ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU, THÍCH NGHI BỀN VỮNG CHO MỘT SỐ HỆ HỤT CƠ CẤU CHẤP HÀNH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN ĐIỆN
BỘ MÔN ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
--------------------------------------====o0o====

ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI:

ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU, THÍCH NGHI BỀN VỮNG CHO MỘT SỐ HỆ HỤT
CƠ CẤU CHẤP HÀNH

Giáo viên hướng dẫn
Sinh viên thực hiện
Lớp
MSSV

: TS. Đào Phương Nam
: Nguyễn Anh Tùng
: KSTN – ĐKTĐ – K58
: 20134410

Hà Nội – Năm 2018

i


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
-***-

Độc lập-Tự do-Hạnh phúc
------------------------

NHIỆM VỤ
THIẾT KẾ TỐT NGHIỆP
Họ và tên: Nguyễn Anh Tùng
Khóa: 58
Viện: Điện
Ngành: Điều khiển & Tự động hóa.
1. Tên đề tài:
ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU, THÍCH NGHI BỀN VỮNG CHO MỘT SỐ
HỆ HỤT CƠ CẤU CHẤP HÀNH
2. Nội dung thiết kế:
Nội dung của đồ án với đề tài “Điều khiển tối ưu, thích nghi bền vững cho một
số hệ hụt cơ cấu chấp hành” tập trung nghiên cứu về thiết kế thuật toán điều khiển
dự báo áp dụng cho một số hệ phi tuyến chịu tác động bởi nhiễu phụ thuộc biến trạng
thái và thuật tốn điều khiển thích nghi – bền vững cho một số hệ hụt cơ cấu chấp
hành. Hệ hụt cơ cấu chấp hành được xét đến trong đồ án là các hệ thống có số biến
điều khiển ít hơn so với số biến cần điều khiển, dẫn đến khó khăn trong việc thiết kế
các luật điều khiển. Phần đầu của đồ án xây dựng thuật toán tổng quát điều khiển dự
báo bền vững dựa trên mô hình hệ phi tuyến cho một lớp hệ phi tuyến bị tác động bởi
nhiễu bên ngồi có phụ thuộc biến trạng thái dựa trên kĩ thuật bất đẳng thức ma trận
tuyến tính với mục tiêu điều khiển là ổn định tiệm cận từ trạng thái đầu bất kì. Để
kiểm chứng cho tính hữu dụng của thuật tốn tác giả sử dụng mơ hình hệ con lắc
ngược ba chiều và cẩu treo ba chiều đều là hệ có hai biến điều khiển và bốn điều cần
điều khiển để áp dụng thuật tốn, đều có được kết quả mơ phỏng khả quan. Phần thứ
hai và thứ ba của đồ án là xây dựng luật điều khiển bền vững H vô cùng và thích nghi

bền vững cho hệ con lắc ngược tự cân bằng hai bánh xe bám quỹ đạo cho trước, với
giới hạn là xây dựng luật điều khiển cho vòng trong của hệ với hai biến điều khiển và
ba biến cần điều khiển với mục tiêu điều khiển cân bằng con lắc và biến vị trí đi đúng
ii


quỹ đạo cho trước. Phần thứ tư của đồ án là xây dựng bộ điều khiển thích nghi cho hệ
xe kéo bao gồm một xe chủ và xe tớ với mục tiêu điều khiển là tác động hai biến điều
khiển vào hai bánh xe của xe chủ (một biến góc) để đưa xe tớ (hai biến vị trí và một
biến góc) đi theo quỹ đạo cho trước với giả sử một số tham số hệ thống là không biết
trước.

