, deg(p, φ, D) được định nghĩa
deg(p, φ, D) =

φ(x)=p
sign|J
φ
(x)|.
2) Trường hợp φ
−1
(p) ∩ Z = ∅, khi ấy tồn tại q
m
→ p(m → ∞),
q
m
∈ φ
−1
(∂D)∩Z, ta định nghĩa deg(p, φ, D) = lim
m→∞
deg(q
m
, φ, D).
5

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3) Trường hợp φ ∈ C(D, R
n
), do đó tồn tại φ
m
∈ C
1
(D, R
n
), φ
m
→ φ,
khi m → ∞ ta định nghĩa deg(p, φ, D) = lim
m→∞
deg(p, φ
m
, D).
Tiếp theo, ta chỉ ra các tính chất cơ bản của bậc ánh xạ như: tính
liên tục, tính bất biến đồng luân, tính cộng tính, tính khoét, và tính chỉ
phụ thuộc vào giá trị trên biên. Cuối cùng ta đưa ra các ứng dụng của
bậc ánh xạ.
Chương 2. Trình bày các khái niệm cơ bản về phép chiếu trong không
gian Banach và lược đồ Liapunov - Schmidt để chuyển phương trình
toán tử về hệ phương trình gồm hai phần: phần dễ giải thường nằm
trong không gian vô hạn chiều và phần khó giải nằm trong không gian
hữu hạn chiều. Nhờ lược đồ này, ta nghiên cứu sự rẽ nhánh của phương
trình phụ thuộc tham số.
Cho X là không gian Banach với tích vô hướng <, > và chuẩn  · .
D là tập mở chứa 0 trong X và Λ là một tập mở của không gian định
chuẩn, F : Λ ×

¯
D → X là toán tử phi tuyến. Ta xét sự rẽ nhánh của
phương trình
F (λ, v) = 0 với (λ, v) ∈ Λ ×
¯
D,
với F (λ, v) có dạng
F (λ, v) = T (v) − L(λ, v) − H(λ, v) − K(λ, v),
trong đó T : X → Y là toán tử tuyến tính liên tục, L(λ, ·) : X → Y
là toán tử tuyến tính liên tục với λ ∈ Λ cố định, H : Λ ×
¯
D → Y
và K : Λ ×
¯
D → Y là các toán tử phi tuyến liên tục sao cho với mọi
λ ∈ Λ ta có H(λ, 0) = K(λ, 0) = 0, với (λ, 0) là nghiệm tầm thường
của phương trình F(λ, v) = 0.
Cho
¯
λ ∈ Λ, theo định lí hàm ẩn ta chỉ ra được điều kiện cần để (
¯
λ, 0)
là nghiệm rẽ nhánh của phương trình F(λ, v) = 0 là:
ker(T −L(
¯
λ, .)) = {0}.
Tiếp theo, để chỉ ra sự tồn tại của nghiệm rẽ nhánh của phương trình
(0.1) ta đưa ra 3 giả thiết sau:
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

- Giả thiết 1: αL(
¯
λ, v) = L(α
¯
λ, v) ∀v ∈
¯
D, α ∈ [0, 1].
- Giả thiết 2: H và K là các toán tử liên tục Lipchitz trên Λ ×
¯
D, hơn
nữa ∃a ∈ R, a > 1 và hàm thực ρ : R → R, ρ = ρ(δ) với lim
δ→0
ρ(δ) = 0
sao cho
(i) P
Y
H(λ, tv) = t
a
P
Y
H(λ, v) ∀ (λ, v) ∈ Λ ×
¯
D, t ∈ [0, 1],
(ii) α
−a
P
Y
K(
¯
λ

1 + α
a−1
, αv) → 0 khi α → 0
+
đều theo v (v ∈
¯
D) và
K(λ, v) −K(λ

, v

) ≤ ρ(|λ −λ

|
Λ
+ v −v

)(|λ −λ

|
Λ
+ v −v

)
với mọi (λ, v), (λ

, v

) ∈ Λ ×
¯

D,
trong đó P
Y
là phép chiếu từ không gian Banach Y lên không gian
Y
1
= {y ∈ Y | < y, ψ
i
>= 0, i = 1, . . . , p}.
- Giả thiết 3: Giả sử có một điểm ¯x ∈ R
p
và tồn tại một lân cận U
∗
của ¯x = (¯x
1
, . . . , ¯x
p
) = 0 trong R
p
sao cho deg(0, A, U
∗
) = 0, trong đó
ánh xạ A : R
p
→ R
p
, A = (A
1
, . . . , A
p

) được định nghĩa bởi
A
i
(x) =< T

p

j=1
x
j
v
j

− H

¯
λ,
p

j=1
x
j
v
j

, ψ
i
>,
với i = 1, . . . , p và x = (x
1

, . . . , x
p
) ∈ R
p
.
Ta chỉ ra rằng với  > 0 cho trước và giả thiết 1-3 thỏa mãn, (
¯
λ, 0)
là một nghiệm rẽ nhánh của phương trình (0.1). Hơn vậy, δ > 0 thì tồn
tại một lân cận I
3
của 0 ∈ R sao cho với mỗi α ∈ I
3
, α = 0, có thể
tìm được x(α) =

x
1
(α), . . . , x
p
(α)

