Dựng mô hình Khối vật thể giới hạn bởi mặt cầu và mặt mặt phẳng GIẢI TÍCH 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN
GIẢI TÍCH 2

GVHD: Tăng Lâm Tường Vinh
NHÓM: GT2-L29-09

Ngày 30 tháng 4 năm 2022


BTL Giải tích 2

Nhóm 9

Danh sách nhóm
STT
Tên
1
Trần Xn Hải
2
Phùng Thái Khang
3
Hà Anh Khoa
4
Nguyễn Hoàng Mỹ
5
Nguyễn Bảo Việt

MSSV

2113301
2111462
2113747
2114105
2115273

Nội dung câu hỏi
1. Dựng mơ hình Khối vật thể giới hạn bởi mặt cầu và mặt mặt phẳng. (phương
trình cụ thể tự cho). Có thể sử dụng: Matlab hoặc Geogebra , . . .
2. Từ đó tính thể tích của vật và diện tích các mặt tạo nên vật thể đó. Sử dụng
số liệu thực tế có được từ mơ hình thực tế
3. Tự vẽ lại và tính thể tích hình bên dưới bằng bất kỳ phần mềm đã biết.

1


BTL Giải tích 2

Nhóm 9

Mục lục
Lời Mở Đầu

3

1 Cơ Sở Lý Thuyết

4

1.1

Tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Tích phân bội 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3

Tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2 Mô Hình 1

6

3 Mơ Hình 2

8

4 Mơ Hình 3

10

5 Mơ Hình 4

12

Kết luận

14

Tham Khảo

15

2


BTL Giải tích 2

Nhóm 9

Lời Mở Đầu
Giải tích 2 là một trong những môn đại cương rất quan trọng và thiết yếu cho sinh
viên kỹ thuật. Vì thế để có thể nắm chắc được kiến thức nền tảng nhằm ứng dụng
vào nghiên cứu học tập các mơn chun ngành, thì thực hành là điều cần có để
cho sinh viên có thể làm quen với việc ứng dụng kiến thức đã học và nâng cao kỹ
năng giải quyết vấn đề. Qua đó cũng tạo thêm những kinh nghiệm, trải nghiệm có
ích trong quá trình học đại học.
Và chúng em xin chân thành cảm ơn thầy Tăng Lâm Tường Vinh đã tận tình
hướng dẫn chúng em trong bộ mơn giải tích 2, Không chỉ cung cấp cho chúng em
những kiến thức về chun mơn của bộ mơn giải tích, mà qua các video của thầy
chúng em còn được học thêm về cách sử dụng cơ bản các phần mềm hữu ích như
Geogebra và Latex, từ đó sẽ hỗ trợ rất nhiều cho chúng em trong các bài tập lớn

sau này hay đồ án tốt nghiệp.
Tuy nhiên chúng em vẫn cịn thiếu sót do sự hạn chế về kiến thức và kỹ năng
nên khơng thể hồn thành tuyệt đối các nội dung bài tập, xin thầy góp ý để chúng
em có thể ngày càng phát triển hơn.

3


BTL Giải tích 2

1

Nhóm 9

Cơ Sở Lý Thuyết

1.1

Tích phân kép

ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số z = f(x, y) xác định trong miền D đóng và bị chận.
Phân hoạch D thành các miền con D1 , D2 , . . . , Dn ∆Sk là diện tích của miền
con Dk d(Dk ) = đường kính Dk = khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm trong Dk .
Đường kính phân hoạch Mk được chọn tùy ý trong Dk
Khi f khả tích, việc tính tích phân khơng phụ thuộc vào phân hoạch. Do đó có
thể phân hoạch D theo các đường song song Ox, Oy. Dk là hình chữ nhật với các
cạnh ∆x, ∆y :
∆Sk =∆x∆y

