Hsg T7 - 19 - Đề_Đáp.án - Trieu Son.docx

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN TRIỆU SƠN
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KIẺM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI
Mơn: Tốn 7
Thời gian làm bài:150 phút

Bài 1: (4,0 điểm)
2 5  7 5 7  7


:    :
7
12

 12  7 12  12
1. Thực hiện phép tính:
1  
1  
1  
1


P  1 
 .1 
 .1 
 ...  1 
.
 1.3   2.4   3.5   2020.2022 
2. Tính giá trị biểu thức:

Bài 2: (4,0 điểm)
a. Tìm x biết:

3x  1 

1
1,5
4

2x  1 3y  2 2x  3 y  3


5
4x
b. Tìm x, y , z biết: 3
2
3
3
3
c. Tìm các số nguyên dương a, b, c biết rằng: a  b  c 3abc và a 2(b  c)
Bài 3:(4,0 điểm)
2
2
2
2
1.Cho x, y là các số nguyên thoả mãn 3x  2 y 1 . Chứng minh rằng x  y chia hết cho 40 .
1
f(
).

5
3
2
2021
2. Cho đa thức f ( x) ax  bx  bx  a . Biết f (2021) 2021; hãy tính

Bài 4:(6,0 điểm)
1.Cho tam giác ABC vuông tại A , ( AB  AC ), đường cao AH , trung tuyến AM . Trên tia đối
của tia MA lấy điểm D sao cho MA MD . Trên tia đối của tia CD lấy điểm I sao cho
CI CA , qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH và tại E .
a. Chứng minh: ABC CDA .

b. Tính số đo góc IDE .
2.Cho tam giác đều , đường cao AH .Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho AH DH .
o

Trên nửa mặt phẳng khơng chứa A có bờ là BD vẽ tia Dx sao cho BDx 15 , Dx cắt tia AB
tại E .Chứng minh: EH DH .
Bài 5:(2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A  x  2019  x  2017  x  2015  ....  x  1  x  1  x  3  ...  x  2019  x  2021
= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =
(Đề thi có 01 trang)

Trang 1


HƯỚNG DẪN CHẤM
KỲ THI CHỌN LỚP CHẤT LƯỢNG CAO
Mơn: Tốn 7

Bài 1:(4,0 điểm)
2 5  7 5 7  7


:    :
1. Thực hiện phép tính:  7 12  12  7 12  12
1  
1  
1  
1


P  1 
 . 1 
 . 1 
 ...  1 
.
1.3
2.4
3.5
2020.2022








2. Tính giá trị biểu thức:

Lời giải
2 5  7 5 7  7


:    :
1.  7 12  12  7 12  12
 -2 5 5 7  7
= - - - :
 7 12 7 12  12

  -2 5   5 7   7
=   -    - -  :
  7 7   12 12   12
7
12  24
 2 :  2. 
12
7
7
1  
1  
1  
1


P  1 
 .1 
 .1 
 ...  1 

.
 1.3   2.4   3.5   2020.2022 
2.
2.2 3.3 4.4
2021.2021
.
.
.....
1.3 2.4 3.5
2020.2022
2021.2 2021
P

1.2022 1011
Bài 2: (4,0 điểm)
P

a. Tìm x biết:

3x  1 

1
1,5
4

2x  1 3y  2 2x  3 y  3


5
4x

b. Tìm x, y , z biết: 3
2
3
3
3
c. Tìm các số nguyên dương a, b, c biết rằng: a  b  c 3abc và a 2(b  c)
Lời giải

3x  1 

1
1,5
4

 3x  1 

1
1,5
2

a.

 3x  1 1
3x  1 1
 

 3x  1  1

2


 x 3
 x 0


 2
x  0; 
 3
Vậy

Trang 2


b. Tìm x, y , z biết:

2x  1 3y  2 2x  3 y  3


3
5
4x

điều kiện x 0
2x  1 3y  2 2x  3 y  3 2x  3 y  3



(1)
5
8
4x

Từ 3

Trường hợp 1: nếu 2 x  3 y  3 0
Nên 4 x 8  x 2 ( thoả mãn )
2x  1 3y  2
2.2  1 3 y  2
7



 y
5
3
5
3
Mà 3

Vậy

x 2; y 

7
3 ( thoả mãn )

Trường hợp 2: nếu 2 x  3 y  3 0
1
2
x ;y 
2
3 ( thoả mãn )

Nên

Vậy

x 2; y 

7
1
2
x ;y 
3 hoặc
2
3

2
3
3
3
c. Tìm các số nguyên dương a, b, c biết rằng: a  b  c 3abc và a 2(b  c)
2
Vì a 2(b  c) nên a là số chẵn
3
3
3
Mà a  b  c 3abc  a  b; a  c

Nên 2a  b  c  4a  2(b  c )
 4a  a 2  a  4 mà a là số chẵn

Do a nguyên dương nên a 2

Nên b  c 2 do b, c nguyên dương.
Vậy a 2; b c 1
Bài 3:(4,0 điểm)
2
2
2
2
1.Cho x, y là các số nguyên thoả mãn 3x  2 y 1 . Chứng minh rằng x  y chia hết cho 40 .
1
f(
).
5
3
2
f
(
x
)

ax

bx

bx

a
f
(2021)

2021;

