Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Chương 1 (tt): ĐỊNH THỨC hoặc det(A)

Định thức của một ma trận vng A kí hiệu là

* Ma trận vuông cấp 1: * Ma trận vuông cấp 3:
định thức cấp 1 định thức cấp 3

A  aij 11  a11   det  A  a11  a11 a12 a13 
A  aij 33   a21 a22 a23 
a a
 31 a32 33 

* Ma trận vuông cấp 2:  det  A  a11a22a33  a12a23a31  a13a21a32
định thức cấp 2
 a13a22a31  a11a23a32  a12a21a33
 a11 a12 
A  aij 22   
 a21 a22   a11 a12 a13 a11 a12 
 a21 a22 a23 a21 a22 
 det  A  a11a22  a12a21 a a
 31 a32 a33 a31 32 

1

l1 Định lý Laplace

Định thức của một ma trận vuông A cấp n aij  a11 Có thể chọn một hàng
được tính theo các cơng thức sau (cột) bất kì để khai triển

Khai triển theo dòng  a11 a12 a13   a22 a23 
 a21 a22 a23  Aij  A11   

n a a a 
ik  31 32 33   a32 a33 

det  A   1 aik Mik
k 1

Khai triển theo cột aij  a12  a11 a12 a13 

n
k j
det  A   1 akjM kj
1k  
 a21 a22 a23   a21 a23 
aij : là những phần tử của ma trận A a a a  Aij  A12   
 31 32 33 
 a31 a33 
aij  a13
 1i j Mij : là phần bù đại số  a11 a12 a13 
 a21 a22 a23   a21 a22 
Mij  det  Aij  a a a  Aij  A13   
 31 32 33 
A : là những ma trận con của ma trận A  a31 a2 32 

ij

Slide 2 levansang, 9/14/2022
l1

 1 3 11 1 2
*A     det  A  1 .1.det 5  1 .3.det 2  11

2 5 

 1 3 21 22
*A     det  A  1 .2.det 3  1 .5.det 1  11
2 5 

 1 3 11 21
*A     det  A  1 .1.det 5  1 .2.det 3  11
2 5 

 1 3 12 22
*A     det  A  1 .3.det 2  1 .5.det 1  11
2 5 

3

 1 2 3 1 2  det  A  1.5.1 2.6.3  3.4.2
A   4 5 6 4 5  3.5.3  1.62  2.4.1
 3 2 
 3 2 1  5  36  24  45 12  8
 6

1 2 3
*det  A  4 5 6  111 .1. 5 6  112 .2. 4 6  113 .3. 4 5  6
2 1 31 3 2
3 2 1

1 2 3
*det  A  4 5 6  121 .4. 2 3  122 .5. 1 3  123 .6. 1 2  6
2 1 31 3 2

3 2 1

1 2 3
*det  A  4 5 6  112 .2. 4 6  122 .5. 1 3  132 .2. 1 3  6
31 31 4 6
3 2 1
4

1 1 2 2 15 1 15 1 1 5 1 1 5
 3 1 5 1   0 0 0 0 0 
111 .1. 0 0 0  0 0 0  1 3 1 1 3
 2 0 0 0 
  1 3 1 1 3 1
 2 1 3 1
 1.0.1  5.0.11.0.3 1.0.11.0.3  5.0.1  0

1 1 2 2 3 5 1 3 5 1  3 5 1 3 5
 3 1 5 1   2 0 0 2 0 
112 .1. 2 0 0   2 0 0  3 
 2 0 0 0   2 3 1 2
2 3 1 2 3 1

    3.0.1  5.0.2 1.2.3 1.0.2  3.0.3  5.2.1  160
 2 1 3 1

1 1 2 2 3 1 1 3 1 1  3 1 1 3 1 
 3 1 5 1 
113 .2. 2 0 0  2. 2 0 0  2 0 0 2 0 
 1 
 2 0 0 0  2 1 1 2 1 1  2 1 1 2

   2.3.0.1 1.0.2 1.2.11.0.2  3.0.11.2.1  8
 2 1 3 1

1 1 2 2 3 1 5 3 1 5  3 1 5 3 1 
 3 1 5 1 
114 .2. 2 0 0  2. 2 0 0  2 0 0 2 0 

 2 0 0 0  2 13 2 13  2 13 2 1 

 
 2 1 3 1  2.3.0.3 1.0.2  5.2.1 5.0.2  3.0.11.2.3  8 5

Ma trận nghịch đảo

A là ma trận khả nghịch A1  1 CT

A là không suy biến det  A cij  1i j Mij
A.B  B.A  I 
B là ma trận nghịch đảo của A
B là ma trận duy nhất


1 3    det  A  7  0   A 1 A1     1/ 7 3 / 7 
A
 2 1
 2 / 7 1/ 7 
11 12 
c11  1 det 1  1, c12  1 det 2  2  1 2 T  1 3
 C     C  

21 22  3 1  2 1
c21  1 det 3  3, c22  1 det 1  1   6

2 0 1 1 0 0  1 0 1 0 0 1  h2 3h1h2  1 0 1 0 0 1
  h1h3   h3 2h1 h3  3 A.A1  A1A  I3
 A I    3 1 0 0 1 0  3 1 0 0 1 0  0 1 3 0 1
 1 0 1 0 0 1   2 0 1 1 0 0   0 0 1 1 0 2 


 1 0 1 0 0 1  h1h3h1  1 0 0 1 0 1  1 0 1
h3 h3   h2 3h3 h2  
 0 1 3 0 1 3  0 1 0 3 1 3    I A  1  A1   3 1 3 

 0 0 1 1 0 2   0 0 1 1 0 2   1 0 2 
  

 2 0 1    1 0 1

A   3 1 0   det  A  1  0   A1 CT   3 1 3 

 1 0 1 

c11  111 1 0  1, c12  1 12 3 0  3, c13  113 3 1  1 0 
 1 
01 11 1 2
0

c21  121 0 1  0, c22  122 2 1  1, c23  123 2 0  0 1 3 1
1 11 10 C   0
0 1 0 

1  1, c32  132 2 1  3, c33   133 2 0  2  1 
c31  131 0 0 30 31 37 2 

1



Các tính chất (hệ quả) cơ bản của ma trận  1 1 1
kA  A , k  0
det  A  0 k

 A1 1  A  Am 1   A1 m
Nếu A và B là khả nghịch thì

 1 1 1
 AB  B A
Các tính chất (hệ quả) cơ bản của định thức

1. Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của định thức thì nó vẫn cịn đúng khi trong phát biểu ta thay hàng

bằng cột.

2. Một định thức có mơt hàng (cột) tồn là số 0 thì bằng khơng.

3. Một định thức có hai hàng (cột) như nhau thì bằng khơng.

4. Một định thức có hai hàng (cột) tỉ lệ thì bằng khơng.

5. Định thức của một ma trận tam giác bằng tích các phần tử chéo.

6. Khi đổi chỗ hai hàng (cột) của một định thức ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu.

7. Khi các phần tử của một hàng (cột) có một thừa số chung, ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngồi định thức.

8. Khi nhân các phần tử của một hàng (cột) với cùng một số k thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân

với k.

9. Khi ta cộng một hàng (cột) vào bội k của một hàng (cột) khác ta được một định thức mới bằng định thức cũ.

10. Khi tất cả các phần tử của một hàng (cột) có dạng tổng của hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành

tổng hai định thức.

11. det(A) = det(AT).

12. det(AB) = det(A)det(B), A và B là hai ma trận vuông cùng cấp. 8

Đưa ma trận về dạng chéo để tính định thức

1 3 1 3 1 3 1 3 1 3
*   11
2 5 0 11 *  2  2  11
25 1 5 / 2 0 11/ 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

* 4 5 6  0 3 6  0 3 6  6

3 2 1 0 4 10 0 0 6 / 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

* 4 5 6  4.3 1 5 / 4 6 / 4  4.3 0 3 / 4 6 / 4
3 2 1 1 2 / 3 1/ 3 0 4 / 3 10 / 3

1 2 3 1 2 3
 4.3. 3 . 4 0 1 24 /12  4.3. 3 . 4 0 1 24 / 12  6
43 43
0 1 30 /12 0 0 6 / 12
9

Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

a11x1  a12 x2  ......  a1n xn  b1  a11 a12 .... a1n   x1   b1 
  a21 a22 .... a2n .   x2      b2   AX  B
a21x1  a22 x2  ......  a2n xn  b2  .... . .
     
.....................  am1 am1 .... amn   xn   bn 
am1x1  am2 x2  ......  amn xn  bm
*Có ít nhất một xi ≠ 0: Nghiệm không tầm thường
*Tất cả xi = 0: Nghiệm tầm thường
Gauss-Jordan
Phương pháp giải
Sử dụng phép biến đổi dòng
(ma trận vng, hình chữ nhật)

Cramer

Sử dụng định thức (chỉ ma trận vuông) 10

Lập ma trận mở rộng, Giải hptt bằng pp Gauss-Jordan
đưa về dạng bậc thang, tìm hạng
*3x  y  5 3 1 5
*  n  2, A   , B   
 a11 ... a1n b1    A x  2y  4 1 2  4

   3 1 5  3h2 h1h2  3 1 5 
A   A B   . ... . .    A  A B          A    A  n  2
 a ... a b    A 1 2 4 0
y 1 7 7

 m1 mn m  Hệ p t c ó ngiệm duy nhất 
x  2

*x  y  1  1 1 1 Hệ pt vô ngiệm
*  n  2, A   , B  
2x  2y  3  2 2 3
Hệ có nghiệm khi và chỉ khi   A    A
A  A B   1 1 1 h2 2h1h2  3 1 1     A  3    A  2
(định lí Kronecker-Capelli)   
 2 2 3 0 0 1
+ Vô nghiệm   A    A
+ Nghiệm duy nhất   A    A  n *x  y  1  1 1  1  y  t, t  R
*  n  2, A   , B   
+ Vô số nghiệm   A    A  n 2x  2y  2  2 2  2  1t
x 
 1 1 1  h2 2h1h2  3 1 1  3

A  A B     

 2 2 2 0 0 0

   A    A 1  n  2 Hệ pt có vơ số ngiệm

11

Aj Giải hptt bằng pp Cramer
xj  A
AX  B 3x  y  5  3 1  5
B *x 2y  4  A , B   
BB B 1 2  4
... a1n
a11 a12 ... a1 j ... a2n A 3 1 7  0 hệ pttt là hệ Cramer
a21 a22 ... a2 j (có nghiệm duy nhất)
... ... ain 12
A
ai1 ai2 ... aij ... ann 5 1  14  x  Ax  2, 35 Ay
... Ax  4 Ay  1 4  7  y  A  1
an1 an2 ... anj 2 A

*x y 1  1 1 1
  A , B  
2x  2y  3  2 2  3

1 1 1 1 hệ pttt vô nghiệm
A  2 2  0, Ax  3 2  1  0

A1 A2 Aj An *x  y  1  1 1  1 
A , B  
A  0 hệ phương trình tuyến tính là hệ Cramer 2x  2y  2

A  0 và tất cả Aj  0 hệ phương trình tuyến tính có vơ số nghiệm 2 2  2
A  0 và có ít nhất một Aj  0 hệ phương trình tuyến tính vơ nghiệm A 1 1  0, 1 1

Khi hệ có vơ số nghiệm, ta sử dụng phương pháp Gauss-Jordan để giải 2 2 Ax  2 0
2

11 hệ pttt vô số nghiệm
Ay  2 2  0
12

Hệ nghiệm cơ bản

AX  0 có nghiệm khơng tầm thường số ẩn tự do n    A

* n  4 Có 3 ẩn tự do x1, x2 , x3
x1  x2  2x3  x4  0  
A  1 1 2 1    A  1

nghiệm tổng quát * x1  1, x2  x3  0  1, 0, 0, 1
 Hệ nghiệm cơ bản
 x1, x2 , x3,  x1  x2  2x3  * x2  1, x1  x3  0  0,1, 0, 1   1, 0, 0, 1 , 0,1, 0, 1 , 0, 0,1, 2
*  1,   0  0,1, 0, 1  1, 0, 0, 1, 0,1, 0, 1, 0, 0,1, 2
* x3  1, x1  x2  0  0, 0,1, 2 

1 2 3  h2 2h1h2  1 2 3 nghiệm tổng quát
 A   2 1  h3 3h1h3   Hệ nghiệm cơ bản
1  0 3 7
*    13
3 3 2   0 3 
7 

1
h4 h3 h4  2 3  có 1 ẩn tự do x3
 0  n  3
3 7   
    A  2
0 0 0


Ví dụ: Định thức, Ma trận ngịch đảo, giải hệ pttt, hệ nghiệm cơ bản
1. Tính/chứng minh các định thức

g)
f)

h)

14

2. Giải hệ pttt bằng pp Gauss-Jordan, Cramer, ma trận nghịch đảo (X=A-1 B)

3x  y  5
a) b) 
2x  5y  8 x  y  2z t  7

 e) 2x  y  z  t  4
x  2 y  z  2t  5

c) d) 3x  3y  2z  t  7

15

3. Giải và biện luận hệ pttt theo tham số

d)

16

4. Tìm hệ nghiệm cơ bản

a)
b)

c)

17