Bài tập chủ đề số phức trong giải tích 12 nâng cao

Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và biết ơn sâu sắc đến
cô giáo Th.S Dương Thị Hà – người đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong quá
trình thực hiện đề tài này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là
các thầy cô trong tổ phương pháp đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý
báu cả về lý thuyết lẫn thực tiễn – là nền tảng khoa học để tôi hoàn thành khóa
luận này.
Tôi xin cảm ơn gia đình và bạn bè là những người luôn động viên, giúp
đỡ tôi trong quá trình làm khóa luận.

Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Thị Thu Huyền

Hoàng Thị Thu Huyền

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài “ Bài tập chủ đề số phức trong Giải tích 12 Nâng cao” là do tôi thực hiện, không có sự trùng lặp với đề tài của tác giả
khác.
Nếu sai tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Thị Thu Huyền

Hoàng Thị Thu Huyền

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU......................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: HỆ THỐNG HÓA LÝ THUYẾT CHỦ ĐỀ SỐ PHỨC Ở GIẢI
TÍCH 12 – NÂNG CAO .................................................................................. 3
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP SỐ PHỨC TRONG CHƯƠNG
TRÌNH TOÁN NÂNG CAO THPT............................................................... 11
2.1. Một số dạng bài tập về phép toán số phức thường gặp......................... 11
2.1.1. Thực hiện các phép toán về số phức, tìm phần thực, phần ảo, số
phức đối, số phức liên hợp................................................................... 11
2.1.2. Giải các phương trình đơn giản trên £ ...................................... 13
2.1.3. Một số bài toán về biểu diễn hình học của số phức .................... 18

2.1.4. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức ............................. 23
2.2. Một số dạng bài tập về Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc 2
trên £ ........................................................................................................ 27
2.2.1.Tìm căn bậc 2 của một số phức................................................... 27
2.2.2. Giải phương trình bậc hai trên £ .............................................. 33
2.3. Một số dạng bài tập về dạng lượng giác của số phức và ứng dụng....... 39
2.3.1. Một số dạng bài tập về dạng lượng giác của số phức..................... 39
2.3.1.1. Tìm dạng lượng giác của một số phức..................................... 39
2.3.1.2. Xác định môđun và một acgumen của số phức........................ 43
2.3.1.3. Tìm dạng đại số của số phức ................................................... 48
2.3.1.4. Căn bậc hai, căn bậc n của số phức (dạng lượng giác)............. 53
2.3.2. Một số dạng bài tập ứng dụng số phức .......................................... 59
2.3.2.1. Ứng dụng số phức vào toán tổ hợp, lượng giác ....................... 59
2.3.2.2. Phép biến hình và số phức....................................................... 63
KẾT LUẬN ................................................................................................... 68
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 69

Hoàng Thị Thu Huyền

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hệ thống số thực đã được xây dựng nhằm giải quyết trước hết vấn đề đo
đạc. Nhờ hệ thống số này vấn đề đó thực sự đã được giải quyết trọn vẹn. Tất cả

các đại lượng vật lí, hóa học, kinh tế, xã hội v.v… đều biểu thị được bằng
những số thực. Vì vậy nếu chỉ xét vấn đề đo đạc thì khó thấy được vì sao lại
mở rộng thêm hệ thống số thực.
Song bên cạnh yêu cầu giải quyết các vấn đề thực tế như đong đếm, đo
đạc, việc mở rộng các hệ thống số còn nhằm giải quyết vấn đề thực hiện được
phép toán này hay phép toán khác mà hệ thống số cũ chưa giải quyết được.
Chẳng hạn, trong hệ thống các số thực, phép khai căn bậc chẵn của các số âm
không thể thực hiện được. Vì vậy cần phải mở rộng hệ thống các số thực thành
hệ thống các số phức để có thể thực hiện được phép khai căn của bất kì số thực
nào.
Ở cấp THPT, nội dung số phức có rất nhiều ứng dụng để dễ dàng tiếp cận
những bài toán sơ cấp khó, đó cũng là một trong những lí do mà trong những
năm gần đây, Bộ Giáo dục đã đưa vào chương trình giảng dạy ở cấp phổ
thông. Trong các kì thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học hiện nay, nội dung số
phức xuất hiện ngày càng nhiều và trở thành một phần không thể thiếu trong
các đề thi, tuy nhiên do là kiến thức mới được đưa vào chương trình phổ thông
cho nên mà các em học sinh còn cảm thấy lo lắng và sợ khi gặp các bài tập về
số phức.
Hệ thống hóa và phân loại các bài tập về số phức là một việc làm thiết
thực và có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán THPT. Vì vậy đề tài nghiên
cứu khoa học được lựa chọn là “ Bài tập chủ đề số phức trong Giải Tích 12 Nâng cao ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa các dạng bài tập số phức trong chương trình toán nâng cao
THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu nội dung chương trình số phức lớp 12 THPT và một số ứng dụng
của số phức trong chương trình toán nâng cao THPT.

Hoàng Thị Thu Huyền

1

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

- Thu thập và giải một số đề thi về số phức trong các kì thi cao đẳng và đại
học.
4. Đối tượng nghiên cứu
Nội dung chương trình dạy học số phức trong chương trình toán nâng cao
THPT.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận và phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu và kết luận, khóa luận gồm hai chương:
Chương 1: Hệ thống hóa lý thuyết chủ đề số phức ở Giải tích 12 - Nâng
cao.
Chương 2: Một số dạng bài tập số phức trong chương trình toán nâng cao
THPT.

