Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ HẢI HÀ
BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm
Thái Nguyên - Năm 2014
1
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học khoa học - Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS. TS.
Nguyễn Năng Tâm, người đã tận tình hướng dẫn về phương hướng, nội
dung và phương pháp nghiên cứu trong suốt quá trình nghiên cứu, thực
hiện và hoàn thành luận văn.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám Hiệu Trường
Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng sau Đại Học đã tạo điều
kiện rất thuận lợi về mọi mặt cho tác giả trong quá trình tác giả học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 10 năm 2014.
Tác giả
Nguyễn Thị Hải Hà
2
CÁC KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG
R
n
không gian Euclid n-chiều
x, y tích vô hướng của x , y

. chuẩn Euclid trong R
n
intS miền trong của tập hợp S
R
n
+
nón orthan dương trong R
n
f : X → Y Ánh xạ từ X vào Y
IMin(A) Tập hữu hiệu lý tưởng của A
Min(A) Tập hữu hiệu của A
W Min(A) Tập hữu hiệu yếu của A
(MOLP ) Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính
IS(X, f) Tập cực tiểu lý tưởng của (MOLP)
S(X, f) Tập cực tiểu của (MOLP)
W S(X, f) Tập cực tiểu yếu của (MOLP)
3
Mục lục
Mở đầu 1
1 Những kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Tập lồi và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Tập affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Điểm trong và điểm trong tương đối . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Tính chất cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Quan hệ thứ tự từng phần và điểm hữu hiệu . . . . . . . . 11
2 Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 16
2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Một số khái niệm nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Vô hướng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Tính chất của tập nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Kết luận 33
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Tối ưu đa mục tiêu tuyến tính [2], [4], [5] có nhiều ứng dụng trong lý
thuyết cũng như trong các bài toán thực tế. Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu
tuyến tính đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu [4] và những
tài liệu được trích dẫn trong đó. Sau một thời gian học Cao học, với mong
muốn tìm hiểu sâu hơn về toán ứng dụng, tôi chọn đề tài:
"Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính" để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu nhằm nắm được các định nghĩa, định lí, tính chất
của "Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính" và các ứng dụng của bài toán
liên quan đến các vấn đề thực tiễn. Qua đó, giúp củng cố các kiến thức
đã được học như: giải tích lồi trong không gian R
n
, không gian affine, giải
tích hàm,. . .
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống hoá các các kiến thức cơ sở liên quan đến bài toán.
2
Hệ thống hóa những nội dung cơ bản của bài toán "Bài toán tối ưu đa
mục tiêu tuyến tính”.
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức cơ bản của giải tích trong R
n
.

5. Đóng góp của luận văn
Đã trình bày được một cách tương đối có hệ thống về nội dung Bài toán
tối ưu đa mục tiêu tuyến tính.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn
có 2 chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi, quan hệ
thứ tự từng phần và một số khái niệm điểm hữu hiệu để sử dụng trong
những phần sau.
Chương 2: Trình bày một số nội dung của Bài toán tối ưu đa mục tiêu
tuyến tính bao gồm có sự tồn tại nghiệm, tính chất của tập nghiệm và vô
hướng hóa.
3
Chương 1
Những kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả sẽ sử dụng trong
các phần sau. Nội dung trong chương này được lấy từ [1],[2],[3] và [4].
1.1 Tập lồi và tính chất
Định nghĩa 1.1.
Một tập M trong không gian R
n
được gọi là tập lồi nếu
∀a, b ∈ M, ∀λ ∈ [0; 1] thì:
x = λa + (1 − λ) b ∈ M.
Nói cách khác, nếu M là tập lồi thì nó chứa đoạn thẳng nối hai điểm bất
kỳ của nó.
Nếu x ∈ R
n
, x =
n


i=1
λ
i
x
i
, λ
i
 0,
n

i=1
λ
i
= 1 thì x được gọi là tổ hợp lồi
của x
1
, x
2
, , x
n
∈ R
n
.
Mệnh đề 1.1.
Tập M ⊂ R
n
là lồi khi và chỉ khi nó chứa tất cả các tổ hợp lồi của các
phần tử thuộc M.
4

