Đề số 5 cánh diều

KIỂM TRA GIỮA KỲ 2
NĂM HỌC 2023 - 2024
Mơn: TỐN - Lớp 10 –
DÙNG CHO BỘ SÁCH CÁNH DIỀU
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

ĐỀ SỐ 5

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
Từ các chữ số 0,1, 2,3,5 , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác
nhau và không chia hết cho 5?
A. 120 số.
B. 72 số.
C. 69 số.
D. 54 số.
Câu 1.

Câu 2.

Số nguyên dương n thoả mãn An1 + 2 An2 = 15 là
A. 1. .

Câu 3.

B. 2.

C. 5. .

D. 3.

Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5 , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác

nhau?
A. 16.
Câu 4.
bơng)?

B. 48. .

C. 120.

D. 720.

Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa khác nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một
A. 60.

B. 720.

C. 10.

D. 15.

Câu 5. Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 6 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 học sinh để lập
thành một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách lập đội cờ đỏ đó?
A. 143430 cách.
B. 203490 cách.
C. 20349 cách.
D. 4200 cách.
Câu 6.

Hệ số của x 3 trong khai triển biểu thức P( x) = x(1 − x) 4 + x 2 (2 + x)5 thành đa thức bằng
A. −86 .

Câu 7.

C. −76 .

D. 86.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các điểm A(1;3), B(4;0) và C(2; −5) . Toạ độ điểm M thoả

mãn MA + MB = 3MC là
A. (1;18) .
Câu 8.

B. 76.

B. (1; −18) .

C. (−18;1) .

D. (−1;18) .

Một vật chịu tác dụng của bốn lực F1 , F2 , F3 và F4 . Chọn hệ trục toạ độ như hình bên sao cho

vật nằm ở gốc toạ độ. Khi bốn lực F1 , F2 , F3 và F4 tác dụng vào vật thì vật di chuyển vào góc phần tư thứ
mấy?

A. (I).

B. (II).

C. (III).

D. (IV).

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A(2; −1) và B(−2;1) . Toạ độ điểm M thuộc trục
hồnh và có hồnh độ dương sao cho tam giác ABM vuông tại M là
Câu 9.

Trang 1


A. M ( 5; 0) .

B. M ( 3; 0) và M (− 3; 0) .

C. M (− 5; 0) .

D. M (− 5; 0) và M ( 5; 0) .

Câu 10. Cho tam giác ABC có A(5;3), B(2; −1), C(−1;5) . Toạ độ trực tâm H của tam giác ABC là
A. H (−3;2) .
B. H (−3; −2) .
C. H (3;2) .
D. H (3; −2) .
Câu 11. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1;2), B(3;1) và C(5;4) . Phương trình tổng
quát của đường cao kẻ từ A là
A. 3x − 2 y − 5 = 0 .

B. 3x − 2 y + 5 = 0 .
C. 5x − 6 y + 7 = 0 .
D. 2x + 3 y − 8 = 0 .
Câu 12. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng d đi qua hai điểm A, B và đường thẳng  đi qua

C và song song với đường thẳng d .

Phương trình tổng quát của đường thẳng  là
A. 3x + 4 y −11 = 0 .
C. 4x − 3 y + 2 = 0 .

B. 3x + 4 y − 2 = 0 .
D. 4x − 3 y +14 = 0 .

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Một trường cấp 3 của tỉnh Đồng Tháp có 8 giáo viên Tốn gồm có 3 nữ và 5 nam, giáo viên
Vật lý thì có 4 giáo viên nam, chọn ra một đồn thanh tra cơng tác ơn thi THPTQG, khi đó
a) Chọn 1 giáo viên nữ có C31 cách
b) Chọn 2 giáo viên nam môn Vật lý có C 42 cách.
c) Chọn 1 giáo viên nam mơn Tốn và 1 nam mơn Vật lý có C51 + C41 cách.
d) Có 80 cách chọn ra một đồn thanh tra cơng tác ơn thi THPTQG gồm 3 người có đủ 2 mơn Tốn và
Vật lý và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn
Câu 2.

Khai triển P = ( x − 3)5 . Khi đó

a) Hệ số của
b) Hệ số của
c) Hệ số của

d) Hệ số của
Câu 3.

x 4 trong khai triển là 5 3 .
x 2 trong khai triển là −30 3 .
x 3 trong khai triển là 30 .
x trong khai triển là 45 .

