Chương 3_Hệ Phương Trình Tuyến Tính (1).Pptx

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Bộ mơn Tốn ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------

Mơn học Phương pháp tính

Tuần 3: Hệ phương trình tuyến tính
Giảng viên: TS Đặng Văn Vinh


Nội dung chương 3

1/ Phương pháp LU
2/ Phương pháp Choleski
3/ Chuẩn vécto và chuẩn ma trận
4/ Phương pháp lặp Jacobi và Gauss - Seidel


Cho A là ma trận cỡ m n .
Dùng k phép bđsc đối với hàng để đưa A về ma trận phía trên U.
bd ,bd ,,bd

,bd

1
k
A  1 2  k 

U

1

Ek Ek  1  E2 E1 

U A

 A LU

U Ek Ek  1  E2 E1 A
E1 1E2 1  Ek 11Ek 1U  A
L E1 1E2 1  Ek 11Ek 1I

Để tìm ma trận L ta dùng các phép biến đổi sơ cấp ngược với các
biến đổi trên đối với ma trận I.
bd k  1,bd k  1  1 ,,bd 2  1,bd1  1

I
L


Phân tích A = LU
L là ma trận phía dưới và U là ma trận phía trên
Phương pháp phân tích A=LU với các phần tử trên đường chéo của
L đều bằng 1 được gọi là phương pháp Doolittle
Mệnh đề. Cho A là ma trận vuông cấp n. Nếu khi sử dụng các biến
đổi sơ cấp đối với hàng hi  hi   h j để đưa A về dạng bậc thang mà
các phần tử trên đường chéo của bậc thang khơng là phần tử 0, thì A
có phân tích A = LU.
Nếu sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng mà trên đường
chéo xuất hiện phần tử 0 thì dùng phép biến đổi hi  h j để làm cho
phần tử trên đường chéo khác 0. Tương ứng với phép nhân bên trái A

cho ma trận khả nghịch P.
Mệnh đề. Với mọi ma trận không suy biến A, tồn tại ma trận hoán vị
P sao cho PA phân tích được thành LU.


Ví dụ 6

 1 2  1


Tìm phân tích LU của ma trận A  2 5  3 
3 7 1 


 1 2  1
h2  h2  2 h1 , h3  h3  3h1
A 
       0 1  1 


0 1 4 



 1 2  1
h3  h3  h2

    0 1  1  U



0 0 5 



 1 0 0
 1 0 0
 1 0 0
3  h3 h2
2  h2 2 h1 ,h3  h3 3h1
I  0 1 0   h
   0 1 0   h
       2 1 0  L
 0 0 1
 0 1 1
 3 1 1







Ma trận L có: lij 0 nếu i < j
lij 1 nếu i = j
lij  nếu i > j và  từ phép biến đổi hi  hi   h j


Ví dụ 7

Tìm phân tích LU của ma trận

1
2
A 
3

4

1
3
2
5

2
5
7
9

1
4

6

3

1 1
0 1
h2  h2  2 h1 ,h3  h3  3h1 ,h4  h4  4 h1
A 
        


0 1

0 1
1 1 2 1 
0 1 1 2 
h3  h3  h2 ,h4  h4  h2
 U

    

0 0 2 5 


0
0
0

3


1 0 0
Từ các hệ số trong các phép
2 1 0
biến đổi, ta có ngay:
 L 
3 1 1

4 1 0

2
1

1
2

1 3

1  1

0
0

0

1


Ví dụ 8
1
2
Giải hệ pt AX b , với A 
3

4

1
3
2
5

2
5
7
9

1
 1
 7
4
 và b  
6
 5

 
3
 6

AX b  LUX b

Đặt Y UX

 LY b

Giải từ trên xuống ta được

Y [1;5;7;  3]T
T

Giải hệ UX=Y từ dưới lên X  4;2;1;1

Cho A là ma trận vuông không suy biến

 u11 u12
 0 u
22
A LU L 
 


0
 0

Phân tích LU của A là

 u11 0
 0 u
22
A L 
 


0
 0

 0   1 u12 / u11
 0  0
1



  


 unn   0
0

 u1n 
 u2 n 




 unn 

 u1n / u11 
 u2 n / u22 
LDU

 


1


Giả sử A là ma trận đối xứng và xác định dương.



