NHÓM CỘNG HOM(X,Y) VÀ DÃY KHỚP - Full 10 điểm

UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA TOÁN
----------

PHẠM THỊ ANH DIỆP

NHÓM CỘNG HOM(X,Y) VÀ DÃY KHỚP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA TOÁN
----------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Tên đề tài: NHÓM CỘNG HOM(X,Y) VÀ DÃY KHỚP

Sinh viên thực hiện
PHẠM THỊ ANH DIỆP

MSSV: 2114020106
CHUYÊN NGÀNH: SƢ PHẠM TOÁN

KHÓA: 2014 – 2018

Cán bộ hướng dẫn

ThS. PHẠM NGỌC HOÀNG

Quảng Nam, tháng 5 năm 2018

LỜI CẢM ƠN
Trong suốt q trình làm khóa luận, tơi ln nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ
của ThS. Phạm Ngọc Hồng. Tơi xin chân thành bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc đến thầy.
Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy, cô trong khoa đã tạo điều kiện cho tơi
được nghiên cứu nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót.
Vậy mong các thầy cơ giáo đóng góp ý kiến để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Xin trân trọng cảm ơn!

Tam Kỳ, tháng 5 năm 2018
Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Anh Diệp

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của bản thân tôi và được sự
hướng dẫn khoa học của ThS. Phạm Ngọc Hoàng. Các nội dung nghiên cứu, kết quả
trong đề tài này là trung thực và không phải sao chép từ bất kỳ tài liệu nào. Nếu không
đúng như đã nêu trên, tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm về đề tài của mình.

MỤC LỤC
Phần 2. NỘI DUNG .......................................................................................................1
CHƢƠNG 1. MƠĐUN VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN...................................1
1.1. Mơđun...................................................................................................................1

1.1.1. Các khái niệm chung về mơđun......................................................................1
1.1.2. Một số tính chất của môđun............................................................................3
1.1.3. Môđun con ........................................................................................................4
1.1.4. Môđun thƣơng..................................................................................................4
1.1.5. Môđun hữu hạn sinh........................................................................................5
1.2. Đồng cấu môđun..................................................................................................6
1.2.1. Định nghĩa 1 .........................................................................................................6
1.2.2. Định nghĩa 2 .........................................................................................................7
1.2.3. Định lí về đồng cấu mơđun .................................................................................7
1.3. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp .............................................................................9
1.4. Mơđun tự do..........................................................................................................10
CHƢƠNG 2. NHÓM CỘNG HOM(X,Y) VÀ DÃY KHỚP ....................................14
2.1. Dãy khớp ...............................................................................................................14
2.2. Nhóm cộng Hom(X,Y)..........................................................................................18
2.2.1. Nhóm cộng Hom(X,Y).......................................................................................18
2.2.2. Đồng cấu cảm sinh.............................................................................................19
2.3. Mơđun xạ ảnh .......................................................................................................19
2.3.1.Định nghĩa ...........................................................................................................19
2.3.2.Tính chất của mơđun xạ ảnh .............................................................................20
2.4. Mơ đun nội xạ ....................................................................................................24
2.4.1. Định nghĩa:.........................................................................................................24
2.4.2.Tính chất của mơđun nội xạ ..............................................................................25
2.5. Nhóm cộng Hom(X,Y) và dãy khớp ................................................................29
Phần 3. KẾT LUẬN ....................................................................................................36
Phần 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................37

Phần 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài

Đại số là một lĩnh vực của phân nhánh lớn của toán học, là một chủ đề thống nhất

của hầu hết tất cả lĩnh vực của tốn học. Trong đó đại số hiện đại là một lĩnh vực quan
trọng trong toán học tiên tiến, là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của các nhà toán học
chuyên nghiệp. Lý thuyết môđun là môn học của đại số hiện đại, nó có khả năng thống
nhất một cách bản chất các cấu trúc vành, ideal, nhóm Aben và khơng gian véc tơ.
Tính linh hoạt và phổ qt của môđun mang lại những ứng dụng to lớn. Thông qua lí
thuyết mơđun để hiểu hơn về khơng gian véc tơ và nhiều lí thuyết tốn học khác.