Hoàng Thị Thu Huyền

2

K34D - Toán

Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

CHƯƠNG 1
HỆ THỐNG HÓA LÝ THUYẾT CHỦ ĐỀ
SỐ PHỨC Ở GIẢI TÍCH 12 – NÂNG CAO
1.1. SỐ PHỨC - CÁC PHÉP TOÁN
1.1.1. Định nghĩa số phức
a) Định nghĩa 1
* Một số phức là một biểu thức dạng a + bi , trong đó a và b là những số thực
và số i thỏa mãn i 2 = - 1 . Kí hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi .
* i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của
số phức z = a + bi .
Tập hợp các số phức được kí hiệu là £ .
Chú ý
 Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là
a + 0i = a Î ¡ Ì £ .
 Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo):
z = 0 + bi (b Î ¡ ) ; i = 0 + 1i = 1i .

 Số 0 = 0 + 0i = 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
b) Định nghĩa 2
Hai số phức z = a + bi (a, b Î ¡ ), z ' = a '+ b ' i (a ', b ' Î ¡ ) gọi là
bằng nhau nếu
a = a ', b = b '.

Khi đó ta viết z = z '.
1.1.2. Phép cộng và phép trừ số phức
a) Tổng của hai số phức

Tổng của hai số phức z = a + bi, z ' = a ' + b ' i (a, b, a ', b ' Î ¡ ) là số
phức:

z + z ' = a + a ' + (b + b ')i .
b) Tính chất của phép cộng số phức
* Tính chất kết hợp:

Hoàng Thị Thu Huyền

3

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

(z + z ') + z " = z + (z '+ z ") , với mọi z , z ', z " Î £ .

* Tính chất giao hoán:
z + z ' = z ' + z với mọi z , z ' Î £ .

* Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z với mọi z Î £ .
* Số phức đối :
- z = - a - bi được gọi là số phức đối của z = a + bi (a, b Î ¡ ) .

Như vậy, ta có: z + (- z ) = (- z )+ z = 0.
c) Phép trừ hai số phức
Hiệu của hai số phức z và z ' là tổng của z với - z ' , tức là

z - z ' = z + (- z ').

Nếu z = a + bi, z ' = a ' + b ' i (a, b, a ', b ' Î ¡ ) thì
z - z ' = a - a ' + (b - b ')i .

1.1.3. Phép nhân số phức
a) Tích của hai số phức
* Tích của hai số phức z = a + bi, z ' = a ' + b ' i (a, b, a ', b ' Î ¡ ) là số phức

(

)

zz' = aa '- bb ' + ab ' + a ' b i .

* " k Î ¡ , " z = a + bi (a, b Î ¡ ) Þ kz = ka + kbi .
* 0z = 0, 1. z = z .1= z , " z Î £ .
b) Tính chất của phép nhân số phức
* Tính chất giao hoán: zz'= z'z , " z , z' Î £ .
* Tính chất kết hợp: (zz') z"= z ( z'z"), " z , z ', z " Î £ .
* Tính chất phân phối (của phép nhân đối với phép cộng):
z (z '+ z ") = zz'+ zz" , " z , z', z" Î £ .

1.1.4. Số phức liên hợp và môđun của số phức
a) Số phức liên hợp
* Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z = a - bi .
* Với mọi số phức z và z ' ta đều có :

Hoàng Thị Thu Huyền

4

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

z = z;

z + z ' = z + z ';

zz' = z z ';

zz = a 2 + b2 .

b) Mô đun của số phức
* Mô đun của số phức z = a + bi là a =
* Nếu z = a + bi (a, b Î ¡ ) thì z =

a 2 + b2 .

zz =

a 2 + b2 .

z ³ 0; z = 0 Û z = 0.

1.1.5 Phép chia cho số phức khác 0

* Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số phức z - 1 =

z
z

* Nếu z ¹ 0 thì

2

×

z'
ö z' z'
z ' z 'z
z 'z æ
ççz ' ÷
÷
=
=
;
=
;
=
×
2
çè z ÷
÷
z
z
.

z
z
z
ø
z
z

1.1.6. Biểu diễn hình học của số phức
* Trong mặt phẳng Oxy , mỗi số phức z = a + bi (a, b Î ¡ ) được biểu diễn
bằng một điểm M (a ; b) .
y

M (z )
b

O

a

x

Hình 1.1
* Mặt phẳng tọa độ
 Gốc tọa độ O biểu diễn số 0.
 Các điểm trên trục hoành biểu diễn số thực, do đó trục Ox gọi là trục
thực.
 Các điểm trên trục tung biểu diễn các số ảo, do đó trục Oy gọi là trục ảo.