Cho a = 3i + 2 j , b = i − j

a) a = (3; −2)
b) b = (−1;1)
c) 2a + 3b = (9;1)
Trang 2


d) a − 2b = (1; 4)
Cho tam giác ABC có phương trình của đường thẳng BC là 7 x + 5 y − 8 = 0 , phương trình các
đường cao kẻ từ B, C lần lượt là 9x − 3 y − 4 = 0, x + y − 2 = 0 . Lập phương trình đường cao và đường
Câu 4.

trung tuyến kẻ từ A .

2 2
a) Điểm B có toạ độ là  ;  .
3 3
d) Điểm C có toạ độ là (−1;3) .
c) Phương trình đường cao kẻ từ A là 5x − 7 y − 6 = 0
d) Phương trình đường trung tuyến kẻ từ A là x −13 y + 4 = 0
Phần 3. Câu trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?
Câu 2. Lớp 11D có 45 bạn học sinh. Đầu năm cô giáo muốn chọn ra một ban cán sự lớp từ 45 bạn học
sinh lớp 11D gồm một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớp phó lao động và hai thư kí. Số cách cơ
giáo chọn ra một ban cán sự lớp như vậy là bao nhiêu?
Câu 3. Cho biểu thức (1 − x)6 . Tính tổng S = C60 − C61 + C62 − C63 + C64 − C65 + C66 .
Câu 4.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; −1) và B(3;2) . Tìm tọa độ điểm M thuộc trục

Oy để MA2 + MB 2 nhỏ nhất
Câu 5. Viết phương trình đường thẳng  đi qua A(5;1) và cách điểm B(2; −3) một khoảng bằng 5.

Câu 6.

Cho hai đường thẳng 1 : ax − y + 5 = 0 và  2 : x + y + 1 = 0 . Có bao nhiêu giá trị của a để 1

tạo với  2 một góc 60 ?
PHIẾU TRẢ LỜI
PHẦN 1.
(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,25 điểm)
Câu
1
2
3
4
5
6
7
8

Chọn
PHẦN 2.
Điểm tối đa của 01 câu hỏi là 1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 01 ý trong 1 câu hỏi được 0,1 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 02 ý trong 1 câu hỏi được 0,25 điểm.
- Thí sinh chỉ lựa chọn chính xác 03 ý trong 1 câu hỏi được 0,50 điểm.
- Thí sinh lựa chọn chính xác cả 04 ý trong 1 câu hỏi được 1 điểm.
Câu 1
Câu 2
Câu 3
a)
a)
a)
b)
b)
b)
c)
c)
c)
d)
d)
d)
PHẦN 3.
(Mỗi câu trả lời đúng thí sinh được 0,5 điểm)
Câu
Đáp án
1
2
3
4

5
6

9

10

11

12

Câu 4
a)
b)
c)
d)

Trang 3


Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.
Từ các chữ số 0,1, 2,3,5 , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác
nhau và không chia hết cho 5?
A. 120 số.
B. 72 số.
C. 69 số.
D. 54 số.
Câu 1.

Câu 2.

Số nguyên dương n thoả mãn An1 + 2 An2 = 15 là
A. 1. .

Câu 3.

B. 2.

C. 5. .

D. 3.

Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5 , có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác

nhau?
A. 16.
Câu 4.
bơng)?

B. 48. .

C. 120.

D. 720.

Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa khác nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một
A. 60.

B. 720.

C. 10.

D. 15.

Câu 5. Một nhóm học sinh gồm 15 nam và 6 nữ. Người ta muốn chọn từ nhóm ra 5 học sinh để lập
thành một đội cờ đỏ sao cho phải có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách lập đội cờ đỏ đó?
A. 143430 cách.
B. 203490 cách.
C. 20349 cách.
D. 4200 cách.
Lời giải
Bước 1: Số cách chọn 2 nam làm đội trưởng và đội phó là A152 cách.
Bước 2: Số cách chọn ra 3 thành viên cịn lại mà có ít nhất 1 nữ:
Số cách chọn 3 học sinh còn lại trong 18 học sinh là C193 cách.
Số cách chọn 3 học sinh cịn lại tồn là nam có C133 cách.
Vậy số cách chọn 3 thành viên còn lại mà có ít nhất 1 nữ là C193 − C133 cách.
Vậy số cách chọn có 1 đội trưởng nam, 1 đội phó nam và có ít nhất 1 nữ là
A152 ( C193 − C133 ) = 143430 cách.
Câu 6.

Hệ số của x 3 trong khai triển biểu thức P( x) = x(1 − x) 4 + x 2 (2 + x)5 thành đa thức bằng
A. −86 .

