Chương 1: Số phức, ma trận

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

MƠN HỌC: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

GV hướng dẫn: Lê Văn Sáng
Email:
DĐ: 0967-998-101

1

NHỮNG CHỦ ĐỀ CHÍNH CỦA MÔN HỌC

Chương 1: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC
Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Chương 3: KHÔNG GIAN VECTOR

Chương 4: KHÔNG GIAN EUCLIDE
Chương 5: TRỊ RIÊNG – VECTOR RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN
Chương 6: DẠNG SONG TUYẾN – DẠNG TOÀN PHƯƠNG

Giới thiệu Cơ bản của Số phức

2

KIỂM TRA MƠN HỌC

1. Có 03 đánh giá môn học về điểm số: điểm hoạt động học tập trên lớp
(20%), điểm kiểm tra giữa kì (20%), và điểm kiểm tra cuối kì (60%).

2. Phương pháp đánh giá:

- Kiểm tra giữa kì và cuối kì do Trường tổ chức.
- Có 03 cách đạt điểm trên lớp như sau:
(1) tham gia hoạt động học tập trên lớp
(2) lấy điểm thi giữa kì làm điểm này
(3) lấy điểm thi cuối kì làm điểm này
Nếu Sinh viên có cả ba cột điểm này, thì Giảng viên chọn cột điểm cao

nhất

3

Chương 0: SỐ PHỨC

a, b : là những số thực *z  2  5i  Re   z  2
Im  z  5
i : là số ảo, với i2  1
*z  i  Re   z  0
z  a  bi a  Re   z  là phần thực Im  z  1

b  Im  z  là phần ảo   *z  2  5i  z  2  5i

a  0, b  0 z là số thuần ảo *z  3  i  z  3  i

 z là số thực *z  2i  z  2i
b  0
*z  i  z  i

Số liên hợp phức của z  a  bi là z  a  bi *z  6  z  6

*z  7  z 7

4

Các dạng biểu diễn số phức

đại số lượng giác mũ

z  a  bi  r cos  i sin   rei

Euler : ei  cos  i sin, module: z  r  a2  b2

b

argument: arg  z    arctan  ,   0, 2  or  , 2 

a

 z  3  i  a  Re   z  3 a1  a2 r1  r2
b  Im  z  1 z1  z2   or 

b1  b2 1  2  k 2

 22 i 
z1  3  2i  z1  5e 4  r  5
r  z  3 1  2  a  3 i  
 z2  re    
1  z2  a  bi  
  arg  z   arctan     b  2    k 2
  3 6 z1  z2  4
z1  z2  

   i6 
 z  2 cos  i sin   2e
5

6 6

cộng & trừ Các phép toán với số phức

z1  a1  b1i, z2  a2  b2i *z1  3  i, z2  1 6i  z1  z2  2  7i, z1  z2  4  5i

*z1  z2  a1  a2   b1  b2 i i 1 2 3 i 6
*z1  z2  a1  a2   b1  b2  i *z1  1 i 3  2e 3 , z2  1 i  e 6
33

nhân & chia  1 4 3
z1z2  0  i  3    i
z1  a1  b1i  r1 cos1  i sin 1   r1ei1  3 3

z2  a2  b2i  r2 cos2  i sin 2   r2ei2  4 3 i e    3   6   4 3 ei2  i 4 3

*z1z2  a1a2  b1b2   a1b2  a2b1  i 3 3 3

 r1ei1 .r2ei2  r1r2ei12  1.1 3. 1 1. 3 1. 1

 r1r2 cos 1  2   i sin 1  2  z1  3  3  3  i 3

* z1  z1z2  2 2 a1a2  b1b2  i 2 2 a2b1  a1b2 z2 4 4 22

z2 z2 z2 a2  b2 a2  b2 3 3

r1ei1 r1 i1 2     3ei6  3  i 3
 i  e , r2  0 22
r2e r22 2 i  

r1 3 6

e
23

 r1r2 cos 1 2   i sin 1 2 r2 3

Các phép toán với số phức

  lũy thừa & căn bậc n *n z  w  wn  z 

1 n1 j n j j n i  rwn  r
*z  Cn a  Cna bi  ...  Cn a bi  ...  Cn bi z  ren0nn  

 r nein iw n n inw  nw    k 2
w  rwe  w  rw e 
 r cos n  i sin n n Công thức Moivre 

 k 2
  n z  w  n re k  0,1, 2,..., (n 1) i n
z  re 25 n   k 2

 25
25  i  25 i 25 i 25   
*z  1 i   2e 4   2 e 4  2 e 4  2  cos  i sin 

  4 4
 z 2i
/ 6k2k2

4  i 4 i6 4 4   / 6  k2     / 6 k2  

*z  4 3  i  2e  22ee  22ccooss  k2  i sini sin  k2    z  2  i6444

 6 4    6 4  

w  a  bi, (ab  0) 
 a2  b2  3 a2  1
*z  3  4i  w  z  ?  w  a  b   i2ab  22 2  2  a  2
b  1
w2  z  2ab  4 a  4
 7

Một số tính chất cơ bản của số phức

1. z  z 2. z1  z2  z1  z2 3. z1z2  z1z2  z1  z1 5. zn  z n
4.   

 z2  z2

6. z  z 7. z1z2  z1 z2 8. z1  z1 9. zn  z n
z2 z2

10. arg  z1z2   arg  z1   arg  z2  11. Pn  z  0  Pn  z   0

Tìm tất cả các nghiệm của đa thức P  z   z4  3z3 12z2  36z  45 biết đa thức có một nghiệm là 2  i

P 2  i  0  P 2  i  0  PP zzz22ii2iz 2  i z  21

 PPzz 2z i22iizz292 i  z2  9 Pz  0   z  2  i
z  3i
 P  z   0  z2  9  0  z2  9  z  3i 
 z  3i
z  3i 8

Ví dụ: Chương 0

Bài 1.8: Rút gọn 14

a. 2  i5 b. 2  2i9 2  i 12 

1 i 3 7 c. 1 i19

Bài 1.9: Giải các phương trình

a. z2  2z  5  0 b. z4  z2  4  28i  0

c. z4  4z3 17z2 16z  52  0, z1  2  3i

Bài 1.10: Chứng minh đẳng thức

CMR z1z2  z1 z2 , z1  z1 , zn  z n
z2 z2
a. 

CMR  z1  z1

b.  z1  z2  z1  z2 , z1z2  z1z ,   
 z2  z2

c. Pn  z  0 CMR Pn  z   0



CMR 2022
d.  i  1

1 CMR m1
e. z   2 cos  z  m  29cos m
z z

Chương 1: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

 2 1  3 0 2i 

A  B   6 i i 1 

3 8   i 7 4  

1 0 
C   4 7  D     3 0 6 2 
Ma trận A cỡ m × n là một bảng số   8 1 0 9 
(thực hay phức) gồm m hàng và n cột. 6 9 

A  aij mn PHÂN BIỆT MỘT SỐ DẠNG MA TRẬN E  1 i 2i  3 7 5
NHỮNG TÍNH TOÁN CƠ BẢN F   9 
PHÉP BIẾN ĐỔI HÀNG

 4

10

HÀNG NHỮNG TÍNH TỐN CƠ BẢN CHUYỂN VỊ
CỘT LIÊN HỢP
VUÔNG BẰNG NHAU
ĐƠN VỊ ĐỐI XỨNG
KHÔNG PHẢN XỨNG
CHÉO ĐỐI
TAM GIÁC TRÊN NGHỊCH ĐẢO
TAM GIÁC DƯỚI
BẬC THANG 11

1.

1. HÀNG 3. a11 ... a1n  4. 5. 0 . 0 
 . . . 
2.  . ... .   0 . 0 
a a
2. CỘT  n1 ... nn  8.

3. VUÔNG 7.

4. ĐƠN VỊ 9.

5. KHÔNG 6. 12

6. CHÉO

7. TAM GIÁC TRÊN

8. TAM GIÁC DƯỚI

9. BẬC THANG

1) CHUYỂN VỊ:
Ma trận chuyển vị của A = (aij)m × n là AT = (aji)n × m

2) LIÊN HỢP:
Ma trận liên hợp của A = (aij)m × n là 𝑨 = (𝒂𝒋𝒊)n × m

3) BẰNG NHAU:
Hai ma trận A = (aij)m × n và B = (bij)m × n; A = B  aij = bij

4) ĐỐI:
Ma trận đối của ma trận A là –A

5) ĐỐI XỨNG:
Ma trận A là đối xứng nếu A = AT, tức aij = aji

6) PHẢN XỨNG:
Ma trận A là phản xứng nếu A = - AT, tức aij = - aji

7) NGHỊCH ĐẢO:
Ma trận nghịch đảo của ma trận A là A-1 với A.A-1 = I

13

1. 4. 5.

2.

1. Hai ma trận bằng nhau

2. Ma trận đối

3. Ma trận nghịch đảo

3. 4. Ma trận đối xứng

5. Ma trận phản xứng

14

Tìm các ma trận chuyển vị và liên hợp của ma trận A, B và C với

 2 1 1  2 4  2 4
T   
A   A  1 7  A  1 7
4 7 0    
 1 0   1 0 

 3i 4  T  3i i i  3   3i i i  3
 
B   i 0   B     B 
   4 0 2i  4 0 2i 
i3 2i

 1 i 0   1 i 1 3   1 i 1 3 

C   i 1 2i 7   CT   i 2i 2   C   i 2i 2 
 2 1 2i   7 1 2i   0 7 1 2i 
 3  0

15

Phép tính: nhân ma trận với một số  2 1 1  4 2 2 
A   2A  
1)  A   aij mn   aij mn 4 7 0 
 8 14 0 
2)  A    A    A

Phép tính: cộng hai ma trận

1) A  B  aij  bij mn  2 1  1 3   3 2 
 0 7    1 6    1 13
2) A  B  B  A  5   4   3 
6   2 2 
3)  A  B  C  A   B  C 

4)   A  B   A   B  3 1 5   0 4 9   3 5 4
5)     A   A   A  0 8 6    1 7 3   1 1 3 

 3 9 4   4 2 5  7 11 1

16

Phép tính: nhân hai ma trận

. 

3 4
 1 3 2     1 37 
 . 0 9    
Amn * Bn p  Cm p  4 5 2    16 75 
 2 7 

2 2  6 4 6 

3 2 3 1  4  13 2 3   1 2 3 
4 12 8 12 
4 


1)   A.B   A.B  A. B 3) A B  C   A.B  A.C
2) A.B.C   A.BC  A B.C  4)  B  C  A  B.A17 C.A

Một vài tính chất đặc biệt của ma trận (so với phép tính số thực, số phức)

1. A.B ≠ B.A, nếu A.B = B.A ta nói hai ma trận A và B giao hoán
2. A.B = A.C nhưng B ≠ C
3. A.B = 0 không suy ra A = 0 hoặc B = 0

 1 1  4 8  2 13  12 28
*A   , B    A.B    & B.A  
2 3  6 5   24 1  
 16 9 

1 2 2 3 2 7
*A   , B     A.B  B.A   

0 1 0 2 0 2

 1 0   2 1  2 1  2 1
*A   , B   , C     A.B  A.C   
 0 0  4 7   3 5 0 0 

3 0 0 0 0 0
*A    , B     A.B   
0 0 0 5 0 0
18

Phép biến đổi dòng của ma trận
Áp dụng để

đưa MT về dạng bậc thang, xác định hạng MT, tìm MT nghịch đảo, giải hệ PT tuyến tính

Có 3 phép biến đổi sơ cấp:  7 1
- đổi chỗ hai hàng  
- nhân một hàng với một số α ≠ 0 2 5 
- nhân một hàng với một số α ≠ 0,
2 5  8h1  h1 16 40
sau đó cộng với một hang khác

 7 1   

 7 1

Hữu hạn phép biến đổi hàng 2 5 
 

A A và B là hai ma trận tương đương hàng B

 0 37  19

Sử dụng phép biến đổi hàng để đưa một ma trận về dạng bậc thang và tìm hạng

 1 2 3 1  h2 2h1h2  1 2 3 1   1 2 3 1 
A   2 1 1 4  h3h1h3  0 3 7 2  h3h2h23 0 3 7 2     A  2
 1 1 4 3  0 3 7 2   0 
0 0 0 

 2 1 3 1  2 1 3 1  2 1 3 1
 1 2 3 1  h3 2h1h3   2h2 h1h2  0 5 9 3  5h4 2h2 h4   5h3 3h2 h3  0 5 9 3 
B   4 1 1 1   0 3 5 1  0 0 2 4 
     
 0 2 4 1  0 2 4 1  0 0 38 1 

 2 1 3 1 
h4 19h3 h4  0 5 9 3    B B  3 4

0 0 2 4 
 
 0 0 0 75
20