∈ U
∗
và một nghiệm không tầm
thường

λ(α), v(α)

của phương trình (0.1) với λ(α) =

¯
λ
1 + |α|
a−1
và
v(α) =
p

j=1
|α|x
j
(α)v
j
+ o(|α|) khi α → 0 thỏa mãn |λ(α) −
¯
λ| < δ và
0 < v(α) < .
Từ các giả thiết này ta có được một số hệ quả của bài toán tìm
nghiệm rẽ nhánh của phương trình (0.1).
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
LÝ THUYẾT BẬC ÁNH XẠ
Mục đích của chương này là định nghĩa bậc của ánh xạ liên tục từ tập
¯
D (D mở giới nội) vào R
n
và mô tả một số tính chất cơ bản của bậc ánh
xạ. Trước hết ta nhắc lại các khái niệm cần dùng.
1.1 Các kiến thức cơ bản

Định nghĩa 1.1. Cho hàm f : (a, b) ⊂ R → R.
a) Hàm f được gọi là khả vi hay có đạo hàm tại điểm c ∈ (a, b) nếu tồn tại
giới hạn
lim
t→0
f(c + t) − f(c)
t
< +∞.
Giới hạn này được ký hiệu bởi f

(c) và được gọi là đạo hàm của f tại c.
b) Hàm f được gọi là khả vi trên (a, b) nếu f khả vi tại mọi điểm x ∈ (a, b).
c) Giả thiết f khả vi trên (a, b). Vi phân của hàm f(x) là hàm df phụ thuộc
hai biến độc lập x và ∆x được xác định như sau
df(x, ∆x) := f

(x)∆x.
Vì dx(x, ∆x) = ∆x, để thuận tiện ta thường viết dx = ∆x và kí hiệu vi
phân của hàm f(x) là df(x). Khi đó ta có
df(x) = f

(x)dx.
Định nghĩa 1.2. Cho hàm số f :
n

i=1
(a
i
, b
i

) ⊂ R
n
→ R và điểm c =
(c
1
, . . . , c
n
) ∈
n

i=1
(a
i
, b
i
).
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a) Hàm f được gọi là khả vi theo biến thứ i hay có đạo hàm riêng theo biến
thứ i (i = 1, . . . , n) tại điểm c nếu tồn tại giới hạn
lim
t→0
f(c
1
, . . . , c
i
+ t, . . . , c
n
) − f(c
1

, . . . , c
n
)
t
< +∞.
Giới hạn này được ký hiệu bởi
∂f
∂x
i
(c) và được gọi là đạo hàm riêng theo
biến thứ i của f tại c.
b) Nếu hàm số f có đạo hàm riêng
∂f
∂x
i
(c) với mọi i = 1, . . . , n, thì véc tơ

∂f
∂x
1
(c), . . . ,
∂f
∂x
n
(c)

được gọi là Gradient của f tại c và kí hiệu là grad f(c).
Định nghĩa 1.3. Cho ánh xạ f = (f
1
, . . . , f

m
) : R
n
→ R
m
.
a) f được gọi là khả vi tại x ∈ R
n
nếu f
i
có các đạo hàm riêng
∂f
i
∂x
j
(x) với
i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. Khi đó ma trận

∂f
i
∂x
j

i=1, ,m,j=1, ,n
được gọi là
ma trận Jacobian của f tại x và kí hiệu là J
f
(x) hoặc f

(x).

b) f được gọi là khả vi trên D =
n

i=1
(a
i
, b
i
) ⊂ R
n
nếu f khả vi tại mọi điểm
c ∈
n

i=1
(a
i
, b
i
).
Định nghĩa 1.4. Cho D là tập mở, giới nội trong R
n
với biên ∂D. Kí hiệu
C(D, R
n
) := {f :
¯
D → R
n
| f liên tục trên

¯
D},
C
r
(D, R
n
) := {f ∈ C(D, R
n
) | fcó các đạo hàm riêng cấp r trong D và
liên tục trên
¯
D}.
Trên các không gian C(D, R
n
), C
r
(D, R
n
) ta lần lượt định nghĩa chuẩn
như sau
f = max
x∈D
|f(x)|,
f
r
= max
x∈D

|f(x)| +
r


j=1
n

i=1


∂
j
f
∂x
j
i
(x)



.
Định lý 1.5. (Định lý Sard (xem [1])) Giả sử f là hàm thuộc lớp C
1
và
J
f
(x) là Jacobian của f tại x ∈ D. Khi đó, với mỗi tập E bất kì đo được của
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
D thì f(E) đo được và m(f(E)) ≤

E
|J

f
(x)|dx. Từ đây, ta suy ra m(f(Z))=
0, với Z là tập các điểm tới hạn của f trong D : Z = {x ∈ D/|J
f
(x)| = 0}.
1.2 Định nghĩa bậc ánh xạ C
1
trong R
n
Xét hàm φ ∈ C
1
(D, R
n
) và điểm p ∈ R
n
, p ∈ φ(∂D). Bậc của hàm φ
trên D đối với p là một số nguyên, kí hiệu là deg(p, φ, D), được định nghĩa
như sau.
Trường hợp 1: Nếu φ ∈ C
1
(D, R
n
), p ∈ R
n
\ φ(∂D), φ
−1
(p) ∩ Z = ∅,
thì tập φ
−1
(p) là hữu hạn.