Dãy khớp là một trong những ứng dụng khi nghiên cứu lý thuyết mơđun đó là
dãy các đồng cấu mơđun thỏa mãn tính chất ảnh của đồng cấu vào trùng với hạt nhân
của đồng cấu ra. Khi các môđun trên các đồng cấu được thay bởi môđun của nhóm
cộng các đồng cấu Hom(X,Y) thì dãy khớp có nhiều tính chất và ứng dụng hay. Vì vậy
chúng tơi chọn đề tài: “Nhóm cộng Hom(X,Y) và dãy khớp” để làm khóa luận tốt
nghiệp của mình.
1.2. Mục tiêu nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu một số tính chất và một số ứng dụng của môđun Hom(X,Y) và
dãy khớp
1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức liên quan về môđun và các khái niệm liên quan
cùng một số kết quả về nhóm cộng Hom(X,Y) và dãy khớp

Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết Môđun
1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu.
- Phân tích, tổng hợp các kiến thức.
- Trao đổi, thảo luận với chuyên gia.
1.5. Đóng góp của đề tài

Đề tài cung cấp các kiến thức liên quan đến nhóm cộng Hom(X,Y) trong đó X, Y
là các mơđun và các mô đun đặc biệt như: nội xạ, xạ ảnh,.. kèm theo một số ứng dụng
của nó với dãy khớp dưới dạng các bài tập.

Khóa luận có thể sử dụng như một tài liệu tham khảo để sinh viên nghiên cứu,
bồi dưỡng chuyên môn, nâng cao kiến thức.

1.6. Cấu trúc đề tài
Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và hai chương:
Chương 1: Môđun và các khái niệm liên quan
Chương 2: Nhóm cộng Hom(X,Y) và dãy khớp
Phần tài liệu tham khảo và kiến nghị

Phần 2. NỘI DUNG

CHƢƠNG 1. MƠĐUN VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN

1.1. Mơđun

1.1.1. Các khái niệm chung về mơđun

Giả sử R là vành có đơn vị 1. Một môđun trái trên R là một nhóm Aben M

(viết theo lối cộng) cùng với một ánh xạ:

RM  M (hoặc r.x)
(r,x)  rx

thường được gọi là phép nhân với vô hướng thoả mãn các điều kiện:

(M1) r(x + y) = rx + ry

(M2) (r + s)x = rx + sx

(M3) (rs)x = r(sx)

(M4) 1x = x

r,s  R ; x,y  M .

Tương tự, môđun phải trên R là một nhóm Aben cùng với một ánh xạ:

MR  M
(x,r)  xr

thoả mãn các điều kiện (M1’), (M2’), (M4’) giống như (M1), (M2), (M4) nói trên,

trong đó các vơ hướng viết ở bên phải và điều kiện sau:

(M3’) x(rs) = (xr)s ; x  M , r,s  R

Như vậy, các môđun trái và phải trên R chỉ khác nhau ở một điểm: Khi một

tích rs  R “tác động” lên các mơđun này, thì r “tác động” trước hay s “tác động”

trước. Do đó, nếu R là vành giao hốn thì các khái niệm môđun trái và môđun phải

trên R là trùng nhau.

 Mơđun trái (phải) trên R cịn được gọi là Rmôđun trái (phải).

 Sau đây ta chỉ xét các Rmôđun trái và gọi tắt là các Rmôđun.

Đôi khi vành R đã được chỉ rõ và không sợ nhầm lẫn gì, ta sẽ gọi các Rmơđun là

các mơđun cho đơn giản.

Các ví dụ

1. Cho R = là vành các số ngun, cịn A là nhóm aben. Khi đó ánh xạ:

: AA

(n,a) na

1

thỏa mãn điều kiện phép nhân vơ hướng. Do đó nhóm aben A được xem như một
mơđun trên vành . Vậy ta có -mơđun.