3. Các bản vẽ đồ thị (ghi rõ các loại bản vẽ về kích thước các bản vẽ- nếu có):
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………………………
4. Cán bộ hướng dẫn:
Phần
Họ tên cán bộ
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………
………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

………………
5. Ngày giao nhiệm vụ thiết kế:
....................................................................................
6. Ngày hoàn thành nhiệmvụ:
………………………………………………………..
Ngày...... tháng...... năm......

iii


CHỦ NHIỆM BỘ MÔN
(Ký, ghi rõ họ tên)

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN
(Ký, ghi rõ họ tên)

SINH VIÊN THỰC HIỆN
(Ký, ghi rõ họ tên)

iv


LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan bản đồ án tốt nghiệp: “ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU, THÍCH NGHI
BỀN VỮNG CHO MỘT SỐ HỆ HỤT CƠ CẤU CHẤP HÀNH” do em tự nghiên cứu
dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Đào Phương Nam. Các số liệu và kết quả là hoàn
toàn đúng với thực tế.
Để hoàn thành đồ án này em chỉ sử dụng những tài liệu được ghi trong danh mục tài
liệu tham khảo và không sao chép hay sử dụng bất kỳ tài liệu nào khác. Nếu phát hiện có
sự sao chép em xin chịu hồn tồn trách nhiệm.

Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2018
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Anh Tùng

v


LỜI MỞ ĐẦU
Vấn đề tối ưu đóng vai trị quan trọng trong bất cứ bài toán kinh tế nào và đối với kĩ
sư điều khiển tự động cũng không là ngoại lệ. Nhằm đánh giá hệ thống điều khiển tốt nhất
theo nghĩa nào đó bắt buộc người thiết kế phải thành lập các bài toán tối ưu dựa trên
những yêu cầu có sẵn. Q trình phát triển của nền cơng nghiệp đã tạo ra sức ép cạnh
trạnh không hề nhỏ, buộc các doanh nghiệp phải tăng hiệu quả của quá trình sản xuất, các
bài tốn tối ưu ngày càng đa dạng và phước tạp hơn. Vai trò của hệ điều khiển bây giờ
khơng cịn là ổn định thuần túy, thêm vào đó các chỉ tiêu và năng lượng, khối lượng…
tiêu thụ được đặt lên hàng đầu. Do đó trách nhiệm với các kĩ sư là có thể áp dụng các lý
thuyết về điều khiển tối ưu trong hệ thống thực tế. Trong thực tế với các hệ thống thực thì
vấn đề tham số bất định hay nhiễu tác động vào hệ thống là rất phổ biến, nó dẫn đến việc
khó khăn trong thiết kế thuật toán điều khiển cũng như là chứng minh tính ổn định của hệ
thống.
Nội dung của đồ án với đề tài “Điều khiển tối ưu, thích nghi bền vững cho một số
hệ hụt cơ cấu chấp hành” tập trung nghiên cứu về thiết kế thuật toán điều khiển dự báo
áp dụng cho một số hệ phi tuyến chịu tác động bởi nhiễu phụ thuộc biến trạng thái và
thuật tốn điều khiển thích nghi – bền vững cho một số hệ hụt cơ cấu chấp hành. Với
thuật tốn điều khiển tối ưu có tiềm năng mở rộng áp dụng cho một số hệ tham số bất
định hay nhiễu ngẫu nhiên.
Để có thể hồn thành đồ án này, em đã nhân được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình
của thầy TS. Đào Phương Nam cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô giáo bộ môn điều
khiển tự động, viện điện đại học Bách Khoa Hà Nội trong suốt thời gian học tập và thực
hiện đồ án.

Lời cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn TS. Đào Phương Nam cùng thầy cô trong
bộ môn Điều Khiển Tự Động nói riêng và các thầy cơ trong trường Đại học Bách Khoa
Hà Nội nói chung đã tận tình chỉ dạy cho chúng em qua từng bài giảng trong suốt 5 năm
qua. Bách Khoa không chỉ cho em kiến thức mà còn cho em những kinh nghiệm sống,

vi


những trải nghiệm, cách vượt qua những giai đoạn khó khăn và cả những học bổng em
nhận được với sự giúp đỡ rất nhiệt tình của các thầy cơ phịng cơng tác chính trị sinh viên.
Do thời gian có hạn, trình độ cịn hạn chế, khó khăn về tài liệu tham khảo, đồ án
chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự thơng cảm và góp ý
của các thầy cô và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Anh Tùng

vii


LỜI CAM ĐOAN

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU
DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ BẢNG BIỂU

5
6

10

CHƯƠNG 1. ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO BỀN VỮNG CHO LỚP HỆ PHI TUYẾN
CHỊU NHIỄU PHỤ THUỘC TRẠNG THÁI

1

1.