C. −76 .
Lời giải
Hệ số x 3 trong x(1 − x)4 là a = (−1) 2 C42 = 6 .
B. 76.

D. 86.

Hệ số x 3 trong x 2 (2 + x)5 là b = C51  24 = 80 .
Vậy hệ số của x 3 khi khai triển biểu thức P( x) là a + b = 86 .
Câu 7.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho các điểm A(1;3), B(4;0) và C(2; −5) . Toạ độ điểm M thoả

mãn MA + MB = 3MC là
A. (1;18) .

C. (−18;1) .
D. (−1;18) .
Lời giải
 xM = 1
Gọi điểm M ( xM ; yM ) . Ta có MA + MB − 3MC = 0 . Suy ra 
. Vậy M (1; −18) .
 yM = −18

Câu 8.

B. (1; −18) .

Một vật chịu tác dụng của bốn lực F1 , F2 , F3 và F4 . Chọn hệ trục toạ độ như hình bên sao cho

vật nằm ở gốc toạ độ. Khi bốn lực F1 , F2 , F3 và F4 tác dụng vào vật thì vật di chuyển vào góc phần tư thứ
mấy?
Trang 4

A. (I).

B. (II).

C. (III).
D. (IV).
Lời giải
Ta có F = F1 + F2 + F3 + F4 = i − j . Dựa vào hệ trục tọ ̣ độ Oxy ta thấy hợp lực nằm trong góc
phần tư thứ tư.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hai điểm A(2; −1) và B(−2;1) . Toạ độ điểm M thuộc trục
hoành và có hồnh độ dương sao cho tam giác ABM vng tại M là
Câu 9.

A. M ( 5; 0) .

B. M ( 3; 0) và M (− 3; 0) .

C.

M (− 5; 0) .

D. M (− 5; 0) và M ( 5; 0) .
Câu 10. Cho tam giác ABC có A(5;3), B(2; −1), C(−1;5) . Toạ độ trực tâm H của tam giác ABC là
A. H (−3;2) .
B. H (−3; −2) .
C. H (3;2) .
D. H (3; −2) .
Lời giải
Gọi H ( x; y ) ta có AH = ( x − 5; y − 3) , BC = ( −3;6 )
 AH  BC = 0  −3 x + 6 y − 3 = 0 (1).

BH = ( x − 2; y + 1), AC = (−6; 2)  BH  AC = 0  −6 x + 2 y + 14 = 0 (2).
Từ (1) và (2) suy ra x = 3; y = 2 . Vậy H (3;2) là toạ độ cần tìm.

Câu 11. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1;2), B(3;1) và C(5;4) . Phương trình tổng
quát của đường cao kẻ từ A là
A. 3x − 2 y − 5 = 0 .
B. 3x − 2 y + 5 = 0 .
C. 5x − 6 y + 7 = 0 .
D. 2x + 3 y − 8 = 0 .
Lời giải
Kẻ AH ⊥ BC tại H . Suy ra vectơ pháp tuyến của đường cao AH là n = BC = (2;3) . Phương
trình tổng quát của AH là 2( x −1) + 3( y − 2) = 0  2x + 3 y − 8 = 0. .
Câu 12. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng d đi qua hai điểm A, B và đường thẳng  đi qua

C và song song với đường thẳng d .

Phương trình tổng quát của đường thẳng  là
A. 3x + 4 y −11 = 0 .
C. 4x − 3 y + 2 = 0 .

B. 3x + 4 y − 2 = 0 .
D. 4x − 3 y +14 = 0 .
Trang 5


Lời giải
Ta có A(−2;2), B(2; −1), C(1;2) . Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u = AB = (4; −3) suy
ra vectơ pháp tuyến của nó là n = (3;4) .
Vì  / /d nên vectơ chỉ phương của nó là n = (3;4) .

Do đó phương tình tổng quát của  là 4x − 3 y +14 = 0 .
Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai
Câu 1. Một trường cấp 3 của tỉnh Đồng Tháp có 8 giáo viên Tốn gồm có 3 nữ và 5 nam, giáo viên
Vật lý thì có 4 giáo viên nam, chọn ra một đoàn thanh tra cơng tác ơn thi THPTQG, khi đó
a) Chọn 1 giáo viên nữ có C31 cách
b) Chọn 2 giáo viên nam mơn Vật lý có C 42 cách.
c) Chọn 1 giáo viên nam mơn Tốn và 1 nam mơn Vật lý có C51 + C41 cách.
d) Có 80 cách chọn ra một đồn thanh tra cơng tác ơn thi THPTQG gồm 3 người có đủ 2 mơn Tốn và
Vật lý và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đồn
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai
Vì chọn ra 3 người mà yêu cầu phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn nên số giáo viên nữ
được chọn chỉ có thể bằng 1 hoặc 2 . Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Chọn 1 giáo viên nữ: Có C31 cách. Khi đó:
- Chọn 1 giáo viên nam mơn Tốn và 1 nam mơn Vật lý: Có C51  C41 cách.
- Chọn 2 giáo viên nam môn Vật lý: Có C 42 cách,
Trường hợp này có C31 ( C51  C41 + C42 ) cách chọn.