2. Cho R là một vành giao hoán với đơn vị 1  0. Khi đó ánh xạ:

:RR R
(r,s) rs

trong đó rs là phép nhân trong R, thỏa mãn các tính chất của phép nhân vơ hướng. Do
đó vành R là một mơđun.

3. Cho F là một trường, lúc đó mỗi không gian véctơ trên F là một F-môđun.
4. Tập hợp Map(S,M) các ánh xạ từ tập S vào một Rmôđun M là một

Rmơđun với hai phép tốn định nghĩa như sau:
+Phép cộng:  f,g  Map(S,M) : (f,g)  f + g
với (f + g)(s) = f(s) + g(s), s  S , (phép cộng ở vế sau của đẳng thức chính là
phép cộng trong Rmôđun M).
+Phép nhân: r  R ; f  Map(S,M) : (r,f)  rf
với (rf)(s) = r.f(s) , s  S , (phép nhân ở vế sau của đẳng thức chính là phép nhân
một phần tử của Rmôđun M với một vô hướng r  R).
Bây giờ ta sẽ chứng minh Map(S,M) cùng hai phép toán nói trên là một
Rmơđun:
 Dễ kiểm tra rằng Map(S,M) là một nhóm Aben với phép cộng; phần tử không
của Map(S,M) là ánh xạ 0 : S  M sao cho 0(s) = 0M , s  S; phần tử đối
của f  Map(S,M) là f  Map(S,M), đó là ánh xạ:
(f) : S  M sao cho (f)(s) = f(s) , s  S.
Mặt khác, ta kiểm tra phép nhân nêu trên thoả mãn các điều kiện của định nghĩa
Rmôđun với giả thiết M là Rmôđun:

(M1) r  R ; f,g  Map(S,M) ; s  S ta có:
[r(f + g)](s) = r.[(f + g)(s)] = r.[f(s) + g(s)] = r.f(s) + r.g(s)

= (rf)(s) + (rg)(s) = (rf + rg)(s)
 r(f + g) = rf + rg.
(M2) r,r’  R ;  f  Map(S,M) ;  s  S ta có:
[(r + r’)f](s) = (r + r’).f(s) = r.f(s) + r’.f(s) = (rf)(s) + (r’f)(s)

= (rf + r’f)(s)

2

 (r + r’)f = rf + r’f.

(M3) r,r’  R ; f  Map(S,M) ; s  S ta có:
[(rr’)f](s) = (rr’).f(s) = r[r’.f(s)] = r[(r’f)(s)] = [r(r’f)](s)
 (rr’)f = r(r’f).
(M4) f  Map(S,M) ; 1  R , s  S ta có:
(1f)(s) = 1.f(s) = f(s)
 1f = f.
Vậy, Map(S,M) là một Rmơđun.
1.1.2. Một số tính chất của môđun
Cho M là R-mơ đun trái. Khi đó
i. 0x  0 và a0  0 ,
ii. (a)x  ax và a(x)  ax,
iii. (a  b)x  ax  bx,
iv. a(x  y)  ax- ay,

với mọi a,b  và mọi x, y M , trong đó x – y = x +(-y).

Thật vậy, 0x + 0x = (0 + 0)x = 0x + 0, khi thực hiện giản ước phần tử 0x ở cả hai
vế đẳng thức ta được 0x=0.

Vậy ta có đẳng thức đầu i).
Đẳng thức thứ hai của i) được suy ra từ

a0  a0  a(0  0)  a0  0

Vì
(a)x  ax = (-a + a)x = 0x = 0,
a(x)  ax = a(-x + x) = a0 = 0 ,

nên ta có

(a)x  ax ,
a(x)  ax ,

tức ii) đúng.
Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân ngoài với các phép cộng trên cơ sở

định nghĩa các phép trừ ta chứng minh các tính chất iii), iv) như sau:
(a  b)x  (a  (b))x  ax  (b)x
= ax +(-bx) = ax  bx

3

a(x - y) = a(x + (-y))= ax  a(y)
= ax +(-ay)= ax -ay

1.1.3. Môđun con
Giả sử M là một R- môđun. Xét tập con A   của M có tính chất:

a) a, b A kéo theo a+ b  A.
b) a A, r R kéo theo ra  A .