Đặt vấn đề.......................................................................................................1

2.

Điều khiển bền vững dự báo cho mơ hình phi tuyến có nhiễu phụ thuộc biến

trạng thái ........................................................................................................................ 3
3.

Áp dụng phương pháp điều khiển dự báo bền vững......................................10

4.

Mô phỏng......................................................................................................13

CHƯƠNG 2. ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG H∞ CHO HỆ CON LẮC NGƯỢC TỰ
CÂN BẰNG HAI BÁNH XE

16

1.

Đặt vấn đề.....................................................................................................16

2.

Mơ hình động học hệ con lắc ngược 2 bánh xe.............................................17

3.

Thiết kế điều khiển cho góc heading.............................................................19

4.

Thiết kế phản hồi trạng thái, đầu vào ảo và bền vững H vơ cùng cho góc tilt

và vị trí ...................................................................................................................... 21
5.

Mơ phỏng......................................................................................................26

CHƯƠNG 3. ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI BỀN VỮNG CHO HỆ CON LẮC
NGƯỢC TỰ CÂN BẰNG HAI BÁNH XE

30

1.

Đặt vấn đề.....................................................................................................30

2.

Mơ hình Newton Euler cho hệ con lăc ngược 2 bánh xe...............................31

3.

Thiết kế điều khiển thích nghi bền vững cho con lắc ngược tự cân bằng hai

bánh xe ...................................................................................................................... 35
4.

Mô phỏng......................................................................................................41

viii


CHƯƠNG 4. ĐIỀU KHIỂN THÍCH NGHI CHO HỆ XE KÉO TRACTOR
TRAILER

44

1.

Đặt vấn đề.....................................................................................................44

2.

Mơ hình Euler Lagrange cho hệ xe kéo........................................................45

3.

Thiết kế điều khiển bám quỹ đạo..................................................................48

4.

Mô phỏng......................................................................................................55

CHƯƠNG 5. KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU TRONG TƯƠNG LAI 58
1.

Kết luận........................................................................................................58

2.

Hướng nghiên cứu trong tương lai................................................................58

TÀI LIỆU THAM KHẢO

59

ix


DANH MỤC HÌNH VẼ VÀ BẢNG BIỂU
Hình 1 Mơ hình con lắc ngược ba chiều...................................................................10
Hình 2 Mơ hình cẩu treo ba chiều............................................................................12
Hình 3 Vị trí của xe đẩy...........................................................................................14
Hình 4 Góc của con lắc............................................................................................14
Hình 5 Lực đẩy tác dụng theo trục Ox.....................................................................14
Hình 6 Lực đẩy tác dụng theo trục Oy.....................................................................14
Hình 7 Nhiễu tác động theo ba chiều vào con lắc.....................................................14

Hình 8 Vị trí của xe đẩy theo trục Ox.......................................................................14
Hình 9 Vị trí của xe đẩy theo trục Oy.......................................................................14
Hình 10 Vị trí góc lệch theo Phương Oy..................................................................15
Hình 11 Vị trí góc lệch theo Phương Ox..................................................................14
Hình 12 Lực điều khiển theo hai phương Ox và Oy.................................................15
Hình 13 Nhiễu tác động vào hàng............................................................................15
Hình 14 Mơ hình con lắc ngược hai bánh xe WIP....................................................18
Hình 15 Cấu trúc điều khiển cho WIP......................................................................23
Hình 16 Góc hướng.................................................................................................27
Hình 17 Vận tốc góc hướng.....................................................................................27
Hình 18 Góc cân bằng..............................................................................................28
Hình 19 Vận tốc góc cân bằng.................................................................................28
Hình 20 Vị trí khung gầm.........................................................................................28
Hình 21 Vận tốc khung gầm.....................................................................................28
Hình 22 Mơ ment bánh trái......................................................................................28
Hình 23 Mơ ment bánh phải.....................................................................................28
Hình 24 Nhiễu tác động bánh xe..............................................................................28
Hình 25 Góc hướng của con lắc...............................................................................41
Hình 26 Vận tốc góc hướng của con lắc...................................................................41
x