Định lý 1.1.
Nếu M, N là hai tập lồi trong R
n
thì các tập sau cũng là lồi:
(i) M ∩ N;
(ii) λM + βN := {x = λa + βb : a ∈ M, b ∈ N; λ, β ∈ R} .
Dễ thấy, giao của một họ bất kỳ các tập lồi cũng là tập lồi.
Định nghĩa 1.2.
Cho S ⊂ R
n
. Giao của tất cả các tập lồi trong R
n
chứa S là một tập lồi
và được gọi là bao lồi của S ký hiệu: convS.
Rõ ràng, convS là tập lồi nhỏ nhất chứa S.
Định lý 1.2.
Bao lồi của tập S ⊂ R
n
chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của
nó.
1.2 Tập affine
Định nghĩa 1.3.
Tập M ⊂ R
n
được gọi là tập affine nếu ∀x, y ∈ M, t ∈ R ta có:
tx + (1 − t)y ∈ M.
Dễ thấy mọi tập affine đều là tập lồi.
Định nghĩa 1.4.
Đường thẳng đi qua 2 điểm a, b ∈ R
n

là tập hợp tất cả các điểm x trong
R
n
có dạng:
x = λa + (1 − λ) b, ∀λ ∈ R.
5
Đoạn thẳng đi qua 2 điểm a, b ∈ R
n
ký hiệu là [a, b], là tập:
{x ∈ R
n
: x = λa + (1 − λ) b, 0  λ  1} .
Định lý 1.3.
Nếu M là tập affine khác rỗng trong R
n
thì tồn tại không gian véc tơ
con W của R
n
sao cho M = a + W , trong đó a ∈ M.
Định nghĩa 1.5.
Nếu M là tập affine khác rỗng trong R
n
và W là không gian con của
R
n
sao cho M = a + W, trong đó a ∈ M thì W được gọi là không gian con
song song với M, số chiều của W được gọi là số chiều của tập affine M.
Định nghĩa 1.6.
Cho một tập S bất kỳ của R
n

. Giao của tất cả các tập affine trong R
n
chứa S là một tập affine. Ta gọi giao đó là bao affine của S, ký hiệu aff S.
Dễ thấy aff S là tập affine nhỏ nhất chứa S.
Định nghĩa 1.7.
Cho a ∈ R
n
, a = 0 và α ∈ R. Ta gọi tập:
H = {x ∈ R
n
: a, x = α}
là một siêu phẳng (xác định bởi a và α).
Siêu phẳng là một tập affine có số chiều bằng (n − 1) và có thể chứng
minh được mọi tập affine có số chiều bằng (n − 1) đều là siêu phẳng xác
định bởi a và α nào đó.
Ví dụ 1.1.
Trong R
2
, mọi đường thẳng đều là một siêu phẳng.
Trong R
3
, mọi mặt phẳng đều là siêu phẳng.
6
Định nghĩa 1.8.
Cho a ∈ R
n
\ {0}, α ∈ R. Tập hợp
x = {(x
1
, x

2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
| a, x  α}
được gọi là nửa không gian đóng.
Tập hợp
x = {(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
| a, x < α}
được gọi là nửa không gian mở.
1.3 Tập lồi đa diện
Định nghĩa 1.9.
Tập lồi đa diện là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng.
Nói cách khác, tập lồi đa diện là tập nghiệm của một hệ bất đẳng thức
tuyến tính có dạng:
a
i
, x  b
i
, i = 1, 2, , n,
trong đó a
i

∈ R
n
, b
i
∈ R.
Một tập lồi đa diện bị chặn thì được gọi là đa diện lồi .
Một tập lồi đa diện là bao lồi của một số hữu hạn điểm và một số hữu
hạn đoạn thẳng.
Một đa diện lồi là bao lồi của một số hữu hạn điểm.
Cho một tập lồi đa diện M, tập con F ⊂ M được gọi là diện nếu:
x ∈ F, a, b ∈ M, 0 < λ < 1, x = λa + (1 − λ) b ∈ F
⇒ a, b ∈ F.
7
Nói cách khác, F là một diện của M nếu F chứa một điểm trong (hoặc
điểm tương đối) của một đoạn thẳng nào đó của M thì F chứa trọn cả
đoạn thẳng đó. Một diện có thứ nguyên là 0 được gọi là một đỉnh hay điểm
cực biên, cạnh là diện có thứ nguyên bằng 1.
Cho C là một tập lồi đa diện, một điểm x
0
∈ C được gọi là điểm cực
biên (hay đỉnh) nếu nó không chứa bất kỳ một đoạn thẳng nào của C nhận
x
0
làm điểm trong của đoạn thẳng đó, tức là không tồn tại 2 điểm phân
biệt a, b ∈ C sao cho:
x
0
= λa + (1 − λ) b, 0 < λ < 1.
Với tập lồi đa diện, một đỉnh của diện cũng chính là đỉnh của tập đó.
Một tập hữu hạn (n+1) điểm u