Hoàng Thị Thu Huyền

5

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

* Cho các số phức z = a + bi ; z ' = a '+ b ' i (a, b, a ', b ' Î ¡

) được biểu diễn

bằng các điểm M (a ; b ), M ' (a ' ; b '). Lúc đó số phức z + z ' được biểu
uuur uuur uuuur
diễn bằng điểm P sao cho OP = OM + OM ' , số phức z - z ' được biểu diễn
uuur
uuur uuuur
bằng điểm Q sao cho OQ = OM - OM ' .
* Nếu điểm A, B lần lượt biểu diễn số phức z = a + bi, z ' = a '+ b ' i
uuur
(a, a ', b, b ' Î ¡ ) thì A B = z '- z .
* Hai số phức liên hợp với nhau khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng
đối xứng qua trục thực Ox .
* Hai số phức đối nhau khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng qua gốc tọa
độ O .
uuur
* Mô đun của số phức z chính thức là độ dài độ dài của vectơ OM .
1.2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1.2.1. Căn bậc hai của số phức

Định nghĩa: Cho số phức w . Mỗi số phức z thỏa mãn z 2 = w được gọi
một căn bậc hai của số phức w .

là

Cách tìm căn bậc hai của số phức w là tìm nghiệm của phương trình
z 2 - w = 0 (ẩn z ).
a) Khi w là số thực

 Khi w = 0 Þ z 2 - w = 0 Û z 2 = 0 Û z = 0.
Vậy căn bậc hai của 0 là 0 .
 Khi w = a > 0 Þ z 2 - w = 0 Û z 2 - a = 0
Û (z -

a )(z +

a) = 0 Û z = - a Úz =

a.

Vậy số thực a dương có hai căn bậc hai là - a và a .
 Khi w = a < 0 Þ z 2 - w = 0 Û z 2 - a = 0
Û (z -

- ai )(z +

- ai ) = 0 Û z = -

Vậy số thực a âm có hai căn bậc hai là -

- ai Ú z =

- ai

- ai và - ai .

Chú ý:

Hoàng Thị Thu Huyền

6

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

 Hai căn bậc hai của - 1 là i và - i .
 Hai căn bậc hai của - a 2 (a ¹ 0, a Î ¡ ) là ai và - ai .
b) Khi w = a + bi (a, b Î ¡ ), b ¹ 0
 Số phức z = x + yi (x , y Î ¡ ) là căn bậc hai của w = a + bi khi và chỉ
khi z 2 = w Û (x + yi )2 = a + bi
ìï x 2 - y 2 = a
Û x - y + 2xyi = a + bi Û ïí
ïï 2xy = b.
î
2

2

( )

Giải hệ trên ta được nghiệm là các cặp số thực x ; y , mỗi một nghiệm
của hệ cho ta một căn bậc hai z = x + yi của số phức w = a + bi .
 Mỗi một số phức khác 0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau.
1.2.2. Phương trình bậc hai
Giải phương trình bậc hai A z 2 + Bz + C = 0 (1) , (A, B, C Î £ , A ¹ 0) :
 Tính biệt thức D = B 2 - 4AC
 Nếu D = B 2 - 4A C ¹ 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
z1 =

-B+ d
-B- d
(trong đó d là một căn bậc hai của D ).
, z1 =
2A
2A

 Nếu D = B 2 - 4AC = 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm kép
z1 = z 2 = -

B
.
2A

Đặc biệt
 Khi D > 0 , D Î ¡ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
z1 =

-B+ D
-B- D
, z2 =
.
2A
2A

 Khi D < 0 , D Î ¡ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
z1 =

- B + - Di
- B - - Di
, z2 =
.
2A
2A

Chú ý

Hoàng Thị Thu Huyền

7

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

 Phương trình bậc hai: A z 2 + Bz + C = 0 , (A, B , C Î ¡ , A ¹ 0) nếu
có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau) thì là hai số phức liên hợp nhau.
 Phương trình bậc n ( n Î ¢ + )
A0z n + A1z n - 1 + L + An - 1z + An = 0,
(A 0, A1, An - 1, An Î £ , A 0 ¹ 0) luôn có n nghiệm phức (không nhất

thiết phân biệt).
1.3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG
1.3.1. Số phức dưới dạng lượng giác
a) Acgumen của số phức z ¹ 0
 Định nghĩa: Cho số phức z ¹ 0 được biểu diễn bằng điểm M . Số đo
(radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu là Ox , tia cuối là OM được gọi là một
y
acgumen của z .
 Chú ý: Nếu j là một acgumen của z thì mọi

M (z )

acgumen của z có dạng
j + k 2p (k Î ¢ ).

+ Số thực dương có một acgumen là 0 .
+ Số thực âm có một acgumen là p .

j

x

O

+ Hai số phức z và lz (z ¹ 0, l > 0 ,
Hình 1.2

l Î ¡ + ) có acgumen sai khác nhau là k 2p, k Î ¢ .

b) Dạng lượng giác của số phức
* Định nghĩa: Cho số phức z = a + bi ¹ 0 (a, b Î ¡ ) có môđun là
r =

a 2 + b2 và một acgumen là j thì

y

Þ z = a + bi = r (cosj + i sin j ). Dạng

M (a + bi )

z = r (cosj + i sin j ), r > 0, được gọi

r

là dạng lượng giác của số phức z ¹ 0 .
Còn dạng z = a + bi (a, b Î ¡ ) gọi là

j

dạng đại số của số phức z .
+ Để tìm dạng lượng giác

Hoàng Thị Thu Huyền

x

O

 Nhận xét

Hình 1.3

8

K34D - Toán


Khúa lun tt nghip i hc

GVHD:Th.S Dng Th H

z = r (cosj + i sin j ) ( r > 0) ca s phc

z = a + bi ạ 0 (a, b ẻ Ă ) , ta cn:

Tỡm r =

a 2 + b2 l mụun ca z .

