BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VÀ ỨNG DỤNG XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH LẬP THỜI KHÓA BIỂU - Full 10 điểm

UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM
KHOA: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

----------

NGUYỄN THỊ THÚY KIỀU
BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VÀ ỨNG

DỤNG XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH
LẬP THỜI KHÓA BIỂU

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 04 năm 2017

UBND TỈNH QUẢNG NAM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
LỜI CẢM ƠN

---------

Trên thực tế khơng có thành cơng nào mà khơng gắn liền với sự hỗ trợ, giúp đỡ

dù ít hay nhiều, dù trực tiếp hay gián tiếp từ người khác. Thật vậy! Trong suốt thời

gian thực hiện đề tài khóa luận của mình, tơi ln nhận được sự quan tâm hướng dẫn,

chỉ bảo tận tình từ TKhầyHgĨiáoA, TLhạUc sẬĩ HNuỳTnhỐTTấn NKhGảiHđểIcỆóPthể hồn thành tốt luận

văn này. Tơi xin trân trọng gửi đến Thầy một lời cảm ơn sâu sắc!

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô khoa Công nghệ thông tin, trường
Đại học Quảng Nam đã tận tình truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt bốn năm học
tại trTưêờngđ.ềVtớài:vốn kiến thức được tiếp thu trong q trình học tập khơng chỉ là nền
tảng cho quá trình nghiên cứu đề tài này mà cịn là hành trang q báu để tơi bước vào

BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU VÀ ỨNG

đời một cách vững chắc và tự tin.

DỤNG XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH

Tôi cũng thầm biết ơn sự ủng hộ của gia đình, bạn bè và những người thân yêu

LẬP THỜI KHĨA BIỂU

ln là chỗ dựa tinh thần vững chắc cho tôi.

Cuối cùng, tơi xin kính chúc q Thầy, Cơ dồi dào sức khỏe và thành công trong
sự nghiệp trồng người cao q. Sinh viên thực hiện:

Trong q trình thựcNhGiệUn YđềỄtNài,TkHhóỊ tTráHnhÙkYhỏKi IsỀaiUsót, rất mong q Thầy, Cơ

bỏ qua. Đồng thời do trình độ lýMluSậSnVcũ: n2g11n3hư02k1in0h17nghiệm thực tiễn cịn hạn chế nên
bài báo cáo khơng thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp
CHUYÊN NGÀNH
từ quý Thầy, Cơ để tơi có thể học hỏi thêm được nhiều kinh nghiệm và sẽ hoàn thành

CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
tốt hơn bài báo cáo sắp tới.
KHÓA: 2013 – 2017

Xin chân thành cảm ơn! Cán bộ hướng dẫn

ThS. HUỲNH TẤN KHẢI

Quảng Nam, ngày 13 tháng 04 năm 2017

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thúy Kiều
Quảng Nam, ngày 14 tháng 04 năm 2017

MỤC LỤC

Phần 1. MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1.1. Lí do chọn đề tài ................................................................................................1
1.2. Mục tiêu của đề tài .............................................................................................2
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu......................................................................2
1.4. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................................2
1.5. Đóng góp của đề tài ...........................................................................................2
1.6. Cấu trúc của đề tài..............................................................................................3

Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU............................................................................4
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .................................................................................4

1.1. Giới thiệu bài toán tối ưu tổng quát và phân loại ..............................................4
1.1.1. Giới thiệu bài toán tối ưu tổng quát ............................................................4

1.1.2. Phân loại các bài toán tối ưu .......................................................................5

1.2. Ứng dụng của lý thuyết tối ưu ...........................................................................7
1.2.1. Phương pháp mơ hình hóa ..........................................................................7
1.2.2. Một số ứng dụng của lý thuyết tối ưu .........................................................7

1.3. Các phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu ......................................... 10
1.3.1. Phương pháp ràng buộc (Constraint method) .......................................... 10
1.3.2. Phương pháp tổng trọng số ...................................................................... 11
1.3.3. Phương pháp sử dụng giải thuật di truyền (Genetic Alogithm – GA) ..... 13

1.4. Kết chương...................................................................................................... 22
Chương 2. ỨNG DỤNG GIẢI THUẬT DI TRUYỀN ............................................ 23
VÀO BÀI TỐN LẬP THỜI KHĨA BIỂU ............................................................ 23

2.1. Tìm hiểu chung về bài tốn lập thời khóa biểu............................................... 23
2.1.1. Mơ tả bài tốn lập thời khóa biểu............................................................. 23
2.1.2. Các đối tượng của thời khóa biểu ............................................................ 24
2.1.3. Quy trình lập thời khóa biểu .................................................................... 25

2.2. Ứng dụng giải thuật di truyền vào bài tốn lập thời khóa biểu....................... 25
2.2.1. Giai đoạn 1: Xếp lịch học các lớp ............................................................ 26
2.2.2. Giai đoạn 2: Xếp lịch học cho toàn bộ cơ sở ........................................... 33

2.3. Kết chương...................................................................................................... 36
Chương 3: XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH LẬP THỜI KHĨA BIỂU ............... 37

3.1. Phân tích chức năng của hệ thống................................................................... 37
3.1.1. Biểu đồ phân cấp chức năng (FDD)......................................................... 37
3.1.2. Mô tả chi tiết chức năng ........................................................................... 37

3.1.3. Danh sách các tác nhân ............................................................................ 39

3.1.4. Biểu đồ ca sử dụng (USECASE - UC)..................................................... 40
3.2. Xây dựng chức năng của hệ thống.................................................................. 41