0
, u
1
, u
2
, , u
n
∈ R
n
được gọi là độc lập
affine khi và chỉ khi (u
1
− u
0
), (u
2
− u
1
), , (u
n
− u
0
) là độc lập tuyến
tính.
Nếu (n+1) điểm u
0
, u
1
, u
2

, , u
n
∈ R
n
là độc lập affine thì bao lồi của
nó được gọi là một n-đơn hình với các đỉnh u
0
, u
1
, u
2
, , u
n
.
Định lý 1.4.
Cho S ⊂ R
n
và ánh xạ f : S → R
n
.
Khi đó, nếu S là tập lồi và f là ánh xạ tuyến tính thì ảnh f(S) của S
qua ánh xạ f cũng là tập lồi .
Nhắc lại rằng có thể đồng nhất ma trận C cấp (m × n) chính là ánh xạ
tuyến tính từ R
n
→ R
m
.
Xét ánh xạ tuyến tính f : R
n

→ R
m
, ta có định lý sau:
Định lý 1.5.
Nếu X là tập lồi đa diện thì f(X) cũng là tập lồi đa diện.
8
Hơn nữa, nếu X là đa diện lồi thì f(X)là bao lồi của ảnh các đỉnh của
X.
Định nghĩa 1.10.
Tập K ⊂ R
n
được gọi là một nón đỉnh a nếu: ∀x ∈ K, ∀λ  0 thì
x
λ
= a + λ (x − a) ∈ K.
Nếu K là nón với đỉnh a = 0 thì ta nói đơn giản K là một nón.
Định nghĩa 1.11.
Cho B ⊂ R
n
và K là một nón trong K ⊂ R
n
. Ta nói B sinh ra nón K
và viết K = cone(B) nếu
K = {tb | b ∈ B, t ≥ 0}.
Nếu 0 /∈ B và với mọi c ∈ K, c = 0 tồn tại duy nhất b ∈ B, t > 0 sao cho
c = tb thì ta nói B là một đáy của K. Khi B là tập hữu hạn, cone(conv(B))
được gọi là nón đa diện.
Định nghĩa 1.12.
Nón lùi xa của tập X ⊆ R
n

, X = ∅ là nón :
Re c (X) = ∩ {clcone (X ∩ V ) : V ⊂ B} .
Với B là lọc của điểm vô cùng ∞.
Mệnh đề 1.2. [4]
Cho X ⊂ R
n
. Khi đó, véc tơ a ∈ Rec(X) khi và chỉ khi với mọi V có
dạng R
n
\ W với W là tập đóng và lân cận mở U của 0 trong R
n
ta có:
cone(a + U) ∩ X ∩ V = ∅.
9
1.4 Điểm trong và điểm trong tương đối
Định nghĩa 1.13.
Cho tập A bất kỳ, một điểm x
0
gọi là điểm trong của A nếu:
∃ε > 0 : B (x
0
, ε) = {x ∈ R
n
: x − x
0
 < ε} ⊂ A.
Tập hợp các điểm trong của tập A được ký hiệu là intA.
Điểm x
0
được gọi là điểm trong tương đối nếu

