Hsg T7 - 20 - Đề_Đáp.án - Tiền Hải.docx

PHỊNG GD&ĐT HUYỆN TIỀN HẢI
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1 (5 điểm)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MƠN TỐN LỚP 7
Thời gian làm bài: 120 phút

 1  1  1   1

A   1   1   1 ... 
 1
 2   3   4   2021 
1) Tính
84

126

  1
  1
a   ; b  
 5 
 3
2) So sánh các số a, b biết:
3) Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống
nhau.
Bài 2 (4 điểm)

x 2  25  y  1 0
x,
y

1) Tìm
biết:
2
2
2) Cho 4 số khác 0 là a, b, c, d và b  c  d khác 0 thỏa mãn b ac; c bd
a  a b c 


Chứng minh: d  b  c  d 

3

Bài 3 (4 điểm)
1) Cho hàm số: f  x   2020 x . Tìm m để f  m  1 2020
2) Tìm hai số khác 0 biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng tỉ lệ với 4; 1; 45 .
Bài 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC  AC  BC  . Qua A vẽ đường thẳng xy song song với BC . Từ điểm M trên
cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E .
1) Chứng minh AD  BM và ABC MDE
2) Gọi O là giao điểm của AM và CE . Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng.
3) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để AM vng góc với CE .
Bài 5 (1 điểm)
Cho A là một tập hợp gồm 607 số nguyên dương đôi một khác nhau và mỗi số nhỏ hơn 2021 .
x  y   3; 6;9
Chứng minh rằng trong tập hợp A ln tìm được hai phần tử x, y  x  y  thỏa mãn
= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

Trang 1

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN TOÁN LỚP 7
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1 (5 điểm)

 1  1  1   1

A   1   1   1 ... 
 1
 2   3   4   2021 
1) Tính
84

126

  1
  1
a   ; b  
 5 
 3
2) So sánh các số a, b biết:
3) Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống
nhau.
Lời giải
1)

1
 1  1  1   1
 (  1).( 2).( 3).....(  2020) 1.2.3.....2020
A   1   1   1 ... 

 1 


2.3.4.......2021
2.3.4.......2021 2021
 2   3   4   2021 
84
84
  1 2 
  1
1
a        
 5 
 5
  5  
2) Ta có

  1
b  
 3 

1
1
Vi 

25 27

126

42

1
 
 3

126

42

  1 3 
   
  3  

45

 1 
  ;
 25 

42

 1 
 
 27 

42

42

 1 

 1 
     a b
 25 
 27 

 1 a; b 9  và a; b là các số tự nhiên
3) Gọi số chính phương cần tìm là aabb với
2
*
Do aabb là số chính phương nên: aabb n (n  N )

aabb n 2 1000a  100a  10b  b 11(100a  b)
 n 2 11  n 11
Mà 1000  aabb 9999  32 n 99
n   33; 44;55;66;77;88;99
Do n11 nên
2
Thử chọn ta được aabb 88 7744
Bài 2 (4 điểm)

x 2  25  y  1 0
1) Tìm x, y biết:
2
2
2) Cho 4 số khác 0 là a, b, c, d và b  c  d khác 0 thỏa mãn b ac; c bd
a  a b c 


d
 b c d 

Chứng minh:

3

Trang 2


Lời giải
1) Vì
Mà

x 2  25 0 x; y  1 0 y
x 2  25  y  1 0

suy ra

x 2  25  y  1 0

) x 2  25 0  x 2  25 0  x 5; x  5
) y  1 0  y  1 0  y 1

Vậy các cặp
2) Vì

 x; y 

b 2 ac 

thỏa mãn là

 5;1

và

  5;1

a b
b c
a b c

c 2 bd  
 
b c và
c d nên suy ra b c d

a b c
  k  a bk ; b ck ; c dk
Đặt b c d
a bk ckk
a b c a  b  c bk  ck  dk
 
k 3 ;   

k
d
b c d b c d
b c d
Ta có d d
3

a
 bk  ck  dk 
3

 k 
d
 bc d 

a  a b c 


Vậy d  b  c  d 
Bài 3 (4 điểm)

3

1) Cho hàm số: f  x   2020 x . Tìm m để f  m  1 2020
2) Tìm hai số khác 0 biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng tỉ lệ với 4; 1; 45 .
Lời giải
1)

f  m  1 2020  2020  m  1

Vì

f  m  1 2020  2020  2020  m  1  m  1  1  m  2

y x; y 0 và x  y  .
2) Gọi 2 số cần tìm là x và 

x  y x  y xy


4
1
45
Theo bài ra ta có
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
x  y x  y x  y  x  y 2x



(2)
4
1
5
5
x  y x  y x  y  x  y 2y



(3)
4
1
4
3
2 x 2 y xy
18 x 30 y xy
  



3 45
45
45 45
Từ (1); (2) và (3) suy ra 5
 18 x 30 y  xy  x 30; y 18( x; y 0)

Trang 3


Bài 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC  AC  BC  . Qua A vẽ đường thẳng xy song song với BC . Từ điểm M trên
cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự tại D và E .
1) Chứng minh AD  BM và ABC MDE
2) Gọi O là giao điểm của AM và CE . Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng.
3) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để AM vng góc với CE .
Lời giải



1) Vì xy // BC nên MAD  AMB (So le trong)



MD / / AB  AMD  AMB (So le trong)
Xét MAD và MAB có:


MAD  AMB

Cạnh AM chung


AMD  AMB

 MAD MAB (c.g .c)
 AD MB; MD  AB (Hai cạnh tương ứng)
Chứng minh tương tự AME MAC (c.g.c)  ME  AC ; MC  AE

Trang 4


 MB  MC  AE  AD  BC DE
 ABC MDE  c  c  c 

2) Xét AOE và MOC có:



EAM  AMC (So le trong)
MC  AE (cmt)



EAO OCM (So le trong)
 AOE MOC  OA OM

Xét AOD và MOB có:
AD BM  cmt 

(So le trong)



DAO OMB (So le trong)
OA OM  cmt 

(cmt)

 AOD MOB  c  g  c 



Vì AOD MOB  AOD MOB




0
0
0

Mà AOD  MOD 180  MOB  MOD 180 hay BOD 180
Vậy ba điểm B; O; D thẳng hàng.


0
3) AM vng góc với CE  AOC MOC 90
Xét AOC và MOC có:

OA  OM ;


AOC MOC  900
Cạnh OC chung

 AOC MOC (c.g.c)  AC  MC (Hai cạnh tương ứng)
Vậy khi M thuộc BC sao cho CM  AC thì AM vng góc với CE
Bài 5 (1 điểm)
Cho A là một tập hợp gồm 607 số nguyên dương đôi một khác nhau và mỗi số nhỏ hơn 2021 .
x  y   3; 6;9
Chứng minh rằng trong tập hợp A ln tìm được hai phần tử x, y  x  y  thỏa mãn

Trang 5


Lời giải
 1;10 ;  11; 20 ;  2011; 2020
Chia dãy số nguyên dương từ 1 đến 2020 thành 202 đoạn:
Vì A có 607 số ngun dương đơi một khác nhau và chia thành 202 đoạn nên theo nguyên lý Đi-rich- lê
tồn tại ít nhất 1 đoạn chứa 4 số trong 607 số trên.
Vì trong 4 số trên ln tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 , gọi 2 số đó là

x và y  x  y  suy ra x – y
Suy ra

chia hết cho 3 mà x – y 9

x  y   3; 6;9

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

Trang 6