Bài tập chủ đề số chính phương

BÀI TẬP CHỦ ĐỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1. CMR tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương

Lời giải
Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là x ; x +1 ; x+2 ; x +3

Ta có: A=x ( x +1)( x +2) ( x+3 )+ 1=( x2+3 x) ( x2+3 x+2)+ 1

Đặt t =x2+ 3 x +1, khi đó ta có:
A=(t −1)(t +1)+1=t 2

⇒ A=( x2+ 3 x +1)2

Vì x ∈ N ⇒ x2+3 x +1∈ N ⇒ A là số chính phương
Vậy tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương.
Bài 2. Tìm các số nguyên n sao cho n4+n3+n2 là số chính phương

Lời giải
Đặt A=n4+ n3+ n2
⇒ A=n2(n2+ n+ 1)
+) Nếu n=0 ⇒ A=0 là số chính phương⇒ n=0 thoả mãn.
+) Nếu n ≠ 0, vì n2 là SCP nên Alà số chính phương ⇔ n2+ n+1 là SCP

Đặt n2+n+1=k2 (k ∈ N¿ )⇒ 4 n2+ 4 n+ 4=4 k2
⇒ (2 n+1)2−(2 k )2=−3
⇒ (2 n+1−2k )(2 n+1+2 k )=−3
Vì 2 n+1+2 k >2 n+1−2 k nên ta có các trường hợp sau:

{ { Th1: 2 n+ 1−2 k=−3 2 n+1+2 k=1 ⇒ n=−1 k=1
{ { Th2: 2 n+ 1−2 k=−1 2 n+1+2 k=3 ⇒ n=0 k =1 (Loại)

Vậy n ∈{0 ;−1 }
Bài 3. Cho 2 số nguyên a , b thoả mãn: a2+ b2+ 1=2 (ab+ a+b). CMR: a và b là hai SCP liên tiếp.

Lời giải

Ta có: a2+ b2+ 1=2 (ab+ a+b)
⇒ a2+ b2+1−2 ab+ 2a−2 b=4 a
⇒ ( a−b+ 1)2=4 a (*)
Vì (a−b+1 )2 và 4 là các SCP nên acũng là SCP, đặt a=x2( x ∈ N ) thay vào (*) ta được:

[ [ ( x2−b+ 1)2=4 x2 ⇒ x2x2−b+1=2 x −b +1=−2 x ⇒ b=( x+1)2 b=( x−1)2

Như vậy a va b là hai số chính phương liên tiếp (đpcm)
Bài 4. CMR không tồn tại số tự nhiên a sao cho a2+ a=20102009

Lời giải
Ta có: a2+ a=20102009⇒ 4 a2+ 4 a+1=4.20102009+1

⇒ (2 a+1)2=4.20102009+1
Nhận xét rằng SCP khi chia cho 7 có thể dư 0 ; 1 ; 2; 4
⇒ (2 a+1)2 chia cho 7 có thể dư 0 ; 1 ; 2; 4
Mặt khác 2010 ≡1 (mod 7) ⇒ 4.20102009+ 1≡ 5(mod 7)
Từ đó suy ra khơng tồn tại số tự nhiên a nào thoả mãn a2+ a=20102009
Bài 5. Tìm tất cả các số nguyên tố p , q sao cho p2−q2−1 là SCP.

Lời giải
Vì p , q là các số nguyên tố và p2−q2−1 là SCP nên p>q
+) Nếu q=2 ⇒ p2−q2−1= p2−5

Th1: p=3 ⇒ p2−5=1 (thoả mãn)
Th2: p>3 ⇒ p không chia hết cho 3⇒ p2 ≡1 (mod 3) ⇒ p2−5 ≡2( mod 3) nên p2−5 không thể là SCP.
+) Nếu p>q ≥ 3 ⇒ p ; q đều là số lẻ⇒ p2 và q2 là các SCP lẻ⇒ p2 ≡q2≡ 1(mod 4) ⇒ p2−q2−1 ≡−1 ≡3 (mod 4 )
⇒ p2−q2−1 không thể là SCP.
Vậy ( p ; q)=(3 ; 2) thoả mãn u cầu bài tốn.
Bài 6. Tìm số nguyên tố p sao cho 2 p4− p2+16 là SCP.

Lời giải
Vì p là số nguyên tố nên p ≥2
+) Nếu p=2⇒ 2 p4−p2+ 16=44 không phải SCP
+) Nếu p=3 ⇒ 2 p4− p2+16=169=132 (thoả mãn)

+) Nếu p>3 ⇒ p không chia hết cho 3⇒ p2 ≡1 (mod 3) ⇒ p4 ≡1 (mod 3) ⇒ 2 p4− p2+16 ≡ 2(mod 3 )
⇒ 2 p4−p2+ 16 không thể là SCP.
Vậy p=3 thoả mãn yêu cầu bài toán.
Bài 7. Cho số tự nhiên n thoả mãn n (n+1)+6 không chia hết cho 3. CMR: 2 n2+n+8 khơng phải là số chính phương.

Lời giải

Vì n (n+1)+6 khơng chia hết cho 3 mà 6 ⋮ 3⇒ n(n+1) không chia hết cho 3
Mặt khác ta có: n (n+1) (n−1)⋮ 3 (tích 3 số ngun liên tiếp)
⇒ n−1⋮ 3 ⇒ n ≡1 (mod 3 )
⇒ 2 n2+n+8 ≡ 2(mod 3) nên 2 n2+n+8 không phải là số chính phương.

Bài 8. Tìm tất cả các số ngun dương n sao cho n4−9 n3+33 n2−63 n+54 là số chính phương.
Lời giải

A=n4−9 n3+33 n2−63 n+ 54
¿ n4−3 n3−6 n3+18 n2+15 n2−45 n−18 n+5 4

¿ (n−3) (n3−6 n2+15 n−18)
¿ (n−3)2( n2−3 n+6 )

+) n−3=0⇒ n=3 ⇒ A=0 (thoả mãn)
+) Nếu n−3 ≠0 ⇒ n≠ 3, khi đó A là SCP ⇔ n2−3 n+6là SCP.
Đặt n2−3 n+6=k2 (k ∈ N )
⇒ k2=n2−4 n+ 4+ n+2
⇒ k2−(n−2)2=n+2>0 ( n∈ N¿)
⇒ k2> (n−2)2 (1)

Mặt khác ta có: (n+1)2−(n2−3 n+6 )=5 n−5=5 ( n−1) ≥0 (n ∈ N ¿)

⇒ (n+ 1)2≥ n2−3 n+6hay (n+1)2 ≥ k2 (2)
Từ (1) và (2) ta có: (n−2)2< k2 ≤(n+1 )2

Th1: k 2=(n−1 )2 ⇒ n2−3 n+6=n2−2 n+1 ⇒ n=5
Th2: k 2=n2⇒ n2−3 n+6=n2⇒ n=2
Th1: k 2=(n+1)2⇒ n2−3 n+6=n2+2 n+1 ⇒ n=1
Vậy n ∈{1; 2 ; 3 ; 5 } thoả mãn yêu cầu bài toán.

Bài 9.
Bài 10.
Bài 11.
Bài 12.
Bài 13.