Bài giảng trường điện từ

Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
KHOA KỸ THUẬT VÀ CÔNG NGHỆ
-----  -----

BÀI GIẢNG
TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

Biên soạn: TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương
Bộ môn: Điện tử - Viễn thông

Tài liệu lưu hành nội bộ

1


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU ............................................................................................... 5
1. Giới thiệu về trường điện từ ................................................................................... 5
2. Các phương trình tốn cần thiết ............................................................................. 5
2.1. Nhân 2 vectơ..................................................................................................... 5
2.2. Tốn tử Nabla ................................................................................................... 5
2.3. Thơng lượng của một trường vectơ qua mặt S................................................. 6

2.4. Gradient của một đại lượng vô hướng ............................................................. 6
2.5. Divergence của một trường vectơ .................................................................... 6
2.6. Rotary của một trường vectơ ............................................................................ 6
2.7. Cơng thức chuyển đổi tích phân ....................................................................... 7
CHƯƠNG 2: TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN ....................................................................... 8
1. Khái niệm ............................................................................................................... 8
2. Định luật Coulomb ................................................................................................. 8
3. Các đại lượng cơ bản .............................................................................................. 8
4. Các tính chất của trường tĩnh điện.......................................................................... 9
5. Điều kiện biên của trường tĩnh điện ..................................................................... 12
6. Hệ thống phương trình của trường tĩnh điện ........................................................ 12
CHƯƠNG 3: TỪ TRƯỜNG TĨNH.......................................................................... 15
1. Khái niệm ............................................................................................................. 15
2. Định luật Ampere, Vectơ từ cảm ...................................................................... 15
3. Vectơ từ trường

................................................................................................ 15

4. Tính chất ............................................................................................................... 16
4.1. Dịng điện khơng đổi ..................................................................................... 16
4.2. Tính chất của từ trường tĩnh .......................................................................... 16
CHƯƠNG 4: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN ................................................. 22
1. Khái niệm ............................................................................................................. 22
2. Dòng điện dịch...................................................................................................... 22
2


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

3. Phương trình Maxwell thứ nhất............................................................................ 22
4. Phương trình Maxwell thứ hai.............................................................................. 23
5. Hệ phương trình Maxwell .................................................................................... 23
6. Nguyên lý đổi lẫn ................................................................................................. 24
7. Điều kiện bờ của trường điện từ biến thiên .......................................................... 25
8. Năng lượng của trường điện từ............................................................................. 25
9. Phương trình bảo tồn năng lượng của trường điện từ - Vectơ Poynting ............ 26
9.1. Phương trình bảo tồn năng lượng của trường điện từ .................................. 26
9.2. Vectơ Poynting .............................................................................................. 27
10. Hệ phương trình Maxwell dưới dạng phức ........................................................ 29
CHƯƠNG 5: SÓNG PHẲNG ................................................................................... 30
1. Khái niệm ............................................................................................................. 30
2. Khảo sát sự lan truyền của sóng phẳng trong mơi trường điện mơi lý tưởng và
khơng có nguồn phát ................................................................................................ 31
3. Phân cực................................................................................................................ 36
3.1. Sóng phân cực thẳng ...................................................................................... 37
3.2. Sóng phân cực trịn ......................................................................................... 38
3.3. Sóng phân cực dạng elip ................................................................................ 38
4. Giải hệ phương trình Maxwell bằng phương pháp thế ........................................ 38
CHƯƠNG 6: BỨC XẠ SÓNG ĐIỆN TỪ ................................................................ 44
1. Trường bức xạ của dây dẫn có dịng điện ............................................................ 44
2. Công suất bức xạ - điện trở bức xạ ....................................................................... 47
2.1. Công suất bức xạ ............................................................................................ 47
2.2. Điện trở bức xạ ............................................................................................... 48
3. Đặc tính phương hướng của Anten ...................................................................... 49
4. Bức xạ của lưỡng cực điện ................................................................................... 51
5. Bức xạ của dây dẫn thẳng có dịng điện ............................................................... 55
5.1. Bức xạ của dây dẫn thẳng có dịng điện ......................................................... 55
5.2. Bức xạ của dây dẫn có dịng điện sóng chạy ................................................. 56