Thật vậy, giả sử có x
0
∈ D, x
0
∈ φ
−1
(p), thì |J
φ
(x
0
)| = 0. Theo định
lý hàm ẩn, tồn tại một lân cận U của x
0
và một lân cận V của p sao cho
φ : U → V là một đồng phôi, nên tập φ
−1
(p) là rời rạc. Hơn nữa, vì
¯
D là
tập compact, nên φ
−1
(p) là hữu hạn. Do đó, khái niệm này được định nghĩa
như sau
deg(p, φ, D) =

φ(x)=p
sign|J
φ
(x)|.
Như vậy, hiển nhiên ta thấy nếu p ∈ φ(

¯
D), thì deg(p, φ, D) = 0.
Trường hợp 2: Nếu φ ∈ C
1
(D, R
1
), p ∈ R
1
\ φ(∂D), φ
−1
(p) ∩ Z = ∅.
Trong trường hợp này, theo Định lý 1.5 ta có m(φ(Z)) = 0. Từ đây, suy ra
int(φ(Z)) = ∅, nên tồn tại một dãy {q
n
}(q
n
∈ φ(∂D)) sao cho q
n
→ p và
φ
−1
(q
n
) ∩ Z = ∅. Theo trường hợp 1, ta định nghĩa được deg(q
n
, φ, D), và
ta thấy giới hạn lim
q
n
→p

deg(q
n
, φ, D) tồn tại không phụ thuộc vào dãy {q
n
}.
Do đó, khái niệm này được định nghĩa bởi
deg(p, φ, D) = lim
q
n
→p
deg(q
n
, φ, D), với (φ
−1
(q
n
) ∩ Z = ∅).
Để chứng minh được điều này, trước hết ta chỉ ra một số tính chất của
các hàm thuộc lớp C
1
.
Định lý 1.6. Cho hàm φ ∈ C
1
(D, R
n
), p ∈ R
n
\φ(∂D) sao cho φ
−1
(p)∩Z =

∅ và họ hàm liên tục f

: R
n
→ R thỏa mãn
(i)

R
n
f

(x)dx = 1,
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
(ii) K

= supportf

= {x ∈ R
n
/f

(x) = 0} ⊂ S(p, ) = {q ∈ R
n
: |p −q| <
}.
Khi đó
deg(p, φ, D) =

¯

D
f

(φ(x))|J
φ
(x)|dx.
Chứng minh. Vì φ
−1
(p) ∩Z = ∅, nên φ
−1
(p) là hữu hạn, hay phương
trình φ(x) = p chỉ có k nghiệm (x
1
, . . . , x
k
), và |J
φ
(x
j
)| = 0 (i = 1, . . . , k).
Theo định lý hàm ẩn, tồn tại lân cận U
i
của x
i
và K
i
của p (K
i
=
S(p, 

i
)) sao cho φ : U
i
→ K
i
là đồng phôi. Chọn  = min
i=1, ,k

i
sao cho
U
i

∩U
j

= ∅ (i = j; i, j = 1, . . . , k), và φ : U
i

→ K
i

đồng phôi. Do hàm f

triệt tiêu ở bên ngoài ∪
n
i=1
K
i


, và U
i

∩ U
j

= ∅, nên

D
f

(φ(x))|J
φ
(x)|dx =

∪
k
i=1
U
i

f

(φ(x))|J
φ
(x)|dx
=
k

i=1


U
i

f

(φ(x))|J
φ
(x)|dx.
Vì |J
φ
(x
i
)| = 0 (i = 1, . . . , k), nên ta có thể cho giả thiết rằng |J
φ
(x)| = 0
tại mọi điểm trong U
i

. Trong trường hợp này, dấu của |J
φ
| trên mỗi U
i

là
không đổi. Do đó, có thể áp dụng định lý cổ điển về sự thay đổi biến trong
một tích phân đối với φ : U
i

→ K

i

. Ta có

D
f

(φ(x))|J
φ
(x)|dx =
k

i=1
sign|J
φ
(x
i
)| = deg(p, φ, D).
Đây có thể coi là một cách định nghĩa khác của deg(p, φ, D) trong trường
hợp φ
−1
(p) ∩ Z = ∅. Vậy định lý đã được chứng minh.
Tiếp theo, ta xét hàm véc tơ v : R
n
→ R
n
thuộc lớp C
1
, v(x) =
(v