3.2.1. Thu thập thông tin tài nguyên .................................................................. 41
3.2.2. Xây dựng chức năng ................................................................................ 43
3.3. Một số giao diện hệ thống............................................................................... 46
3.3.1. Giao diện chính của hệ thống................................................................... 46
3.3.2. Giao diện giới thiệu hệ thống ................................................................... 47
3.3.3. Giao diện các ràng buộc Giáo viên .......................................................... 48
3.3.4. Giao diện các ràng buộc Lớp học ............................................................ 48
3.3.5. Giao diện các ràng buộc chung về Khóa học........................................... 49
3.3.6. Giao diện in danh sách giáo viên ............................................................. 50
3.3.7. Giao diện trang in thời khóa biểu cho giáo viên ...................................... 50
3.3.8. Giao diện thiết lập các ràng buộc cho Giáo viên ..................................... 52
3.3.9. Giao diện thiết lập thông tin..................................................................... 52
3.3.10. Giao diện thiết lập tiết dạy được/ không được phép xếp thời khóa biểu . 53
3.3.11. Giao diện xếp thời khóa biểu tự động ...................................................... 54
3.3.12. Giao diện trang in thời khóa biểu chính................................................... 54
Phần 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ...................................................................... 56
1. Kết luận .............................................................................................................. 56
2. Kiến nghị ............................................................................................................ 56
Phần 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................ 57

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 - Các giả thiết của bài tốn ............................................................................ 10
Hình 1.2 - Kết quả (giải bằng thuật tốn PRIM) .......................................................... 10
Hình 1.3 - Sơ đồ khối của giải thuật di truyền ............................................................. 17

Hình 1.4 - Tốn tử Chéo hóa áp dụng cho chuỗi số ngun hốn vị. .......................... 18
Hình 1.5 - Tốn tử chéo hóa áp dụng cho chuỗi nhị phân. .......................................... 18
Hình 1.6 - Tốn tử Chéo hóa áp dụng cho chuỗi hốn vị............................................. 18
Hình 1.7 - Tốn tử chéo hóa áp dụng cho chuỗi hốn vị ............................................. 19
Hình 1.8 - Tốn tử chéo hóa áp dụng cho chuỗi hốn vị ............................................. 19
Hình 1.9 - Đột biến 2 gen gần nhau.............................................................................. 20
Hình 1.10 - Đột biến 2 gen cách xa nhau ..................................................................... 20
Hình 1.11 - Đột biến 3 gen cách xa nhau ..................................................................... 20
Hình 1.12 - Đột biến đảo ngược chuỗi con .................................................................. 21
Hình 1.13 - Đột biến bằng cách dịch chuyển ............................................................... 21

Hình 2.1 - Quy trình lập thời khóa biểu ....................................................................... 25
Hình 2.2 - Mơ hình cá thể trong lịch lớp học ............................................................... 26
Hình 2.3 - Phân bổ các nhiễm sắc thể mơn học ........................................................... 28
Hình 2.4 - Bảng phân bố các mơn học trên lịch học .................................................... 29
Hình 2.5 - Lai ghép tạo ra 2 cá thể con từ 2 nhiễm sắc thể cha – mẹ........................... 31
Hình 2.6 - Xác suất xảy ra đối với phép đột biến......................................................... 33
Hình 2.7 - Mơ hình cá thể lịch cơ sở ............................................................................ 34

Hình 3.1 - Biểu đồ phân cấp chức năng hệ thống lập thời khóa biểu .......................... 37
Hình 3.2 - Ký hiệu của ca sử dụng ............................................................................... 41
Hình 3.3 - Biểu đồ ca sử dụng của hệ thống Lập thời khóa biểu ................................. 41
Hình 3.4 - Giao diện chính của hệ thống...................................................................... 47
Hình 3.5 - Giao diện giới thiệu hệ thống...................................................................... 48
Hình 3.6 - Giao diện ràng buộc chung cho Giáo viên .................................................. 48
Hình 3.7 - Giao diện các ràng buộc chung cho Lớp học .............................................. 49
Hình 3.8 - Giao diện các ràng buộc chung về Khóa học.............................................. 50

Hình 3.9 - Giao diện in danh sách giáo viên ................................................................ 50
Hình 3.10 - Giao diện trang in thời khóa biểu cho giáo viên ....................................... 51

Hình 3.11 - Giao diện thiết lập các ràng buộc cho Giáo viên ...................................... 52
Hình 3.12 - Giao diện thiết lập thơng tin...................................................................... 53
Hình 3.13 - Giao diện thiết lập tiết dạy được/ không được phép xếp thời khóa biểu .. 53
Hình 3.14 - Giao diện xếp TKB tự động ...................................................................... 54
Hình 3.15 - Giao diện trang in thời khóa biểu chính ................................................ 55

[Document title]

Phần 1. MỞ ĐẦU

1.1. Lí do chọn đề tài
Trong cuộc sống, ta thường bắt gặp các bài toán liên quan đến xếp lịch như xếp

lịch công tác, xếp lịch giảng dạy, xếp lịch học cho học sinh - sinh viên, xếp lịch biểu
cho các ca trực ở một bệnh viện, xếp lịch làm việc, xếp lịch vận hành máy móc,… Đối
với loại bài tốn này cần phải tìm ra một phương án xếp lịch thỏa mãn tất cả các ràng
buộc cũng như khai thác hiệu quả các nguồn tài nguyên hiện có, giảm thời gian và chi
phí thực hiện.

Bài tốn xếp thời khóa biểu trong các trường học là một trong những bài tốn
như vậy. Có rất nhiều các ràng buộc được đặt ra trong bài toán này như ràng buộc về
đối tượng tham gia (giảng viên, lớp học, sinh viên), ràng buộc về tài nguyên phục vụ
giảng dạy (phòng học lý thuyết, phòng thực hành,…), ràng buộc về thời gian (số tiết
học, số lần học, số tiết mỗi lần học,…), ràng buộc về chuyên môn và rất nhiều các
ràng buộc khác tùy thuộc vào từng trường. Vấn đề đặt ra là cần xây dựng một thời
khóa biểu thỏa mãn tất cả các ràng buộc trên đồng thời khai thác hiệu quả các nguồn
tài nguyên phục vụ giảng dạy.