3


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

5.3. Bức xạ của dây dẫn có dịng điện sóng đứng ................................................. 57

4


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU
1. Giới thiệu về trường điện từ
- Trong tự nhiên có 5 trường lực:
1. Trường hấp dẫn: có vai trị chủ đạo trong thế giới vĩ mô
2. Trường tương tác mạnh
3. Trường tương tác yếu
4. Điện trường
5. Từ trường

}

}

Trong thế giới vi mô

Trường điện từ - Maxwell

- Đặc điểm của trường điện từ:
1. Trường điện từ là sự thống nhất của điện trường và từ trường.
2. Trường điện từ ở dạng vật chất đặc biệt, phân bố dưới dạng sóng hạt đặc
biệt.
3. Nó lan truyền trong khơng gian với vận tốc

√

4. Nó tương tác với hạt (hay vật thể) mang điện.
- Thông số cơ bản:
1. Vectơ cường độ điện trường: ̅
2. Vectơ cường độ từ trường: ̅
3. Vectơ điện cảm: ̅
4. Vectơ từ cảm: ̅

2. Các phương trình tốn cần thiết
2.1. Nhân 2 vectơ
a. Nhân vơ hướng:

̅ ̅

b. Nhân có hướng:

̅x ̅

( ̅ ̅)

2.2. Toán tử Nabla
{
5

}


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

2.3. Thông lượng của một trường vectơ qua mặt S
∮

∫ ̅ ̅̅̅̅

̅

2.4. Gradient của một đại lượng vơ hướng
Ví dụ: thế U:
̅̅̅
 Định nghĩa: là vectơ có phương vng góc với mặt đẳng thế, có độ lớn bằng
sự thay đổi của thế trên một đơn vị khảo sát (coi chiều dương của pháp tuyến là chiều
tăng của thế U).
Trong hệ tọa độ Đề-các:
̅
với ̅ ̅

̅

̅

̅ là các vectơ đơn vị.

2.5. Divergence của một trường vectơ:
Ví dụ: ̅
̅ ̅̅̅̅

̅
 Tính chất:
o

̅

: ở vị trí khảo sát có nguồn E

o

̅

: ở vị trí khảo sát khơng có nguồn E

Trong hệ tọa độ Đề-các:
̅

̅

2.6. Rotary của một trường vectơ
Ví dụ: ̅
̅ ̅

̅
6


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

 Tính chất:
o

̅

: trường xốy, đường sức từ khép kín

o

̅

: trường khơng xốy, đường sức từ khơng khép kín

2.7. Cơng thức chuyển đổi tích phân
a. Công thức Gauss:
∮ ̅ ̅̅̅̅

∫

̅

b. Công thức Stokes:
∮ ̅ ̅

∫

̅ ̅̅̅̅

S: diện tích được bao quanh bởi đường khép kín

7


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

CHƯƠNG 2: TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN
1. Khái niệm
Trường tĩnh điện là một trường dừng được tạo ra xung quanh các điện tích đứng
yên. Các vectơ ̅ ̅ khơng đổi theo thời gian.

2. Định luật Coulomb

q1

F21

q2

r

F12
r120

r210

Hình 2.1. Tương tác giữa hai điện tích đặt cách nhau một khoảng r

Nếu ta có 2 điện tích đặt cách nhau khoảng cách

sẽ tương tác nhau một lực

hướng dọc theo đường thẳng nối các điện tích ấy:
̅̅̅̅̅

̅
Trong đó:

̅̅̅̅̅

̅

-

: độ lớn các điện tích

-

: khoảng cách giữa 2 điện tích

- ̅̅̅̅,̅̅̅̅

: các vectơ đơn vị

- ̅̅̅̅,̅̅̅̅

: lực tác dụng của

-

: là hằng số điện môi

lên

và của

lên

3. Các đại lượng cơ bản
a. Vectơ cường độ điện trường ̅ :
Đặt 1 điện tích thử

(ngồi điện tích Q) vào 1điểm trong khơng gian, thì điện

tích thử sẽ chịu 1 lực tác dụng:
̅̅̅ ̅̅̅

̅
̅

̅

̅̅̅
8


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

b. Vectơ điện cảm ̅ :
̅

̅̅̅

̅

Như vậy, ̅ là vectơ cùng phương, cùng chiều với ̅ trong môi trường đồng nhất,
đẳng hướng (ε = const). Vectơ ̅ không phụ thuộc vào môi trường mà chúng ta khảo
sát.