1
(x), . . . , v
n
(x)) với v
i
: R
n
→ R. Đặt f =
n

i=1
∂v
i
∂x
i
thì hàm f : R
n
→ R
được gọi là hàm divergence của v và kí hiệu là div v, (f = div v).
Bổ đề 1.7. Cho hàm véc tơ v : R
n
→ R
n
thuộc lớp C
1
, v = (v
1
, . . . , v
n
),

và f = div v. Nếu supp v = K là tập giới nội trong R
n
, thì

R
n
f(x)dx = 0.
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Cho v như trên và φ ∈ C
1
(D, R
n
), ta có
Bổ đề 1.8. Nếu K ∩ φ(∂D) = ∅, thì hàm g(x) = f(φ(x))|J
φ
(x)| cũng là
divergence của một hàm u nào đó thuộc lớp C
1
với supp u chứa trong D.
Chứng minh. Vì φ ∈ C
1
(D, R
n
), nên J
φ
(x) = (
∂φ
i
∂x

i
). Giả sử a
i,j
là định
thức con của |J
φ
(x)| bỏ đi thành phần
∂φ
i
∂x
j
, khái niệm u được định nghĩa
bởi
u
i
(x) =

j
(φ(x))a
i,j
(x) (i = 1, . . . , n).
Vì v ∈ C
1
(D, R
n
), φ ∈ C
1
(D, R
n
), nên u ∈ C

1
(D, R
n
). Từ giả thiết
K ∩φ(∂D) = ∅ ta có thể coi u được định nghĩa trên toàn R
n
(với giá trị 0
nằm ngoài D) và có suppu nằm trong D. Bây giờ, ta chứng minh divu = g.
Ta dễ dàng tính được
u
i
i
(x) =

k,j
[v
j
k
(φ(x))φ
k
i
(x)a
i,j
(x) + v
j
(φ(x))a
i,j
i
(x)],
divu =


i
u
i
i
= divvJ
φ
(x) +

i,j
v
j
(φ(x))a
i,j
i
(x)
= g(x) +

i,j
v
j
(φ(x))(

i
a
i,j
i
(x)).
Theo định nghĩa ta có
(n − 1)!a

i,j
=


i,m
1
, ,m
n−1
j,j
1
, ,j
n−1
φ
j
1
, ,j
n−1
m
1
, ,m
n−1
,
với 
i,m
1
, ,m
n−1
j,j
1
, ,j

n−1
là chu kì hoán vị m
h
→ j
h
. Lấy đạo hàm ta được

i
a
i,j
i
= 0.
Từ đó suy ra divu = g(x).
Bổ đề 1.9. Cho f là hàm liên tục xác định trên R
n
với K = supp f ⊂ D.
Giả sử x
0
∈ R
n
và conv(K ∪(K −x
0
)) ⊂ D, khi đó hàm f(x) −f(x + x
0
)
là divergence của ánh xạ v : R
n
→ R
n
có supp v ⊂ D.

12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Giả sử φ(x) = f(x) − f(x + x
0
), có supp φ ⊂ con v(K ∪
(K − x
0
)), khái niệm này được định nghĩa bởi
Φ(x) =
0

−∞
φ(x + tx
0
)dt, v
i
(x) = x
0
i
Φ(x).
Suy ra supp v
i
⊂ con v(K ∪ (K − x
0
)). Hơn nữa, nếu v = (v
1
, . . . , v
n
), thì
div v = φ.

Thật vậy, ta có div v =

i
v
i
i
=

i
x
0
i
∂Φ
∂x
i
. Do

i
x
0
i
∂Φ
∂x
i
là đạo hàm theo
phương của hàm Φ tại điểm x
0
và

i

x
0
i
∂Φ
∂x
i
=
d
dt
Φ(x + tx
0
)
t=0
.
Theo định nghĩa của Φ, thì
d
dt
Φ(x + tx
0
)
t=0
=
d
dt

0

−∞
φ(x + (t + u)x
0

)du

t=0
=

0

−∞
d
dt
φ(x + (t + u)x
0
)du

t=0
=

0

−∞
d
dt
φ(x + ux
0
)du

t=0
= φ(x).
Tức là div v = φ(x) = f(x) − f(x + x
0

). Như vậy, bổ đề đã được chứng
minh.
Cho x(s) là đường cong liên tục trong R
n
, 0 ≤ s ≤ 1 khái niệm quan
hệ tương đương trên [0, 1] được định nghĩa như sau: s
1
, s
2
∈ [0, 1], s
1
tương
đương với s
2
nếu f(x + x(s
1
)) −f(x + x(s
2
)) là divergence của một ánh xạ
u ∈ C
1
với support ⊂ D. Theo Bổ đề 1.9, ta thấy tính divergence được bảo
toàn qua một đường cong liên tục. Điều này thể hiện rõ qua hệ quả sau
Hệ quả 1.10. Cho x(s) là đường cong liên tục trong R
n
, 0 ≤ s ≤ 1, f :
R
n
→ R là hàm liên tục với K = suppf ⊂ D. Giả sử
(i) K ⊂ convM, M là tập compac, M ⊂ D,