Trường hợp 2: Chọn 2 giáo viên nữ: Có C 32 cách chọn. Khi đó chọn thêm 1 giáo viên nam mơn Vật lý:
Có C41 cách. Trường hợp này có C32  C41 cách chọn.

Vậy tất cả có C31 ( C51  C41 + C42 ) + C32  C41 = 90 cách chọn.
Câu 2.

Khai triển P = ( x − 3)5 . Khi đó

a) Hệ số của
b) Hệ số của
c) Hệ số của
d) Hệ số của

x 4 trong khai triển là 5 3 .
x 2 trong khai triển là −30 3 .
x 3 trong khai triển là 30 .
x trong khai triển là 45 .

Lời giải
b) Đúng

a) Sai

c) Đúng

Ta có: P = ( x − 3) = C x + C x (− 3) + C x (− 3) + C x (− 3)
5

0 5
5

1 4
5

+C54 x(− 3)4 + C55 (− 3)5
= x5 − 5 3x 4 + 30 x3 − 30 3x 2 + 45 x − 9 3.
Hệ số của x 4 trong khai triển là −5 3 .
Câu 3.

Cho a = 3i + 2 j , b = i − j

a) a = (3; −2)
b) b = (−1;1)
c) 2a + 3b = (9;1)
Trang 6

2 3
5

2

3 2
5

3

d) Đúng


d) a − 2b = (1; 4)
Lời giải:
a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

2a = (6; 4)
 2a + 3b = (9;1) ; −2b = (−2; 2)  a − 2b = (1; 4) .
Ta có : a = (3; 2), b = (1; −1)  
3b = (3; −3)
Cho tam giác ABC có phương trình của đường thẳng BC là 7 x + 5 y − 8 = 0 , phương trình các
đường cao kẻ từ B, C lần lượt là 9x − 3 y − 4 = 0, x + y − 2 = 0 . Lập phương trình đường cao và đường
Câu 4.

trung tuyến kẻ từ A .

2 2
a) Điểm B có toạ độ là  ;  .
3 3
d) Điểm C có toạ độ là (−1;3) .
c) Phương trình đường cao kẻ từ A là 5x − 7 y − 6 = 0
d) Phương trình đường trung tuyến kẻ từ A là x −13 y + 4 = 0
Lời giải
a) Đúng
b) Đúng
c) Sai
d) Sai

2

x=


7 x + 5 y − 8 = 0


3
Toạ độ của điểm B là nghiệm của hệ phương trình: 

9
x
−
3
y
−
4
=
0

y = 2.


3


2 2
Suy ra điểm B có toạ độ là  ;  .
3 3
7 x + 5 y − 8 = 0  x = −1

Toạ độ của điểm C là nghiệm của hệ phương trình: 
 y = 3.
x + y − 2 = 0
Suy ra điểm C có toạ độ là (−1;3) .
2 2
Đường thẳng AB đi qua điểm B  ;  và nhận vectơ chỉ phương u1 (1; −1) của

3 3
đường cao kẻ̉ từ C làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: ( x +1) + 3( y − 3) = 0  x + 3 y − 8 = 0
x − y = 0
x = 2

Toạ độ của điểm A là nghiệm của hệ phương trình: 
 y = 2.
x + 3y − 8 = 0
Suy ra điểm A có toạ độ là (2;2) .
Phương trình đường cao kẻ từ A(2;2) và nhận vectơ chỉ phương u (5; −7) của đường thẳng BC làm
vectơ pháp tuyến là: 5( x − 2) − 7( y − 2) = 0  5x − 7 y + 4 = 0 .
 −1 11 
Gọi I là trung điểm của BC , ta có toạ độ của điểm I là  ;  .
 6 6
 13 1 
Do đó, ta có IA  ;  .
 6 6
Đường trung tuyến kẻ từ A nhận n(1; −13) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:
( x − 2) −13( y − 2) = 0  x −13 y + 24 = 0 .
Phần 3. Câu trả lời ngắn.
Thí sinh trả lời đáp án từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1.

Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà các chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị?
Trang 7


Lời giải
Nếu chữ số hàng chục là 1 thì chữ số hàng đơn vị là 0: có 1 số tự nhiên thỏa mãn. Nếu chữ số
hàng chục là 2 thì chữ số hàng đơn vị 0 hoặc 1: có 2 số tự nhiên thoả mãn.

Nếu chữ số hàng chục là 3 thì chữ số hàng đơn vị là 0 hoặc 1 hoặc 2: có 3 số tự nhiên thỏa mãn.
Theo quy luật đó, ta có số các số tự nhiên thỏa mãn là: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.
Câu 2. Lớp 11D có 45 bạn học sinh. Đầu năm cô giáo muốn chọn ra một ban cán sự lớp từ 45 bạn học
sinh lớp 11D gồm một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớp phó lao động và hai thư kí. Số cách cơ
giáo chọn ra một ban cán sự lớp như vậy là bao nhiêu?
Lời giải
Để chọn ra ban cán sự lớp thoả mãn yêu cầu, ta tiến hành như sau:
Bước 1: Chọn 3 bạn trong đó có một lớp trưởng, một lớp phó học tập, một lớp phó lao động từ
45 bạn.
Mỗi một cách chọn ra một ban cán sự lớp gồm ba bạn trong đó có một lớp trưởng, một lớp phó
học tập, một lớp phó lao động từ 45 bạn học sinh lớp 11D tương ứng với một chỉnh hợp chập 3
của 45 phần tử.
3
Do đó số cách chọn là: A45
.
Bước 2: Chọn 2 bạn làm thư kí từ 42 bạn cịn lại. Mỗi cách chọn này khơng phân biệt về thứ tự
nên số cách chọn là: C422 .
3
2
 C42
Số cách cô giáo chọn ra một ban cán sự lớp thoả mãn là: A45
.

Cho biểu thức (1 − x)6 . Tính tổng S = C60 − C61 + C62 − C63 + C64 − C65 + C66 .

Câu 3.

Lời giải
Ta có: (1 − x) = C − C x + C x − C x + C64 x4 − C65 x5 + C66 x6 (*) .
6

0
6

1
6

2 2
6

3 3
6

Thay x = 1 vào (*) , ta được: (1 − 1)6 = C60 − C61 + C62 − C63 + C64 − C65 + C66 = S . Vậy S = 0 .
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; −1) và B(3;2) . Tọa độ điểm M thuộc trục Oy

Câu 4.

để MA + MB 2 nhỏ nhất
2

Lời giải

 MA = (1; −1 − m)
Ta có M  Oy nên M (0; m) và 

 MB = (3; 2 − m).
2

1  29 29


Khi đó, MA2 + MB 2 =| MA |2 + | MB |2 = 2  m −  +
 , m  .
2
2
2

1
29
 1
Suy ra giá trị nhỏ nhất của MA2 + MB 2 bằng
khi m =  M  0;  .
2
2
 2

Câu 5.

Viết phương trình đường thẳng  đi qua A(5;1) và cách điểm B(2; −3) một khoảng bằng 5.
Lời giải
Gọi n = (a; b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ;  qua A(5;1) nên có phương trình
a( x − 5) + b( y −1) = 0  d : ax + by − 5a − b = 0 .
| 2a − 3b − 5a − b |
d ( B,  ) = 5 
= 5 | −3a − 4b |= 5 a 2 + b 2
Ta
có:
2
2
a +b

2
2
2
2
2
2
 (3a + 4b) = 25 ( a + b )  9a + 24ab + 16b = 25a + 25b 2
 16a2 + 9b2 − 24ab = 0  4a − 3b = 0  4a = 3b .
Chọn a = 3  b = 4 . Ta có phương trình  : 3x + 4 y −19 = 0 .

Câu 6.

Cho hai đường thẳng 1 : ax − y + 5 = 0 và  2 : x + y + 1 = 0 . Có bao nhiêu giá trị của a để 1

tạo với  2 một góc 60 ?
Lời giải
Trang 8


Ta có n1 (a; −1) và n2 (1;1) . Theo bài ra 1 tạo với  2 một góc 60 nên:
| a − 1|
1
| a − 1|
cos 60 =
 =
 a 2 + 1 = 2 | a − 1|
2
2
2
2

2
2
a + (−1)  1 + 1
2  a +1
a = 2 + 3
Vậy có hai giá trị của a .
 a 2 − 4a + 1 = 0  
 a = 2 − 3.

Trang 9