Hsg T7 - 14 - Đề - Đáp Án - Ý Yên.docx

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN Ý YÊN

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG
MƠN : TỐN – LỚP 7
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề gồm 01 trang)
I. Phần ghi kết quả. (2,0 điểm). (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi).
A
Câu 1. Rút gọn biểu thức

212.35  46.81
(22.3)6  84.35

Câu 2. Tìm x; y biết 3x 2 y và x  y 5
 2
3  193 1    7
11  1931 9 
B  


: 

 
.
.

193
386
17
34

1931
3862
25
2







Câu 3. Thực hiện phép tính
Câu 4. Một tam giác có độ dài hai cạnh là 1cm và 4cm .Cạnh cịn lại có độ dài là một số ngun.
Tính chu vi tam giác đó.
II. Phần tự luận. (18,0 điểm) (Thí sinh trình bày lời giải vào giấy thi).
Câu 1. (3,5 điểm).
a) Cho các số a; b; c khác 0 và a  4b 5c . Tính giá trị biểu thức.

 c 1
A 1  2018   
 a 5

2019

a
 
b


4



2019

b 5
  
 c 4

2019

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6





b) Tìm x , biết: 2019 2018 2017 2016 2015 2014
Câu 2. (3,5 điểm)

1
y x
2 . Với y1 , y2 là hai giá trị tương ứng x1 , x2 . Sao cho x1  2 x2 9 . Tìm
a) Cho hàm số
y2 , biết y1 2
3
2 2
2
2
4
2

b) Tính giá của đa thức P  x  2 x y  2 x  8 xy  16 y  24 y  4 x  2002 . Biết

x  2 y 2 2
Câu 3. (3,0 điểm)
Tính độ dài các cạnh của một tam giác. Biết chu vi của tam giác đó là 31cm và nếu cộng lần
lượt độ dài từng cặp hai đường cao thì được ba tổng tỉ lệ với 5;7;8
Câu 4. (7,0 điểm). Cho ABC nhọn ( AB  AC ). Vẽ về phía ngồi ABC các tam giác đều
ABD và ACE . Gọi I là giao điểm của CD và BE .
a) Chứng minh BE CD .

b) Tính BIC .

c) Chứng minh IA là tia phân giác của DIE
.

d) Gọi K là trung điểm AE , G là trọng tâm của ABE . Chứng minh 6GK  2 AB  AC .

Trang 1


Câu 5. (1,0 điểm) Tìm x; y để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

M

15
y  3x  4 x  10 y  2 x 2  8 x  2011
2
--------------Hết ---------------

Trang 2

ĐẤP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG
I. Phần ghi kết quả (2,0 điểm). (Thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi).
212.35  46.81
A 2 6 4 5
(2 .3)  8 .3
Câu 1. Rút gọn biểu thức

Kết quả

Câu 2. Tìm x; y biết 3x 2 y và x  y 5

Kết quả x  10; y  15

A

1
6

Câu 3. Thực hiện phép tính
 2
3  193 1    7
11  1931 9 
B  


: 

 

.
.

  193 386  17 34    1931 3862  25 2 

Kết quả B 0

Câu 4. Một tam giác có độ dài hai cạnh là 1cm và 4cm. Cạnh cịn lại có độ dài là một số ngun.
Tính chu vi tam giác đó.
Kết quả chu vi tam giác là 9cm
II. Phần tự luận. (18,0 điểm) (Thí sinh trình bày lời giải vào giấy thi).
Câu 1. (3, 5 điểm)
a) Cho các số a; b; c khác 0 và a  4b 5c . Tính giá trị biểu thức.

 c 1
A 1  2018   
 a 5

2019

a
 
b


4


2019

b 5
  
 c 4

2019

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6





b) Tìm x , biết: 2019 2018 2017 2016 2015 2014
Lời giải
a) Với a; b; c khác 0 và a  4b 5c . Suy ra 5c  a  4b; 4b  5c a

Khi đó ta có

 c 1
A 1  2018   
 a 5

2019

 5c  a 
A 1  2018 

 5a 
  4b 
A 1  2018 


 5a 

a
 
b

2019

2019

2019

 a  4b 


 b 

 5c 
 
 b 

  4b.5c.a 
A 1  2018 

 5a.b.4c 
A 1  2018( 1) 2019


4



2019

b 5
  
 c 4
2019

 a 
 
 4c 

2019

 4b  5c 


 4c 

2019

2019

2019

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6






b) Tìm x , biết: 2019 2018 2017 2016 2015 2014
Lời giải:

x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6





Ta có: 2019 2018 2017 2016 2015 2014

Trang 3


 x 1   x 2   x 3   x 4   x 5   x 6 

 1  
 1  
 1 
 1  
 1  
 1
 2019   2018   2017   2016   2015   2014 
x  2020 x  2020 x  2020 x  2020 x  2020 x  2020







2019
2018
2017
2016
2015
2014
1
1
1
1
1 
 1
 ( x  2020) 