(ii) M − x(s) ∩ ∂D = ∅ với mọi s ∈ [0, 1].
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Khi đó f(x + x(0)) − f(x + x(1)) là divergence của ánh xạ v ∈ C
1
, v :
R
n
→ R
n
mà suppv ⊂ D.
Chứng minh. Lấy s, s

∈ [0, 1], định nghĩa x
0
= x(s

) − x(s) và K
1
=
K + x(s), ta suy ra K
1
+ x
0
= K + x(s

). Vì K ∪ K − x
0
⊂ D nên
K

1
∪K
1
−x
0
⊂ M ⊂ D. Theo Bổ đề 1.9, thì f(y) −f(y +x
0
) là divergence
của một hàm v ∈ C
1
và supp v ⊂ D. Mặt khác, y ∈ K
1
= K + x(s) nên
suy ra y = x + x(s) (x ∈ K). Do đó
f(y) − f(y + x
0
) = f(x + x(s)) − f(x + x(s) + x
0
)
= f(x + x(s)) −f(x + x(s

)
là divergence của hàm v ∈ C
1
có supp v ⊂ D, tức là s ∼ s

.
Cũng theo Bổ đề 1.9, ta kết luận rằng với mọi lớp tương đương là tập mở.
Nhưng [0, 1] là tập liên thông, vì vậy chỉ có một lớp tương đương duy nhất,
nghĩa là 0 ∼ 1, hay f(x + x(0)) − f(x + x(1)) là divergence của v ∈ C

1
có
supp v ⊂ D.
Trở lại định nghĩa deg(p, φ, D) ta có mệnh đề sau
Mệnh đề 1.11. Cho φ ∈ C
1
(D, R
n
). Xét 2 điểm p, q ∈ R
n
\ φ(∂D) và
φ
−1
(p) ∩Z = ∅, φ
−1
(q) ∩Z = ∅. Nếu p, q cùng thuộc một thành phần liên
thông của tập mở R
n
\ φ(∂D), thì deg(p, φ, D) = deg(q, φ, D).
Chứng minh. Vì φ
−1
(p) ∩Z = ∅ và φ
−1
(q) ∩Z = ∅, nên ta định nghĩa
được deg(p, φ, D) và deg(q, φ, D). Nếu K

= K(p, ), với  đủ nhỏ, lấy họ
hàm f

: R

n
→ R sao cho K

= supp f

và

R
n
f

(x)dx = 1, thì
deg(p, φ, D) =

¯
D
f

(φ(x))|J
φ
(x)|dx. (1.1)
Do p, q cùng nằm trên một thành phần liên thông nên tồn tại x : [0, 1] → R
n
sao cho: x(0) = 0, x(1) = q − p. Khi đó, với hàm f

như trên theo Bổ đề
1.9, ta có f

(x)−f


(x+q −p) là một divergence của một hàm thuộc lớp C
1
.
Vì thế, theo Bổ đề 1.8 ta suy ra f

(φ(x))|J
φ
(x)| − f

(φ(x) + q − p)|J
φ
(x)|
cũng là divergence của một hàm thuộc lớp C
1
với support ⊂ D. Từ đó

¯
D
f

(φ(x))|J
φ
(x)|dx =

¯
D
f

(φ(x) + q − p)|J
φ

(x)|dx. (1.2)
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Từ (1.1) và (1.2) suy ra
deg(p, φ, D) =

¯
D
f

(φ(x) + q − p)|J
φ
(x)|dx. (1.3)
Đặt g

(x) = f

(x + q − p) với x ∈
¯
D, ta có
supp g

(x) = supp f

(x + q − p) = K(p + q − p, ) = K(q, ),
và

R
n
g


(x)dx =

R
n
f

(x + q − p)dx =

R
n
f

(t)dt = 1.
Từ (1.3) suy ra
deg(p, φ, D) =

¯
D
f

(φ(x) + q − p)|J
φ
(x)|dx
=

¯
D
g


(φ(x))|J
φ
(x)|dx
= deg(q, φ, D).
Với các tính chất đã xét như ở trên, ta thấy với φ
−1
(q
m
) ∩ Z = ∅,
lim
m→∞
deg(q
m
, φ, D) là tồn tại và không phụ thuộc vào q
m
.
Thật vậy, do p ∈ R
n
\φ(∂D), R
n
\φ(∂D) là tập mở nên tồn tại một lân
cận U của điểm p, U ⊂ R
n
\φ(∂D). Khi q
m
→ p, với m ≥ N nào đó thì q
m
cũng nằm trong U. Do đó, với m ≥ N, có thể coi p, q
m
cùng nằm trong một

thành phần liên thông. Theo Mệnh đề 1.11, thì tồn tại lim deg(q
m
, φ, D).
Mặt khác, giới hạn này không phụ thuộc vào q
m
vì giả sử có q
m
và q

m
cùng
thỏa mãn q
m
→ p, q

m
→ p khi m → ∞, q
m
∈ φ(Z), q

m
∈ φ(Z). Tức là,
tồn tại N
1
sao cho với mọi m ≥ N
1
có q
m
, p cùng thuộc một thành phần liên
thông; tồn tại N