2021
2. Cho đa thức
. Biết
hãy tính

Lời giải
2
2
2
2
1. Có 3x  2 y 1 mà 2 y là số chẵn ; 1 là số lẻ. Nên 3x phải là số lẻ.
2
Mà 3 là số lẻ. Nên x phải là số lẻ  x phải là số lẻ

Đặt

2
x 2k  1; (k  Z )  x 2  2k  1  2k  1 .  2k  1 4k 2  4k  1 (1)

Trang 3


2
2
2
2
Có 3 x  2 y 1  3 x 1  2 y
2
Vì 3x chia hết cho 3

2
2
Nên 1  2 y chia hết cho 3 hay y chia 2 cho dư 1  y phải là số lẻ
2

Đặt
Từ

y 2m  1;(m  Z )  y 2  2m  1  2m  1 .  2m  1 4m 2  4m  1 (2)
(1; 2)  x 2  y 2 4 k 2  k  n 2  n 4  k ( k  1)  n(n  1) 





chia hết cho 8 .

Do k (k  1); n(n  1) chia hết cho 2 .
2 2
Do x; y là số lẻ x ; y chia 5 dư 0 hoặc 1 hoặc 4 (3)

5 x 2  2 x 2  y 2 1
2
2
3
x

2
y


1
Mà
hay





2
Do 5x chia hết cho 5

x2  y 2 

Nên
chia 5 dư 2

(4)

2 2
Từ (3; 4)  x ; y chia 5 dư 1 .

 x 2  y 2 5 mà x 2  y 2 8 và 5;8 là hai số nguyên tố cùng nhau.
2
2
Vậy x  y chia hết cho 40 .

a
b
b
 1 

f


a

5
3
2
2. Có  2021  2021 2021 2021
 1 
2
3
5
20215. f 
 a  b.2021  b.2021  a.2015 (1)
 2021 
5
3
2
Mà f (2021) 2021 a.2015  b.2021  b.2021  a (2)
1
 1 
 1 
 20215. f 
 2021  f 

 2021 
 2021  20214
Từ (1; 2)

Bài 4:(6,0 điểm)
1. Cho tam giác ABC vuông tại A , ( AB  AC ), đường cao AH , trung tuyến
AM . Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA MD . Trên tia đối của
tia CD lấy điểm I sao cho CI CA , qua I vẽ đường thẳng song song với AC
cắt đường thẳng AH và tại E .
a. Chứng minh: ABC CDA .


b. Tính số đo góc IDE .
2. Cho tam giác ABC đều , đường cao AH . Trên tia đối của tia HC lấy điểm
D sao cho AH DH . Trên nửa mặt phẳng khơng chứa A có bờ là BD vẽ tia

Dx sao cho BDx
15o , Dx cắt tia AB tại E . Chứng minh: EH DH .
Lời giải

Trang 4


B

D
H
M

A

C

I

E

K

a)Chứng minh: AMB DMC ( c- g-c)


 AB CD và BAM
DCM
Nên AB / / CD mà AB  AC  DC  AC
Chứng minh: ABC CDA ( c-g-c)
b)Chứng minh: ACI IKA ( g  c  g )

 AC KI ; CI  AK ( c-g-c)
Mà AC CI ( gt )
 AC KI CI  AK
Có ABC CDA (cmt)  BC DA

1
AM MD  DA
2
Mà
BC
BC
 AM 
hay AM MB MC 
2
2



 AMC cân tại M  CAM  ACM (1)
0


Mà CAH  ACM 90 (2)


CAH
 EAK
900 (3)



Từ (1; 2;3)  EAK MAC
Chứng minh: AEK ADC ( g  c  g )

 EK DC Mà IK CI  IE ID
0

Mà EID 90

Trang 5



 IED vuông cân tại I  IDE
450

2. Cho tam giác ABC đều , đường cao AH . Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho


15o , Dx
AH DH . Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là BD vẽ tia Dx sao cho BDx
cắt tia AB tại E . Chứng minh: EH DH .
Lời giải

0


Do ABC đều có đường cao AH  AH là đường phân giác  BAH CAH 30 .
0



+Giả sử DH  EH  DEH  HDE  DEH  15 (1)
0

Mà AH DH và DH  EH  DH  EH  HEA  30 (2)
0

Từ (1; 2)  DEB  45 (3)
0
0 
0




Mà ABC BDE  BED  60 15  BED  BED 45 (4)
Điều (3) và (4) mâu thuẫn với nhau. Nên giả sử trên sai.

+Tương tự giả sử DH  EH cũng sai.
Vậy EH DH
Bài 5: (2,0 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A  x  2019  x  2017  x  2015  ....  x  1  x  1  x  3  ...  x  2019  x  2021
a  b a b
Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối:
, dấu bằng xảy ra khi a.b 0
ta
A  x  2019  x  2017  x  2015  ....  x  1  x  1  x  3  ...  x  2019  x  2021

có

A  x  2021  2019  x  x  2019  2017  x  ....  x  3  1  x  x  1

A 4040  4036  4032  ....  8  4  0

Trang 6


A (4040  4).1010 : 2 2042220

Dấu bằng xảy ra khi

 x  2021 .(2019  x) 0
 2021  x 2019
 x  2019  .(2017  x) 0
 2019  x 2017



 .....
 x  1
...
 x  3 .(1  x) 0
 3  x 1
 x  1 0
 x  1



Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2042220 tại x  1

Trang 7