4. Các tính chất của trường tĩnh điện
a. Định lý Gauss:
“Thông lượng của vectơ điện cảm ̅ , qua 1 mặt kín S bằng tổng điện tích chứa
trong thể tích giới hạn bởi mặt kín đó, khơng phụ thuộc vào sự sắp xếp của chúng”.
∮ ̅ ̅̅̅̅

∫

∑

ρ: mật độ điện tích khối

với

Áp dụng biến đổi Gauss cho vế trái:
∮ ̅ ̅̅̅̅
 Ý nghĩa:

∫̅

̅

∫

̅

chứng tỏ trường tĩnh điện là trường có nguồn ở vị

trí khảo sát. Nguồn của điện trường là điện tích.
b. Tính chất thế của trường tĩnh điện:
ro
1

dl

2

q
r1

l

r2

Q
Hình 2.2. Mơ tả dịch chuyển của điện tích thử q từ vị trí 1 sang vị trí 2
9


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

Giả sử trong trường của điện tích điểm

có điện tích

dịch chuyển. Xét cơng của

lực dịch chuyển ấy:
̅̅̅

̅

Trường tĩnh điện là một trường thế bởi cơng của trường sinh ra để dịch chuyển
một điện tích từ vị trí 1 sang vị trí 2. Cơng khơng phụ thuộc vào dạng đường đi, chỉ
phụ thuộc vị trí điểm đầu và cuối.
∮ ̅ ̅

∫̅ ̅

(

)

Nếu khảo sát theo 1 vịng kín, ta thấy:
4

E
3

1

2
Hình 2.3. Khảo sát qng đường dịch của điện tích thử q

 Sự dịch chuyển của điện tích theo đoạn 1-2-3 cùng chiều điện trường
=> > 0.
 Trên đoạn 3-4-1, các điện tích dịch chuyển ngược chiều điện trường
=> < 0.
 Cơng tồn phần:
∮ ̅ ̅
Giả thiết

∮

= 1 đơn vị điện tích dương
∮ ̅ ̅

Áp dụng biến đổi Stokes:

10

̅ ̅


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

∮ ̅ ̅

̅ ̅̅̅̅

∫
̅

Vậy

 Ý nghĩa: Rotary của điện trường bằng 0 chứng tỏ trương tĩnh điện là trường
khơng xốy, nghĩa là đường sức khơng khép kín.
c. Khái niệm thế U:
Thế của trường tại một điểm M được tính bằng cơng của trường dịch chuyển một
điện tích

đơn vị điện tích dương từ vị trí M ra xa vô cùng.

d. Khái niệm hiệu điện thế:
Hiệu điện thế giữa 2 điểm A và B nằm trong trường tĩnh điện được xác định bằng

công của TTĐ dịch chuyển điện tích điểm

có giá trị 1 đơn vị điện tích dương từ A

đến B.
(

)

e. Mối liên hệ giữa ̅ và U:
̅
 Phương trình Poison – Laplace:
Xuất phát từ:
{

̅
̅

̅

 Phương trình Poison:
 Phương trình Laplace: đối với những điểm mà mật độ điện tích ở đó bằng
0 thì:
Trong hệ tọa Đề-các :
Poison:
11


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

Laplace:

f. Năng lượng của trường tĩnh điện:
∫ ̅ ̅

∫

̅

5. Điều kiện bờ (biên) của trường tĩnh điện
Xét điều kiện bờ của trường tĩnh điện là xét sự thay đổi của trường khi đi từ môi
trường này sang môi trường khác.
Người ta chứng minh được:
 Bờ giữa điện môi – điện môi
Nếu trên bờ không có điện tích mặt (ρ = 0):
 Bờ giữa điện mơi – kim loại:
-

6. Hệ thống phương trình của trường tĩnh điện
Phương trình

Ý nghĩa vật lý
Biểu thị tính chất khơng xoáy của điện trường.