A L D





DLT RT R

A RT R gọi là phân tích Cholesky của ma trận đối xứng, xác định dương A


Ví dụ 9

1 2 3 
Tìm phân tích Cholesky của ma trận A  2 8 12 


 3 12 27 


1 2 3 
h2  h2  2 h1 , h3  h3  3h1
A 
       0 4 6 


 0 6 18 



Từ các hệ số trong các phép

biến đổi, ta có ngay:
 A RT R

trong đó

3
h3  h3  h2
2 



 1 2 3
 0 4 6  U


 0 0 9



 1 0 0
 L  2 1 0 


 3 3 / 2 1



 1 0 0   1 2 3   1 2 3
R  DLT  0 2 0   0 1 3 / 2   0 2 3 



 

 0 0 3   0 0 1   0 0 3


 



Ví dụ 10

12  16 
 4
Tìm phân tích Cholesky của ma trận A  12
37  43 


  16  43 98 


 4 12  16 
 4 12  16 
h2  h2  3h1 ,h3  h3 4 h1
0 1
 U
3  h3  5 h2
A 
       0 1
5   h





5




 0 5 34 
0 0

9





Từ các hệ số trong các phép
biến đổi, ta có ngay:
 A RT R

trong đó

 1 0 0
 L  3 1 0 


  4 5 1




 2 0 0  1 3  4  2 6  8
R  DLT  0 1 0   0 1 5   0 1 5 


 

 0 0 3  0 0 1   0 0 3 


 



Định nghĩa chuẩn
Chuẩn trong R n là một hàm thực f : R n  R thỏa mãn
1/ x  R n , f ( x) 0 và f ( x) 0  x 0
2/ x  R n ,   R, f  x    f  x 
3/ x, y  R n , f  x  y   f  x   f  y 
Chuẩn của vécto x được ký hiệu bởi x .


Ví dụ 11.
T

CMR x  x1; x2  , x  x1  x2 là một chuẩn trong R 2


Ví dụ 12.

Trong khơng gian R 2 , hàm thực



2

x  x1; x2  x  x1  x2

có là chuẩn trong R 2 ? Giải thích.



2 1/2


Ba chuẩn thông dụng trên

Kn
n

n

1/ 1-chuẩn: x  x1, x2 ,..., xn  K , x 1   xk
k 1

 n
n
2/ 2-chuẩn: x  x1,..., xn  K , x 2   xk
 k 1



3/  -chuẩn:
p-chuẩn:

2 1/2





x  x1,..., xn  K n , x   max xk
1k n

p 1/ p
 n
x  x1,..., xn  K n , x p   xk  , p  1
 k 1





Ví dụ 13.

Cho n, p  N * sao cho p n, A aij  M p,n ( R)





1,..., p  R p , f : R n  R xác định bởi
p

n

i 1

j 1

n

  x1, x2 ,..., xn  R , f  x1, x2 ,..., xn     i  aij x j

CMR f là một chuẩn khi và chỉ khi:
1/ n  p

2 / A là ma trận khả nghịch 3 / i  1, 2,..., n ,  i  R*


Ví dụ 14.

Trong khơng gian các số thực R , hàm thực
x  R, x  arctan x

có là chuẩn trong R? Giải thích.


Ví dụ 15.

Trong khơng gian R3 , hàm thực



x  x1; x2 ; x3 , x  x1

1/3

 x2

1/3

có là chuẩn trong R3 ? Giải thích.

 x3



1/3 3


Ví dụ 16.
Cho C  0;1 khơng gian các số thực liên tục trên [0;1] với phép
cộng hai vécto là phép cộng hai hàm thông thường và phép nhân
véctơ với một số thực là nhân hàm với số thực thông thường.
a/ Chứng tỏ C  0;1 là không gian vô hạn chiều.
n

b/ Xét tập con: E { f V | f (t ) a0   (ak cos kt  bk sin kt )}
k 1

với n là số tự nhiên cho trước, a0 , ak , bk là những số thực.

Chứng tỏ E là kg con của C  0;1 . Tìm cơ sở, số chiều của E.



1/3

c/ x  x1; x2 ; x2 , x  x1  x2
Hỏi x có là chuẩn trong C  0;1 ?

1/3

 x3



1/3 3


Ví dụ 17.
Cho C  0;1 khơng gian các số thực liên tục trên [0;1] với phép
cộng hai vécto là phép cộng hai hàm thông thường và phép nhân
véctơ với một số thực là nhân hàm với số thực thông thường.

f  C  0;1 , f  max f ( x ) . Hỏi
1
0x 
2

f có là chuẩn trong C  0;1


Định nghĩa chuẩn của ma trận
Cho A  M mn  R  . Chuẩn của A là một số thực ký hiệu A và thỏa mãn

1/ A  M mn  R  , A 0 và A 0  A 0
2/ A  M mn  R  ,   R,  A    A
3/ A, B  M mn  R  , A  B  A  B
4/ A, B  M mn  R  , AB  A  B