∃ε > 0 : B (x
0
, ε) ∩ affA ⊂ A.
Ký hiệu: ri A là tập tất cả các điểm trong tương đối của A.
Định nghĩa 1.14.
Giả sử A là tập lồi trong R
n
, véc tơ y = 0 được gọi là hướng lùi xa của
A nếu :
∀x ∈ A, ∀λ > 0 : x + λy ∈ A.
Tập hợp tất cả các hướng lùi xa của A và vec tơ 0 lập thành một nón và
gọi là nón lùi xa của A và được ký hiệu là Rec(A).
Định lý 1.6.
(i) Mọi tập lồi đa diện không chứa trọn một đường thẳng đều có ít nhất
một đỉnh;
(ii) Mọi tập lồi đa diện A có đỉnh bằng tập hợp các x có dạng :
x =

i∈I
λ
i
a
i
+

j∈J
β
j
b
j

.
trong đó:

i∈I
λ
i
= 1 , λ
i
; β
j
 0 , ∀i, j ; a
i
là các đỉnh, b
j
là phương của
các cạnh vô hạn của A.
Nói cách khác, A = D + Rec(A) trong đó D là một đa diện.
10
Định nghĩa 1.15.
i) Hai tập khác rỗng A, B ⊂ R
n
là được tách bởi siêu phẳng
P = {x ∈ R
n
: a, x = α, a ∈ R
n
\ {0} , α ∈ R}
nếu
inf
x∈A

a, x  α  sup
y∈B
a, y ;
ii) Hai tập A, B được gọi là tách mạnh (tách hẳn , tách chặt) bởi siêu
phẳng
P = {x ∈ R
n
: a, x = α, a ∈ R
n
\ {0} , α ∈ R}
nếu
inf
x∈A
a, x > α > sup
y∈B
a, y .
Định lý 1.7.
Cho A là một tập lồi đóng và x
0
/∈ A. Lúc đó tồn tại một siêu phẳng
tách hẳn A và x
0
.
1.5 Hàm lồi
Định nghĩa 1.16.
Một hàm f xác định trên tập lồi A được gọi là hàm lồi trên A nếu
∀x, y ∈ A, 0  λ  1 ta có :
f (λx + (1 − λ) y)  λf (x) + (1 − λ) f (y) .
Hàm f được gọi là lồi chặt nếu :
f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) ;

11
∀x, y ∈ A, 0 < λ < 1.
Hàm f được gọi là lõm (lõm chặt) nếu -f lồi (lồi chặt).
Hàm f được gọi là tựa lồi trên A nếu ∀λ ∈ R tập mức :
{x ∈ A : f (x)  λ}
là tập lồi.
Hàm f được gọi là tựa lõm nếu -f là tựa lồi .
1.6 Tính chất cực trị
Cho ∅ = D ∈ R
n
, f : D → R (không nhất thiết lồi), ta có định nghĩa :
Định nghĩa 1.17.
Một điểm x
∗
∈ D được gọi là cực tiểu địa phương của f trên D, nếu
tồn tại một lân cận mở U của x
∗
sao cho f (x
∗
)  f (x) , ∀x ∈ D ∩ U.
Một điểm x
∗
∈ D được gọi là cực tiểu tuyệt đối của f trên D nếu
f (x
∗
)  f (x) , ∀x ∈ D.
Định lý 1.8.
Mọi điểm cực tiểu địa phương của một hàm lồi trên một tập lồi đều là
điểm cực tiểu tuyệt đối.
Định lý 1.9.

Cực đại của một hàm lồi (nếu có) trên một tập lồi có điểm cực biên bao
giờ cũng đạt tại một điểm cực biên .
1.7 Quan hệ thứ tự từng phần và điểm hữu hiệu
Cho X là một tập khác rỗng.
12
Định nghĩa 1.18.
Ta gọi mỗi tập con R ⊂ X × X là một quan hệ hai ngôi trên X. Nếu
(x, y) ∈ R thì ta viết xRy và nói x quan hệ R với y.
Định nghĩa 1.19.
Cho R là một quan hệ hai ngôi trên X. Ta nói R:
i) Phản xạ nếu (x, x) ∈ R, ∀x ∈ X;
ii) Bắc cầu nếu (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R thì (x, z) ∈ R.
Định nghĩa 1.20.
Một quan hệ hai ngôi R trên X được gọi là một thứ tự từng phần nếu
nó phản xạ và bắc cầu.
Nếu R là thứ tự từng phần trên X và nếu (x,y) ∈ R thì ta viết: x 
R
y
hoặc đơn giản x  y và nói là "x nhỏ hơn hoặc bằng y".
Khi ấy thay vì viết R ta viết .
Định nghĩa 1.21.
Cho () là thứ tự từng phần trên R
m
. Ta nói thứ tự  là tuyến tính nếu
x  y kéo theo tx  ty với mỗi t>0 và x+z  y+z với mỗi z ∈ R
m
.
Định nghĩa 1.22.
Với x = (x
1