̅
Hoặc

̅

Điện trường là 1 trường thế, cường độ trường có
thể được biểu thị qua Gradient của một hàm thế
vô hướng.
12


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

̅
Với

Điện trường là trường có nguồn. Nguồn của các

̅

̅

Điều kiện bờ tổng quát:

điện trường chính là các điện tích.
Thành phần tiếp tuyến của vectơ điện cảm liên
tục khi chuyển từ môi trường này sang mơi
trường kia.

(khi có điện tích mặt tại bờ)

Thành phần pháp tuyến của vectơ điện cảm liên

tục khi chuyển từ môi trường này sang mơi

(khi khơng có điện tích mặt)

trường kia nếu tại bờ khơng có điện tích và bị
gián đoạn nếu ở bờ có điện tích tự do.
Thành phần pháp tuyến của điện trường luôn bị
gián đoạn tại bờ.

Năng lượng:
∫ ̅ ̅

∫

̅

BÀI TẬP:
1. Một quả cầu khối lượng rỗng tích điện có bán kính a, giả sử điện tích phân bố
đều trên bề mặt của nó với mật độ điện tích là

. Hãy xác định trương do quả cầu

tạo ra ở bề ngoài và bên trong quả cầu.
GIẢI:
- Trường do quả cầu tích điện tạo ra là trường tĩnh điện .
 Xác định trường bên ngoài quả cầu tại
Áp dụng định lý thông lượng của Gauss:

13

:


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

∮ ̅ ̅̅̅̅

∑

(

∫

)

Vectơ ̅̅̅̅ : vectơ bề mặt, nó vng góc với dS.
∮ ̅ ̅̅̅̅

∮ ̅ ̅̅̅̅

(( ̅ ̅̅̅̅)

∮

∮

Vậy
 Xác định trường bên trong quả cầu tại

:

Tương tự như trên:
∮ ̅ ̅̅̅̅

14

∑

)


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

CHƯƠNG 3: TỪ TRƯỜNG TĨNH
1. Khái niệm
Từ trường tĩnh là trường dừng được tạo ra xung quanh các dịng điện khơng đổi
( ̅ ̅ ).

2. Định luật Ampere, Vectơ từ cảm ̅
B
r0

J

V

L
Hình 3.1. Vectơ từ cảm ̅

̅
Trong đó:

∫

̅ ̅̅̅

̅ : vectơ từ cảm (T: Tesla)
µ: hệ số từ chuẩn. Trong chân khơng:
:̅ vectơ mật độ dòng điện (nguồn gốc tạo ra từ trường)
r: khoảng cách từ nguồn điện để tính trường
V: thể tích chứa nguồn điện

3. Vectơ từ trường ̅
̅

̅

∫

̅ ̅̅̅

- Vectơ từ trường ̅ khơng phụ thuộc vào tính chất của mơi trường (µ).
-

̅ và ̅ cùng phương, chiều trong mơi trường đồng nhất, đẳng hướng
(µ=const).

15


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

4. Tính chất
4.1. Dịng điện khơng đổi
4.1.1. Khái niệm: Dịng điện là dịng chuyển dời có hướng của các hạt mang
điện. Biên độ, pha, hướng không đổi theo thời gian.
4.1.2. Hệ thức cơ bản:

∫ ̅ ̅̅̅̅
4.1.3. Phương trình bảo tồn điện tích:
∫
̅ ̅̅̅̅
̅

∫

=> biến đổi Gauss vế trái :

∫

(thay đổi thứ tự tích phân và vi phân

∫

ở vế phải)
̅



Đây là biểu thức vi phân của phương trình bảo tồn điện tích. Chứng tỏ dịng điện
có nguồn, nguồn của nó là sự biến đổi mật độ điện tích theo thời gian.
4.1.4. Định luật Ohm:
̅
σ

̅

: điện dẫn suất của môi trường.
: môi trường điện môi lý tưởng.
∞ : mơi trường dẫn điện lý tưởng.