Hình 27 Góc cân bằng của con lắc...........................................................................42
Hình 28 Vận tốc góc cân bằng của con lắc...............................................................42
Hình 29 Vị trí khung gầm.........................................................................................42
Hình 30 Vận tốc dài của khung gầm........................................................................42
Hình 31 Mơ ment

................................................................................................42

Hình 32 Mơ ment

................................................................................................42

Hình 33 Nhiễu tác động hai bánh xe........................................................................42
Hình 34 Tham số ước lượng

.............................................................................42

Hình 35 Tham số ước lượng

................................................................................43

Hình 36 Mơ hình hệ xe kéo Tractor Trailer..............................................................46
Hình 37 Sai lệch bám vị trí.......................................................................................56
Hình 38 Sai lệch bám góc.........................................................................................56
Hình 39 Sai lệch bám vận tốc...................................................................................56
Hình 40 Mơ ment áp vào hai bánh xe.......................................................................56
Hình 41 Tham số ước lượng.....................................................................................57
Hình 42 Bám quỹ đạo hình vng............................................................................57
Hình 43 Bám quỹ đạo đa giác sáu đỉnh....................................................................57
Hình 44 Bám quỹ đạo đa giác mười đỉnh.................................................................57
Bảng 1 Tham số mơ hình cẩu treo ba chiều..............................................................12
Bảng 2 Thơng số mơ hình WIP và các biến.............................................................17
Bảng 3 Tham số và giá trị đầu mô phỏng.................................................................27
Bảng 4 Tham số và các biến của mơ hình hệ thống..................................................31
Bảng 5 Tham số và điều kiện đầu hệ thống mô phỏng.............................................41
Bảng 6 Tham số điều khiển, nhiễu...........................................................................41
Bảng 7 Tham số và biến của hệ xe kéo Tractor Trailer............................................46

xi


CHƯƠNG 1. ĐIỀU KHIỂN DỰ BÁO BỀN VỮNG CHO
LỚP HỆ PHI TUYẾN CHỊU NHIỄU PHỤ THUỘC
TRẠNG THÁI
1. Đặt vấn đề
Phần này được trình bày dựa trên nghiên cứu [1] của tác giả và nhóm nghiên
cứu. Hiện nay, những vấn đề trong xây dựng thuật toán điều khiển dự báo vẫn còn
được quan tâm và nghiên cứu nhiều, đặc biệt về tính ổn định. Tác giả đề xuất một
cách tiếp cận khác tới chủ đề điều khiển bền vững dự báo theo mơ hình hệ thống phi
tuyến với ràng buộc tín hiệu điều khiển và nhiễu phụ thuộc trạng thái. Lớp hệ phi
tuyến được xét đến trong đồ án này được chia thành hai phần: phần tuyến tính tại
giá trị trạng thái thời điểm trích mẫu, phần mơ hình sai lệch giữa phi tuyến và tuyến
tính và nhiễu tác động hệ thống thơng qua mơ hình động học là phụ thuộc biến trạng
thái, trong đó nhiễu này được giả sử thuộc lớp

. Tín hiệu điều khiển phản hồi

trạng thái nhận được từ việc giải bài toán tối ưu của hàm chặn trên của hàm mục
tiêu với tầm dự báo vô hạn và ràng buộc tín hiệu điều khiển bằng cách sử dụng bất
đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear Matrix Inequalities - LMI). Trong đồ án này,
để đảm bảo tính ổn định bền vững, cách tiếp cận được đề xuất này sẽ tạo ra miền
khả thi để đảm bảo việc tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu và bao miền ổn định.
Hơn nữa, hai miền này có khả năng thu nhỏ lại sau mỗi chu kì trích mẫu để chứng
mình được tính ổn định bền vững của tồn hệ thống. Một số kết quả mô phỏng
chứng minh kết quả rất khả quan của cách tiếp cận này tới điều khiển bền vững dự
báo theo mơ hình hệ phi tuyến.
Điều khiển dự báo (Model predictive control – MPC) là một phương pháp điều
khiển có nhiều ưu điểm trong thiết kế điều khiển hệ có đặc tính động học vừa và