, x
2
, , x
m
) và y = (y
1
, y
2
, , y
m
) thuộc R
m
. Ta định nghĩa:
i) x  y nếu x
i
 y
i
, ∀i = 1, 2, . . . , m;
ii) x < y nếu x  y và x = y;
iii) x  y nếu x
i
< y
i
, ∀i = 1, 2, . . . , m.
13
Khi đó, x  y là một thứ tự từng phần trên R
m
. Dễ thấy x  y khi và
chỉ khi y − x ∈ R
m

+
. Ta gọi thứ tự này là thứ tự xác định bởi nón R
m
+
.
Định nghĩa 1.23.
Cho R
n
và thứ tự  xác định bởi nón R
m
+
. Cho A ⊂ R
n
là tập khác rỗng.
Ta nói:
i) x ∈ A là điểm hữu hiệu lí tưởng hoặc cực tiểu lí tưởng của A nếu
x  y, ∀y ∈ A;
ii) x ∈ A là điểm hữu hiệu hoặc cực tiểu Pareto của A nếu y  x với
một y ∈ A nào đó thì y ≥ x;
iii) x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu của A nếu không tồn tại y ∈ A để y  x.
Tập tất cả các điểm hữu hiệu lí tưởng của A, tập tất cả các điểm hữu
hiệu của A và tập tất cả các điểm hữu hiệu yếu của A được kí hiệu lần lượt
là IMin(A), Min(A) và W Min(A).
Các kết quả sau đây là những trường hợp riêng của những kết quả tổng
quát trong [4]:
Định lý 1.10.
Cho A ⊂ R
n
là tập khác rỗng. Khi đó, Min(A) ⊂ W Min(A).
Hơn thế, nếu IMin(A) = ∅ thì IMin(A) = Min(A).

Chứng minh.
Để chứng minh
Min(A) ⊂ W Min(A),
14
lấy x ∈ Min(A) và đặt K là hình nón sinh bởi 0 và intR
n
+
. Giả sử rằng
y ∈ A và y − x ∈ K. Chúng ta chỉ ra x − y ∈ K và điều này suy ra
x ∈ W Min(A).
Thật vậy, nếu x = y thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh. Nếu x = y
và y − x ∈ K thì
x − y ∈ int R
n
+
. (1.1)
Vì x ∈ Min(A) và K ⊆ R
n
+
, x − y ∈ K suy ra x  y. Nói cách khác,
y − x ∈ R
n
+
. Điều này và (1.1) chỉ ra 0 ∈ int R
n
+
, nghĩa là intR
n
+
= K và

do đó x − y ∈ K .
Tiếp theo, rõ ràng
IMin (A) ⊆ Min (A) .
Nếu IMin(A) khác rỗng, thì ta giả sử x là một trong những phần tử của
nó. Khi đó, với mỗi y ∈ Min (A), y  x kéo theo x  y . Tính bắc cầu của
quan hệ thứ tự cho ta z  y với mọi z ∈ A. Điều đó nghĩa là y ∈ IMin (A)
và do đó IMin(A) trùng Min(A).
Định lý 1.11.
Nếu A ⊂ R
n
là tập compact khác rỗng thì Min(A) = ∅.
Định lý 1.12.
Cho A là một tập đa diện trong R
n
. Khi đó, Min(A) khác rỗng khi và
chỉ khi:
Re c (A) ∩ −R
n
+
= {0} .
Định nghĩa 1.24.
15
Cho f : R
n
→ R
m
, ta nói f không giảm tại x ∈ R
n
(đối với cặp nón
(R

n
+
, R
m
+
)) nếu
x − y ∈ R
n
+
suy ra f(x) − f(y) ∈ R
m
+
.
Ta nói rằng f không giảm nếu nó không giảm tại mọi x ∈ R
n
. Ta nói f là
tăng chặt nếu nó không giảm và
x − y ∈ int(R
n
+
) suy ra f(x) − f(y) ∈ int(R
m
+
).
16
Chương 2
Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến
tính
Chương này trình bày một số nội dung về bài toán tối ưu đa mục tiêu
tuyến tính. Những kiến thức được trình bày trong chương được tham khảo