4.2. Tính chất của từ trường tĩnh
4.2.1. Định luật bảo tồn dịng điện của Ampere:
16


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

I1

I3

I2
Hình 3.2. Các thành phần dịng điện bao quanh bởi vịng kín

̅ ̅

∑

(định lý về lưu số cường độ từ trường)

Ở đây ∑ là tổng đại số các dòng điện bị bao quanh bởi đường vịng như hình
2.2:
∑
Nếu mơi trường khảo sát có dịng điện phân bố với mật độ ̅ , thì khi lấy tích
phân đường của từ trường theo một vịng khép kín bao quanh một diện tích S:
∫ ̅ ̅̅̅̅

∮ ̅ ̅

∫ ̅ ̅̅̅̅

Áp dụng biến đổi Stokes cho vế trái:
∮ ̅ ̅

∫ ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅

∫ ̅ ̅̅̅̅
̅

 Ý nghĩa: Rotary của vectơ cường độ từ trường có giá trị khác khơng chứng tỏ

từ trường là 1 trường xoáy. Các đường sức của từ trường là những đường khép kín
trong khơng gian bao quanh các dịng điện tạo ra nó.
4.2.2. Tính chất liên tục của từ thông:
Thông lượng của một vectơ cảm ứng qua S. Ta có, tổng số đường sức đi vào mặt
S bằng tổng số đường sức đi ra khỏi mặt ấy.
17


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

Vậy, tổng số đường sức thâm nhập vào một mặt kín bất kì sẽ bằng:
∮ ̅ ̅̅̅̅
Áp dụng biến đổi Gauss vào vế trái
̅ ̅̅̅̅

̅


 Ý nghĩa:

̅

̅

∫

nói lên tính chất từ trường là trường khơng có nguồn ở

vị trí khảo sát.
4.2.3. Năng lượng của từ trường:
∫ ̅ ̅

∫

(môi trường đồng nhất, đẳng hướng: ̅ ̅ cùng phương, chiều).
4.2.4. Điều kiện bờ của từ trường:
Người ta chứng minh được:
a. Tại bờ giữa điện môi – điện môi:

b. Tại bờ giữa điện môi – kim loại:
là mật độ dòng điện mặt, nghĩa là dòng điện chảy trên mặt một đơn vị chiều rộng
của bề mặt, ở trong một lớp vỏ vô cùng mỏng của mặt dẫn điện lý tưởng.
4.2.5. Hệ thống phương trình của từ trường tĩnh:

18


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

Phương trình

Ý nghĩa vật lý

 Nguyên lý liên tục của từ thông

Từ trường là trường khơng có nguồn.

Trong thiên nhiên khơng có từ tích là

∮ ̅ ̅̅̅̅

nguồn của từ trường.

̅

hay

 Định luật bảo toàn dịng điên Ampere:

Từ trường là trường xốy. Đường sức
từ khép kín. Tại mỗi điểm, cường độ

∮ ̅ ̅
hay

̅

xốy bằng mật độ dòng điện tại điểm
ấy.
̅

Thành phần pháp tuyến của ̅ liên tục

 Điều kiện bờ tổng quát:

khi chuyển từ môi trường này sang
môi trường khác.

Thành phần tiếp tuyến của ̅ liên tục

(bờ giữa điện môi – kim loại)

giữa 2 bờ điện môi nhưng gián đoạn
tại bờ giữa kim loại và điện môi,

(bờ giữa điện môi – điện môi)

khoảng gián đoạn có giá trị bằng mật
độ dịng điện mặt.

 BÀI TẬP:
Cho một dây dẫn thẳng, tiết diện trịn có bán kính a, trên dây có dịng điện
khơng đổi, biên độ

. Hãy xác định trường tạo ra ở điểm cách trục dây một

khoảng:
a.
b.
Giải:
a. Dịng điện khơng đổi tạo ra xung quanh nó một từ trường tĩnh.
Áp dụng định luật Ampere, ta có:
19


Trường điện từ

TS. Huỳnh Nguyễn Bảo Phương

∮ ̅ ̅

∑

(( ̅ ̅ )

∮

∮

Phương và chiều của ̅ được chỉ ra như hình vẽ…
b. Ta có:
∮ ̅ ̅

∑

Mà ta có:

Từ (1) và (2):
∮

(̅̅̅ ̅ )

∮

20

)