Thời khóa biểu của trường học là kế hoạch giảng dạy của giáo viên và học tập
của học sinh - sinh viên. Một bảng thời khóa biểu hợp lý giúp giáo viên thuận tiện khi

lên lớp và người học thoải mái khi đăng ký môn học học tập.

Bài tốn xếp thời khóa biểu là một bài tốn khơng mới và đã có nhiều giải thuật
được đưa ra để giải quyết như giải thuật nhánh cận, giải thuật leo đồi, giải thuật luyện
thép, giải thuật tô màu đồ thị, giải thuật xấp xỉ,… Tuy nhiên các giải thuật này thường
khơng có tính tổng qt và chỉ áp dụng hiệu quả đối với các trường học có quy mơ
nhỏ, ít ràng buộc về mặt dữ liệu. Vì vậy, việc địi hỏi có một giải thuật chất lượng cao
và sử dụng kỹ thuật trí tuệ nhân tạo đặc biệt rất cần thiết khi giải quyết các bài tốn có
khơng gian tìm kiếm lớn.

Ở Việt Nam hiện nay, các trường đại học đang dần chuyển sang hình thức đào
tạo tín chỉ. Mặc dầu hình thức đào tạo này có nhiều ưu điểm hơn so với đào tạo niên
chế tuy nhiên việc xếp thời khóa biểu vẫn là một gánh nặng thực sự cho các trường,
đặc biệt là các trường có quy mơ đào tạo lớn. Vả lại trên thị trường cũng chưa có sản
phẩm phần mềm nào giải quyết hiệu quả bài toán trên.

Trong những năm gần đây, phương pháp tiếp cận di truyền đã thu hút rất nhiều
sự chú ý trong các lĩnh vực nghiên cứu khác nhau trong đó có khoa học máy tính.
Phương pháp này có nhiều đặc điểm nổi trội như khơng địi hỏi tri thức, tránh tối ưu
cục bộ, thực hiện tốt với các bài tốn có khơng gian lời giải lớn và có thể áp dụng cho

GVHD: Th.S Huỳnh Tấn Khải 1

[Document title]

nhiều loại bài toán tối ưu khác nhau. Trên thế giới, giải thuật di truyền kết hợp với tin
học được ứng dụng để giải quyết những bài toán tối ưu một cách rất hiệu quả. Vì vậy,
việc nghiên cứu và ứng dụng giải thuật di truyền (Genetic Algorithm - GA) để giải
quyết hiệu quả bài tốn xếp thời khóa biểu nói trên là việc làm hết sức cần thiết.

Xuất phát từ những thực tế trên đây, tơi đã chọn đề tài “Bài tốn tối ưu đa mục
tiêu và ứng dụng xây dựng chương trình lập thời khóa biểu” cho bài khóa luận tốt
nghiệp của mình; với mong muốn giúp mọi người có một cái nhìn tồn diện hơn về
giải thuật GA cũng như những ứng dụng đa dạng của nó, đồng thời giúp người dùng
có thêm một lựa chọn nữa trong việc tìm kiếm phần mềm hỗ trợ xây dựng lịch học,
thời khóa biểu.
1.2. Mục tiêu của đề tài

Đề tài tập trung nghiên cứu và ứng dụng giải thuật di truyền vào bài tốn xếp
thời khóa biểu nhằm đưa ra phương án xếp thời khóa biểu thỏa mãn tất cả các ràng
buộc đặt ra, đồng thời khai thác hiệu quả các nguồn lực đào tạo của nhà trường với
thời gian ngắn nhất có thể.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu các đặc điểm, đặc trưng của giải thuật di
truyền, các thành phần cơ bản của giải thuật di truyền như khởi tạo quần thể ban đầu,
đánh giá độ thích nghi của cá thể, các tốn tử di truyền (chọn lọc, lai ghép, đột biến),
điều kiện dừng.

- Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng giải thuật di truyền vào bài toán xếp thời khóa
biểu cho trường học các cấp với các ràng buộc và những yêu cầu cơ bản đặt trước.
1.4. Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết:
- Nghiên cứu tài liệu, ngôn ngữ và công nghệ liên quan.
- Tổng hợp các tài liệu lý thuyết về giải thuật di truyền.
- Thu thập thông tin, nghiên cứu thực trạng.
- Tham khảo sách, báo và các nguồn tài liệu từ Internet.
- Tham khảo ý kiến từ giảng viên hướng dẫn đề tài.

 Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm:
- Phân tích và thiết kế hệ thống xếp thời khóa biểu theo quy trình xây dựng
ứng dụng phần mềm.
- Xây dựng hệ thống xếp thời khóa biểu sử dụng giải thuật di truyền.
- Thử nghiệm hệ thống và đánh giá kết quả đạt được dựa trên bộ dữ liệu thử
nghiệm ở một trường học.

1.5. Đóng góp của đề tài

GVHD: Th.S Huỳnh Tấn Khải 2

[Document title]

- Cung cấp một nền tảng ứng dụng bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu. Có thể nói
đây là một ứng dụng thiết thực và có tính ứng dụng cao. Ứng dụng của nó sẽ làm
phong phú thêm cho kho ứng dụng lập thời khóa biểu, giúp người dùng có thêm nhiều
lựa chọn và những trải nghiệm tốt nhất.

- Phần mềm này sẽ giúp cho người dùng lập thời khóa biểu một cách nhanh
chóng và hiệu quả.

- Với đề tài này tôi mong muốn cung cấp một tài liệu tham khảo cho các bạn sinh
viên trong khoa cũng như ngoài khoa khi tiếp cận và tìm hiểu về lĩnh vực nghiên cứu
ứng dụng của bài tốn tối ưu hóa đa mục tiêu và nhất là lĩnh vực mà tôi đang nghiên
cứu.
1.6. Cấu trúc của đề tài

Cấu trúc của bài luận văn này bao gồm các phần: Lời cảm ơn, Mục lục, Phần mở
đầu, Phần nội dung nghiên cứu, Phần kết luận và Phần tái liệu tham khảo. Trong đó
phần Nội dung nghiên cứu sẽ gồm các nội dung chính như sau:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết. Chương này sẽ nghiên cứu trình bày các nội dung về
cơ sở lý thuyết làm nền tảng cho các phần nghiên cứu tiếp theo của đề tài.

Chương 2: Ứng dụng của giải thuật di truyền vào bài toán lập thời khóa biểu.
Trong chương này chủ yếu tìm hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết và thuật toán của giải
thuật di truyền, sau đó phân tích ứng dụng của giải thuật đi truyền vào bài tốn lập thời
khóa biểu.

Chương 3: Xây dựng chương trình lập thời khóa biểu. Chương cuối cùng trong
phần Nội dung nghiên cứu này sẽ đi phân tích và xây dựng chức năng của hệ thống lập
thời khóa biểu đồng thời giới thiệu một số giao diện chính của chương trình.

GVHD: Th.S Huỳnh Tấn Khải 3

[Document title]

Phần 2. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.1. Giới thiệu bài toán tối ưu tổng quát và phân loại
1.1.1. Giới thiệu bài toán tối ưu tổng quát

a) Giới thiệu
Lý thuyết tối ưu là một trong những lĩnh vực kinh điển của tốn học có ảnh

hưởng nhiều đến lĩnh vực kinh tế xã hội và khoa học công nghệ. Phương án tối ưu là
phương án khả thi và tốt nhất, tức là phương án làm cho hàm mục tiêu đạt kết quả nhỏ
nhất (min) hoặc lớn nhất (max) và phải thỏa mãn các điều kiện, yêu cầu của bài toán
(gọi là thỏa mãn các điều kiện ràng buộc).

Trong mơ hình tốn học, mục tiêu của bài toán được biểu diễn bởi hàm:

f(x) → min (hoặc f(x) → max) (1.1)

với x là một biến số rời rạc hoặc một biến kiểu vector x = (x1, x2,…, xn). Xét một cách
tổng quát, chúng ta xem biến x là một biến vector, trường hợp x là biến số rời rạc
tương ứng với vector chỉ có một thành phần.

Biến x tổng quát có dạng x = (x1, x2,…, xn) thường có yêu cầu phải thỏa mãn một
số điều kiện nào đó. Tập hợp các điều kiện của các biến thì được gọi là điều kiện ràng
buộc và được biểu diễn bởi miền D (miền ràng buộc):

x ∈ D (1.2)

Yêu cầu tổng quát của bài tốn tối ưu là tìm bộ giá trị của x để thỏa mãn điều
kiện ràng buộc (1.2) và làm cực tiểu/ cực đại hàm mục tiêu (1.1). x* (một bộ các giá trị
cụ thể của (x1, x2,…, xn)) thỏa mãn điều kiện (1.1) và (1.2) gọi là phương án tối ưu.
Nếu x chỉ thỏa mãn điều kiện (1.2) thì ta gọi x là phương án chấp nhận được hay là
phương án.

b) Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1.1: Tìm x sao cho: f(x) = x3 – 3x +1 → max (1.3)

với: x ∈ D = [-2,2; 1,8] (1.4)

Bài giải:

∀ ∈ [-2,2; 1,8] là một phương án chấp nhận được ⟺ -2,2 ≤ x ≤ 1,8.

Bài toán trên tương đương với bài tốn tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm f(x)

khi -2,2 ≤ x ≤ 1,8.

Phương pháp tìm GTLN (đã học trong Giải tích 1) thực hiện như sau:

GVHD: Th.S Huỳnh Tấn Khải 4

[Document title]

 Tìm các cực trị của hàm f(x), tính các giá trị cực trị, tính các giá trị tại các đầu
mút của miền D, sau đó so sánh để tìm ra giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất). Để
tìm các điểm cực trị, ta tìm các giá trị của hàm f(x) ứng với các giá trị của x
sao cho đạo hàm f '(x) = 0. Tính f(x) tại các điểm dừng.

Tìm f (-2,2); f (1,8).
Vậy f '(x) = 3x2 - 3 = 0 ⟺ x = ± 1

f (1) = -1
f (-1) = 3
f (-2,2) = -3,048
f (1,8) = 1,432
Do đó: fmax = 3 khi x* = -1
Ví dụ 1.2:

Tìm phương án tối ưu của bài toán: Z = → max (1.5)

Điều kiện ràng buộc được xác định từ điều kiện xác định (tập xác định) của hàm

Z, tức là a2 – x2 – y2 ≥ 0, hay miền ràng buộc của bài toán là:

x2 + y2 ≤ a2 (1.6)

Tìm phương án tối ưu cho công thức (1.5) là bài tốn tìm cực trị của hàm hai

biến.

Phương pháp giải:

Dùng phương pháp tìm cực trị hàm hai biến.

Tìm điểm dừng: Z 0 0
Z 0 0

→ Có 1 điểm dừng M (0,0)

Ta có: đạt giá trị lớn nhất khi ( đạt giá trị lớn nhất.