2
sao cho với mọi m ≥ N
2
có q

m
, p cùng thuộc một thành
phần liên thông. Nếu chọn N = max(N
1
, N
2
), thì với mọi m ≥ N có q
m
, p
cùng thuộc một thành phần liên thông. Khi đó, theo mệnh đề trên ta có
lim
m→∞
deg(q
m
, φ, D) = lim
m→∞
deg(q

m
, φ, D).
Với kết luận như vậy, định nghĩa deg(p, φ, D) trong trường hợp 2 như sau
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Trường hợp 1. Nếu φ ∈ C
1

(D, R
n
), p ∈ R
n
\φ(∂D), φ
−1
(p) ∩Z = ∅, thì
trường hợp này bậc ánh xạ được định nghĩa bởi
deg(p, φ, D) = lim
q→p
deg(q
m
, φ, D) ( với φ
−1
(p) ∩ Z = ∅).
Trường hợp 2.
Hệ quả 1.12. Cho φ ∈ C
1
(D, R
n
), hai điểm p, q ∈ R
n
\φ(∂D) và φ
−1
(p) ∩
Z = ∅, φ
−1
(q) ∩ Z = ∅. Nếu p, q cùng thuộc một thành phần liên thông
của tập mở R
n

\ φ(∂D), thì deg(p, φ, D) = deg(q, φ, D).
Chứng minh. Vì p, q cùng nằm trong một thành phần liên thông nên
với m ≥ N nào đó sẽ tồn tại p
m
, q
m
sao cho p
m
→ p, q
m
→ q cùng thuộc
một thành phần liên thông. Khi đó theo Mệnh đề 1.11, ta có
lim
p
m
→p
deg(p
m
, φ, D) = lim
q
m
→q
deg(q
m
, φ, D),
với φ
−1
(p
m
) ∩ Z = ∅; φ

−1
(q
m
) ∩ Z = ∅.
Tức là deg(p, φ, D) = deg(q, φ, D).
Mệnh đề 1.13. Giả sử φ ∈ C
1
(D, R
n
), khi đó với mỗi p ∈ φ(∂D) ∪ φ(Z)
tồn tại một lân cận U của φ sao cho với mỗi ψ ∈ U ta có p ∈ ψ(∂(D)) và
deg(p, φ, D) = deg(q, ψ, D).
Chứng minh. Giả sử y
j
, j = 1, . . . , k là một phần tử của tập hữu hạn
φ
−1
(p). B
j
là hình cầu mở quanh y
j
, bán kính r
j
được xác định như sau: với
r
j
đủ nhỏ thì họ {B
j
} là rời nhau. Bây giờ, ta phải chứng minh nếu tồn tại
một lân cận U trong C

1
sao cho mỗi ψ trong U, thì phương trình ψ(x) = p
có nghiệm duy nhất trong mỗi B
j
và không có nghiệm nào khác.
Vì giả thiết p = φ(Z), nên phép lấy đạo hàm φ

của φ

(ma trận Jacobian)
là nghịch đảo tại mỗi y
1
. Nếu giảm bán kính r
j
, thì φ

là nghịch đảo tại mỗi
điểm của B
j
. Hơn nữa, ta có


(φ

(y
j
))
−1
(φ


(y) − φ

(y
j
))


<
1
2
, y ∈ B
j
, (1.4)
trong đó |.| cũng được dùng cho chuẩn của toán tử R
n
vào R
n
. Giả sử r là
bán kính nhỏ nhất trong các bán kính r
1
, . . . , r
k
. Nếu F = {D \∪
j
B
j
}, thì
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
F là compac và p = φ(F ). Tiếp theo, nếu α là số dương sao cho



(φ

(y
j
))
−1


> α, j = 1, . . . , k,
thì ta có thể định nghĩa được lân cận của φ trong C
1
để có nghiệm như
mong muốn. Chọn U là một hình cầu trong C
1
sao cho với mọi ψ ∈ U ta
có
1. p = ψ(F ).
2. ψ

(y) là nghịch đảo khi y ∈ ∪B
j
, và


(ψ

(y
k

))
−1


> α.
3.


(ψ

(y
k
))
−1
(ψ

(y) − ψ

(y
j
))


<
3
4
, y ∈ B
j
, j = 1, . . . , k.
4.