ỡù
ùù cosj = a
r l mt acgumen ca z .

Tỡm j sao cho ùớ
ùù
b
ùù sin j =
r
ợ

+ z = 1 z = cosj + i sin j (j ẻ Ă ) .
+ z = 0 ị z = r = 0 cũn acgumen khụng xỏc nh.
1.3.2. Nhõn v chia s phc di dng lng giỏc
nh lý
Nu z = r (cosj + i sin j ) , z ' = r '(cosj '+ i sin j ') ( r 0, r ' 0) ,
thỡ
,
zz ' = rr ' ộờcos(j + j ') + i sin(j + j ')ự
ỳ
ở
ỷ
z
r ộ
=
cos(j - j ') + i sin(j - j ')ự
ỳ
ỷ (khi r > 0) .
z ' r ' ởờ
1.3.3. Cụng thc Moa-vr (Moivre) v ng dng

a) Cụng thc Moa-vr
Vi mi n nguyờn dng,
n

ộr (cosj + i sin j )ự = r n (cos n j + i sin n j )
ỳỷ
ởờ
v khi r = 1 , ta cú: (cosj + i sin j )n = cos n j + i sin j .
b) ng dng vo lng giỏc
i chiu cụng thc Moa-vr v khai trin ly tha bc n ca nh thc

cosj + i sin j , ta cú th biu din cos nj v sin nj theo cỏc ly tha ca
cos j v sin j .

c) Cn bc hai di dng lng giỏc
T cụng thc Moa-vr, s phc z = r (cosj + i sin j ), r > 0 cú hai
cn bc hai l r (cos

Hong Th Thu Huyn

ộ
ự
j
j
j
j
+ i sin ) v r ờcos( + p ) + i sin( + p )ỳ.
ờ
ỳ
2
2
2
2

ở
ỷ

9

K34D - Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

KẾT LUẬN
Trong chương 1, tôi đã hệ thống hóa lại một số kiến thức cơ bản về số
phức ở Giải tích 12 - Nâng cao. Những kiến thức đó sẽ được sử dụng làm kiến
thức nền tảng để giải các bài tập phân dạng tương ứng được trình bày ở chương
2.

Hoàng Thị Thu Huyền

10

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP SỐ PHỨC TRONG
CHƯƠNG TRÌNH TOÁN NÂNG CAO THPT
2.1. Một số dạng bài tập về phép toán số phức thường gặp
2.1.1. Thực hiện các phép toán về số phức, tìm phần thực, phần ảo, số phức
đối, số phức liên hợp
a) Ví dụ
Ví dụ 1. Thực hiện các phép toán sau
a) (1 + 2i ) + (3 - i ) ;

b) (1 + 2i )(3 - i ) ;

c) (1 + 2i ) - (3 - i ) ;

d)

1 + 2i
×
3- i

Giải
a) (1 + 2i ) + (3 - i ) = 1 + 3 + (2 - 1)i = 4 + i .
b) (1 + 2i )(3 - i ) = 1.3 - 2(- 1) + (- 1 + 2.3)i = 5 + 5i .
c) (1 + 2i ) - (3 - i ) = 1 - 3 + (2 + 1)i = - 2 + 3i .
d)

1 + 2i
(1 + 2i )(3 + i ) 3 - 2 + (1 + 6)i
1 + 7i
1
7

=
=
=
=
+
i×
2
2
3- i
10
10
10 10
3 + (- 1)

Ví dụ 2. Tìm phần thực, phần ảo, số phức đối và số phức liên hợp của các
số phức sau
b) z = ( 3 - 2i )2 .

a) z = i - (1 + 3i ) - (2 + 6i ) ;
Giải
a) z = i - (1 + 3i ) - (2 + 6i ) = - 3 - 8i .

Vậy số phức z có phần thực là - 3 ; phần ảo là - 8 ; số phức đối là 3 + 8i và số
phức liên hợp là - 3 + 8i .
b) z = ( 3 - 2i )2 = 3 - 4 3i + 4i 2 = - 1 - 4 3i .
Vậy số phức z có phần thực là - 1 ; phần ảo là - 4 3 ; số phức đối là 1 - 4 3i
và số phức liên hợp là - 1 + 4 3i .

Hoàng Thị Thu Huyền

11

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

Ví dụ 3. ( ĐH khối A - 2010 CB) Tìm phần ảo của số phức z , biết

z =

(

2

2+i

) (1 -

)

2i .

Giải
2

( ) (1 - 2i ) = (2 + 2 2i + i )(1 = (1 + 2 2i )(1 - 2i ) = 5 + 2i

Từ giả thiết: z =

2

2+i

2i

)

2i .

Þ z = 5-

Vậy phần ảo của số phức z là -

2.

b) Bài tập luyện tập
1. Thực hiện các phép toán
a) z = (2 + i )3 - (1 + 2i )3 - (3 - i )(2 - i ) ;
b) z =

1 + i 3 - i 1 + 2i
.
+
1- i
2- i
1+ i

2. Cho số phức z = x + yi (x , y Î ¡ ) . Tìm phần thực, phần ảo của các số
phức sau
a) z 1 = z 2 - 3z + 5i ;

b) z 2 =

z +i
.
iz - 2

3. Cho z = x + yi (x , y Î ¡ ) . Tìm điều kiện của x và y để
a) z 2 là số thực;
4. Chọn đáp án đúng

b) z 2 là số ảo.

a) Phần ảo của z = (2 - 3i )i 2 là
(A) 3;

(B) 3i;
3

(C) - 2 ;

(D) - 3 .

3

b) Số phức (2 + i ) - (2 - i ) viết dưới dạng đại số là
(A) 22;

(B) - 22i ;

(C) 2 + 22i ;

(D) 22i .

c) Cho z 1 = 1 - 3i, z 2 = 2 + i, z 3 = 3 - 4i . z 1z 2 + z 2z 3 là
(A) - 1 + 4i ;

Hoàng Thị Thu Huyền

(B) 1 + 4i ;

(C) 1 - 4i ;

12

(B) - 1 - 4i .

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

Hướng dẫn
1. a) z = (2 + i )3 - (1 + 2i )3 - (3 - i )(2 - i )
3ù

é
= 23 + 3.22 i + 3.2i 2 + i 3 - ê1 + 3.2i + 3(2i )2 + (2i ) ú
êë
úû

(

- 6 - 3i - 2i + i 2

)

= 8 + 12i - 6 - i - (1 + 6i - 12 - 8i )- (6 - 5i - 1) = 8 + 18i .

b)
2

(1 + i ) + (3 - i )(2 + i ) - (1 + 2i )(1 - i )
1 + i 3 - i 1 + 2i
z=
+
=
1- i 2 - i
1+ i
(1 - i )(1 + i ) (2 - i )(2 + i ) (1 + i )(1 - i )
=

1 + 2i + i 2
6 + i - i 2 1 + i - 2i 2
2i 7 + i 3 + i
+

=
+
1+ 1
4+ 1
1+ 1
2
5
2

=

- 1
7
+
i.
10 10

2. a) z 1 = z 2 - 3z + 5i = (x + yi )2 - 3(x + yi ) + 5i

= x 2 + 2xyi - y 2 - 3x - 3yi + 5i
= (x 2 - 3x - y 2 ) + (2xy - 3y + 5)i .

Vậy số phức z có phần thực là x 2 - 3x - y 2 và phần ảo là 2xy - 3y + 5 .
b) z 2 =

x - (y - 1)i
z +i
x - yi + i
=
=

iz - 2 i (x + yi )- 2 - y - 2 + xi

éx - (y - 1)i ù(- y - 2 - xi )
- x (2y + 1) + y 2 + y - x 2 - 2 i
ê
ú
ë
û
=
=
2
(- y - 2 + xi )(- y - 2 - xi )
(y + 2) + x 2

(

- x (2y + 1)

Vậy số phức z có phần thực là

2

và phần ảo là

3. a) xy = 0 ;
4. a) (A)

y2 + y - x2 - 2
2

.

x + (y + 2)

x + (y + 2)
2

)

2

b) x 2 = y 2 .
b) (D)

c) (B).

2.1.2. Giải các phương trình đơn giản trên £

Hoàng Thị Thu Huyền

13

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

* Chú ý

Ta đưa về phương trình bậc nhất theo z , thực hiện các phép tính số phức
và tính z .
Nếu phương trình chứa z , z , z thì ta đặt z = x + yi (x , y Î ¡ ) rồi suy
ra z = x - yi và z =

x 2 + y 2 . Sau đó, ta biến đổi hai vế theo x , y và cân

bằng phần thực, phần ảo ở hai vế để tính x , y .
a) Ví dụ
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau với ẩn z
a) (2 + i )z = z + 2i - 1 ;

b) (1 - i )(z - 2i ) = 2 + i .
Giải

a) (2 + i )z = z + 2i - 1 Û z (2 + i - 1) = - 1 + 2i
Û z (1 + i ) = - 1 + 2i Û z =

- 1 + 2i
1+ i

Û z=

(- 1 + 2i )(1 - i ) 1 + 3i
=
(1 + i )(1 - i )
1+ 1

Û z=

1 3
+ i.
2 2

Vậy nghiệm của phương trình là z =
b) (1 - i )(z - 2i ) = 2 + i Û z - 2i =
Û z - 2i =
Û z=

1 3
+ i.
2 2

(2 + i )(1 + i )
2+ i
Û z - 2i =
1- i
(1 - i )(1 + i )

1 + 3i
1 + 3i
Û z=
+ 2i
2
2

1 7
+ i.
2 2

1 7
+ i.
2 2
Ví dụ 5. Tìm các số thực x , y trong các trường hợp sau

Vậy nghiệm của phương trình là z =

a)

x+1 y- 1
;
=
1- i
1+ i

Hoàng Thị Thu Huyền

b)

14

1
y
+
= 2 + 3i .
x - i 3 - 3i

K34D - Toán

Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

Giải
a)

x+1 y- 1
=
Û (x + 1)(1 + i ) = (y - 1)(1 - i )
1- i
1+ i
Û x + 1 + (x + 1)i = y - 1 - (y - 1)i

ìï x + 1 = y - 1
ìï x - y = - 2
ï
Û í
Û ïí
Û
ïï x + 1 = - y + 1 ïï x + y = 0
î
î

ìï x = - 1
ï
í
ïï y = 1.
î

ìï x = - 1
Vậy các số thực x , y thỏa mãn bài toán là ïí
ïï y = 1.
î
b) Điều kiện: x ¹ i

1
y
x+i
y (1 + i )
+
= 2 + 3i Û
+
= 2 + 3i
x - i 3 - 3i
(x - i )(x + i ) 3(1 - i )(1 + i )
Û

x+i
y + yi
x
y
1
y
+
= 2 + 3i Û 2
+ + i( 2
+ ) = 2 + 3i
2
6

x +1
x +1 6
x +1 6

ïìï x
y
+ = 2
ïï 2
Û ïí x + 1 6
Û
ïï 1
y
+ = 3
ïï 2
îï x + 1 6

ïìï 1 - x
= 1
ïï 2
ïí x + 1
ïï y
1
ïï = 3 - 2
x +1
îï 6

ìï x 2 + x = 0
ïï
ïìï x = 0 ïìï x = - 1
Û íy

Û
Úí
í
1
ïï = 3 ïï y = 12 ïï y = 15.
î
î
ïïî 6
x2 + 1
ìï x = 0
ìï x = - 1
Vậy các số thực x , y thỏa mãn bài toán là ïí
hoặc ïí
ïï y = 12
ïï y = 15.
î
î
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau với ẩn z

a) (z + z )(1 + i ) + ( z - z )(2 + 3i ) = 4 - i ;
b)

z+z
1+ i

-

i (z - z )
2 - 2i

= 4 + 6i .

Giải
Đặt z = x + yi ( x , y Î ¡ ) Þ z = x - yi. Ta có: z + z = 2x ; z - z = - 2yi .

Hoàng Thị Thu Huyền

15

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

a) Phương trình (z + z )(1 + i ) + ( z - z )(2 + 3i ) = 4 - i trở thành:
2x (1 + i ) - 2yi (2 + 3i ) = 4 - i Û 2x + 2xi - 4yi + 6y = 4 - i

ïì 2x + 6y = 4
Û 2x + 6y + (2x - 4y )i = 4 - i Û ïí
Û
ïï 2x - 4y = - 1
î

Vậy z =

ìï
ïï x = 1
ï

2
í
ïï
1
ïï y = ×
2
î

1 1
+ i.
2 2

b) Phương trình

z+z
1+ i

-

i (z - z )
2 - 2i

= 4 + 6i trở thành:

2x
2yi 2
2x
y
= 4 + 6i Û
+

= 4 + 6i
1 + i 2(1 - i )
1+ i 1- i

Û

2x (1 - i ) + y (1 + i )
2x + y + (- 2x + y )i
= 4 + 6i Û
= 4 + 6i
(1 + i )(1 - i )
2

ìï 2x + y = 8
Û ïí
Û
ïï - 2x + y = 12
î
Vậy z = - 1 + 10i .

ìï x = - 1
ï
í
ïï y = 10.
î

b) Bài tập luyện tập
1. Giải các phương trình sau với ẩn z
a) (9 + 5i )z + (7 - 2i ) = 0 ;
1 - 2i

- 1 + 4i
z=
×
2+ i
1 + 2i
2. Tìm các số thực x , y thỏa mãn các hệ thức sau

b)

a) (x + i )(1 + yi ) = (3 + 2i )x + 1 - 4i ;
b) (x + yi )(3 - 2i ) = 13i .
3. Giải các phương trình ẩn z
a) z 2 - 4z + 5= 0 ;

b) z 2 + 5 - 12i = 0 .

4. Chọn đáp án đúng
a) Số thực x , y thỏa mãn hệ thức x (1 + i ) - y (2 + 3i ) = 10 là

Hoàng Thị Thu Huyền

16

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

(A) x = 30, y = 10 ;

(B) x = - 30, y = 10 ;

(C) x = - 10, y = 30 ;

(D) x = 10, y = 30 .

b) Nghiệm của phương trình ẩn z : (1 + i )z = 4 - 2i là
(A) - 1 + 3i ;

(B) - 1 - 3i ;

c) Nghiệm của phương trình ẩn z :
(A) -

1 1
- i;
2 2

(C) 1 - 3i ;

2z - 1
= 1+ i
z+i

1 1
+ i;
2 2

(B) -

(D) 1 + 3i .

(C)

1 1
+ i;
2 2

(D)

1 1
- i.
2 2

2

d) Giải phương trình z 2 - z + 1 = 0 trong £ ta được nghiệm là
(A)

2
3
i,
i;
2
2

i
i

,- ;
2
2
Hướng dẫn

(C)

(B)

2
2
i, i;
2
2

(D)

1
i, - i.
2

1. a) (9 + 5i )z + (7 - 2i ) = 0
Û z=

(- 7 + 2i )(9 - 5i )
1 i
- 7 + 2i
53
53
=

= +
iÛ z= - + .
2 2
9 + 5i
81 + 25
106 106

b)

(1 - 2i ) (2 - i )
(- 1 + 4i )(1 - 2i )
1 - 2i
- 1 + 4i
z=
Û
z
=
2
2+ i
1 + 2i
22 - i 2
12 - (2i )

Û

- 5i
7 + 6i
7 + 6i
6 7
z=

Û z= Û z = - + i.
5
5
5i
5 5

2. a) (x + i ) (1 + yi ) = (3 + 2i )x + 1 - 4i
Û x - y + (1 + xy )i = 3x + 1 + (2x - 4)i
ìï x - y = 3x + 1
ìï y = - 2x - 1
ï
Û í
Û ïí
ïï 1 + xy = 2x - 4
ïï 1 + x (- 2x - 1) = 2x - 4
î
î

Hoàng Thị Thu Huyền

17

K34D - Toán


Khúa lun tt nghip i hc

ỡù y = - 2x - 1
ùớ 2

ùù 2x + 3x - 5 = 0
ợ

GVHD:Th.S Dng Th H

ỡù
ỡù x = 1
ùù x = - 5
ù
ớ
ớ
2
ùù y = - 3 ùù y = 4.
ợ
ùợ

b) (x + yi )(3 - 2i ) = 13i 3x + 2y + (- 2x + 3y )i = 13i
ỡù 3x + 2y = 0
ùớ

ùù - 2x + 3y = 13
ợ

ỡù x = - 2
ù
ớ
ùù y = 3.
ợ

3. a) z 2 - 4z + 5= 0. (1)

2

Gi s z = x + yi ( x , y ẻ Ă ) ị (1) (x + yi ) - 4 (x - yi ) + 5 = 0
ỡù x 2 - y 2 - 4x + 5 = 0
x - y - 4x + 5 + 2y (x + 2)i = 0 ùớ
ùù 2y (x + 2) = 0
ùợ

(

2

2

)

ùỡ x = - 2 ùỡù x = - 2
ùớ
ớ
ùù y = 1
ùù y = - 1.
ợ
ợ

Vy phng trỡnh cú hai nghim: z 1 = - 2 + i ; z 2 = - 2 - i .

(

)

b) z 2 + 5 - 12i = 0 z 2 - 4 + 12i + 9i 2 = 0
2
z + 2 + 3i )ự
= 0
z 2 - (2 + 3i ) = 0 ộờz - (2 + 3i )ựộ
ỳờ
ỳ
ở
ỷở (
ỷ
z = 2 + 3i z = - 2 - 3i .

4. a) (A)

b) (C)

c) (B)

d) (B).

2.1.3. Mt s bi toỏn v biu din hỡnh hc ca s phc
a) Vớ d
Vớ d 7. Trong mt phng phc Oxy , cho ba im A , B , C khụng thng
hng biu din cỏc s phc a , b , c . Gi M l trung im A B , G l
trng tõm D A BC v D l im i xng ca A qua G . Cỏc im M ,
G , D ln lt biu din cỏc s phc m , g , d .

a) Tớnh cỏc s phc m , g , d theo a, b, c .
b) Nu thờm gi thit a = b = c , chng minh rng D A BC l
tam giỏc u nu v ch nu a + b + c = 0 .

Hong Th Thu Huyn

18

K34D - Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

Giải
a) M là trung điểm của A B
uuur
1 uuur uuur
Û OM = (OA + OB )
2

C

D

1
G
(a + b).
2
A
là trọng tâm D A BC
M

uuur
1 uuur uuur uuur
OG = (OA + OB + OC )
Hình 2.1
3
1
g = (a + b + c ).
3
là điểm đối xứng của A qua G Û G là trung điểm của A D
uuur
uuur uuur
2OG = OA + O D Û 2g = a + d Û d = 2g - a

Û m =
G

Û
Û
D

Û

B

1
2
2
1
Û d = 2. (a + b + c ) - a Û d = b + c - a .
3

3
3
3

Vậy m =

1
1
2
2
1
(a + b) , g = (a + b + c ) và d = b + c - a.
2
3
3
3
3

b) Giả thiết a = b = c Û OA = OB = OC Û O là tâm đường tròn ngoại
tiếp D A BC .
Như vậy, D A BC là tam giác đều
Û O º G Û g = 0 Û a + b + c = 0.
Ví dụ 8. Cho hình bình hành A BCD . Ba đỉnh A , B , C lần lượt biểu diễn
các số phức a = 2 - 2i , b = - 1 + i , c = 5 + mi (m Î ¡ ).
a) Tính số phức d (biểu diễn điểm D ).
b) Xác định m để A BCD là hình chữ nhật.
Giải
a) A BCD là hình bình hành
uuur
uuur

Û CD = BA
Û d- c= a- b

B

A

Û d = a+ c- b

D

Hoàng Thị Thu Huyền

Hình 2.2

19

C

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

Û d = 2 - 2i + 5 + mi - (- 1 + i )
Û d = 8 + (m - 3)i .

Vậy d = 8 + (m - 3)i .

b) A BCD là hình chữ nhật Û A C = B D Û c - a = d - b
Û 5 + mi - 2 + 2i = 8 + (m - 3)i + 1 - i
Û 3 + (m + 2)i = 9 + (m - 4)i
2

Û 3 + (m + 2)i = 9 + (m - 4)i

2

Û 32 + (m + 2)2 = 92 + (m - 4)2

Û 12m = 84 Û m = 7 .
Vậy m = 7 thỏa mãn bài toán.
b) Bài tập luyện tập
1. Cho tam giác A BC có các đỉnh A (z 1 ) ; B (z 2 ) ; C (z 3 ) (tức là các đỉnh A ,
B , C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z 1 , z 2 , z 3 ).

a) Tìm G (z ) (G là trọng tâm tam giác A BC ).
b) Chứng minh rằng nếu z 1 = z 2 = z 3 thì D A BC đều khi và chỉ khi
z 1 + z 2 + z 3 = 0.

c) Chứng minh rằng z 12 + z 22 = z 1z 2 ¹ 0 thì D OA B đều (O - gốc tọa độ).
2. Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm M , A , B lần lượt biểu diễn các số
3+ i 3
i
z và
z.
3
3
Chứng minh rằng:

a) " z Î £ , D OMA vuông tại M .

phức z ,

b) " z Î £ , D MA B vuông.
c) " z Î £ , tứ giác OMA B là hình chữ nhật.
3. Chọn đáp án đúng:
Cho 3 điểm A , B , C lần lượt biểu diễn các số phức a = 1 , b = - 1 + a i
uuur uuur uuur
và c = b2 . Khi đó, các số phức được biểu diễn bởi các vectơ A B , A C , BC
lần lượt là

Hoàng Thị Thu Huyền

20

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

(A) 2 - a 2 - 3a i, - a 2 - 2a i, - 2 + a i ;
(B) - a 2 - 2a i, 2 - a 2 - 3a i, - 2 + a i ;
(C) - 2 + a i, - a 2 - 2a i, 2 - a 2 - 3a i ;
(D) 2 - a 2 - 3a i, - 2 + a i, - a 2 + 2a i .
Hướng dẫn
1. a) Tìm G (z ) (trong đó G là trọng tâm tam giác D A BC ).
Ta biết G là trọng tâm D A BC

uuur
1 uuur uuur uuur
1
Û OG =
OA + OB + OC Û z = (z 1 + z 2 + z 3 ).
3
3

(

)

Vậy G là điểm biểu diễn của số z =

1
(z + z 2 + z 3 ).
3 1

b) Chứng minh nếu z 1 = z 2 = z 3 thì D A BC đều Û z 1 + z 2 + z 3 = 0 .
uuur
uuur
uuur
Nếu z 1 = z 2 = z 3 thì OA = OB = OC Û OA = OB = OC , tức là O là
tâm đường tròn ngoại tiếp D A BC , suy ra:
z 1 + z 2 + z 3 = 0 Û z = 0 Û G º 0 Û D A BC có cùng trọng tâm với tâm

đường tròn ngoại tiếp Û D A BC đều.
c) Chứng minh rằng nếu z 12 + z 22 = z 1z 2 ¹ 0 thì D OA B đều (O là gốc tọa
độ).
+ z 12 + z 22 = z 1z 2 ¹ 0 Þ z 1z 2 - z 12 = z 22 Þ z 1 (z 2 - z 1 ) = z 22

2

Þ z 1 z 2 - z 1 = z 2 . (1)
+ z 12 + z 22 = z 1z 2 ¹ 0 Þ z 1z 2 - z 22 = z 12 Þ z 2 (z 1 - z 2 ) = z 12
2

Þ z 2 z 2 - z 1 = z 1 . (2)

Từ (1) và (2) Þ z 2 - z 1 =

z2
z1

2

=

z1
z2

2
3

3

Þ z 1 = z 2 Þ z 1 = z 2 , tức là

z 1 = z 2 Û z 2 - z 1 Û OA = OB = A B nên D OA B đều.

Hoàng Thị Thu Huyền

21

K34D - Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

GVHD:Th.S Dương Thị Hà

æ3 + i 3 ÷
ö
i
ç
÷
2. a) Đặt a = çç
z.
z và b =
÷
çè 3 ÷
÷
3
ø

Ta có: OM = z ,
3+ i 3
1
z = 1+
i z =
3

3

OA = a =

æ
i ö÷
÷
MA = a - z = ççç1 +
÷z - z =
çè
3 ø÷

i

1
2
z =
z và
3
3

1+

1

z =

3

z .

3

D OMA vuông tại M Û OM 2 + MA 2 = OA 2
2

Û z +

1 2
4 2
z = z , đúng " z Î £ .
3
3

æ
ö
i ÷
÷
b) Ta có: MA = a - z = ççç1 +
÷z - z =
çè
ø
3÷
i

MB = b - z =

i

z- z =

3

i

z =

3

z ,

3

- 1z = z

3

1

1
2
+1=
z và
3
3

æ
i ö÷
÷
z - ççç1 +

z = z .
÷
÷
ç
è
ø
3
3

i

AB = b - a =

2

æ1 ÷
ö
2
z÷
+ z
Ta có: MA + A B = ççç
÷
çè 3 ÷
ø
2

2

2
1 2

4 2
z + z = z = MB 2 , đúng " z Î £ .
3
3
Vậy D MA B vuông tại A với mọi z Î £ .
c) Xét D MOB , ta có:
B

=

OB = b =

i

z

z =

3

A

,

3

OM = z và

MB = b - z =

2

O

M

Hình 2.3

z

3

Hoàng Thị Thu Huyền

22

K34D - Toán