Ta lại có: = )

=> Z đạt giá trị lớn nhất khi đạt giá trị nhỏ nhất và đạt giá trị

nhỏ nhất khi x = y =0

Như vậy hàm Z đạt cực đại tại điểm M (0,0).

=> Phương án tối ưu (x*, y*) = (0,0) và Zmax = Z (0,0) = a

(Bài tốn tối ưu có thể khơng có điều kiện ràng buộc, bất kỳ giá trị nào của x

hoặc vector x cũng là một phương án chấp nhận được. Vậy chỉ cần tìm x bất kỳ sao

cho f(x) → min (hoặc f(x) → max) là có thể đáp ứng được u cầu của bài tốn. Có

thể điều kiện ràng buộc được xác định trong hàm mục tiêu là miền xác định của hàm

mục tiêu).

1.1.2. Phân loại các bài toán tối ưu

GVHD: Th.S Huỳnh Tấn Khải 5

[Document title]

Một trong những phương pháp thông dụng nhất để giải bài tốn tối ưu đó là:
Tính giá trị hàm mục tiêu f(x) trên tất cả các phương án, sau đó so sánh các giá trị tính
được để tìm ra giá trị tối ưu và phương án tối ưu cho bài toán.

Thực hiện theo phương pháp trên gặp rất nhiều khó khăn ngay cả khi kích thước
của bài tốn (số biến n và số ràng buộc m) là khơng lớn, bởi vì tập D thông thường
gồm một số rất lớn các phần tử, trong nhiều trường hợp cịn là khơng đếm được.

Vì vậy, người ta đã nghiên cứu về mặt lý thuyết để có thể tách ra từ bài toán tổng
quát thành các lớp bài toán đơn giản hơn, dễ thực hiện hơn. Các nghiên cứu lý thuyết
đó thường là:

- Nghiên cứu tính chất của các thành phần bài tốn (hàm mục tiêu, các hàm ràng
buộc, các biến số, các hệ số, …).

- Các điều kiện tồn tại lời giải chấp nhận được.
- Các điều kiện cần và đủ của cực trị.
- Tính chất của các đối tượng nghiên cứu.
Bài tốn tối ưu hay cịn gọi là bài tốn quy hoạch. Dựa vào tính chất của các
thành phần bài toán và đối tượng nghiên cứu người ta phân loại các lớp bài toán tối ưu
như sau:
 Bài tốn tối ưu tuyến tính: Là bài tốn mà hàm mục tiêu và tất cả các ràng buộc
đều có dạng tuyến tính.
Một cách khái quát:
Hàm mục tiêu: f(x) → min (hoặc f(x) → max) là một hàm tuyến tính
Và tất cả các ràng buộc: gi (x), với i = 1, cũng là một hàm tuyến tính.
 Bài toán tối ưu phi tuyến: Bài toán mà trong đó hàm mục tiêu hoặc ít nhất một
điều kiện ràng buộc là phi tuyến (có chứa ít nhất một yếu tố phi tuyến – bậc 2, logic,
mũ, …).
 Bài toán tối ưu rời rạc: Khi biến hoặc giá trị hàm mục tiêu là rời rạc. Chúng ta
có thể chia bài tốn tối ưu rời rạc thành hai dạng như sau:
 Tối ưu nguyên (quy hoạch nguyên): Các biến hoặc các hàm mục tiêu nhận

các giá trị nguyên.
 Tối ưu đồ thị: Là một dạng đặc biệt của bài toán tối ưu rời rạc, có các đỉnh là

các điểm rời rạc. Trong đồ thị, chúng ta kí hiệu tập đỉnh là: X = {A, B, C,
D}, tập cạnh là E = {e1, e2, …, e8} hoặc biểu diễn tập cạnh thông qua tập
đỉnh: E = {(A, D); (A, B); … }. Bài toán tối ưu đồ thị trở thành bài tốn tìm
đường đi ngắn nhất của đồ thị thỏa mãn điều kiện nào đó.

GVHD: Th.S Huỳnh Tấn Khải 6

[Document title]

 Bài toán quy hoạch động: Dạng bài tốn này thường thì những kết quả của bước

sau phụ thuộc vào kết quả của bước trước.

 Bài toán tối ưu đa mục tiêu: Bài toán mà trong đó có nhiều hàm mục tiêu cần

phải tối ưu trên cùng một miền ràng buộc.

fi(x) → min (hoặc fi(x) → (max)) với i = 1, 2, …, n; x ∈ D

Trong đó có nhiều hàm mục tiêu có thể đối lập nhau. Khi giải bài toán này,

chúng ta phải kết hợp hài hịa các lợi ích (giá trị) đạt được của hàm mục tiêu.

1.2. Ứng dụng của lý thuyết tối ưu

1.2.1. Phương pháp mơ hình hóa

Trên thực tế, nhiều vấn đề ở các lĩnh vực kinh tế, khoa học - công nghệ và xã hội
đều có thể giải quyết bằng phương pháp tối ưu tốn học. Bởi lẻ người ta ln mong
muốn tìm ra các sản phẩm tốt nhất mà vẫn tiết kiệm được thời gian, cơng sức, chi phí,
đường đi,... Điều quan trọng là từ thực tế, ta phải xây dựng được một mơ hình tốn học
thích hợp. Từ đó, chúng ta sử dụng các phương pháp tối ưu cùng với các công cụ thích
hợp để cho ra lời giải tối ưu nhất. Để làm được những điều này, chúng ta cần lưu ý các
bước sau đây khi áp dụng phương pháp mô hình hóa:

Bước 1: Khảo sát vấn đề thực tế, phát hiện vấn đề cần giải quyết bằng phương
pháp tối ưu.

Bước 2: Phát biếu các điều kiện ràng buộc và hàm mục tiêu dưới dạng định tính.

Bước 3: Lựa chọn các biến đại diện cho các tham số và sau đó định lượng hóa
các điều kiện ràng buộc và hàm mục tiêu. Từ đó xây dựng mơ hình định lượng và mơ
hình tốn học (mơ hình tối ưu).

Bước 4: Thu thập số liệu và lựa chọn phương pháp tốn học thích hợp để giải mơ
hình.

Bước 5: Xây dựng thuật tốn và quy trình giải: Lựa chọn cơng cụ (giấy bút, máy
tính) có thể lập trình cho bài toán ấy.

Bước 6: Đánh giá kết quả thu được: Nếu phương pháp vừa xây dựng là phù hợp
thực tế thì nó cho kết quả tối ưu và điều này cũng chứng tỏ mơ hình mà chúng ta xây
dựng là đúng và hợp lý. Nếu nó khơng phù hợp thực tế thì phải xem xét và điều chỉnh
mơ hình.

1.2.2. Một số ứng dụng của lý thuyết tối ưu
Ứng dụng của lý thuyết tối ưu vô cùng phong phú và đa dạng. Tuy nhiên, tùy vào

mỗi trường hợp cụ thể và tùy vào cách thức vận dụng sao cho hợp lý, hiệu quả thì ứng

GVHD: Th.S Huỳnh Tấn Khải 7

[Document title]

dụng của lý thuyết tối ưu mới mang lại kết quả như mong muốn. Ở đây, ta sẽ chỉ tiến
hành xét một số ví dụ điển hình dẫn đến mơ hình tối ưu.

GVHD: Th.S Huỳnh Tấn Khải 8

[Document title]

Ví dụ 1.3: Bài tốn phân phối điện năng.
Có ba hộ gia đình cần được cung cấp điện từ hai nguồn điện cách xa nhau. Giá
thành truyền tải một đơn vị điện năng (hao tổn + chi phí bảo dưỡng đường dây, trạm)
từ nguồn thứ i (i = 1, 2) đến hộ thứ j (j = 1, 2, 3) là Cij. Khả năng cung cấp của mỗi
nguồn điện bị giới hạn bởi trữ lượng của chúng là A1, A2. Nhu cầu của các hộ tiêu thụ
cần phải đáp ứng đủ là B1, B2, B3. Hãy lập kế hoạch phân phối điện năng khả thi sao
cho tổng chi phí truyền tải là nhỏ nhất.

Lời giải:

Mơ hình tốn học được lập như sau:

Giả thiết:

Điều kiện cân bằng thu-phát: ∑ =∑ á
= ∑
Tức là: ∑

Đặt biến x là lượng điện chuyển từ trạm cung cấp thứ i đến hộ tiêu thụ thứ j.

Ta có: x ≥ 0; i = 1, 2; j = 1, 2, 3 (điều kiện các biến khơng âm).
Từ đó suy ra, tổng chi phí truyền tải: ∑ ∑

Vậy hàm mục tiêu sẽ là: f(x) = ∑ ∑ → min (1.7)

Điều kiện ràng buộc:

Tổng lượng điện từ trạm 1: 11 12 13 1

Tổng lượng điện từ trạm 2: 21 22 23 2
11 21 1
Tổng lượng điện của hộ 1: 12 22 2
Tổng lượng điện của hộ 2: 13 23 3
Tổng lượng điện của hộ 3: 11, 12 , . . . , 23 0
Điều kiện không âm của biến :

(1.8)

Bài tốn tối ưu tuyến tính chính là bài tốn tìm các giá trị (1.7) để thỏa mãn các
điều kiện (1.8).

Ví dụ 1.4: Bài toán xây dựng hệ thống truyền tải điện.
Một huyện (X0) có 5 xã X1, X2, X3, X4, X5. Huyện này cần xây dựng hệ thống truyền tải
điện từ trung tâm huyện đến tất cả các xã. Giữa hai địa điểm có thể thay đổi được
đường dây với chi phí được cho trong Hình 1.1. Hãy lập các phương án xây dựng hệ
thống điện có thể nối liền các xã vào huyện với tổng chi phí là nhỏ nhất.

GVHD: Th.S Huỳnh Tấn Khải 9

[Document title]

Hình 1.1 - Các giả thiết của bài toán

Đây là một bài toán tối ưu trên đồ thị được giải bằng thuật toán PRIM,
KRUSKAL.

Hình 1.2 - Kết quả (giải bằng thuật tốn PRIM)

Ta có : Sơ đồ đường dây cần xây dựng tối ưu như Hình 1.2, tổng chi phí đầu tư

nhỏ nhất : fmin = 15.

1.3. Các phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

1.3.1. Phương pháp ràng buộc (Constraint method)

a) Mơ tả bài tốn

Cho bài tốn đa mục tiêu với p mục tiêu, như sau:

min {f1(x), f2(x),…, fp(x)} (1.11)

Sao cho: x ∈ Rn

Trong đó: x = (x1, x2,…, xn) ∈ Rn là không gian quyết định.

Ta chuyển bài toán trên thành nhiều bài toán ràng buộc đơn mục tiêu như sau:

GVHD: Th.S Huỳnh Tấn Khải 10

[Document title]

fk (x1, x2, x3,…, xn) ≥ Lk (k = 1, …, p) (1.12)

Cơng thức này là bài tốn đơn mục tiêu. Do đó có thể giải được bằng các phương
pháp giải bài tốn đơn mục tiêu. Sau khi có các tối ưu cho từng hàm fk, chúng ta có thể
tìm giá trị tối ưu nhất từ tập các giá trị tối ưu của các fk.

b) Thuật toán

Bước 1: Xây dựng bảng thỏa hiệp.