chậm. Hàm mục tiêu thể hiện chất lượng hệ thống sẽ được tối ưu hóa để tính ra
chuỗi tín hiệu điều khiển tối ưu bao gồm tại thời điểm trích mẫu đó và cả các thời
điểm trích mẫu trong tương lai, nhưng chỉ có duy nhất giá trị điều khiển đầu tiên
được áp vào hệ để điều khiển hệ thống và phần cịn lại bị bỏ đi, cơng việc này được
lặp lại ở chu kì trích mẫu sau đó. Hơn nữa, MPC có thể xử lý các ràng buộc của hệ
thống ví dụ như ràng buộc về tín hiệu điều khiển, biến trạng thái hay đầu ra, những
1


phương pháp điều khiển khác sẽ gặp khó khăn trong việc xử lý các ràng buộc này.
Rõ ràng rằng, các ràng buộc này là rất quan trọng trong việc thiết kế điều khiển vì
nó liên quan đến hệ thống thực tế.
Những năm 1970, MPC được trình bày lần đầu tiên để điều khiển cho hệ tuyến
tính và vẫn cịn được nghiên cứu cho tới ngày nay. Một vài tác giả nổi tiếng trong
lĩnh vực này như Rawlings[3], Allowger[4,5], Mayne [3,5] và Slotine đã có những
nghiên cứu và phát triển MPC cho hệ phi tuyến với những lý thuyết mới như ống
tube, tầm dự báo tựa vô hạn. Trong thế kỉ 21, những nhà nghiên cứu đã phát triển
MPC cho điều khiển bền vững MPC cho hệ phi tuyến với bất định và nhiễu phụ
thuộc trạng thái. Rawlings, Mayne [3] đã áp dụng lý thuyết về ống tube, lý thuyết
co, lý thuyết min-max (được đề xuất bởi Raimondo) để điều khiển hệ phi tuyến.
Một vài lý thuyết và kĩ thuật về LMI được đề xuất bởi Boyld [6] được kế thừa bởi
Kothare [7,8] để thiết kế điều khiển cho hệ tuyến tính. Trong vài năm gần đây, kĩ
thuật LMI đã tham gia vào nhiều nghiên cứu để xử lý MPC cho hệ phi tuyến như
Wu, D.jia và Bigdeli [9] đã làm.
Trong đồ án này, bài tốn tối ưu là dạng tồn phương và là hàm chặn trên của
hàm mục tiêu với tầm dự báo vô hạn, được giải bằng kĩ thuật LMI được đề xuất bởi
Boyls [6] có xét đến ràng buộc tín hiệu điều khiển. Tín hiệu điều khiển có khả năng
co hàm chặn trên này về gốc, do vậy rõ ràng rằng hàm mục tiêu cũng tiến tới gốc và
biến trạng thái, tín hiệu điều khiển tiến về gốc, nghĩa là sẽ đảm bảo được tính ổn
định bền vững của toàn hệ. Phương pháp điều khiển được đề xuất này sẽ được áp

dụng vào điều khiển cho hệ con lắc ngược 3 chiều, bao gồm: xe đẩy di chuyển trên
một mặt phẳng nằm ngang theo 2 chiều và kết nối với một thanh cứng có khối
lượng khơng đáng kể, giả sử rằng nhiễu bên ngoài sẽ tác động vào vật nặng gắn vào
đầu còn lại của thanh cứng theo 3 chiều. Mục tiêu của việc áp dụng phương pháp
điều khiển này là: vật nặng gắn trên đầu thanh cứng cân bằng và xe đẩy di chuyển
từ một vị trí bất kì về gốc tọa độ. Hơn nữa, hệ mà ta xét là một hệ hụt cơ cấu chấp
hành, có hai biến điều khiển là hai chiều di chuyển của xe đẩy để điều khiển bốn
biến bao gồm hai biến vị trí xe đẩy và hai biến góc của thanh cứng. Do vậy, phương
pháp điều khiển được đề xuất ở trên hồn tồn có thể mở rộng cho nhiều hệ phi
tuyến hụt cơ cấu chấp hành bị tác động bởi nhiễu bị chặn.
2


