ứng dụng ma trận nghịch đảo và hệ phương trình tuyến tính (bài toán minh họa) HaUI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓM
HỌC PHẦN: ĐSTT BS6001

ỨNG DỤNG MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Sinh viên thực hiện:
43. Nguyễn Đăng Minh
44. Trịnh Công Nam
45. Lê Trọng Nghị
46. Nguyễn Nguyên Ngọc
47. Nguyễn Viết Phương
48. Tạ Quang Sáng
49. Nguyễn Ngọc Sinh
50. Phạm Văn Sơn
51. Phạm Văn Sơn
52. Thái Trung Sơn
53. Vũ Hồng Sơn
54. Nguyễn Trọng Tâm
55. Đới Sỹ Thắng
56. Hoàng Minh Thắng

1

Hà Nội, tháng 7 năm 2022

Bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm:

Tiêu chí

Sự nhiệt tình tham gia công việc
Đưa ra ý kiến và ý tưởng làm bài.
Giao tiếp và phối hợp tốt với thành viên khác cùng giải quyết vấn đề chung.
Tổ chức và hướng dẫn cả nhóm
Hồn thành cơng việc hiệu quả

MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU
B. NỘI DUNG................................................................................................................4

I. Ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ví dụ minh họa........................................4
1. Đầu tiên ta nhắc lại ma trận nghịch đảo là gì.......................................................4
2. Ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ví dụ..........................................................4

II. Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính và bài tốn minh họa....................8
1. Nhắc lại kiến thức:...............................................................................................8
2. Ứng dụng và ví dụ của hệ phương trình tuyến tính..............................................9

C. KẾT LUẬN.............................................................................................................14

2

A. MỞ ĐẦU
Ngày nay, Đại số tuyến tính được ứng dụng vào hang loạt lĩnh vực khác nhau từ

Giải tích đến Hình học, từ Cơ học, Vât lý đến Kỹ Thuật. Vì thế nó đã trở thành một
môn học cơ sở của nghành khoa học cơ bản của tất cả các trường đại học. Trong bài

báo cáo này, nhóm 4 sẽ viết về ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ứng dụng của hệ
phương trình tuyến tính gồm các ví dụ kèm theo.

B. NỘI DUNG
I. Ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ví dụ minh họa

1. Nhắc lại kiến thức
 Cho ma trận A vuông cấp n, ma trận B gọi là ma trận nghịch đảo của A nếu
A.B=I. Ký hiệu: A-1
o Điều kiện tồn tại và tính chất
o Ma trận A có ma trận nghịch đảo khi A là ma trận vng và có định thức
khác 0 (det(A)≠0) khi đó ta gọi A là ma trận khả nghịch.
 Tính chất:
o (AB)-1 =B-1A-1;
o (A-1)-1 = A;
o (AT)-1 = (A-1)T;
 Cách tìm ma trận nghịch đảo
o Sử dụng phương pháp phần bù đại số
 A-1= 1 det ( A ). A* (với A* là ma trận phụ hợp của ma trận A)
o Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp:
 Lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm vào bên phải ma trận A
ma trận I đơn vị. Dùng các phép biến đổi sơ cấp theo hàng để đưa ( A|I ) về

dạng ( A'|B) . Nếu ma trận A’ bằng ma trận I cấp n thì A khả nghịch và A-1 =

B. Điều đó nghĩa là trong q trình biến đổi nếu có một hàng bằng không
thì lập tức kết luận A không khả nghịch

3

2. Ứng dụng của ma trận nghịch đảo và ví dụ
* Ứng dụng giải phương trình ma trận

Bài tốn 1: giải phương trình ma trận sau

( ) ( ) 0 3 1 12

1 2 9 X= 1 3

010 01

Giải

( ) ( ) 0 3 1 12

Đặt A = 1 2 9 ; B = 1 2 phương trình trở thành AX = B

010 01

Ta có Det(A) = (0.2.0 + 1.1.1 + 3.9.0) – (0.2.1 + 1.3.0 + 1.9.0) = 1 ≠ 0

det(A)≠0 => ⱻAA-1 => X = A-1B

( ) | | A11 A21 A31 2 9 = -9
A* = A12 A22 A32 với A11 = (-1)1+1. 1 0
A13 A 23 A 33

Tương tự ta có A12 = 0; A13 = 1; A21 = 1; A22 = 0; A23 = 0; A31 = 25; A32 = 1;
A33 = -3.

( )( ) ( ) Suy ra X = 1 A*B = 1 0 0 1 1 3 = 0 1 −9 1 25 1 2 −8 10
det ( A ) 1 1 0 −3 0 1 1 −1

( ) −8 10

Vậy: X= 0 1
1 −1

[ ] [ ] Bài toán 2: Cho 2 ma trận A= 1 3 −1 2 , B = 1 1 1 2

Tìm x sao cho BX = 3A – A2

Giải

[ Ta có: 3A – A2 = 3 1−1 23] – [−11 23][−11 23] = [−33 69] - [−3 −2 19] =[05 50]

4

[ ] Đặt A’ = 5 0 0 5 thì BX = A’

Ta có: detB = 1 =>∃B-1A’ = 1 det B B*A’

[ ] B* = B11 B21 B12 B22 với B11 = (-1)1+1detM11 = 2

Tương tự ta có:
B12 = -1; B21 = -1; B22 = 1

Suy ra: X = 11[−1 1 2 −1][0 5 5 0] = [−5 5 10 −5]

Vậy: = [−5 5 10 −5]

* Ứng dụng giải mật mã, dãy số, câu đố (có ma trận)

[ ]1 2 4

Bài toán 1: Cho ma trận A= 2 1 0 và sự tương ứng giữa các kí tự và số:
103

0 1 2 3 4 5 6 7 8

O W N E C I A D T

Thắng là 1 sinh viên HaUI, rất yêu quý những người chống dịch. Thấy mọi người vất
vả, Thắng nghĩ trò chơi mật mã với thơng điệp ý nghĩa để mọi người giải trí. Dãy số
viết thành ma trận B theo nguyên tắc từ trái => phải mỗi chữ số là một vị trí trên dịng
của B. Sau khi tính C=A.B và chuyển C về dãy số thì được dãy:

13 27 50 8 8 15 1 18 28

Hãy cùng chơi và giải mã xem thơng điệp ý nghĩa của Thắng là gì nhé!

GIẢI

[ ] 13 27 50

Vì A là ma trận vng 3x3 nên C có 3 cột C= 8 8 15
1 18 28

Ta có: detA= −¿13 =>∃ A−1 => B= A−1C= 1 detA A¿C

5

[ ] | | A11 A21 A31

A¿= A12 A22 A32 với A11= (−1)1+1det (M 11) = 1 0 0 3 =3
A13 A23 A 33

Tương tự ta có: A21= −6; A31= −¿4; A12= −¿6; A22= −¿1; A32= 8; A13= −¿1; A23= 2;
A33= −¿3

Suy ra:

[ ][ ] [ ] B= 1 A¿C = 1 3 −6 −4 13 27 50 1 3 4 −6 −1 8 8 8 15 = 6 2 7
−13 −13 −1 2 −3 1 18 28 0 5 8

Ma trận B được viết thành dãy số như sau:

1 3 4 6 2 7058

WE C ANDOI T

Vậy thông điệp của Thắng là “We can do it”

[ ]1 3 1

Bài toán 2: Cho ma trận A= 0 2 0 và sự tương ứng các kí tự
204

01234567

0 1 G 2 N MU

Sắp tới ngày 20/11, bạn Ngọ là người làm slide cho nhóm 4 muốn gửi lời tri ân tới các
thầy cơ. Cậu có ý tưởng làm tặng thầy Sáu-Sky siu đẹp trai tấm thiệp đặc biệt viết bằng
mật mã mà chỉ những ai đẹp trai mới có thể giải được. Dãy số viết thành ma trận B
theo nguyên tắc từ trái => phải mỗi chữ số là một vị trí trên dịng của B. Sau khi tính
C=A.B và chuyển C về dãy số thì được dãy:

15 12 19 6 2 8 12 22 18

Hãy cùng giải thử mật mã của bạn Ngọ để tăng độ đẹp trai xinh gái và gửi lời tri ân tới
các thầy cô nhé!

GIẢI:

[ ] 15 12 19

Vì ma trận vng 3x3 nên C có 3 cột => C= 6 2 8
12 22 18

6

Ta có det(A)=4 =>∃A-1 => A-1 C = 1 det ( A )A*C

[ ] A11 A21 A 31

A*= A 12 A 23 A 32
A 13 A 23 A 33

[ ] Với A11 = (-1)1+1 detM11 = 2 0 0 4 =8

Tương tự ta tính được: A21 =-12; A31 =-2
A12 =0; A22 = 2; A32 =0
A13 =-4; A23 =6; A33 =2

Suy ra

[ ][ ] [ ] B = 1 A*C =1 8 −12 −2 15 12 19 6 7 5 0 2 0 6 2 8 = 3 1 4
detA 4 −4 6 2 12 22 18 0 2 2

Ma trận B viết thành dãy số sau:

6 75 3 1 40 2 2

M U N G 20 1 1

Vậy ý nghĩa tấm thiệp: MỪNG 20/11.

[ ]1 2 3

Bài toán 3: Cho ma trận A= 2 5 3 và một sự tương ứng các kí tự và các số như sau:
108

-87 -65 -9 2 4 15 20 26 25

A H T N O C ! O U

Minh muốn gửi dòng tin nhắn đến cho bạn gái. Để đảm bảo bí mật, Minh dùng bảng
tương ứng trên chuyển tin nhắn thành một dãnh số và viết dãy số này thành ma trận B,
Theo nguyên tắc: lần lượt từ trái sang phải mỗi chữ số là một vị trí trên các dịng của B.

Sau khi tính D = B.A và chuyển D về dãy số thì tìm được dãy “1 2 1 2 0 3 3 1 4”. Là
một người bạn tốt của Minh hãy tìm và giải đoạn mật trên.

7

GIẢI:

Ta có D = B.A => D = B. A−1 mà A−1 cỡ 3x3 => C có 3 cột mà dãy số có 9 phần tử =>
mỗi cột D có 3 phần tử => D cỡ 3x3

[ ]1 2 1 [ ]1 2 3

D= 2 0 3 ; A= 2 5 3
314 108

=> Det(A) = 40 + 6 – 15 – 32 = -1 ≠ Tồn tại A−1 ta có: A−1= 1 Det ( A ) .CT

[ ] [ ] C11 C12 C13
C11 C 21 C 31

Giả sử: C = C21 C22 C23 => C T = C12 C22 C32

C31 C 32 C33 C13 C 23 C33

| | C11 = (−1)1+1 . Det (M 11) = 5 3 0 8 = 40
| | C12 = (−1)1+2 . Det ( M 12) = − 2 3 1 8 = -13
| | C13 = (−1)1+3 . Det (M 13) = 2 5 1 0 = -5
| | C21 = (−1)2+1 . Det (M 21) = − 2 3 0 8 = -16
| | C22 = (−1)2+2. Det (M 22) = 1 3 1 8 = 5
| | C23 = (−1)2+3 . Det (M 23) = − 1 2 1 0 = 2

| | C31 = (−1)3+1. Det (M 31) = 2 3 5 3 = -9
| | C32 = (−1)3+2. Det ( M 32) = − 1 3 2 3 = 3
| | C33 = (−1)3+3. Det (M 33) = 1 2 2 5 = 1

[ ] => CT = −13 5 3 => A 40 −16 −9 −1= 1 .CT
−5 2 1 −1

8

[ ] 40 16 9

=> A−1 = 13 −5 −3
5 −2 −1

[ ] [ ] [ ] 1 2 3 40 16 9 −9 4 2

=> D = B. A−1 = 2 5 3 . 13 −5 −3 = −65 25 15
1 0 8 5 −2 −1 −87 35 20

[ ] −9 4 2

=> D = −65 25 15
−87 35 20

=> Ta có D là bảng mật mã:

-9 4 2 65 25 -15 -87 35 20

T O N H O C A U !

Bài toán 4: Một hộ dân chăn ni có tổng 100 con gia súc và gia cầm bao gồm 3 loại:
bò ngan và vịt. Biết rằng tổng số chân của cả 3 loại là 220, tổng số gà gấp 2 lần tổng số
vịt. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu con?

GIẢI

Gọi số lợn là x, số gà là y, số vịt là z.
Theo đề bài ta ta có hệ phương trình:

{ x+ y+z=100

4 x +2 y +2 z =220 (*)
y=2 z

Từ (*) ta có:

[ ] 1 1 1 [ x ]; [ ]100

A= 4 2 2 ; X = y B = 220
0 1 −2 z 0

=> (*) trở thành: A.X = B (1)

9

Det(A) = 6 ≠ 0 => tồn tại A−1 ta có: A−1= 1 Det ( A ) .CT

[ ] [ ] C11 C12 C13
C11 C 21 C 31

C = C21 C 22 C23 => C T = C12 C 22 C 32

C31 C 32 C33 C13 C 23 C33

| | C11 = (−1)1+1 . Det (M 11) = 2 2 1 −3 = -6

| | C12 = (−1)1+2 . Det ( M 12) = − 4 2 0 −3 = 8

| | C13 = (−1)1+3 . Det (M 13) = 4 2 0 1 = 4

| | C21 = (−1)2+1 . Det (M 21) = − 1 1 1 −2 = 3

| | C22 = (−1)2+2. Det (M 22) = 1 1 0 −2 = -2

| | C23 = (−1)2+3 . Det (M 23) = − 1 1 0 1 = -1

| | C31 = (−1)3+1. Det (M 31) = 1 1 2 2 = 0

| | C32 = (−1)3+2. Det ( M 32) = − 1 1 4 2 = 2

| | C33 = (−1)3+3. Det (M 33) = 1 2 4 2 = -2

[ ] −6 3 02 => A−1= 1 . CT

=> CT = 8 −2
4 −1 −2 6

[ ] 11 /2 0
−1 /3 1/3
=> A−1 = 4 / 3−1/ 6−1/ 3

2/3

Nhân A−1vào bên trái cả 2 vế của phương trình (1) ta được:

A−1. AX = A−1 . B

10

[ ] [ ] [ ] 11 /2
−1 /3
⟺ X =A−1 . B = 4 /3−1/ 6
2/3
0 100 10
1/3 . 220 = 60
−1/3 0 30

{x=10

=> y=60
z=30

Kết luận: Vậy số bò là 10 con, số ngan là 60 con, số vịt là 30 con

II. Ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính và bài toán minh họa

1. Nhắc lại kiến thức:
 Tổng qt, ta xét hệ m phương trình tuyến tính gồm n ẩn như sau:

( ) ( ) X1B1

o Đặt A = (Aij)m.n; X = … ; B = … thì khi đó hệ phương trình viết dưới dạng
Xn Bn

ma trận AX = B , với:

 Ma trận A là ma trận hệ số của hệ phương trình.

 Ma trận A là ma trận hệ số của hệ phương trình.

 Ma trận (A|B) là ma trận hệ số mở rộng của hệ phương trình

 X gọi là vecto ẩn.

 Cách giải hệ phương trình tuyến tính :

o Dùng phương pháp Gauss.

o Định lý Cronecker – Capelli: xét hệ phương trình tuyến tính AX = B. Ta có

 Hệ có nghiệm duy nhất  r(A)=r( A´ ¿=n (với n là số ẩn của hệ)

 Hệ có vơ số nghiệm  r(A)=r( A´ ¿=k
 Hệ vô nghiệm r(A)
 Hệ Cramer

11

o Hệ phương trình tuyến tính AX = B được gọi là hệ Cramer nếu A là ma trận

vuông không suy biến, nghĩa là định thức của A khác 0. Khi đó hệ có nghệm
duy nhất: X=A-1B

o Ta có cơng thức tính từng ẩn như sau: X j= Dj D
Trong đó D=|A|; Dj là định thức có được từ A khi thay cột j bởi vế phải (cột B).

2. Ứng dụng và ví dụ của hệ phương trình tuyến tính
*Ứng dụng trong kĩ thuật: tính tốn các mạch điện

 Định luật Kirchhoff 1: Tổng giá trị đại số của dòng điện tại một nút trong một
mạch điện là bằng không. Tại bất kỳ nút (ngã rẽ) nào trong một mạch điện, thì
tổng cường độ dòng điện chạy đến nút phải bằng tổng cường độ dòng điện từ nút
chạy đi.
 Định luật Kirchhoff 2:Tổng giá trị điện
áp dọc theo một vịng bằng khơng

Bài tốn 1:

12

Giải

Ta chọn các vịng như hình vẽ.
Áp dụng định luật Kirchhoff 1 tại (1):
i1 – i2 – i3 = 0;
Áp dụng định luật Kirchhoff 2:
i1.R1 + i2R2 – E1 = 0;
-i2R2 + i3R3 + E2 + E3 = 0;
Thay số vào ta có hệ:

13

{ { i1−i2−i3=0 i1−i 2 −i3 =0
100i1+ 200i2−3=0 => 100 i1+200 i2 =3

−200 i2 +300 i3+ 4+3=0 −200 i2 +300 i3=−7

Xét ma trận bổ sung:
Ā

( | ) ( | ) ( | ) 1 −1 −1 0
1 −1 −1 0 1 −1 −1 0

100 200 0 3 −100 d1 +d2→ d1 0 300 100 3 2d2 +3 d3→ d3 0 300 100 3

0 −200 300 −7 → 0 −200 300 −7 → 0 0 1100 −15

=> r(A) = r(Ā) → hệ có nghiệm duy nhất:

{ i1−i2−i3=0 { => giải hệ tam giác này ta được:i1= 1 1100

300i2 +100i3=3 i2= 4275
1100 i3=−15 i3= −3 220

Bài toán 2: Cho:

R1=R6=2Ω ;E1=20V

R2=R3=R4=4Ω ;E2=8V

R5=8Ω ; E3=4V

Tìm i1; i2; i3

và cơng suất tiêu thụ trên R5
?

Giải:

Chọn các vịng như hình vẽ:

14

Áp dụng Kirhoff 2:
Vòng 1: R1i1+ R2(i1- i2)- E1 = 0

{ 6 i1−4 i2=20

Vòng 2: R3i2+ R6(i2-i3) - R2(i1- i2) + E3 = 0t h ay s ố tađượ c −4 i1+10 i2−2i3=−8
→ −2 i2 +14 i3=− 4

Vòng 3: R4i3+ R5i3+ E3- R6(i2-i3) = 0
Xét ma trận bổ sung:

Ta có:
Tương tự ta có: detA2 =400; detA3 = -112

Suy ra: i1= det ⁡A1 detA = 140 37 ( A ); i2= det A2 detA = 2537 ( A ); i3= det A3 detA =−7 37 ( A)
(i3 mang dấu âm do ngược chiều với chiều dương đã chọn)

( ) 2 −7 2 392
Công suất tiêu thụ trên R5 là:PR5=(i3) . R5= 37 .8= 1369

Vậy: i1= 140 37 ( A) ;i2= 2537 ( A) ;i3=−7 37 ( A) (i3 mang dấu âm do ngược chiều với chiều
dương đã chọn)

PR5= 392 1369 (W )

*Ứng dụng hệ phương trình tuyến tính trong kinh tế:
Tính tốn, tìm phương án làm việc tối ưu nhất nhằm giảm sức lao động, tăng hiệu quả
kinh tế.

15

Bài tốn 1: Một cơng ty sản xuất 3 loại sản phẩm được ký hiệu là: S1, S2 và S3. Mỗi
sản phẩm đều phải qua 3 công đoạn cắt, lắp rắp và đóng gói. Và thời gian yêu cầu cho
mỗi công đoạn được cho trong bảng sau:

Công đoạn Cắt Lắp ráp Đóng gói
Sản phẩm 1 2 giờ 3 giờ 1 giờ

Sản phẩm2 1 giờ 5 giờ 5 giờ

Sản phẩm 3 4 giờ 2 giờ 7 giờ

Các bộ phận cắt, lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong mỗi tuần lần lượt

là 355, 426 và 639 giờcông. Hỏi nhà máy phải sản xuất số lượng mỗi loại sản phẩm là

bao nhiêu theo mỗi tuần để nhà máy hoạt động hết công suất?

Giải

Gọi x1; x2; x3 lần lượt là số lượng sản phẩm S1, S2, S3 nhà máy cần sản xuất.
ĐK: x1; x2; x3 ∈N. Ta có:

Thời gian cắt sản phẩm: 2x1 + x2 + 4x3 (giờ)

Thời gian lắp ráp sản phẩm: 3x1 + 5x2 + 2x3 (giờ)

Thời gian đóng giói sản phẩm: x1 + 5x2 + 7x3 (giờ)

{ 2 x1+ x2+4 x3=355

Để nhà máy hoạt động hết cơng suất thì: 3 x1+5 x2+2 x3=426
x1+5 x2+ 7 x3=639

Xét ma trận bổ sung:

( | ) ( | ) ( | ) 2 1 4 355
2 1 4 355 2 1 4 355

Ā= 3 5 2 426 −3 h1+2 h2 →h2 0 7 −8 −213 −h1+2 h3 →h3 0 7 −8 −213
→ →
1 5 7 639 1 5 7 639 0 9 10 923

( | ) 2 1 4 355
−9 h2 +7 h3 →h3 0 7 −8 −213

→ 0 0 142 8387

=> r(A) = r(Ā) → hệ có nghiệm duy nhất:

{2 x1+x2 +4 x3=355 {x1=41
7 x2−8 x3=−213
142 x3=8387 giải hệ tam giác này ta được: x2=37
x3=59

Vậy phải sản xuất mỗi loại sản phẩm S1, S2, S3 lần lượt là: 41, 37, 59

16

Bài toán 2: 1 nhà máy sản xuất 3 loại sản phẩm A, B, C. Mỗi sản phẩm phải qua 3
cơng đoạn cắt, lắp, đóng với thời gian u cầu của mỗi công đoạn được liệt kê ở bảng:

A B C

Cắt 0,6h 1h 1,5h

Lắp 0,6h 0,9h 1,2h

Đóng gói 0,2h 0,3h 0,3h

Các bộ phận cắt, lắp ráp và đóng gói có số giờ công nhiều nhất trong tuần giảm lần

lượt là 380, 330, 120 giờ công. Hỏi nhà máy cần sản xuất số lượng mỗi sản phẩm là

bao nhiêu theo mỗi tuần để hoạt động hết năng suất

Giải

Gọi x1; x2; x3 lần lượt là số lượng sản phẩm A, B, C nhà máy cần sản xuất.
ĐK: x1; x2; x3 ∈N. Ta có:

Thời gian cắt sản phẩm: 0,6x1 + 1x2 + 1,5x3 (giờ)
Thời gian lắp sản phẩm: 0,6x1 + 0,9x2 + 1,2x3 (giờ)
Thời gian đóng sản phẩm: 0,2x1 + 0,3x2 + 0,3x3 (giờ)

{ 0,6 x1+x2+1,5 x3=380

Để nhà máy hoạt động hết công suất thì: 0,6 x1+0,9 x2+1,2 x3=330
0,2 x1+0,3 x2+ 0,3 x3=120

Xét ma trận bổ sung:

[ | ] [ | ] 0,6 1 1,5 380
0,6 1 1,5 380

A´ = 0,6 0,9 1,2 330 d2−d1→ d2 0 −0,1 −0,3 −50
→d2 - d1→0 −0,1 0 −20
0,2 0,3 0,5 120 d2

[ | ] 0,6 1
d3−d2→ d3 0 −0,1 1,5 380
−0,3 −50
→ 0 0 0,3 30

=> r(A) = r( A ¿ = 3 => Hệ có nghiệm duy nhất

{ { 0,6 x1+x2+1,5 x3=380 x1 =50

−0,1 x2−0,3 x3=−50 giải hệ tam giác này ta được: x2=200

0,3 x3=30 x3 =100

Vậy số sản phẩm A, B, C cần sản xuất lần lượt là: 50, 200, 100

17

C. KẾT LUẬN
Trên đây là bài báo cáo của nhóm 4 về ứng dụng của ma trận nghịch đảo và hệ

phương trình tuyến tính. Các bài tập minh họa do nhóm sưu tầm và chỉnh sửa, vì vậy
khơng thể tránh được những sai sót trong việc trình bày mong thầy giáo thơng cảm và
góp ý, chỉnh sửa để bài báo cáo được hoàn thiện nhất!!

18

19