- Giải lần lượt p bài toán đơn mục tiêu và các ràng buộc tương ứng. Gọi nghiệm

ứng với mục tiêu thứ k là: xk = ( , , …, ) với k = 1,…, p. Sau đó tính giá trị của

p hàm mục tiêu này đạt được tại các xk tương ứng, ta gọi là: f1( ), f2( ), …, fp( ).

- Sắp xếp p giá trị ứng với p mục tiêu vừa tính được ở trên vào bảng. Ở đây, hàng

ứng với các x1,…, xk và cột là nhãn của mục tiêu.

Bảng 1.1. Bảng thoả hiệp cho một bài toán với p hàm mục tiêu

f1 (xk) f2 (xk) … fp (xk)

x1 f1 (x1) f2 (x1) … fp (x1)

x2 f1 (x2) f2 (x2) … fp (x2)

… … … … …

xk f1 (xk) f2 (xk) … fp (xk)

- Tìm số lớn nhất và nhỏ nhất trong cột thứ k, lần lượt kí hiệu là Mk, mk với k = 1,
…, p.

Bước 2: Quy ước một bài toán quy hoạch đa mục tiêu được cho ở (1.11) tương
ứng với bài tốn ràng buộc của nó như ở (1.12).

Bước 3: Chọn giá trị của Lk trong đoạn [mk, Mk] bằng cách chia [mk,Mk] ra r
phần bằng nhau. Lk có thể nhận một trong r giá trị sau:

Lk = mk + (Mk - mk) , với: t = 0,1,…., r – 1

Bước 4: Ứng với mỗi giá trị của Lk ta giải bài toán (1.12) và mỗi bài toán cho
một nghiệm chấp nhận được. Trong những nghiệm này ta chọn nghiệm tốt nhất.
1.3.2. Phương pháp tổng trọng số

a) Các khái niệm tối ưu
Tối ưu Pareto:
Một điểm x* ∈ X được gọi là một nghiệm tối ưu Pareto nếu không tồn tại một

nghiệm x ≠ x* ∈ X mà x trội hơn x*. Nghĩa là: f(x) < f(x*).
Từ định nghĩa trên suy ra các tính chất sau:

i) Nếu x* là nghiệm tối ưu Pareto thì ƒ(x∗) gọi là điểm hữu hiệu.

GVHD: Th.S Huỳnh Tấn Khải 11

[Document title]

ii) Nếu x1, x2 ∈ X và ƒ(x1) ≤ ƒ(x2) thì ta gọi x1 trội hơn x2 và ƒ(x1) trội

hơn ƒ(x2).

iii) Tập tất cả các nghiệm tối ưu Pareto x* ∈ X và tập các điểm hữu hiệu y =

ƒ(x*) ∈ Y lần lượt ký hiệu là: Xpar và Yeff

Nghiệm tối ưu Pareto chặt và yếu:

Nghiệm x*∈ X được gọi là một nghiệm tối ưu yếu Pareto nếu không tồn tại một

nghiệm x ∈ X sao cho:

ƒ(x) ≪ ƒ(x*)

Khi đó: Điểm y = ƒ(x*) ∈ Y gọi là điểm hữu hiệu yếu.

Tập nghiệm tối ưu Pareto yếu và tập các điểm hữu hiệu yếu lần lượt ký hiệu là:

và

Nghiệm x*∈ X được gọi là một nghiệm tối ưu chặt Pareto nếu không tồn tại

một nghiệm x ∈ X và x ≠ x* sao cho: ƒ(x) ≤ ƒ(x*).

Khi đó, tập nghiệm tối ưu Pareto chặt ký hiệu là:

Xs–par

b) Mơ tả bài tốn

Bài tốn tối ưu nhiều mục tiêu dạng tổng quát được phát biểu như sau:

min {f1(x), f2(x),…, fp(x)}

Sao cho: x ∈ Rn

Trong đó: x = (x1, x2, …, xn) ∈ Rn : là khơng gian nghiệm.

Ta chuyển bài tốn trên thành bài toán tổng như sau:

min f = w1 f1 (x) + w2f2 (x) + ⋯ + wpfp (x)

Sao cho: x ∈ Rn

Trong đó: wi ≥ 0, với: i = 1, 2,…, n.

và: ∑ i1

Ứng với mỗi bộ trọng số wi ta sẽ tìm được một nghiệm tối ưu Pareto.

c) Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.5: Giải bài toán tối ưu hai hàm mục tiêu sau:

, ,, ,

với: , = 3 − 2x1x2 + 4x2 +

, = − x1 − x1x2 + 0.5

Sau khi thực hiện các bước tính toán ta xác định được giá trị của mỗi hàm mục

tiêu như sau:

GVHD: Th.S Huỳnh Tấn Khải 12

[Document title]

Bảng 1.2. Bảng các hàm mục tiêu

w = (w1, w2) (0,1) (0.2, 0.8) (0.4, 0.6) (0.6, 0.4) (0.8, 0.2) (1,0

, 6 -2.2 -4.45 2.53 -0.76 -6

, - 0,5 0.11 0.3 1.97 -0.88 3.5

1.3.3. Phương pháp sử dụng giải thuật di truyền (Genetic Alogrithm – GA)
a) Giới thiệu giải thuật
Giải thuật di truyền (Genetic Algorithm - GA) được đề xuất bởi ý tưởng của John

