Đề-Đáp án HSG Toán 8 Y.6

đề thi học sinh giỏi Toán 8 .6
Thời gian làm bài: 120 phút
(không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : (2đ)
Chứng minh rằng với mọi n

Z:
A
(n)
= n(n
2
+1) (n
2
+4)

5
Bài 2: (2đ)
Cho 4a
2
+ b
2
= 5ab với 2a > b > 0
Tính số trị của phân thức:
P=
22
4 ba
ab

Bài 3: (1,5đ)
Phân tích thành nhân tử:
x

3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz
Bài 4: (2,5đ)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
(
c
ba

+
a
cb

+
b
ac

)(
ba
c

+
cb
a

+
ac

b

=9
Bài 5: (2đ)
Cho hình vuông ABCD, vẽ về phía trong của hình các góc

ODC
=

OCD
=15
0
(2 góc này cùng chung cạnh DC và 2 cạnh kia giao nhau ở O). Chứng minh
tam giâc AOB đều ?
-----------------------------Hết đề thi-------------------------------
Đáp án đề Toán 8 .6
Bài 1 : (2đ)
Ta xét mọi trờng hợp khi chia n

Z cho 5, ta có số d là 0,

1,

2 .
Trờng hợp 1:
r =0

n

5 0,5đ

Trờng hợp 2:
r =

1

n = 5k

1

n
2
= 25k

10k+1

n
2
+4

5
0,5đ
Trờng hợp 3:
r =

2

n = 5k

2

n
2
= 25k

20k+4

n
2
+1

5
0,5đ
A
(n)
là tích của 3 thừa số, trong mọi trờng hợp đều có một thừa số chia hết cho
5. Vậy A
(n)


5, với mọi n

Z (đpcm) 0,5đ
Bài 2: (2đ)
Từ 4a
2
+ b
2
= 5ab, ta có:
4a
2

- 4ab ab + b
2
= 0 0,5đ

4a (a- b) b(a - b) = 0

(a- b)(4a - b) = 0 (*) 0,5đ
Vì 2a > b > 0 nên 4a - b

0
Vậy từ (*) suy ra a - b = 0 tức là a = b 0,5đ
Thay a = b vào P ta đợc:
P=
22
4 ba
ab

=
22
2
4 aa
a

=
2
2
3a
a
=
3

1
(do a
0

) 0,5đ
Bài 3: (1,5đ)
Phân tích thành nhân tử:
x
3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz
=( x
3
+3x
2
y+3xy
2
+y
3
)+ z
3
- 3xyz -3x
2
y-3xy
2
0,5đ
= (x+ y)

3
)+ z
3
- 3xyz -3x
2
y-3xy
2
=[(x+ y)
3
)+ z
3
]- (3xyz +3x
2
y+3xy
2
)
=(x+ y+ z)[(x+y)
2
- (x+y)z +z
2
] - 3xy(x +y+z) 0,5đ
=(x+ y+ z)(x
2
+ 2xy+ y
2
- xz - yz + z
2
- 3xy)
=(x+ y+ z)(x
2

+ y
2
+ z
2
- xz - yz xy) 0,5đ
Bài 4: (2,5đ)
Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
(
c
ba

+
a
cb

+
b
ac

)(
ba
c

+
cb
a

+
ac
b

=9
Đặt: x =
c
ba

; y =
a
cb

; z=
b
ac

0,5đ
Vế trái của đẳng thức cần chứng minh sẽ trở thành:
(x + y + z)(
x
1
+
y
1
+
z
1
)= 3 +
x
zy
+
+

y
xz
+
+
z
yx
+
(*)
0,5đ
Ta có:
x
zy
+
=(
a
cb

+
b
ac

)
ba
c

=
ba
c

.

ab
aacbcb
22
+
=
ba
c

.
ab
acbcba )()(
22

=
ba
c

.
ab
bacbaba )())((
++
=
ba
c

.
ab
cbaba ))((
+
=

ab
c
.(-a-b+c)
hay =
ab
c
.(-a-b+c-c+c) =
ab
c
.(-a-b-c+2c)
=
ab
c
.[2c-(a+b+c)] theo bài ra: a+b+c = 0 nên:
x
zy
+
=
ab
c
2
2
0,5đ
áp dụng hoán vị vòng y z x y
c a b c ta đợc:
x
zy
+
+
y

xz
+
+
z
yx
+
=
ab
c
2
2
+
bc
a
2
2
+
ca
b
2
2
=
)(
2
333
cba
abc
++
0,5đ
Theo kết quả bài 3

x
3
+ y
3
+ z
3
- 3xyz = (x+ y+ z)(x
2
+ y
2
+ z
2
- xz - yz xy)
Hay a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc = (a+ b+ c)(a
2
+ b
2
+ c
2
- ab - bc ac)
Bài ra a+ b+ c =0 nên a
3
+ b
3

+ c
3
- 3abc = 0
Hay a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
Vậy
x
zy
+
+
y
xz
+
+
z
yx
+
=
abc
abc
3
2
= 6
Kết hợp với (*) ta đợc:
(x + y + z)(

x
1
+
y
1
+
z
1
)= 3 + 6 = 9 (đpcm) 0,5đ

Bài 5: (2đ) Vẽ hình 0.5 đ

Dựng

BIC =

DOC. Nh vậy OD=OC=IC=IB và

DCO
=

ICB
= 15
0
Suy ra

ICO
=60
0
,

IOC cân có

ICO
=60
0
nên tam giâc này đều, do đó
OI=IC=IB. Mặt khác :

BIC
= 180
0
- (

IBC
+

ICB
) = 15O
0

OIB
= 360
0
60
0
- 150
0
= 150
0

Vậy

OIB =

BIC (cgc)

BO=BC(*)


OBC cân đỉnh B và có

OBI
=30
0
Ta lại có: AB=BC (cạnh hình vuông), kết hợp với (*)

AB=BO nên


AOB cân , tam giác này có
=

ABO
1V - 30
0
= 60
0
nên tam giác này đều
(đpcm) 1,5đ
--------------------------Hết đáp án-------------------------------

B
C
A
D
O
I
Không phải là đáp án:
Đề thi trên có 2 trang tự động cập nhật (tác giả không đa trực tiếp v ít
truy cập trang đó), nếu có lỗi trong quá trình biên soạn thầy (cô) báo giúp
tại trang
Cám ơn thầy (cô)!
Biên soạn: Nguyễn Văn Yên THCS Phong Khê TP Bắc Ninh