chủ yếu từ [2] và [4].
2.1 Khái niệm
Trong thực tế cùng một lúc người ta thường theo đuổi nhiều mục tiêu
khác nhau. Ví dụ khi lựa chọn mua nhà ở, chúng ta phải tính đến nhiều
yếu tố: giá cả, môi trường, tiện nghi. Thường nhà rẻ hơn thì môi trường
hay tiện nghi kém hơn. Điều đó dẫn đến mô hình bài toán tối ưu đa mục
tiêu. Để hiểu rõ hơn về bài toán tối ưu đa mục tiêu, ta xét một số ví dụ
sau:
Ví dụ 1. (Tối ưu phương án thiết kế nhà ở)
Giả sử trong thiết kế nhà ở, cách bố trí các phòng như một số thông
số và ràng buộc được cho trước.Vấn đề phải xác định các thông số còn lại
17
nhằm cực đại diện tích sử dụng và cực tiểu chi phí xây dựng.
Chi phí xây dựng cho bảng sau:
Loại phòng Diện tích min(m
2
) Diện tích max(m
2
) Giá (triệu VNĐ)
Bếp 4 10 150
Phòng ngủ 8 16 80
Phòng ăn 13 18 280
Sảnh 1.34 6.2 234.6
Phòng tắm 3.5 6 234.6
Bảng 2.1:
Lập bài toán:
Gọi f
1
là diện tích sử dụng thì f
1

là hàm số của x
1
, x
2
, x
3
theo công
thức :
f
1
(x
1
, x
2
, x
3
) = 5.21 (x
1
+ x
2
+ x
3
) .
Gọi f
2
là chi phí xây dựng thì f
2
là hàm số của x
1
, x

2
, x
3
, x
4
, x
5
theo
công thức :
f
2
(x) = (3.16x
1
) 280 + (1.82x
2
) 234.6 + (1.34x
3
) 234.6 + (2.05x
4
) 150
+ (2.05x
5
+ 2.12x
3
+ 3.09x
3
) 80
= 884.8x
1
+ 426.972x

2
+ 743.224x
3
+ 307.5x
4
+ 164x
5
.
Ngoài ra, ta còn có các ràng buộc (X) mô tả như sau :
* Đối với bếp: 4  2.05 . x
4
 10.
* Đối với phòng ăn: 13  3.16 . x
1
 18.
* Đối với phòng tắm: 3.5  1.82 . x
2
 6.
* Đối với sảnh: 1.34 . x
2
 6.2.
18
* Đối với phòng ngủ 1: 8  2.12 . x
3
 16.
* Đối với phòng ngủ 2: 8  3.09 . x
3
 16.
* Đối với phòng ngủ 3: 8  2.05 . x
3

 16.
Chúng ta có bài toán tối ưu hai mục tiêu sau:
Tìm x = (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
) sao cho:





max f
1
(x), min f
2
(x);
với x thỏa mãn ràng buộc X.
Ví dụ 2. (Lập chế độ ăn kiêng).
Giả sử cho trước danh sách các món ăn chính như thịt, các, rau với
những hàm lượng dinh dưỡng như đạm, mỡ, vitamin, lượng calo và giá
cả. Chúng ta phải xác định khẩu phần ăn để cự tiểu chi phí ăn uống, cực
tiểu lượng calo và cực đại ngon miệng.
Lập bài toán:

Kí hiệu x
1
, x
2
, x
3
là lượng thịt, cá, rau (tính bằng calo) cho mỗi khẩu
phần. Hàm lượng dinh dưỡng, calo và giá cả mỗi gram thức ăn trên được
biết như sau: Gọi f
1
là chi phí cho mỗi khẩu phần, ta có
Đạm Mỡ Vitamin Calo Giá cả
Thịt p
1
l
1
v
1
c
1
ξ
1
Cá p
2
l
2
v
2
c
1

ξ
2
Rau 0 0 v
2
c
3
ξ
3
Bảng 2.2:
f
1
(x) = ξ
1
x
1
+ ξ
2
x
2
+ ξ
3
x
3
.
19
Gọi f
2
(x) là số calo mỗi khẩu phần cung cấp, ta có
f
2