Holland vào những năm 1970. Lấy cảm hứng từ quá trình chọn lọc một cách ngẫu
nhiên các cá thể thông qua sự tác động của môi trường tự nhiên. Nếu cá thể nào có
mức độ thích nghi cao với sự tác động này thì chúng sẽ tiếp tục sống sót, ngược lại
chúng sẽ bị loại bỏ. Ý tưởng này đã được áp dụng để giải quyết các bài toán tối ưu một
mục tiêu bằng cách làm xấp xỉ các nghiệm thành biên Pareto từ một số nghiệm khởi
tạo ban đầu. Tuy nhiên từ thực tế số lượng hàm mục tiêu cần tối ưu tăng lên rất nhiều -
ít nhất là hai mục tiêu và thường thì các mục tiêu này xung đột nhau như: Bài toán lựa
chọn danh mục đầu tư tối ưu nhiều mục tiêu người ta cố gắng làm cực đại lợi nhuận
thu được trong khi giảm thiểu rủi ro đến mức thấp nhất có thể hay bài tốn trong sản
xuất ta cố gắng làm cực tiểu số lượng nhân công nhưng giá trị sản lượng vẫn đạt cực
đại. Như vậy, việc tìm một phương án hay nghiệm thỏa mãn tất cả các mục tiêu đặt ra
như trên xem ra rất lý tưởng, nhưng trên thực tế có rất ít bài tốn tồn tại phương án lý
tưởng này. Do đó, ta chuyển sang tìm một phương án khả thi khác mà ta gọi là phương
án thỏa hiệp. Phương án thỏa hiệp sẽ thỏa mãn các mục tiêu đặt ra ở một mức độ có
thể chấp nhận được.

Trên cơ sở này người ta cố gắng áp dụng thuật toán di truyền để giải quyết các
loại bài toán này và thuật toán di truyền đa mục tiêu cũng xuất hiện trên cơ sở này.
Cho đến nay có rất nhiều thuật tốn di truyền để giải bài toán tối ưu đa mục tiêu dựa
trên cơ sở thuật toán di truyền đã ra đời, chẳng hạn như thuật tốn MOGA, thuật tốn
NSGA, thuật tốn NSGA II,... Thơng qua các thuật tốn này ta có thể làm xấp xỉ được
biên Pareto tốt nhất từ các nghiệm khởi tạo ban đầu.

Giải thuật di truyền (hay giải thuật tiến hóa nói chung) là một trong những phát
triển quan trọng của những nhà nghiên cứu về tính tốn ứng dụng cuối thế kỷ trước
trong việc giải xấp xỉ các bài tốn tối ưu tồn cục. Việc khai thác ngun lí tiến hóa
như là một định hướng heuristics đã giúp cho giải thuật di truyền giải quyết hiệu quả
các bài toán tối ưu (với các lời giải chấp nhận được) mà không cần sử dụng các điều
kiện truyền thống (liên tục hay khả vi) như là điều kiện tiên quyết.

GVHD: Th.S Huỳnh Tấn Khải 13

[Document title]

Giải thuật di truyền là một giải thuật mô phỏng theo quá trình chọn lọc tự nhiên,
là kỹ thuật chung giúp giải quyết các vấn đề bài toán bằng cách mơ phỏng sự tiến hóa
của con người hay của sinh vật nói chung (dựa trên thuyết tiến hóa mn lồi của
Darwin) trong điều kiện qui định sẵn của mơi trường. Lấy ý tưởng từ q trình tiến
hố tự nhiên, xuất phát từ một lớp các lời giải tiềm năng ban đầu, GA tiến hành tìm
kiếm trên khơng gian lời giải bằng cách xây dựng lớp lời giải mới tốt hơn (tối ưu hơn)
lời giải cũ. Quá trình xây dựng lớp lời giải mới được tiến hành dựa trên việc chọn lọc,
lai ghép, đột biến từ lớp lời giải ban đầu. Quần thể lời giải trải qua quá trình tiến hoá:
Ở mỗi thế hệ lại tái sinh các lời giải tương đối tốt, trong khi các lời giải “xấu” thì chết
đi.

Một trong những đặc tính quan trọng của giải thuật di truyền là làm việc theo

quần thể các giải pháp. Việc tìm kiếm bây giờ được thực hiện song song trên nhiều
điểm (multipoints).

Trong GA, một tập các biến của bài tốn đưa ra được mã hóa sang một chuỗi
(hay một cấu trúc mã hóa khác) tương tự như một nhiễm sắc thể trong tự nhiên. Mỗi
chuỗi bao gồm một giải pháp có thể của bài tốn. Giải thuật di truyền sử dụng các toán
tử được sinh ra bởi sự chọc lọc tự nhiên một quần thể các chuỗi nhị phân (hoặc các cấu
trúc khác), mã hóa khoảng tham số trên mỗi thế hệ, khảo sát các phạm vi khác nhau
của khơng gian tham số và định hướng tìm kiếm đối với khoảng mà khoảng đó xác
suất cao để tìm kiếm sự thực hiện tốt hơn.

b) Thuật tốn di truyền
Các bước trong thuật tốn di truyền được trình bày cụ thể như sau:
Bước 1:
 Đặt t = 0
 Tạo ngẫu nhiên Np > 1 cá thể để hình thành quần thể thứ nhất gọi là Pt
 Đánh giá độ thích nghi của nghiệm trong quần thể Pt

Bước 2: Chéo hóa – Dùng tốn tử Chéo hóa để tạo quần thể con Qt như sau:

 Chọn 2 nghiệm x và y trong quần thể Pt dựa trên độ thích nghi.
 Sử dụng tốn tử chéo hóa tạo nghiệm con và bổ sung nghiệm con này vào

tập Qt

Bước 3: Đột biến – Dùng toán tử đột biến để tạo sự biến đổi ở mỗi nghiệm x ∈
Qt với mức biến đổi cho trước.

Bước 4: Gán độ thích nghi cho mỗi cá thể trong quần thể. x ∈ Qt dựa trên giá trị
hàm mục tiêu và khả năng không chấp nhận được của nghiệm này.

GVHD: Th.S Huỳnh Tấn Khải 14