Ta nói tập A đóng kín đối với phép cộng trong M và phép nhân vơ hướng. Khi đó
các phép tốn của R- mơđun M hạn chế trên tập A cũng cho ta các phép toán trên A,
gọi là các phép toán cảm sinh. Nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh thỏa mãn hệ
tiên đề của một R- mơđun thì ta nói A là một R- mơđun con của M. Ta có thể phát biểu
lại như sau:

Định nghĩa 1. Giả sử M là một R- môđun. Tập con A   của M được gọi là
môđun con của M nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân với vô hướng
của M hạn chế trên A.

Từ định nghĩa của mơđun con ta có thể đưa ra những tiêu chuẩn đơn giản để kiểm
nghiệm một tập con có phải là một mơđun hay khơng.

Mệnh đề 1: Cho M là một R- môđun. Nếu A là tập con khác rỗng của M thì các
điều sau là tương đương:

i) A là môđun con của M.

ii) A là nhóm con cộng của M và đối với mọi aA, mọi r R ta có ra  A
Với mọi a, b A và mọi r, s R ta có ra + sbA.

Ví dụ
1. Mỗi K-mơđun X có hai mơđun con tầm thường X và {0}.
2. Mỗi nhóm con A của nhóm Aben X là một mơđun con của A – môđun X
3. Giả sử K là một vành có đơn vị. Vành K là một K-mơđun. Khi đó mỗi iđêan trái của
K là một mơđun con.
1.1.4. Mơđun thƣơng

Mọi môđun con A của R- mơđun M là nhóm con của nhóm cộng M. Do đó ta có

nhóm thương M A = m  A | mA với phép cộng các lớp ghép cho bởi:

(m1  A)  (m2  A)  (m1  m2)  A

4

Trong nhóm thương M A có thể đưa ra phép nhân vơ hướng cảm sinh để nhóm
aben M A trở thành một R- mơđun.

Mệnh đề 2: Cho A là mơđun con của R- mơđun M. Khi đó tương ứng:
R  (M A)  M A
(r,m  A) rm  A

là một ánh xạ. Hơn nữa, nhóm thương M A là R- mơđun với phép nhân với vô hướng
r(m + A) = rm +A

Ví dụ

1. R là vành , I là một Iđêan của R. Khi đó R / I là một R- mơđun và:

R / I  x  x  I,xR

2. n  ; n  / n là  môđun

1.1.5. Môđun hữu hạn sinh
Định nghĩa
Cho M là một R-môđun, S là một tập con của M. Khi đó giao tất cả các môđun

con của M chứa S là môđun con bé nhất của M chứa S.
Môđun con của M bé nhất chứa S được gọi là môđun con của M sinh bởi tập S.

Ký hiệu <S>
Nếu <S> = M thì S gọi là một hệ sinh của M
Nếu S là hệ sinh của môđun M sao cho với mọi tập con S'  S ta đều có

 S'  M thì S được gọi là hệ sinh cực tiểu của môđun M.
Nếu M có một hệ sinh hữu hạn thì M được gọi là mơđun hữu hạn sinh.
Ví dụ:
1) Cho R là một vành, n là số ngun dương. Khi đó, R-mơđun là một R-mơđun

hữu hạn sinh.
2) Cho R là một vành, R-môđun R[x] không phải là một R-môđun hữu hạn sinh.
3) Nhóm cộng các số hữu tỉ được xem như là một -môđun không phải là

môđun hữu hạn sinh.
Cho S là một hệ sinh hữu hạn của R-mơđun M. Khi đó mơđun M là tập hợp tất

cả các tổ hợp tuyến tính với hệ tử trong R của các phần tử của S.

5

n 
Nếu S  x1, x2,..., xn thì M  aixi,ai  , xi S
 i0 

Đặc biệt: Nếu S  x thì M  ax,a R  Rx

1.2. Đồng cấu môđun

1.2.1. Định nghĩa 1

Giả sử M, M’ là các Rmôđun. Ánh xạ

 : M  M’

được gọi là đồng cấu Rmôđun nếu:

(x + y) = (x) + (y) ; x,y  M,

(r.x) = r.(x) ; r  R , x  M.

Từ định nghĩa, ta có  là đồng cấu nhóm cộng Aben cho nên:

 (0M) = 0M’ ; (x) =  (x) ; (x  y) = (x)  (y) ;x,y  M.

Ví dụ:

(1) Ánh xạ đồng nhất idM : M  M , với mọi Rmôđun M, là đồng cấu

Rmôđun.

(2) Ánh xạ không 0 : M  M’ , x  0M’ là đồng cấu môđun với

mọi Rmôđun M, M’.

(3) Đồng cấu mơđun chính là đồng cấu nhóm Aben.

(4) Nếu R là một trường thì đồng cấu Rmơđun chính là đồng cấu Rkhông

gian vectơ.

(5) Giả sử A  M(m  n , R). Khi đó phép nhân ma trận:
A : Rm  Rn
(a1, a2, … , am)  (a1, a2, … , am).A

là một đồng cấu Rmơđun.

(6) Đạo hàm hình thức

d : R[X]  R[X]
dX nanxn1 + … + a1

anxn + … + a1x + ao 

là một đồng cấu Rmôđun.

Nhận xét: Hợp thành của hai đồng cấu Rmôđun là một đồng cấu Rmôđun.

6

1.2.2. Định nghĩa 2

Giả sử  : M  M’ là đồng cấu Rmôđun. Nếu  đồng thời là là đơn ánh

(tồn ánh, song ánh) thì  được gọi là đơn cấu (tồn cấu, đẳng cấu).

 Đơn cấu cịn được gọi là phép nhúng.

 Nếu  : M  M’ là đẳng cấu mơđun thì ta nói M đẳng cấu với M’ và viết

M  M’ . Quan hệ đẳng cấu là một quan hệ tương đương.

Nhận xét: Giả sử  : M  M’ là đồng cấu Rmơđun;

Khi đó: N ≤ M và N’ ≤ M’.
(N) ≤ M’ &  1(N’) ≤ M.

Nói riêng:
 Ker = {x  M / (x) = 0M’} =  1(0M’) được gọi là hạt nhân của đồng

cấu Rmôđun  .

 Im = {(x) / x  M} được gọi là ảnh của đồng cấu Rmôđun  .

Mệnh đề: Đồng cấu Rmôđun  : M  M’ là:

 Đơn cấu khi và chỉ khi Ker = 0.

 Toàn cấu khi và chỉ khi Im = M’

Mệnh đề: Nếu  : M  N là một đẳng cấu R–mơđun thì 1 : N  M là đẳng

cấu R–mơđun.

Chứng minh: Vì  : M  N là song ánh, 1 : N  M là song ánh. Ngoài ra,

r,s  R , y, y' N vì y  x  1 y  x và vì

y'  x '  1 y'  x ', x, x 'M xác định, ta có

1 ry  sy '  1 rx  sx '  rx  sx '  r1  y  s1  y'

Vậy 1 là một đẳng cấu R–môđun.

Với hai R–môđun M và N, ta ký hiệu M  N khi có một đẳng cấu từ M lên N.

1.2.3. Định lí về đồng cấu mơđun

Định lí: Với mọi đơng cấu Rmơđun  : M  M’ luôn tồn tại duy nhất một

đẳng cấu Rmôđun  : M Ker  Im làm giao hoán biểu đồ sau:

7

 M’

M

 p  

p 

M
Ker

Chứng minh:
Xét tương ứng  : M Ker  Im

x + Ker  (x)

Ta sẽ chứng minh  là đẳng cấu và làm cho biểu đồ trên giao hoán:

*  là ánh xạ: giả sử x1 + Ker = x2 + Ker  x1  x2  Ker
(x1)  (x2) = (x1  x2) = 0  (x1) = (x2)
  (x1 + Ker) =  (x2 + Ker) .

*  là đồng cấu Rmôđun: giả sử (x1 + Ker), (x2 + Ker)  M Ker

Ta có  [(x1 + Ker) + (x2 + Ker)] =  (x1 + x2 + Ker) = (x1 + x2)

= (x1) + (x2) =  (x1 + Ker) +  (x2 + Ker)

Và r  R ta có  [r(x1 + Ker)] =  (rx1 + Ker) = (rx1) = r.(x1) = r. (x1

+ Ker).

*  là đơn cấu: Ker = {x + Ker /  (x + Ker) = 0 }

Ta có 0 =  (x + Ker) = (x) => x  Ker

=> x + Ker = Ker = 0 M  =>  là đơn cấu.


 Ker 

*  là tồn cấu: vì   M Ker  = (M) = Im.

Vậy  là đẳng cấu.

*  làm giao hoán biểu đồ: x  M, ta có ( p)(x) =  (x + Ker) = (x) =>

p = .

*  là duy nhất: giả sử cịn có  : M Ker  Im sao cho p =  . Khi đó,

(x + Ker)  M Ker ta có:

8

(x + Ker) = [p(x)] = (p)(x) = (x) =  (x + Ker)

=>  =  .

1.3. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp

Định nghĩa: Giả sử {Mi}I là một họ các Rmôđun. Trên tập tích Descartes

 Mi = {(xi)I / i  I } ta trang bị hai phép toán:

I

 Phép cộng: (xi)I + (yi)I = (xi + yi)I

 Phép nhân với vô hướng : r(xi)I = (rxi)I ;

xi , yi  Mi , i  I , r  R.

Dễ kiểm tra rằng  Mi cùng hai phép tốn nói trên là một Rmơđun và được

I

gọi là tích trực tiếp của họ mơđun {Mi}I .

Gọi  Mi là tập hợp các phần tử (xi)I   Mi sao cho (xi)I có giá hữu hạn

I I

(tức xi = 0 hầu hết, trừ ra một số hữu hạn).

Dễ kiểm tra rằng  Mi cùng 2 phép toán định nghĩa trên  Mi là một

I I

Rmôđun và được gọi là tổng trực tiếp của họ môđun {Mi}I.
Mệnh đề: Giả sử M1,M2,...,Mn là các môđun con của M sao cho



M  M1  M2  ...  Mn và Mi    Mj   0 với i  1, 2, ..., n .

 ji 
Khi đó M  M1  M2  ...  Mn .
Chứng minh: Vì M  M1  M2  ...  Mn nên mỗi phần tử x Mcó thể viết
dưới dạng x  x1  x2  ...  xn với xi Mi,i 1,2,...,n . Cách viết này là duy nhất.

Thật vậy, giả sử x  x1  ...  xn  y1  ...  yn xi, yi Mi  . Khi đó, với mỗi


i 1,2,...,n ta có:  xi  yi   x j  yj   Mj  xi  yi  Mi    Mj   0
ji ji  ji 

hay phần tử xi  yi   0  xi  yi

+ Xét ánh xạ:

 : M  M1  ...  Mn  M1  ...  Mn

x  x1  ...  xn x  x1,..., xn 

9

Ta chứng minh  là song ánh bảo tồn hai phép tốn của môđun ( tức là  là
đẳng cấu)
-  là đồng cấu: x, y  M ,a  R ta có
x  x1  ...  xn , y  y1  ...  yn

 x  y  x1  ...  xn    y1  ...  yn   x1  y1   ...  xn  yn 

  x1  y1,..., xn  yn   x1,..., xn    y1,..., yn 
 x  y

 ax  a x1  ...  xn   ax1  ...  axn   ax1,...,axn   a x1,..., xn   ax 

-  là đơn ánh: Với mọi x  x1  ...  xn Ker  x  0,...,0
hay x1  ...  xn   0,...,0  x1,..., xn   0,...,0
 xi  0,i  1,2,...,n   x  0  Ker  0.

hay  là đơn ánh.
+ Mặt khác  là toàn ánh.
Vậy  là đẳng cấu.

1.4. Môđun tự do
Định nghĩa 1: Cho M là R-môđun
- Nếu phần tử x  M (Rmôđun) được viết dưới dạng

x =  rs s
sS

thì ta nói x biểu thị tuyến tính được qua (các phần tử) của tập S.

- Tập con S   của M được gọi là cơ sở của M nếu:

x  M , x có sự biểu diễn tuyến tính duy nhất qua (các phần tử) của S.
- Môđun M được gọi là tự do nếu M có một cơ sở, hoặc M = 0.

Mệnh đề 1. R-môđun trái Flà tự do đối với cơ sở S khi và chỉ khi F biểu diễn

được dưới dạng tổng trực tiếp F  As , As  R , s S
sS
Mệnh đề 2 (Tính phổ dụng của mơđun tự do). Giả sử M là một môđun tự do

với cơ sở S  xiiI và yiiI là hệ phần tử tùy ý của môđun N. Khi đó tồn tại duy
nhất đồng cấu mơđun : M  N sao cho xi   yi,i I.

10

Chứng minh: Vì M là mơđun tự do với cơ sở S  xiiI nên phần tử x  M

đều được viết duy nhất dưới dạng một tổ hợp tuyến tính x  rixi , với
iI

ri R, xi S và ri  0 với hầu hết (trừ một số hữu hạn) chỉ số i.

Xét tương ứng :M N

x  rixi  ri yi
iI
iI

-  là ánh xạ: Giả sử x   rixi   ri'xi  x ', ri , ri'  R  ri  ri'  xi  0M

iI iI iI

mà xiiI là cơ sở nên nó độc lập tuyến tính.

Từ đó suy ra ri  ri', i  I  x   riyi  ri'yi  x ' .
iI iI

-  là đồng cấu môđun: x  rixi, x '  ri'xi  M . Ta có:
iI iI

 '  '
 x  x '    rixi   ri xi    ri  ri  xi 
 iI iI   iI 

 ri  ri'  yi   riyi   ri'yi  x   x '
iI iI iI

r  R, ta có   rx     r  ri x i       rri  x i     rri  y i  r riyi  rx
   
 iI   iI  iI
iI

- Chứng minh xi   yi, i I .

Thật vậy, iI , ta có xi   1.xi  1.yi  yi ( do định nghĩa ánh xạ).

-  duy nhất: Giả sử  : M  N sao cho xi   yi, i I. Khi đó

x  rixi M ta có:
iI

x     ri x i    ri xi    riyi   rixi      ri x i     x . (đpcm)
   
 iI  iI  iI 
iI iI

Định lý 1. Tổng trực tiếp của một họ các môđun tự do là môđun tự do.

Chứng minh Cho họ xkkI các môđun tự do. Gọi Sk là cơ sở của môđun Xk .

Ta cần chỉ ra jk (Sk ) là cơ sở của Xk , trong đó jk là phép nhúng Xk vào Xk .

kI

Thật vậy, x Xk , x được biểu thị một cách duy nhất x   jk (xk ) ; đồng
kI

thời jk (xk ) được biểu thị tuyến tính một cách duy nhất qua jk (Sk ) vì jk (Sk ) là cơ sở

của jk (Xk ) . Vậy x được biểu thị tuyến tính một cách duy nhất qua S  jk (Sk ) .

11

Vậy S là cơ sở của Xk , tức Xk là môđun tự do.
Để xây dựng môđun tự do sinh bởi tập hợp S cho trước, trước hết chúng ta lưu

ý rằng vành R là vành mơđun tự do trên vành chính nó với một cơ sở là tập 1 chỉ

gồm phần tử đơn vị.

Cho tập hợp S   . Với mỗi s S ta lấy một bản sao của vành hệ tử R, ký

hiệu là Rs  rs : r R . Các phần tử của Rs có thể xem là phần tử r R được đánh

dấu bởi chỉ số s. Và các phép cộng, phép nhân trên Rs được “chép lại” từ R như sau:
r1s  r2s  (r1  r2 )s
r1sr2s  (r1r2 )s

Hiển nhiên Rs  R và Rs là môđun tự do với cơ sở là tập một phần tử 1s .

Khi đó theo định lý trên, tổng trực tiếp F(S)   Rs là mơđun tự do có cơ sở

sS

là:

S'  js (1s ) s S .

trong đó js : Rs  F(S) là phép nhúng thứ s. Ta gọi F(S) là môđun tự do sinh bởi tập
S. Chú ý rằng, nếu s  t là hai phần tử của S thì js (1s )  jt (1t ) , bởi vậy ta có thể thực
hiện sự đồng nhất tập hợp S với S’ nhờ song ánh  :S  S' mà (s)  js (1s ) . Và ta
có quyền xem như S là một cơ sơ của F(S).

Bây giờ cho S là cơ sở mơđun tự do X. Khi đó s S mơđun được sinh bởi tập

s là s  Rs là một môđun tự do và Rs là một bản sao của vành hệ tử R.
Xét họ các môđun con RssS của môđun X, ta thấy:

  Rs  X vì S là hệ sinh.
 Rs  Rt  0 vì S độc lập tuyến tính.

ts

Vậy X   Rs  F(S)

sS

Tức mỗi mơđun tự do X có cơ sở S có thể xem là mơđun tự do sinh bởi tập S.
Kết hợp tất cả các kết quả trên, ta được:
Định lý 2. R-môđun X là tự do khi và chỉ khi X đẳng cấu với tổng trực tiếp của
họ nào đó có bản sao của vành hệ tử R

12

Định lý 3. Tập S   trong môđun X là cơ sở của X khi và chỉ khi với bất kỳ
môđun Y, mỗi ánh xạ f :S  Y đều có thể mở rộng với một đồng cấu duy nhất

f :XY .

Chứng minh: Nếu S  x là cơ sở của mơđun tự do X thì

x  X : x   rx và do vậy mỗi ánh xạ f :S  Y có thể mở rộng tới đồng cấu

f : X  Y theo công thức:

f (x)  f rx   rf (x ) .

Ngược lại, nếu S  X có tính chất: mỗi ánh xạ f :S  Y có thể mở rộng tới

đồng cấu duy nhất: f : X  Y ta cần chứng minh S là cơ sở của X.

Lấy môđun tự do F(S) sinh bởi tập S. Xét ánh xạ nhúng
js : S  F(S) mà js(s)  js (1s ),s S,

trong đó js : Rs  F(S) là phép nhúng thứ s. Theo điều kiện định lý, khi đó js có thể
mở rộng tới đồng cấu duy nhất j: X  F(S) . Để chứng minh S là cơ sở của X ta chỉ
cẩn j là đẳng cấu.

Bởi j là mở rộng của js, mà js thức hiện phép song ánh S lên cơ sở S'  F(S)
nên j là toàn ánh.

Xét g : S  S' là ánh xạ ngược của js, từ cơ sở S'  F(S) lên S  X . Vì S’ là

cở sở của F(S) nên g có thể mở rộng tới đồng cấu duy nhất g j: X  X thực hiện sự
đồng nhất trên tập S  X và do đó là mở rộng của phép nhúng j: S  X . Bởi 1X là

một mở rộng của phép nhúng i, và từ tính duy nhất của mở rộng thì ta có g j  1X . Từ
tính chất đơn cấu của 1X thì j là đơn cấu.

Vậy j là đẳng cấu, tức S là cơ sở của môđun X và X là môđun tự do.

Định nghĩa 2: FS được gọi là môđun tự do trên tập S.

Định lý 4: Mỗi môđun X đẳng cấu với môđun thương của mơđun tự do nào đó.
Chứng minh: Xét môđun tự do F(X) sinh bởi tập X. Khi đó ánh xạ đồng nhất
1X : X  X có thể mở rộng tới đồng cấu  : F(X)  X .

Hiển nhiên  là tồn cấu và do đó
X  F(X) / K er

13