 0
 2019 2018 2017 2016 2015 2014 

1
1
1
1
1
1






0
Vì 2019 2018 2017 2016 2015 2014
nên
 x  2020 0
 x 2020
Vậy x 2020
Câu 2. (3,5 điểm)

1
y x
2 . Với y1 , y2 là hai giá trị tương ứng x1 , x2 . Sao cho x1  2 x2 9 . Tìm
a) Cho hàm số
y2 , biết y1 2
3
2 2
2
2
4
2
b) Tính giá của đa thức P  x  2 x y  2 x  8 xy  16 y  24 y  4 x  2002 . Biết

x  2 y 2 2
Lời giải
a) Ta có :
1
1

y1  x1 ; y2  x2
2
2
1
y1 2  x1 2  x1 4
2
5
1 5 5
x1  2 x2 9  x2   y2    
2
2 2  4
Vậy

y2 

5
4

2
b) Với x  2 y 2 ta có

P  x3  2 x 2 y 2  2 x 2  8 xy 2  16 y 4  24 y 2  4 x  2002

P  x 2 ( x  2 y 2 )  2 x 2  8 y 2 ( x  2 y 2 )  16 y 2  4( x  2 y 2 )  2002
P 2 x 2  2 x 2  16 y 2  16 y 2  8  2002
P 2010
2
Vậy với x  2 y 2 thì P 2010

Câu 3. (3,0 điểm)

Trang 4


Tính độ dài các cạnh của một tam giác. Biết chu vi của tam giác đó là 31cm và nếu cộng lần
lượt độ dài từng cặp hai đường cao thì được ba tổng tỉ lệ với 5;7;8
Lời giải
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là a; b; c tương ứng với ba đường cao là x; y; z (với
a; b; c; x; y; z là các số dương)
Theo bài ra ta có :

x  y y  z x  z 2( x  y  z ) x  y  z




k
5
7
8
20
10
(Với k khác 0)

 x  y 5k ; y  z 7 k ; x  z 8k ; x  y  z 10k
 x 10k  7 k 3k ; y 10k  8k 2k ; z 10k  5k 5k
Ta lại có ax by cz (vì cùng bằng 2 lần diện tích tam giác)
a.3k b.2k c.5k
 3a 2b 5c



3a 2b 5c
 
30 30 30



a
b c
a b c
31
  
 1
10 15 6 10  15  6 31

 a 10; b 15; c 6
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là 10;15;6
Câu 4. (7,0 điểm). Cho ABC nhọn ( AB  AC ). Vẽ về phía ngồi ABC các tam giác đều
ABD và ACE . Gọi I là giao điểm của CD và BE .
a) Chứng minh BE CD .

b) Tính BIC .

c) Chứng minh IA là tia phân giác của DIE
.

d) Gọi K là trung điểm AE , G là trọng tâm của ABE . Chứng minh 6GK  2 AB  AC .
Lời giải
a) Xét ABE và ADC có :

E

AD  AB ( ABD đều)
A




(600  BAC
)
DAE
BAE

AE  AC ( ACE đều)

D

Do đó ADC ABE (c.g.c)
Suy ra BE DC (hai cạnh tương ứng)
b) Do ADC ABE (c.g .c)

I
B

C

Trang 5



 IBA
IDA
(Hai góc tương ứng)

Ta có BIC là góc ngồi của BID nên ta có






 BIC
IDB
 DBI
IDB
 DBA
 ABI





 BIC
IDB
 DBA
 ADI ( IDB
 ADI )  DBA
600  600 1200

0

Vậy BIC 120

c) Trên tia ID lấy điểm J sao sao IB  JB . Suy ra
JBI đều

E
A

Xét AIB và DJB có
(Vì ABD đều)

DBJ
 ABI (600  ABJ )
BJ BI

D
J

Do đó AIB = DJB (c.g.c)

I

AIB DJB

1200  AID 600

C

B


 IA là tia phân giác của DIE
.
E

d) Kẻ trung tuyến BK và G là trọng tâm của tam
giác ABE

K
A

Xét ABK có:

G

BK  AB  AK (Bất đẳng thức tam giác)

D

 2.BK  2. AB  2. AK

J

1
 6. .BK  2. AB  AE
3
(vì AE 2. AK )
 6.GK  2. AB  AC (vì AE  AC )

I
C

B

Câu 5. (1,0 điểm) Tìm x; y để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó .

M

15
y  3x  4 x  10 y  2 x 2  8 x  2011
2

Lời giải

M
Ta có

15
y  3x  4 x  10 y  2 x 2  8 x  2011
2

3
M  5 y  2 x  2 5 y  2 x  2( x 2  4 x  4)  2019
2
M

1
5 y  2 x  2( x 2  2 x  2 x  4)  2019

2

Trang 6


M

1
5 y  2 x  2( x  2) 2  2019
2

1
5 y  2 x 0;  2( x  2) 2 0
2
Ta có
Với mọi x; y
Nên M 2019 với mọi x; y . Dấu “=” xảy ra khi
Vậy M đạt giá trị lớn nhất là 2019 khi

x 2; y 

x 2; y 

4
5

4
5

Trang 7