(x) = c
1
x
1
+ c
2
x
2
+ c
3
x
3
.
Gọi f
3
(x) là sự ngon miệng thì f
3
(x) thường được đánh giá bởi tỷ lệ thịt
cá so với rau. Ta nói khẩu phẩn (x
1
, x
2
, x
3
) là ngon nếu
2x
3
− x
1
− x

2
 và − x
3
+ x
1
+ x
2
 0.
Khẩu phần (x
1
, x
2
, x
3
) ngon hơn khẩu phần (y
1
, y
2
, y
3
) nếu (x
1
− y
1
, x
2
−
y
2
, x

3
− y
3
) đảm bảo tỷ lệ như trên.
Các ràng buộc đối với dinh dưỡng:
+ lượng đạm thỏa mãn: a
1
≤ p
1
x
1
+ p
2
x
2
 a
2
.
+ lượng mỡ: b
1
 l
1
x
1
+ l
2
x
2
 b
2

.
+ lượng vitamin: c
1
≤ v
1
, x
1
+ v
2
x
2
+ v
3
x
3
≤ c
2
.
Như vậy chúng ta có bài toán tối ưu đa mục tiêu sau:





min f
1
(x), min f
2
(x), max f
3

(x);
với các ràng buộc dinh dưỡng.
2.2 Phát biểu bài toán
Một bộ phận quan trọng của tối ưu đa mục tiêu là tối ưu đa mục tiêu
tuyến tính. Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính được phát biểu như
sau:
Định nghĩa 2.1.
Cho X là một tập lồi đa diện trong R
n
.
20
Ánh xạ f : R
n
→ R
m
là ánh xạ tuyến tính, trong đó R
m
được trang bị
thứ tự bởi nón R
m
+
, nghĩa là với x, y ∈ R
m
, x  y khi và chỉ khi y −x ∈ R
m
+
.
Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính ứng với X và f là tìm x ∈ X,
gọi là nghiệm tối ưu (nghiệm hữu hiệu lí tưởng, hoặc nghiệm cực tiểu lí
tưởng) sao cho:

f(x)  f(y), ∀y ∈ X
và được viết





min f(x);
với điều kiện x ∈ X. (MOLP )
Hàm f gọi là hàm mục tiêu, tập đa diện X gọi là tập ràng buộc. Tập
tất cả các nghiệm tối ưu của (MOLP) được kí hiệu là IS(X, f). Nếu x ∈
IS(X, f) thì f(x) gọi là giá trị cực tiểu lí tưởng của bài toán.
2.3 Một số khái niệm nghiệm
Nhận xét rằng, vì f(X) ⊂ R
m
nên trong nhiều trường hợp hai phần tử
bất kì f(x), f(y) có thể không so sánh được với nhau theo quan hệ  . Do
đó, nghiệm cực tiểu lí tưởng thường không tồn tại. Do đó người ta đưa ra
khái niệm nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu cho bài toán như sau:
Định nghĩa 2.2.
Một điểm x
0
∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu (cực tiểu Pareto) của
bài toán (MOLP), nếu không tồn tại x ∈ X sao cho
f(x)  f(x
0
) , f(x) = f(x
0
).
21

Định nghĩa 2.3.
Một điểm
x ∈ X được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (MOLP),
nếu không tồn tại x ∈ X sao cho f(x)  f(x).
Tập các nghiệm hữu hiệu và tập các nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán
(MOLP) được kí hiệu lần lượt là S(X, f) và WS(X, f).
Khi m = 1, bài toán ( MOLP) chính là bài toán tối ưu đa mục tiêu
tuyến tính. Trong trường hợp đó các khái niệm nghiệm vừa định nghĩa
trùng nhau.
Mệnh đề 2.1.
Đối với bài toán (MOLP), ta luôn có:
S(X, f) ⊂ W S(X, f).
Ngoài ra, nếu IS(X, f) = ∅ thì IS(X, f) = S(X, f).
Chứng minh:
Suy trực tiếp từ định lý 1.10.
Ví dụ 2.1.
Xét f : R
2
→ R cho bởi:
f(x
1
, x
2
) = (5x
1
+ x
2
, x
1
+ 2x

2
),
đa diện X là tập nghiệm của hệ sau:





















3x
1
+ x
2
≥ 6.
x

1
+ x
2
≥ 4.
x
1
+ 3x
2
≥ 6.
x ≥ 0.