φ(x) − ψ(x)


<
αr
4
, x ∈
¯
D.
Ta chú ý rằng, mỗi tính chất 1., 2., 3., 4., định nghĩa cho một tập mở
trong C
1
(gọi là các tập A, B, C, D). Hiển nhiên, các tập A, B, D chứa φ,
trong đó φ ∈ C xác định bởi bất đẳng thức (1.4). Vì vậy, có thể chọn
U = A ∩ B ∩ C ∩ D. Do φ

là nghịch đảo trên mỗi B
j
, dấu của định thức
Jacobian là một hằng số, U là một hình cầu liên thông, nên với mọi φ trong
U ta có
sign J
ψ
(y) = sign J
φ
(y
j
) khi y ∈ B

j
, ψ ∈ U. (1.5)
Tiếp theo, ta chứng minh rằng với bốn tính chất trên thì phương trình
ψ(x) = p chỉ có một nghiệm trong mỗi B
j
.
Thật vậy, tính chất 1. cho ta thấy không có nghiệm nào ngoài ∪B
j
( vì
F =
¯
D \ ∪B
j
.) Trong B
j
ta định nghĩa η(y) = (ψ

(y
1
))
−1
(ψ(y)). Từ tính
chất 3. ta có


η

(y) − 1



<
3
4
, y ∈ B
1
.
Ta suy ra η là ánh xạ 1 −1 trên B
j
. Nghĩa là, ψ là ánh xạ 1 −1 trên B
1
.
Ta có η(B
1
) phủ một hình cầu B có bán kính (1 −
3
4
)r
1
=
1
4
r
1
>
1
4
r quanh
η(y
1
).

Vì


(ψ

(y
1
))
−1


> α, nên ψ

(y
1
)(B) phủ một hình cầu V có bán kính là
αr
4
, tâm ψ

(y
1
)(η(y
1
)). Nhưng ψ(y) = ψ

(y
1
)(η(y)), nên khi đó ψ(B
1

) phủ
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
V . Điều này nghĩa là mỗi x ∈ R
n
sao cho


x −ψ(y
1
)


<
1
4
αr được rút ra từ
x = ψ(b), b ∈ B
1
. Mặt khác, theo tính chất 4. ta có


p − ψ(y
1
)


=



φ(y
1
) − ψ(y
1
)


<
αr
4
,
và phương trình ψ(x) = p sẽ có ít nhất một nghiệm trong B
1
. Kết quả trên
cũng đúng cho mỗi B
j
và ta có ψ
−1
(p) ∩B
j
= {¯y
j
}, j = 1, . . . , k. Kết hợp
với phương trình (1.5) có
deg(p, ψ, D) =

j
sign



J
ψ
(¯y
j
)


=

j
sign


J
φ
(y
j
)


= deg(p, φ, D).
Bây giờ chuyển sang định nghĩa bậc cho ánh xạ thuộc lớp C(D, R
n
).
1.3 Định nghĩa bậc ánh xạ C trong R
n
Cho φ ∈ C(D, R
n
) và p ∈ φ(∂D), ta biết rằng tồn tại {φ
m

} → φ là dãy
hàm thuộc lớp C
1
(D, R
n
).
Trong tô pô C
1
có tính chất ∃N > 0 sao cho ∀m > N : p ∈ φ
m
(∂(D)).
Ở mục trên ta đã định nghĩa được deg(p, φ
m
, D). Ta khẳng định giới hạn
lim
m→∞
(p, φ
m
, D) là tồn tại và không phụ thuộc vào {φ
m
}.
Thật vậy, xét φ ∈ C
1
(D, R
n
), {φ
m
} thuộc vào lân cận U chứa φ và
φ
m

→ φ, m → ∞. Vì deg(p, φ
m
, D) là một hằng số, nên lim
m→∞
(p, φ
m
, D) là
tồn tại.
Giả sử có φ
1
m
, φ
2
m
∈ C
1
(D, R
n
) sao cho φ
1
m
, φ
2
m
cùng thuộc vào lân cận
U của φ và φ
1
m
→ φ, φ
2

m
→ φ khi m → ∞, ∃N > 0 sao cho ∀m >
N : p ∈ φ
i
m
(∂(D)) (i = 1, 2). Theo Mệnh đề 1.13 ta có deg(p, φ
1
m
, D) =
deg(p, φ
2
m
, D). Tức là lim
m→∞
(p, φ
m
, D) không phụ thuộc vào dãy {φ
m
}.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Định nghĩa 1.14. Giả sử φ ∈ C(D, R
n
) và p ∈ R
n
\φ(∂D), ta định nghĩa
bậc của φ trên D đối với điểm p như sau:
deg(p, φ, D) = lim
m→∞
(p, φ

m
, D)
với φ
m
là dãy thuộc lớp C
1
(D, R
n
) và φ
m
→ φ, m → ∞.
Ví dụ 1.15.
Cho D = U(0, 1) ⊂ R
2
, xét hàm φ : U → R
2
, φ(x) = (φ
1
(x), φ
2
(x)),
trong đó các φ
i
(x), (i = 1, 2) được xác định bởi
φ
1
(x) = x
2
1
+ 2x