Thay cách viết tích phân kép

ZZ

ZZ

f (x, y)dxdy =
D

f (x, y)ds
S

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH VẬT THỂ
ZZ
1dxdy
D

1.2

Tích phân bội 3

ĐỊNH NGHĨA
Cho Ω đóng và bị chặn trong R3 . Hàm f(x,y,z) xác định trong Ω .
Phân hoạch Ω thành những miền con Ωk với thể tích V(Ωk ), d là đường kính
phân hoạch. Trên mỗi miền con, lấy điểm Mk tùy ý, gọi tổng tích phân là:
Sn =

n
X

f (Mk )V (Ω)

k=1

ZZZ
f (x, x, z)dxdydz = lim Sn
d→ 1

Ω

ÚNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ
ZZZ
1dxdydz
Ω

1.3

Tích phân mặt loại 1

ĐỊNH NGHĨA
4


BTL Giải tích 2

Nhóm 9

S là mặt cong trongR3 , f(x,y,z) xác định trên S
Phân hoạch S thành các mảnh con Sk có diện tích ∆Sk , Mk ∈ Sk
Tổng tích phân:
Sn =

n
X

f (Mk )∆sk

k=1

Tích phân mặt loại 1 trên f của S
ZZ
f (x, y, z)ds = lim Sn
n→∞

S

ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH MẶT CONG
Nếu S là phần mặt hữu hạn, có phương trình z = z(x, y), hình chiếu của S lên
Oxy là miền D, khi đó vi phân mặt:
ds =

ZZ

q

1 + (zx′ )2 + (zy′ )2 dxdy

ZZ
f (x, y, z)ds =

S

q

f (x, y, z(x, y))
D

5

1 + (zx′ )2 + (zy′ )2 dxdy


BTL Giải tích 2

2

Nhóm 9

Mơ Hình 1
Mơ hình giới hạn bởi: x2 + y 2 + z 2 = 4, z ≥ 0

Hàm tích phân : z =

p

4 − x2 − y 2 , z > 0
6


BTL Giải tích 2

Nhóm 9

D:hình chiếu Oxy : x2 + y 2 ≤ 4
Thể tích:
ZZZ
V (Ω) =

dxdydz
Ω

2π

Z
V (Ω) =

Z √4−x2 −y2

2

Z
dφ

0

0
2π

Z
V (Ω) =

dz

rdr

0

dφ

Z 2p

4 − r2 rdr

0

0

16π
3

V (Ω) =

Diện tích:
Diện tích mặt cong
zx′ = √

−x
4−x2 −y 2

zy′ = √

−y

4−x2 −y 2

D:hình chiếu Oxy : x2 + y 2 ≤ 4
ZZ r
Sc =

1+
D

x2
y2
+
dxdy
4 − x2 − y 2 4 − x2 − y 2

ZZ

2

Sc =
D

Z

p

4 − x2 − y 2

2π

Sc =

Z

2

√

dφ
0

0

2r
4 − r2

dxdy

dr = 8π

Diện tích đáy

D:

zp≥ 0
4 − x2 − y 2

Hình chiếu Oxy: x2 + y 2 ≤ 4
2π

Z
Sd =

Z
dφ

0

2

rdr = 4π
0

Diện tích các mặt tạo thành: S = Sd + Sc = 4π + 8π = 12π

7


BTL Giải tích 2

3

Nhóm 9

Mơ Hình 2
Mơ hình giới hạn bởi: x2 + y 2 + z 2 = 4, y ≥ 0

8

BTL Giải tích 2

Nhóm 9

Hàm tích phân : y =

√

4 − z 2 − x2 , y > 0

D: hình chiếu Oxz : z 2 + x2 ≤ 4
Thể tích:
ZZZ
V (Ω) =

dxdydz
Ω

2π

Z
V (Ω) =

Z √4−x2 −y2

2

Z
dφ

0

0
2π

Z
V (Ω) =

dy

rdr

0

dφ

Z 2p

4 − r2 rdr

0

0

16π
3

V (Ω) =

Diện tích:

Diện tích mặt cong
yx′ =

√ −x
4−x2 −z 2

−z
yz′ = √4−x
2 −z 2

D: hình chiếu Oxz : z 2 + x2 ≤ 4
ZZ r
1+

Sc =
D

x2
z2
+
dxdz
4 − x2 − z 2 4 − x2 − z 2

ZZ
√

Sc =
D

Z

2π

Sc =

2
4 − x2 − z 2

Z

2

√

dφ
0

0

2r
4 − r2

dxdz

dr = 8π

Diện tích đáy

D:

zó 0
4 − x2 − z 2

Hình chiếu Oxy: x2 + z 2 ≤ 4
2π

Z
Sd =

Z
dφ

0

2

rdr = 4π
0

Diện tích các mặt tạo thành: S = Sd + Sc = 4π + 8π = 12π

9


BTL Giải tích 2

4

Nhóm 9

Mơ Hình 3

Mơ hình giới hạn bởi: x2 + y 2 + z 2 = 4, x ≥ 0, y ≥ 0

W Là ¼ mặt cầu cầu
10


BTL Giải tích 2

Nhóm 9

Hàm tích phân : x =

p

4 − y 2 − z 2 ,x = 0

W: x2 + y2 + z 2 = 4, x ≥ 0, y ≥ 0
Thể tích: (lấy hình chiếu Oyz)
ZZZ
V (Ω) =

dxdydz
Ω

π

Z
V (Ω) =

Z √4−y2 −z2

2

Z
dθ

0

0
π

Z
V (Ω) =

dx

rdr

0

dθ

Z 2p

4 − r2 rdr

0

0

V (Ω) =

8π
3

Diện tích:
Diện tích mặt cong
−z
4−z 2 −y 2

x′z = √

x′y = √

−y
4−z 2 −y 2


D:

ZZ r
1+

Sc =
D

y≥p
0

z ≤ 4 − y2

z2
y2
+
dzdy
4 − z2 − y2 4 − z2 − y2

ZZ
Sc =
D

Z
Sc =

Sb1 = Sb2 =

−π
2

dφ

0

Z

4 − z2 − y2

2

√

dθ
0

Diện tích 2 mặt bên
R2
R π2

π

2

p

0

rdr = 2π

Sb12 = S1 + S2 = 4π

Diện tích các mặt tạo thành
S = Sc + Sb 12 = 4π + 4π = 8π

11

2r
4 − r2

dzdy

dr = 4π


BTL Giải tích 2

5

Nhóm 9

Mơ Hình 4
Mơ hình giới hạn bởi: x2 + y 2 + z 2 = 4, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 1

Hàm tích phân : z =

p

4 − x2 − y 2 , z = 1

D:hình chiếu Oxy : x2 + y 2 ≤ 3,y ≥ 0,x ≥ 0
Thể tích:

12


BTL Giải tích 2

Nhóm 9

ZZ p

V (Ω) =

4 − x2 − y 2 − 1dxdy

D
√

π
2

Z

Z

V (Ω) =

3

dφ

p

(

0

4 − r2 − 1)rdr

0

V (Ω) =

13π
30

Diện tích:
Diện tích mặt cong
zx′ = √

−x
4−x2 −y 2

zy′ = √

−y
4−x2 −y 2


 x≥0

D:


ZZ r
Sc =

1+
D

y≥0
x2 + y 2 ≤ 3

x2
y2
+
dxdy
4 − x2 − y 2 4 − x2 − y 2

ZZ
Sc =
D

Z

4 − z2 − y2
√

π
2

Sc =

2

p
Z

3

√

dφ
0

Diện tích 2 mặt bên
R2√

4 − x2 dx = 2π
3 −
0
√
S12 = S1 + S2 = 4π
3 − 3
√
Diện tích đáy Sd = π4 ( 3)2 = 3π
4
Sb1 = Sb2 =

0

√
3
2

Diện tích các mặt tạo thành
S = S12 + Sc + Sd =

37π
12

−

√

3

13

2r
4 − r2

dzdy

dr = π


BTL Giải tích 2

Nhóm 9

Kết luận

STT
Tên
1
Trần Xn Hải
2
Phùng Thái Khang
3

Hà Anh Khoa
4
Nguyễn Hồng Mỹ
5
Nguyễn Bảo Việt

MSSV

Nhiệm vụ
2113301
làm mơ hình
2111462 Trình bày latex và nội dung văn bản
2113747
làm mơ hình
2114105
làm mơ hình
2115273
làm mơ hình

Các thành viên nhóm đã hồn thành tốt nhiệm vụ được giao, hồn thành việc
dựng mơ hình và tính tốn thể tích, diện tích các mặt tạo thành.
Qua bài báo cáo nhóm đã biết được thao tác cơ bản trên geogebra và matlab,
nâng cao kinh nghiệm kỹ năng học tập, nâng cao sự hứng thú dành cho môn học.

14


BTL Giải tích 2

Nhóm 9

Tham Khảo
[1] Video Vẽ 3D trong Geogebra - Giải tích 2 />[2] Video Vẽ 3D trong Geogebra - Giải tích 2 (tt) />[3] Video Latex Tutorial | How to Write Equations in LaTeX | Math Equations
in LaTeX
/HL9J_I9-wwg
[4] Slide bài giảng Tích phân kép, Tích Phân bội 3, Tích phân đường loại 1 Trần Ngọc Diễm

15