2. Điều khiển bền vững dự báo cho mơ hình phi tuyến có nhiễu phụ
thuộc biến trạng thái
Xét mơ hình động học tổng quát của hệ phi tuyến liên tục chịu tác động của
nhiễu phụ thuộc hàm trạng thái như sau:
(1.1)
Trong đó,
khiển, hàm

là vector biến trạng thái,

là vector biến điều

là hàm phi tuyến, khả vi và liên tục, thỏa mãn

là hàm phi tuyến và liên tục, thỏa mãn

.

.

là nhiễu không

đo được.
Giả thiết 1.1: Nhiễu tác động từ bên ngoài thuộc không gian
(1.2)
Sử dụng phép xấp xỉ Euler trực tiếp để rời rạc hóa mơ hình (1.1) với chu kì
trích mẫu

ta được:
(1.3)
(1.4)
(1.5)

Trong đó,

và

Tiếp theo, mơ hình trạng thái (1.5) được phân tách thành ba phần, bao gồm:
phần tuyến tính tại thời điểm trích mẫu, phần sai lệch mơ hình giữa tuyến tính và
phi tuyến và phần nhiễu phụ thuộc biến trạng thái
(1.6)

3


Trong đó, phần tuyến tính hóa:

,

phần sai lệch giữa tuyến tính và phi tuyến:

Giả thiết 1.2: Cho trước số thực dương

, sao cho:
(1.7)
(1.8)

Do

là tích của nhiễu tác động từ bên ngồi và sai lệch mơ hình giữa

tuyến tính – phi tuyến với thời gian trích mẫu, nên ta có thể chọn thời gian trích
mẫu hợp lý để thỏa mãn (1.7), (1.8). Giả thiết 1.2 là điều kiện cần thiết để tạo ra
miền khả thi để đảm bảo nghiệm trong Định lý 1.1.
Xét hàm mục tiêu với tầm dự báo vô hạn như sau:
(1.9)
Trong đó hai ma trận trọng số

là ma trận đối xứng xác định dương

Điều kiện ràng buộc của biến điều khiển
(1.10)
Do ta xét những hệ khơng có ràng buộc, nên với tín hiệu điều khiển phản hồi
trạng thái tĩnh có khả năng làm hệ đạt trạng thái ổn định. Đặt tín hiệu điều khiển
phản hồi trạng thái như sau:
(1.11)
Trong đó, ma trận

là ma trận phản hồi trạng thái tĩnh.

Hàm ứng viên Lyapunov (1.12) được chọn để thỏa mãn điều kiện bền vững
(1.13) trong [9]
(1.12)
(1.13)

4


Cho

chạy từ 1 đến

, rồi lấy tổng thì từ (1.13) ta nhận được (1.14)
(1.14)

Chặn trên của hàm mục tiêu (1.9) là hàm ứng viên Lyapunov

(1.12).

Ta sẽ tối thiểu hóa hàm mục tiêu (1.9) với điều kiện bền vững (1.13) bằng cách sử
dụng kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
Định lý 1.1: (Điều kiện bền vững)
Gọi

là biến trạng thái tại thời điểm trích mẫu

giải được các biến ma trận

. Giả sử rằng

đồng thời là nghiệm của của bất đẳng thức

ma trận (1.15 - 1.19). Từ đó luật điều khiển phản hồi trạng thái (1.11) sẽ giúp hệ ổn
định bền vững (1.13)
(1.15)
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
Chứng minh:
Thay (1.6) vào (1.13) ta được:

(1.20)
Thay luật điều khiển phản hồi trạng thái tĩnh (1.11) vào (1.20) ta được:
(1.21)

Chọn ma trận đối xứng xác định dương

5


(1.22)

Thay (1.22) vào (1.21) ta sẽ được:
(1.23)
Từ (1.23) ta suy ra được (1.18) và:
(1.24)

Đánh giá bất đẳng thức (1.22)
(1.25)

Xét vế phải của (1.25) ta có:
(1.26)

Xét

(1.27)
Từ (1.24) và (1.27) ta có:
(1.28)
Thế (1.28) vào (1.26) ta có:
(1.29)
Đặt

là giá trị riêng lớn nhất của ma trận

, từ (1.29) ta có được (1.16) và

(1.17). Thêm vào đó, (1.19) là ràng buộc biến đầu vào (1.10).
▄
Bổ đề 1.1: Hệ thống (1.6) dưới tác động của tín hiệu điều khiển (1.11) với các
tham số thỏa mãn định lý 1.1, tại các thời điểm trích mẫu

ta thành lập miền
6


,
miền

. Nếu trạng thái ban đầu nằm trong

, thì tất cả các trạng thái ở thời điểm tiếp theo cũng nằm trong

.

Chứng minh: Do thỏa mãn Định lý 1.1, nên điều kiện bền vững được (1.13)
được xét như sau:
(1.30)

(1.31)
(1.32)

▄
Định lý 1.2: (Tối thiểu hóa chặn trên hàm mục tiêu)
Bài tốn tối ưu
(1.33)
Sao cho thỏa mãn
(1.34)
(1.35)
(1.36)
(1.37)

(1.38)

Từ nghiệm của bài toán tối ưu (1.33):
,

,

, các biến:

,

sẽ thỏa mãn Định lý 1.1 và chặn trên (1.12)
7


Chứng minh:
Đặt
(1.39)
(1.40)
(1.41)
(1.42)

(1.43)

▄
Bổ đề 1.2: (Miền khả thi)
Bài toán tối ưu từ Định lý 1.2 được giải tại mỗi thời điểm trích mẫu

để tạo

ra miền khả thi, nó sẽ bao gồm các nghiệm tối ưu tại những thời điểm trích mẫu sau
đó

. Do vậy, nếu miền khả thi được tìm thấy tại thời điểm thứ , thì miền khả

thi tiếp theo cũng được tìm thấy tại thời điểm sau đó

, dẫn đến sự tồn tại của

nghiệm tối ưu các bước tiếp theo.
Chứng minh: Giả sử nhận được ma trận phản hồi trang thái từ bài toán tối ưu
ở thời điểm đầu tiên. Trạng thái tại thời điểm thứ

được bao bởi miền khả thi
(1.44)

Ta thấy rằng, nghiệm tối ưu tại bước thứ
và miền khả thi tại thời điểm thứ
Lyapunov tại thời điểm thứ

vẫn thỏa mãn điều kiện bền vững

, do vậy nó chỉ ra rằng hàm ứng viên

như sau:
(1.45)

Rõ ràng rằng tại thời điểm thứ

thì nghiệm tối ưu vẫn nằm trong miền khả

thi trước đó
8


(1.46)

Nếu ma trận phản hồi trạng thái là khả thi tại thời điểm thứ
nó cũng tồn tại tại thời điểm thứ

và đầu tiên, thì

. Do vậy, tại các thời điểm tiếp theo đó

cũng tồn tại nghiệm tối ưu.

▄

Định lý 1.3: (Ổn định bền vững)
Hệ thống (1.6) với tín hiệu điều khiển phản hồi trạng thái (1.11) nhận được từ
Định lý 1.2 sẽ ổn định bền vững tiệm cận tại gốc.
Chứng minh: Ký hiệu

là nghiệm tối ưu nhận được từ

Định lý 1.2 tại thời điểm thứ

và giả sử rằng bài toán tối ưu từ Định lý 1.2 là

khả thi tại thời điểm
điểm trích mẫu

. Từ Bổ đề 1.2,
và

là tồn tại tại thời điểm

là tồn tại cho tất cả các thời
. Ta sẽ có được:
(1.47)

Từ Bổ đề 1.1:
(1.48)
Do
với

và Bổ đề 1.1 là đúng
, từ bất đẳng thức (1.48) ta có:
(1.49)

Do vậy hàm Lyapunov
vào đó, từ (1.13),
khi

là hàm giảm chặt. Thêm
, ta sẽ có được
▄

9