1
x
2
+ 3x
2
,
φ
2
(x) = x
1
+ x
2
.
Xét điểm p = (0, 0) ∈ U(0, 1), ta có φ(x) = (φ
1
(x), φ
2
(x)) = (0, 0) ⇔
(x
1
, x
2
) = (0, 0).
Vì J
φ
(x) =

2x
1
+ x

2
2x
2
+ 3
1 1

, nên J
φ
(0, 0) =

0 3
1 1

.
Do đó, |J
φ
(0, 0)| = −3 = 0. Vậy deg(0, φ, D) = −1.
Định lí sau tổng kết lại các tính chất cơ bản của deg(p, φ, D).
Định lý 1.16. Với mỗi ánh xạ liên tục φ :
¯
D → R
n
và với mỗi p ∈ φ(∂D),
tồn tại số nguyên deg(p, φ, D) có những tính chất sau:
1. Tính liên tục. Với φ ∈ C(D, R
n
)
¯
D → R
n

và p ∈ φ(∂D), tồn tại lân
cận U của φ trong C(D, R
n
) sao cho nếu ψ ∈ U thì p ∈ ψ(∂D) và
deg(p, φ, D) = deg(p, ψ, D).
2. Tính bất biến đồng luân. Số nguyên deg(p, φ, D) chỉ phụ thuộc vào lớp
đồng luân của φ. Nếu φ
t
là họ ánh xạ φ
t
:
¯
D → R
n
liên tục theo t,
t ∈ [0, 1] sao cho p ∈ φ
t
(∂D) với mọi t, thì
deg(p, φ
0
, D) = deg(p, φ
1
, D).
3. Chỉ số phụ thuộc vào giá trị trên biên. Như là một hệ quả của tính chất
1. Nếu φ/
∂D
= ψ/
∂D
và p ∈ φ(∂D) = ψ(∂D), thì
deg(p, φ, D) = deg(p, ψ, D).

19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4. Nếu p ∈ φ(
¯
D), thì deg(p, φ, D) = 0. Nếu p và q thuộc vào R
n
\φ(∂D),
cùng nằm trong một thành phần liên thông, thì
deg(p, φ, D) = deg(q, φ, D).
5. Tính cộng tính. Nếu D = ∪
i
D
i
, với D
i
là mở, D
i
∩ D
j
= ∅, (i = j)
và ∂D
i
⊂ ∂D, thì với mỗi p ∈ φ(∂D) ta có
deg(p, φ, D) =

i
deg(p, φ, D
i
).
6. Tính khoét. Nếu p ∈ φ(∂D), K ⊂

¯
D, K là đóng và p ∈ φ(K), thì
deg(p, φ, D) = deg(p, φ, D \ K).
7. Tích đề các. Nếu D
1
⊂ R
n
, D
2
⊂ R
m
là mở, giới nội và φ
1
:
¯
D
1
→
R
n
, φ
2
:
¯
D
2
→ R
m
là liên tục, p ∈ φ
1

(∂D
1
), q ∈ φ
2
(∂D
2
), thì
deg((p, q), ψ, D
1
× D
2
) = deg(p, φ
1
, D
1
) × deg(q, φ
2
, D
2
),
trong đó, ψ :
¯
D
1
×
¯
D
2
→ R
n+m

liên tục được xác định bởi ψ(x, y) =
(φ
1
(x), φ
2
(x)), (p, q) ∈ ψ(∂D
1
× D
2
).
Chứng minh.
1. Chọn U = {f ∈ C
1
(D, R
n
), f − φ
1
< } là lân cận của φ trong C
1
nên với mọi ψ ∈ U ta có p ∈ ψ(∂D) và deg(p, φ, D) = deg(q, ψ, D). Vì
C
1
(D, R
n
) ⊂ C(D, R
n
), nên
f − φ ≤ f −φ
1
< .

Suy ra U = {f ∈ C
1
(D, R
n
) ⊂ C(D, R
n
); f −φ < } là lân cận của
φ trong C(D, R
n
). Vậy ∃φ ∈ U ⊂ C(D, R
n
) để ∀ψ ∈ U, p ∈ ψ(∂D) và
deg(p, φ, D) = deg(p, ψ, D).
2. Với mỗi φ
t
:
¯
D → R
n
liên tục theo t, p ∈ φ
t
(∂D) với ∀t ∈ [0, 1], ∃φ
m
t
∈
C
1
(D, R
n
) sao cho φ

m
t
→ φ
t
, p ∈ φ
m
t
(∂D) nên ta định nghĩa được
deg(p, φ
t
, D) = lim
m→∞
deg(p, φ
m
t
, D). Trên [0, 1] ta định nghĩa quan hệ
tương đương như sau
s, s
1
∈ [0, 1], s ∼ s
1
nếu deg(p, φ
s
, D) = deg(p, φ
s
1
, D), và với ánh xạ
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên