Chuong 2 logic toan compress

Chương 2: LƠGIC TỐN
§1. Lôgic mệnh đề

1.1. Mệnh đề
Ta biết rằng đặc trưng của toán học là tiến hành các chứng minh, tức là đưa ra
những định lý mới từ những định lý khác mà tính đúng đắn đã được xác lập hay được
công nhận như là xuất phát điểm.
Việc đó được tiến hành nhờ các suy luận tốn học. Một trong những nhiệm vụ chính
của lôgic mệnh đề là đặt cơ sở ban đầu để nghiên cứu thực chất của các phép suy luận
toán học và thiết lập các tiêu chuẩn về sự đúng đắn của các tiêu chuẩn đó.
Đối tượng chính của lơgic mệnh đề là mệnh đề.
Trong ngôn ngữ thông thường, ta hiểu mệnh đề là những câu biểu thị hay diễn đạt
một ý gì đó. Chẳng hạn:
1. Hà Nội là thủ đô của nước Việt nam.
2. Số 10 chia hết cho 2.
3. 1 cộng 3 bằng 6.
4. Bạn đã làm xong bài tập chưa ?
5. Số x là mộ số chẵn.
Đối với thực tế khách quan, câu 1, 2 là đúng, câu 3 là sai. Các câu 4, 5 không nhằm
phản ánh một sự kiện đúng hay sai thực tế khách quan: câu 4 chỉ là một câu hỏi; câu 5 nói
về một đối tượng chưa xác định, nó khơng đúng cũng khơng sai nếu ta chưa gán cho nó
một giá trị cụ thể.
Do nhiệm vụ của lôgic mệnh đề như đã nói trên, lơgic mệnh đề chỉ quan tâm đến
các mệnh đề thỏa mãn hai điều kiện: mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai; mỗi mệnh đề
không thể vừa đúng, vừa sai.
Như vậy, các câu 1, 2, 3, là những mệnh đề; các câu 4, 5 không là mệnh đề (xét
trong lôgic mệnh đề).
Trong lơgic mệnh đề, ta chỉ quan tâm đến tính đúng hoặc sai của mệnh đề mà không
quan tâm đến ý nghĩa, nội dung và cấu trúc ngữ pháp của nó.

Ta quy ước mệnh đề có giá trị 1 nếu nó đúng, có giá trị 0 nếu nó sai. Vì mỗi mệnh

đề chỉ có thể hoặc đúng hoặc sai nên nó chỉ có thể nhận một trong hai giá trị 1 hoặc 0.

Các giá trị 1 hoặc 0 gọi là giá trị chân lý của mệnh đề.
Chẳng hạn, giá trị chân lý của mệnh đề “Hà Nội là thủ đô của nước Việt nam” là 1,
“1 cộng 3 bằng 6” là 0.
Các mệnh đề đơn giản, tức là các mệnh đề không thể chia nhỏ thành nhiều mệnh đề
khác, được gọi là mệnh đề sơ cấp.
Các mệnh đề 1, 2, 3 ở ví dụ trên là các mệnh đề sơ cấp.
Còn các mệnh đề như “3 là số lẻ và 3 bé thua 5” khơng phải là mệnh đề sơ cấp vì nó
chứa hai mệnh đề “3 là số lẻ” và “3 bé thua 5 ”. Ta gọi chúng là các mệnh đề phức tạp.
Ta sẽ dùng các ký hiệu p, q, r,... để chỉ các mệnh đề sơ cấp, chúng được gọi là các
biến mệnh đề. Khi p là mệnh đề đúng, tức p có giá trị chân lý là 1, ta viết p=1; nếu p là
mệnh đề sai, hay p có giá trị chân lý là 0, ta viết p=0.
Như vậy, các mệnh đề p, q, r,... lấy giá trị trong tập {0, 1}.
Trong đại số, từ các số a, b nào đó ta có thể lập được các số mới bằng các phép toán
đại số như: -x, x + y, x – y, x.y,…
Tương tự như thế, trên tập hợp các mệnh đề, với các mệnh đề cho trước, bằng các
quy tắc nhất định, ta có thể lập được các mệnh đề mới.
Các quy tắc thiết lập mệnh đề mới này gọi là các phép toán mệnh đề (hay các phép
toán lôgic).
Sau đây ta sẽ lần lượt nghiên cứu một số phép toán mệnh đề cơ bản.

1.2. Các phép toán giữa các mệnh đề
1.2.1. Phép phủ định
Xét mệnh đề đúng “5 là số nguyên tố”. Từ mệnh đề này ta lập được mệnh đề “5
không phải là số nguyên tố”, dễ dàng thấy rằng mệnh đề mới này sai.
Ta lấy một ví dụ khác. Xét mệnh đề sai “10 chia hết cho 3”. Từ mệnh đề này ta lập
đựợc mệnh đề “10 không chia hết cho 3”, rõ ràng mệnh đề mới này đúng.

Các mệnh đề “5 không là số nguyên tố” và “10 không chia hết cho 3” lần lượt gọi là

mệnh đề phủ định của các mệnh đề “5 là số nguyên tố” và “10 chia hết cho 3”.

Ta thấy rằng nếu mệnh đề đúng thì mệnh đề phủ định là sai và ngược lại.

a. Định nghĩa

Cho mệnh đề p. Phủ định của p là một mệnh đề: “không p”.

Ký hiệu: ´p

Mệnh đề ´p sai khi p đúng và ´p đúng khi p sai.

Ta có thể biểu diễn bảng giá trị chân lý của phép phủ định như sau:

p ´p

1 0

0 1

b. Ví dụ
1) Phủ định của mệnh đề “2 > 4” là mệnh đề “2  4”.
2) Phủ định của mệnh đề “Hình chữ nhật có hai đường chéo dài bằng nhau” là mệnh
đề “Hình chữ nhật khơng có hai đường chéo dài bằng nhau”.
c. Chú ý
Khi tìm phủ định của một mệnh đề cho trước cần cẩn thận để tránh sai sót. Chẳng
hạn phủ định của mệnh đề “2 > 4” là mệnh đề “2  4” chứ không phải là “2 < 4”, phủ
định của mệnh đề “-1 là số âm” là mệnh đề “-1 là số không âm” chứ không phải là “-1 là
số dương”,...

1.2.2. Phép hội
Cho hai mệnh đề “ > 3” và “ < 4”. Nối hai mệnh đề này bởi liên từ “và” ta được
mệnh đề mới “ > 3 và  < 4”.
Mệnh đề mới này gọi là hội của hai mệnh đề đã cho, ta thấy mệnh đề hội này đúng
vì cả hai mệnh đề tạo thành đều đúng.

Còn các mệnh đề hội: “ > 3 và  là số tự nhiên”, “ là số nguyên và <4”, “ < 3

và  là số tự nhiên” là các mệnh đề sai vì trong các mệnh đề đó có ít nhất một trong hai

mệnh đề tạo thành là sai.

Phép tốn hội xuất hiện từ việc tốn học hóa việc sử dụng từ “và” trong đời sống

hằng ngày.

a. Định nghĩa

Cho hai mệnh đề p và q. Hội của p và q là mệnh đề: “p và q”.

Ký hiệu: p  q.

Mệnh đề p  q đúng nếu cả p và q đều đúng, p  q sai trong mọi trường hợp khác.

Ta có bảng giá trị chân lý của phép hội như sau:

p q p  q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

b. Ví dụ
1) Mệnh đề “Hình vng có bốn cạnh bằng nhau và có bốn góc vng” là hội của
hai mệnh đề “Hình vng có bốn cạnh bằng nhau” và “hình vng có bốn góc vng”.
Mệnh đề hội này đúng vì cả hai mệnh đề để tạo thành đều đúng.
2) Mệnh đề “Số 2007 vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3” là hội của hai mệnh đề
“Số 2007 chia hết cho 2” và “Số 2007 chia hết cho 3”.
Mệnh đề hội này sai vì có mệnh đề “Số 2007 chia hết cho 2” sai.

1.2.3. Phép tuyển
Cho hai mệnh đề “4 là số lẻ” và “4 là số chẵn”. Nối hai mệnh đề này bằng liên từ
“hoặc” ta được mệnh đề “4 là số lẻ hoặc 4 là số chẵn”.
Mệnh đề mới này gọi là tuyển của hai mệnh đề đã cho. Ta thấy mệnh đề tuyển này
đúng vì có mệnh đề “4 là số chẵn” là đúng.

Tương tự ta có các mệnh đề “3 là số lẻ hoặc 3 là số chẵn” hay “4 lớn hơn 1 hoặc 4

là số chẵn” cũng là các mệnh đề đúng.

Ngược lại mệnh đề “4 là số lẻ hoặc 3 là số chẵn” là mệnh đề sai.

Phép tốn tuyển chính là sự tốn học hóa việc sử dụng từ “hoặc” trong đời sống

hằng ngày.

a. Định nghĩa

Cho hai mệnh đề p và q. Tuyển của p và q là mệnh đề: “p hoặc q”.

Ký hiệu: p  q.

Mệnh đề p  q sai nếu cả p và q đều sai, p  q đúng trong mọi trường hợp khác.

Ta có bảng giá trị chân lý của phép tuyển như sau:

p q p  q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

b. Ví dụ
1) Mệnh đề “ Hàm số y = (x + 1)2 là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ” là tuyển của hai
mệnh đề “Hàm số y = (x + 1)2 là hàm số chẵn” và “Hàm số y=(x+ 1)2 là hàm số lẻ”.
Mệnh đề tuyển này sai vì cả hai mệnh đề tạo thành đều sai.
2) Mệnh đề “1 bé thua hay bằng 5” là tuyển của hai mệnh đề “1 bé thua 5” và “1
bằng 5”.
Mệnh đề tuyển này đúng vì có mệnh đề “1 bé thua 5” là đúng.

1.2.4. Phép kéo theo

Ta bắt đầu bằng bản cam kết của học sinh A: Nếu A đi học thì A đeo khăn quàng
đỏ.
Đây là một mệnh đề được tạo thành từ hai mệnh đề p: “A đi học” và q: “A đeo khăn
quàng đỏ” bằng việc sử dụng liên từ “Nếu…thì”.

Ta gọi mệnh đề “Nếu A đi học thì A đeo khăn quàng đỏ” là mệnh đề kéo theo, ký

hiệu là p  q.

Sau đây ta sẽ xét tất cả các tình huống có thể xảy ra đối với bản cam kết của A:

- A đi học (p = 1) nhưng A không đeo khăn quàng đỏ (q = 0) thì điều cam kết bị vi

phạm, mệnh đề p  q sai (p  q = 0).

- A đi học (p = 1) và A đeo khăn quàng đỏ (q = 1) thì điều cam kết khơng bị vi

phạm, mệnh đề p  q đúng (p  q = 1).

- A không đi học (p = 0) và A đeo khăn quàng đỏ (q = 1) thì điều cam kết không bị

vi phạm, mệnh đề p  q đúng (p  q = 1).

- A không đi học (p = 0) và A không đeo khăn quàng đỏ (q = 0), điều cam kết

không bị vi phạm, mệnh đề p  q đúng (p  q = 1).

a. Định nghĩa

Cho hai mệnh đề p và q. Mệnh đề p kéo theo q là mệnh đề: “nếu p thì q”.

Ký hiệu: p  q.

Mệnh đề p  q sai nếu p đúng và q sai, p  q đúng trong mọi trường hợp khác.

Ta có bảng giá trị chân lý:

p q p q

1 0 0

1 1 1

0 0 1

0 1 1

b. Ví dụ
1) Ghép hai mệnh đề p : “Số 3 là số chẵn” và q : “Số 5 chia hết cho 2” ta được mệnh
đề p  q : “Nếu 3 là số chẵn thì 5 chia hết cho 2”.
Mệnh đề trên là đúng (p  q = 1) vì p = 0 và q = 0.

2) Mệnh đề “Nếu 2 là số hữu tỉ thì √2 là số hữu tỉ” là mệnh đề sai vì mệnh đề “2

là số hữu tỉ” đúng và mệnh đề “ √2 là số hữu tỉ” sai.

1.2.5. Phép tương đương

a. Định nghĩa

Cho hai mệnh đề p và q. Mệnh đề p tương đương q là mệnh đề: “p khi và chỉ khi

q”.

Ký hiệu: p  q.

Mệnh đề p  q đúng nếu cả p và q cùng đúng hoặc cùng sai, p  q sai trong mọi

trường hợp khác.

Ta có bảng giá trị chân lý:

p q p  q

0 0 1

1 1 1

0 1 0

1 0 0

b. Ví dụ
1) Cho mệnh đề p là “5  2” và mệnh đề q là “2 < 4”. Ta có mệnh đề p q là “5  2
khi và chỉ khi 2  4”.
Mệnh đề p  q đúng (p  q = 1) vì p =1 và q = 1.
2) Mệnh đề “2 = -2 khi và chỉ khi (2)2 = (-2)2” là sai vì “2 = -2” sai và “(2)2 = (-2)2”
đúng.
c. Chú ý
Trong toán học, mệnh đề “p tương đương q” có thể phát biểu dưới nhiều dạng khác

nhau: “Nếu p thì q và nếu q thì p”, “p nếu và chỉ nếu q”,…
Các mệnh đề dạng p  q và p  q rất hay gặp trong tốn học vì các định lý, hệ
quả, bài toán,… thường được phát biểu dưới những dạng này.
Nếu p  q là mệnh đề đúng thì ta nói: p là điều kiện đủ để có q.
Nếu p  q là mệnh đề đúng thì ta nói: có p khi và chỉ khi có q, hay p là điều kiện
cần và đủ để có q, hoặc p tương đương q,…

Ta xét ví dụ sau: mệnh đề “Tứ giác ABCD là hình bình hành” tương đương với “Tứ
giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường”. Tương đương
này được phát biểu dưới dạng:

“Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu và chỉ nếu hai đường chéo của nó cắt nhau
tại trung điểm của mỗi đường” hoặc “Điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là
hai đường chéo của nó cắt nhau tại trung điềm của mỗi đường”.

Như vậy ta đã nghiên cứu các phép tốn lơgic: phép phủ định ( ), phép hội (),
phép tuyển (), phép kéo theo () và phép tương đương (). Trong các phép toán này,
phép phủ định là phép tốn một ngơi, các phép tốn cịn lại là các phép tốn hai ngơi.

1.3. Công thức và luật của lôgic mệnh đề
1.3.1. Khái niệm công thức lôgic mệnh đề
Giả sử cho p, q, r,… là các biến mệnh đề. Từ các biến mệnh đề đó, sử dụng các

phép tốn lơgic , , ,  và  ta lập được những mệnh đề mới phức tạp hơn như: p

 q, ( p  q)  r ,…
Từ các mệnh đề mới lập được, lại áp dụng các phép tốn lơgic, ta được các mệnh đề

mới như: (p  q)  p, p  (q  r) ,…
Cứ như vậy, ta thiết lập được một dãy các ký hiệu gọi là công thức của lôgic mệnh

đề.
a. Khái niệm
Công thức của lôgic mệnh đề là một dãy các ký hiệu gồm có:
- Các biến mệnh đề sơ cấp: p, q, r, …;

- Các phép tốn phép tốn lơgic: , , , , ;
- Các dấu ngoặc ( ) chỉ thứ tự các phép toán.
b. Chú ý
- Các biến mệnh đề sơ cấp cũng là các công thức.

- Nếu P, Q là các cơng thức thìP´ , P  Q , P  Q , P  Q , P  Q cũng là các công
thức.

Ta thấy rằng khái niệm công thức trong lôgic mệnh đề tương tự như khái niệm biểu
thức đại số trong đại số. Vì thế có thể hiểu một cách đơn giản công thức của lôgic mệnh
đề như là biểu thức của lôgic mệnh đề.

1.3.2. Giá trị của công thức
Ta biết rằng các biến mệnh đề p, q, r,… trong cơng thức đều có giá trị chân lý cụ thể
của chúng (phụ thuộc vào tính đúng sai của mỗi mệnh đề), như vậy công thức cũng là
một mệnh đề xác định. Sau khi thực hiện các phép tính lơgic có trong cơng thức với các
giá trị chân lý cụ thể của các biến mệnh đề, ta sẽ có kết quả là một giá trị xác định, kết
quả này chính là giá trị của công thức.
a. Khái niệm
Cho công thức S(p1, p2, ..., pn) là công thức của các biến mệnh đề p1, p2, ..., pn. Nếu
gán các biến mệnh đề này các giá trị chân lý và thực hiện các phép toán mệnh đề ta sẽ
được giá trị chân lý của công thức S(p1, p2, ..., pn), giá trị đó gọi là giá trị của cơng thức
ứng với bộ giá trị đã cho của các biến mệnh đề.
Ví dụ: Cho cơng thức ( p  q )  ´r và cho p = 1 , q = 0 , r = 1, khi đó:

(1  0 )  1 = 0  0 = 0.
b. Chú ý
Các biến mệnh đề p1, p2, ..., pn lấy giá trị trong tập I ={0, 1}, do vậy khi thay các
biến này bằng các giá trị là thực chất ta đã cho bộ n biến (p 1, p2, ..., pn) một bộ giá trị
thuộc tập II…I. Khi đó cơng thức S(p1, p2, …, pn) nhận giá trị trong tập I.
Như vậy, ta có thể coi mỗi cơng thức S(p1, p2, …, pn) là một ánh xạ từ In đến I.
Ta có thể xét hết tất cả các bộ giá trị của các biến mệnh đề bằng cách lập bảng giá
trị chân lý của cơng thức.
c. Ví dụ
Lập bảng giá trị chân lý của công thức (p  q)  ´r.

p q r p  q ´r (pq) ´r
1
1 1 1 1 0 1
0
1 1 0 1 1 1
1
1 0 1 0 0 1
1
1 0 0 0 1 1

0 1 1 1 0

0 1 0 1 1

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

Trong ví dụ này, qua bảng chân lý ta thấy:
Nếu p và r là các mệnh đề đúng, q là mệnh đề sai thì (p  q)  ´r là mệnh đề sai.
Tất cả các trường hợp khác của p, q và r đều làm cho (p  q)  ´r là mệnh đề đúng.

1.3.3. Hai công thức bằng nhau

a. Định nghĩa

Cho S (p, q, r, ...) và T (p, q, r, ...) là 2 công thức của cùng các biến mệnh đề p,q,r,...

Nếu ta thay mọi bộ giá trị vào các biến mệnh đề mà giá trị của hai cơng thức ln bằng

nhau thì hai cơng thức đó gọi là bằng nhau (hoặc gọi là tương đương).

Ký hiệu: S (p, q, r, ...)  T (p, q, r, ...).

b. Ví dụ

Xét hai cơng thức p∧q và ´p q´ .

Ta lập bảng chân lý sau:

p q ´p q´ p  q p∧q ´p q´

0 0 1 1 0 1 1

0 1 1 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1 1

1 1 0 0 1 0 0

Dựa vào bảng trên và theo định nghĩa hai công thức bằng nhau ta có:

p∧q  ´p  q´ .

Như vậy muốn biết hai cơng thức có bằng nhau hay khơng ta lập bảng chân lý của

hai công thức đấy và nên lập chung một bảng.

c. Một số đẳng thức cơ bản

Sử dụng phương pháp lập bảng giá trị chân lý của cơng thức, ta có thể dễ dàng

chứng minh được các đẳng thức (tương đương) cơ bản sau:

1. Đẳng thức liên quan đến các hằng 1, 0:

0  p  0 (1.1);

0  p  p (1.2);

1  p  p (1.3);

1  p  1 (1.4);

p  ´p  0 (1.5);

p  ´p  1 (1.6).

2. Đẳng thức về phủ định của phủ định: ´p p

3. Đẳng thức về tính giao hốn của phép hội, phép tuyển:

p  q  q  p (3.1);

p  q  q  p (3.2).

4. Đẳng thức về tính kết hợp của phép hội và phép tuyển:

(p  q)  r  p  (q  r) (4.1);

(p  q)  r  p  (q  r) (4.2).

5. Đẳng thức về tính phân phối của phép hội với phép tuyển và phép tuyển với phép

hội:

p  (q  r)  ( p  q )  ( p  r ) (5.1);

p  (q  r)  ( p  q )  ( p  r ) (5.2);

6. Đẳng thức về tính lũy đẳng của các phép hội, tuyển:

p  p  p (6.1);

p  p  p (6.2).
7. Đẳng thức về sự phủ định của hội, tuyển:
(7.1);
p∧q  ´p  q´ (7.2).

p∨q  ´p  q´

8. Đẳng thức biểu thị phép  qua các phép toán khác:

p  q  ´p  q (8.1);

p  q  p∧q (8.2).

9. Đẳng thức biểu thị sự tương đương giữa mệnh đề thuận và mệnh đề phản đảo:

p  q  q  ´p.

1.3.4. Phép biến đổi công thức
a. Phép biến đổi tương đương
Trong đại số chúng ta quen dùng các hằng đẳng thức để biến đổi các biểu thức đại
số về một dạng khác.
Tương tự như vậy, trong lơgic mệnh đề ta có thể dùng các đẳng thức cơ bản từ 1
đến 9 (mục 1.3.3c) để biến đổi công thức đã cho về một dạng khác tương đương với công
thức ban đầu. Phép biến đổi này gọi là phép biến đổi đồng nhất.
Ví dụ: Chứng minh đẳng thức:

( p  q  r)  ( p  q  r)  (q  r)  (p  q)  r .

Chứng minh.
Ta biến đổi vế trái:

( p  q  r)  ( p  q  r)  (q  r)
 [( p  q  r)  ( p  q  r)]  (q  r)
 [(( p  q)  ( p  q )  r)]  (q  r) (theo 5.2)

 [( p  (q  q ))  r]  (q  r) (theo 5.2)

 [( p  1)  r]  (q  r) (theo 1.6)

 ( p  r)  (q  r) (theo 1.3)

 ( p  q)  r (theo 5.2)

 ( p  q)  r (theo 8.1)

Ta đã biến đổi vế trái về vế phải. Đẳng thức đã được chứng minh.

Nhận xét: Để chứng minh một đẳng thức (hay hai cơng thức bằng nhau) có thể sử

dụng hai cách: Lập bảng giá trị chân lý của hai công thức hoặc biến đổi đồng nhất thức

(dùng các đẳng thức cơ bản).

b. Dạng chuẩn tắc tuyển

- Hội sơ cấp: Ta gọi một hội các mệnh đề hay phủ định của chúng là một hội sơ cấp

(cịn gọi là tích sơ cấp).

Ví dụ: ´p q, p  q´  r , ´p q´  r ,... là các hội sơ cấp.

- Dạng chuẩn tắc tuyển: Một công thức biểu thị ở dạng tuyển của các hội sơ cấp gọi

là có dạng chuẩn tắc tuyển.

Ví dụ: (p  q´  r )  ( ´p q  r)  ( ´p q´  r) là cơng thức có dạng chuẩn tắc tuyển.

- Biến đổi về dạng chuẩn tắc tuyển: Ta có thể dùng phép biến đổi tương đương để

đưa một công thức bất kỳ về dạng chuẩn tăc tuyển.

Ví dụ: Dưa cơng thức sau về dạng chuẩn tắc tuyển: (p  (p  q))  q.

Ta có: (p  (p  q))  q  (p  ( ´p q))  q (theo 8.1)

 [(p  ´p)  (p  q)]  q (theo 5.1)

 [0  (p  q)]  q (theo 1.5)

 (p  q)  q (theo 1.2)

 p∧q  q (theo 6.1)

 ( p  q )q (theo 7.1)

 p  q q

Đến đây ta đã đưa công thức (p  (p  q))  q về dạng chuẩn tắc tuyển là:

p  q  q.

Cơng thức này có thể tiếp tục rút gọn:

p  q  q  p  ( q  q)  p  1  1.

Như vậy giá trị của công thức (p  (p  q))  q luôn bằng 1.
c. Phép đối ngẫu
Như trên đã thấy ta có thể biến đổi một cơng thức bất kì của lôgic mệnh đề về dạng
chuẩn tắc, nghĩa là về dạng trong đó chỉ có các phép tốn -, , .
Định nghĩa. Giải sử S(p, q, ..., r) là công thức chỉ chứa các phép toán -, , .
Nếu trong công thức S(p, q, ..., r) ta thay phép  bởi  và ngược lại thay  bởi  thì
cơng thức mới nhận được sau phép thay thế đó gọi là công thức đối ngẫu của công thức
S(p, q, ..., r), kí hiệu bởi S*(p, q, ..., r).
Phép biến đổi từ S(p, q, ..., r) sang S*(p, q, ..., r) gọi là phép đối ngẫu.
Ta cũng nói phép  và phép  là hai phép đối ngẫu nhau.
Ví dụ: Cơng thức đối ngẫu của công thức ( p  q)  (p  r) là:

( p  q)  (p  q  r)
Công thức đối ngẫu của công thức (p  q  r)  ( p  q  r )  ( p  q  r ) là (p 

q  r)  ( p  q  r )  ( p  q  r )
Chú ý: Dễ dàng thấy rằng: nếu S*(p, q, ..., r) là đối ngẫu của S(p, q, ..., r) thì S(p,

q, ..., r) lại là đối ngẫu của S*(p, q, ..., r). Vì thế ta gọi S và S* là hai công thức đối ngẫu
nhau.

Công thức đối ngẫu của công thức dạng chuẩn tắc tuyển gọi là công thức dạng
chuẩn tắc hội.

Dùng khái niệm công thức đối ngẫu ta có thể mở rộng cơng thức Đờ-moóc-găng đã
biết về sự phủ định của hội và tuyển:

pq pq
pq pq

(công thức 7.1, 7.2 mục 1.3.3c)

Xét công thức S(p, q, ..., r) chỉ chứa các phép , , . Áp dụng công thức 7.1, 7.2,
đồng thời sử dụng luật phân phối của phép  với phép cộng và của phép  đối với phép 
ta thấy rằng muốn phủ định công thức S, trước hết trong S ta thay dấu ,  lần lượt bởi ,

 sau đó trong cơng thức mới nhận được thay p, q,..., r tương ứng bởi p , q , ..., r .
Như vậy ta có: S(p, q,...r)  S * (p, q,...,r).
Đó là nội dung định lý sau đây:

Định lý. Cho S(p, q, ..., r) là một công thức ở dạng chỉ chứa các phép tốn , , .

Khi đó ta có đẳng thức: S( p,q,...r )  S * ( p,q ,...,r ).
Ta áp dụng định lý trên để tìm phủ định của một cơng thức:
Ví dụ:
1) Tìm phủ định của cơng thức (p  q )  r.
Trước hết ta tìm cơng thức đối ngẫu của (p  q )  r.
Đó là (p  q )  r.
Trong cơng thức đối ngẫu vừa tìm được, thay các mệnh đề bởi phủ định của nó ta

được công thức ( p  q)  r.
Vậy: (p  q)  r  ( p  q)  r .
2) Tìm phủ định của cơng thức p  q .
Ta có p  q  p  q.

nên p  q  p  q  p  q .

Hệ quả. Nếu có S(p, q, ..., r)  T(p, q, ..., r) thì có đẳng thức

S*(p, q, ..., r)  T*(p, q, ..., r)

(Nếu hai cơng thức tương đương nhau thì đối ngẫu của chúng cũng tương đương
nhau).
Chứng minh.

Thật vậy, theo định lý ta có: S*(p, q, ..., r)  S(p, q,...,r) (1)

T*(p, q, ..., r)  T(p, q,...,r) (2)

Mặt khác vì S(p, q, ..., r)  T(p, q, ..., r)

nên S( p , q ,..., r )  T( p , q ,..., r ).

Và do đó: S*(p, q, ..., r)  T*(p, q, ..., r).
Hệ quả trên cho thấy: bằng cách biến đổi đối ngẫu hai vế của một đẳng thức ta được
một đẳng thức mới.

Ví dụ: Từ đẳng thức (p  q)  r  p  (q  r) (tính chất kết hợp của ) ta có:

(p  q)  r  p  (q  r)

Từ đẳng thức p  (q  r)  (p  q)  (p  r) (tính chất phân phối của  đối với ), ta

có: p  (q  r)  (p  q)  (p  r).

1.3.5. Luật của lôgic mệnh đề
a. Luật của lôgic mệnh đề
Khi tính giá trị của một cơng thức, có thể xẩy ra trường hợp công thức luôn luôn nhận
giá trị 1 với tất cả các bộ giá trị có thể có của các mệnh đề chứa trong nó.
Trong trường hợp này, công thức được gọi là một luật lôgic (hay mệnh đề hằng
đúng).

Định nghĩa. Cho công thức S(p, q, ..., r). Nếu mệnh đề biểu thị bởi công thức S luôn

luôn đúng với các mệnh đề p, q, ..., r bất kì thì gọi S(p, q, ..., r) là một luật lơgic. Ta dùng kí

hiệu [S(p, q, ..., r) để chỉ S(p, q, ..., r) là một luật.

Nói khác đi S(p, q, ..., r) là một luật khi S(p, q, ..., r) nhận giá trị 1 với mọi bộ giá trị

của các mệnh đề (p, q, ..., r)

Để xem một công thức chứa n mệnh đề có là một luật hay khơng ta phải tính giá trị

của cơng thức trong 2n trường hợp.

Nếu trong mọi trường hợp công thức đều nhận giá trị 1 thì cơng thức đúng là một

luật.

Nếu với một bộ giá trị nào đó của các biến mà công thức nhận giá trị 0 thì nó khơng

phải là một luật.

Để làm ví dụ, ta xét một số luật quan trọng dưới đây của lôgic mệnh đề:

1. Luật bài trung: [p  p (1).

Ta lập bảng chân lý:

p p p p

0 1 1

1 0 1

Nhìn vào bảng ta thấy dù p = 0 hay p = 1 ta ln có p  p = 1. Vậy p  p là một luật.

Luật này phát biểu rằng: với mọi mệnh đề p, mệnh đề “p hoặc không p” luôn luôn
đúng. Như vậy trong hai mệnh đề “p” và khơng “p” phải có ít nhất một mệnh đề đúng.

Luật bài trung cho thấy không thể xẩy ra khả năng cả hai mệnh đề phủ định lẫn
nhau cùng sai.

2. Luật mâu thuẫn: [ (p  p) (2).

Ta dễ dàng chứng minh (p  p) là một luật bằng cách lập bảng chân lí.
Luật này nói rằng: khơng có đồng thời cả p lẫn phủ định của p.
Luật mâu thuẫn cho thấy không thể xẩy ra khả năng cả hai mệnh đề phủ định lẫn
nhau ắt phải có một cái sai một cái đúng.

3. Luật đồng nhất của phép kéo theo: [ p  p (3).

Ta dễ dàng chứng minh p  p là một luật bằng cách lập bảng.

Như vậy dù p = 0 hay p = 1 ta ln có p  p  1. Luật này nói lên rằng với mọi

mệnh đề p, mệnh đề “p kéo theo p”, “Nếu có p thì có p” luôn luôn đúng. Đây là một kết

quả hiển nhiên.

4. Ta sẽ chứng minh rằng công thức ( p  (p  q))  q là một luật (4).

Thật vậy, bảng chân lí:

p q p  q p  (p  q) (p  (p  q))  q

0 0 1 0 1

0 1 1 0 1

1 0 0 0 1

1 1 1 1 1

Chứng tỏ (p  (p  q))  q là một luật.

Cùng bằng cách lập bảng chân lí như trên, ta có thể chứng minh dễ dàng các luật

quan trọng sau đây:

[ p  (q  p) (5)

[ p  (q  r) (6)

[ (p  q)  p ; (p  q)  q (7)

[ p  (p  q) ; q  (p  q) (8)

[ (p  q)  ( q  p ) (9)

Chú ý. Như trên đã thấy, từ các mệnh đề p, q,..., r nào đó, ta có thể dùng các phép

tốn lơgic để lập nên những mệnh đề phức tạp hơn.

Nói chung, giá trị chân lí của mệnh đề mới này phụ thuộc vào giá trị chân lí của các

mệnh đề p, q, .., r và vào cấu trúc của bản thân mệnh đề tạo thành.

Trong những mệnh đề mới được tạo thành, những mệnh đề luôn luôn đùng dù các

mệnh đề p, q, ..., r nhận giá trị nào, giữ một vai trị quan trọng. Đó là những luật của lôgic

mệnh đề.

Chẳng hạn, dù p, q là những mệnh đề như thế nào, mệnh đề ( p 

(p  q))  q cũng ln ln đúng.

Điều đó chứng tỏ rằng cấu trúc của công thức ( p  (p  q))  q là một lược đồ

xây dựng các mệnh đề luôn luôn đúng hay một quy tắc kiến thiết sự đúng đắn.

Việc xây dựng và nghiên cứu các quy tắc kiến thiết sự đúng đắn, tức là các luật của

lơgic mệnh đề, đóng vai trị quan trọng trong các thao tác tư duy lôgic.

Cần chú ý thêm rằng, phủ định của một luật (tức là một mệnh đề hằng đúng) là một

mệnh đề hằng sai.

b. Đẳng thức và luật

Định lí. Giả sử S(p, q,..., r) và T(p, q,..., r) là các công thức cùng chứa các biến p,

q,..., r. Ta có luật S(p, q,..., r)  T(p, q,..., r) khi và chỉ khi có đẳng thức (tương đương)

S(p, q, ..., r))  T(p, q, ..., r).

Chứng minh.

Giả sử (p0, q0, ..., r0) là một bộ giá trị bất kì của các biến p, q, ..., r. Trong phần định

nghĩa của phép , ta thấy (S(p0, q0, ..., r0)  T(p0, q0, ..., r0))  1 khi và chỉ khi (S(p0,

q0, ..., r0)  T(p0, q0, ..., r0).

Vì (p0, q0, ..., r0) là một bộ giá trị bất kì của các biến p, q, ..., r nên công thức (S(p, q,

..., r)  T(p, q, ..., r)) luôn luôn nhận giá trị 1 khi và chỉ khi S(p, q, ..., r) và T(p, q, ..., r)

luôn luôn nhận giá trị bằng nhau, tức là S(p, q, ..., r)  T(p, q, ..., r).

Như vậy định lí đã được chứng minh.

Định lí trên cho phép xây dựng các luật từ các đẳng thức đã biết. Chẳng hạn:

+ Áp dụng định lí này, cho các đẳng thức (1)  (9) của phần 1.3.3c ta có những luật mới: từ

đẳng thức (p  q)  ( q  p ) ta có luật phản đảo: [ (p  q)  ( q  p ).
+ Từ đẳng thức p  p ta có luật [ p  p;

+ Từ đẳng thức p  q  q  p ta có luật [ p  q  q  p
+ Từ đẳng thức (p  q)  r  p  (q  r) ta có luật [ (p  q)  r  p  (q  r)
và ta có thể viết tiếp các luật tương ứng với các đẳng thức còn lại...

* Sự dẫn ra các luật mới
Định lí. Giả sử cho S(p1, p2, ..., pn) là một luật. Nếu thay các biến p1, p2, ..., pn trong
công thức S(p1, p2, ..., pn) lần lượt bởi các công thức P1(p1, p2, ..., pm); P2(p1,p2,..., pm)...,
Pn(p1, p2, ..., pm) ta được công thức mới S(P1(p1, p2, ..., pm), P2(p1,p2, ..., pm), ..., Pn(p1,
p2, ..., pm)) cũng là một luật.
Chứng minh.
Vì S(p1, p2, ..., pn) là một luật nên có đẳng thức S(p1, p2, ..., pn)  1.
Ta có: S(P1(q1, q2, ..., qm), P2(q1, q2, ..., qm), ..., Pn(q1, q2, ..., qm))  1
Điều đó chứng tỏ rằng ta có luật: [S(P1(q1, q2, ..., qm), ......, Pn(q1, q2, ..., qm))
Ví dụ:
Từ luật (p  (p  q))  q thay p bởi p  q, thay q bởi s  t ta được:

[ [(p  q)  ((p  q)  (s  t))]  (s  t).