ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG THỰC TIẾN HaUI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

──────── * ───────

BÁO CÁO NHÓM
HỌC PHẦN: TKT BS6004
ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG THỰC TIỄN

Sinh viên thực hiện :
Tên lớp : 20221BS6004010
Giáo viên hướng dẫn : Đặng Việt Trung

Hà Nội, 10 tháng 10 năm 2022
1

Phần 1 Mục lục

Lập bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm (5 tiêu chí)....................................3

Phần 2 Mở đầu.............................................................................................................4

Phần 3 Nội dung báo cáo.............................................................................................5

3.1 Một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp 1 (5 ứng dụng).............................5

Câu 1 (biến đổi nhiệt).....................................................................................................5

Câu 2 (biến đổi nhiệt).....................................................................................................6

Câu 3 (lò xo)...................................................................................................................7

Câu 4 (phân rã của chất).................................................................................................8

Câu 5 (phân rã của chất).................................................................................................9

3.2 Một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp 2 (4 ứng dụng)...........................10

Câu 1 (mạch điện)........................................................................................................10

Câu 2 (mạch điện)........................................................................................................12

Câu 3 (lò xo).................................................................................................................13

Câu 4 (lò xo).................................................................................................................14

Phần 4 Kết luận..........................................................................................................15

Phần 5 Tài liệu tham khảo..........................................................................................15

2

Phần 1 Lập bảng đánh giá tiêu chí làm việc nhóm (5 tiêu chí)

- Tổng điểm đánh giá của các thành viên và qui đổi ra hệ số cá nhân
- Bảng qui đổi ra hệ số cá nhân

3

Phần 2 Mở đầu

Lý do chọn đề tài
Lịch sử lý thuyết phương trình vi phân khởi nguồn từ nửa cuối thế kỉ XVII

trong các cơng trình của Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz hay nhà
Bernoulli, Jakob và Johann. Các phương trình vi phân xuất hiện như một hệ quả tự
nhiên khi các nhà toán học áp dụng các ý tưởng mới trong giải tích vào một số bài
tốn trong cơ học. Trải qua lịch sử hơn 300 năm, lý thuyết phương trình vi phân đã
trở thành một công cụ đặc biệt trong việc mơ tả và phân tích nhiều bài tốn thực tiễn
khơng chỉ trong khoa học kỹ thuật mà trong nhiều lĩnh vực khác nhau như trong y
học, sinh thái học, kinh tế, môi trường v.v. Tầm quan trọng của chúng là động lực
thúc đẩy các nhà khoa học và toán học phát triển các phương pháp trong nghiên cứu
các tính chất nghiệm, từ các phương pháp tìm nghiệm chính xác qua các hàm sơ cấp
đến các phương pháp hiện đại của giải tích và xấp xỉ số. Hơn nữa, lý thuyết này
cũng đóng một vai trị trung tâm trong sự phát triển của toán học bởi những câu hỏi
và vấn đề về phương trình vi phân là khởi nguồn của nhiều lĩnh vực tốn học như
topo, đại số, hình học và giải tích hiện đại. Sự phát triển nhanh chóng của lý thuyết
phương trình vi phân và những ứng dụng của chúng trong nhiều ngành khoa học đã
và đang thu hút sự quan tâm nghiên cứu của các chuyên gia và người học trong các
lĩnh vực đa ngành. Điều này đã đặt lý thuyết phương trình vi phân ở vị trí đặc biệt
trong toán học và khoa học ứng dụng. Ngày nay, lý thuyết này được dạy ở nhiều
cấp độ khác nhau trong hầu hết các trường đại học và viện nghiên cứu trên thế giới.

4

Phần 3 Nội dung báo cáo

3.1Một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp 1 (5 ứng dụng)

Câu 1 (biến đổi nhiệt): Một thanh thép được nung nóng đến nhiệt độ 400 ℃ , được
đặt trong môi trường với nhiệt độ không đổi là 25 ℃ (và nhiệt độ thanh thép tỏa ra

không làm thay đổi nhiệt độ của môi trường ). Biết rằng tốc độ nguội dần hoặc
nóng lên của vật tỉ lệ thuận với hiệu số của nhiệt độ vật và nhiệt độ môi trường xung
quanh và sau 30 phút nhiệt độ của thanh thép là 200 ℃.

a) Viết phương trình vi phân mơ phỏng và tìm nghiệm của phương trình này.
b) Hỏi sau bao lâu nhiệt độ của thanh thép là 100 ℃.

Giải
a)

 Ký hiệu T(t) là nhiệt độ của thanh thép tại thời điểm t.
 Tốc độ biến thiên của thanh thép là dTdt ,tỉ lệ thuận với hiệu số của nhiệt độ

T của thanh thép và nhiệt độ của môi trường xung quanh Te.
 Tốc độ này là một đại lượng âm vì T giảm theo thời gian .

Ta có phương trình vi phân sau:
dTdt =−k (T −25) , (k >0) với k là hệ số tỷ lệ (1).

Với điều kiện ban đầu :
T(0)=400 , T(30)=200 (sau 30 phút nhiệt độ thanh thép là 200 ℃ )

Giải phương trình vi phân (1) ;
dTdt =−k (T −25) ⇒ dT T −25 =−kdt .
Tích phân của 2 vế của phương trình ta được

ln|T −25|=−kt+C1 ,C1=const . (*)
Do nhiệt độ của thanh thép luôn lớn hơn hoặc bằng nhiệt độ của môi trường nên T-
25>0.
(*) => T-25=e−kt+C1=eC1 e−kt

5

=>T =C e−kt+25 , C=eC1=const (2)

Với T (0 )=400 thay vào (2) ta được , C=375

=> T =375 e−kt +25. (3)

Với T (30 )=200 thay vào (3) ta được :

200=375 e−k .30+ 25 k= 130 ln 375 127 ≈ 0,025.

Vậy quy luật nguội của thanh thép là

T =375 e−0,025 t +25.

b) Tìm thời gian thanh thép có T=100, ta có phương trình

100=375 e−0,025t+ 25≤¿ e0,025 t= 375 75 <¿>t ≈ 64

Vậy sau 64 phút nhiệt độ thanh thép sẽ là 100℃.

Câu 2 (biến đổi nhiệt): Một thanh kim loại được nung nóng tới nhiệt độ 500° C ,
được đặt trong một môi trường đủ rộng với nhiệt độ không đổi là 40° C(nhiệt độ
thanh kim loại tỏa ra không làm thay đổi nhiệt độ môi trường). Biết rằng tốc độ
nguội dần hoặc nóng lên của thanh kim loại tỉ lệ thuận với hiệu số của nhiệt độ của
thanh kim loại và nhiệt độ môi trường xung quanh và sau 30 phút nhiệt độ thanh
kim loại là 400° C .
a, Viết phương trình vi phân mơ phỏng và tìm nghiệm của phương trình này.

b, Sau bao lâu thì nhiệt độ của thanh kim loại là 250° C ?

Giải
a, Gọi T(t) là nhiệt độ của thanh kim loại tại thời điểm t.

Tốc độ biến thiên nhiệt độ thanh kim loại là dTdt tỷ lệ với hiệu số của nhiệt độ T
của thanh kim loại và nhiệt độ môi trường xung quanh T e.

Tốc độ này là một đại lượng âm vì T giảm theo thời gian.
Ta có phương trình vi phân mơ phỏng như sau:

dTdt =−¿k(T−40¿ với k>0, k là hệ số tỷ lệ (1)
Với các điều kiện ban đầu: T(0)= 500; T(30)= 400.
Giải phương trình (1):

6

dTdt = −¿k(T-40)
=> dT T −40 = −k dt

=> ∫ dT T −40 = ∫−k dt

=>ln ¿ T −40∨¿ ¿ = -kt + C1 với C1 = const (*)
Do nhiệt độ của thanh kim loại luôn ≥ nhiệt độ của môi trường nên:

|T −40∨¿ = T – 40
(*) => T– 40 = e−kt+C1 = eC1 e−kt

=> T = Ce−kt +¿ 40 với C = eC1 = const (2)

Với T(0) = 500 thay vào (2) ta được:
500 = Ce−k .0 +¿ 40

Nên C = 460 => T = 460e−kt +¿ 40 (3)
Với T(30) = 400 thay vào (3) ta được:

400 = 460e−k .30 +¿ 40
Nên k = 130 ln 460 360 ≈ 0,008171
Vậy quy luật nguội dần của thanh kim loại là:

T = 460e−0,008171t +¿ 40
b, Khoảng thời gian t để T = 250° C là:

250 = 460e−0,008171t +¿40
Nên t = 1 0,008171 ln 460 210 ≈95,96 (phút).

Câu 3 (lò xo): Biết rằng tốc độ giảm biên độ của lò xo tỉ lệ thuận với biên độ dao
động của lị xo. Hãy tìm quy luật giảm biên độ của lò xo biết thời gian cần thiết để
biên độ giảm một nửa là 5 giây và tìm thời gian cần để biên độ dao động của lò xo
còn lại 10% ?

Giải

7

Ký hiệu A(t) là biên độ tại thời điểm t ( A0 là biên độ tại thời điểm ban đầu) khi đó
tốc độ giảm biên độ là dAdt .Tốc độ này là một đại lượng âm vì A giảm dần theo thời
gian
Theo điều kiện ban đầu ta có:
dAdt =-kA (k,A>0) k là hệ số tỷ lệ

Suy ra: dAA =-kdt
Suy ra: ln|A|=ln|C|-kt
Suy ra: A=C× e−kt
Tại t=0 suy ra A0 =C× e−k×0 suy ra C= A0
Tại t=5 giây suy ra A0 2 = A0 × e−k×5 suy ra k=0,1386
Thời gian dao động cần tìm để biên độ dao động cịn lại 10% là:
110 × A0= A0 × e−0,1386 ×t
Suy ra t=16,6 (giây)
Vậy thời gian cần để biên độ giảm xuống còn 10% là: 16,6 giây

Câu 4 (phân rã của chất): Biết rằng tốc độ phân rã của radium tỉ lệ thuận với khối
lượng hiện có của nó. Hãy tìm quy luật phân rã nếu biết khối lượng ban đầu của nó
và thời gian T cần thiết để phân rã hết 50% khối lượng ban đầu. Hỏi sau 150 năm sẽ
phân rã hết bao nhiêu phần trăm khối lượng radium ban đầu nếu biết T= 1800 năm.

Giải
Ký hiệu R(t) là khối lượng radium tại thời điểm t.
Tốc độ phân rã là dRdt , tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có của nó.
Tốc độ này là một đại lượng âm vì R giảm theo thời gian.
Theo điều kiện ban đầu ta có phương trình vi phân :
dRdt = -kR ( R > 0, k > 0 ) trong đó k là hệ số tỷ lệ. (1)
R(0) = R0

8

R(T) = R0 2

Giải phương trình vi phân (1)

dRdt = -kR => dRR = -kdt

Tích phân 2 vế của phương trình ta được :

 lnR = -kt + ln|C|

 R = Ce-kt ( ln|C| = C1 )

Vì R(0)=R0 , R(T)= R0 2
 C=R0 , K= ln 2 T

−ln 2 t

Quy luật phân rã của radium là: R=R0e T
Với T = 1800 , t = 150 ta có:
R(150) = R0e−0.058 => R (150) R0 = e−0.058 = 0.944 = 94.4%
Vậy qua 150 năm sẽ phân rã hết 5.6% lượng radium ban đầu.

Câu 5 (phân rã của chất): Một mẫu phóng xạ có khối lượng ban đầu là R0=1 mg.
Sau 15,8 ngày khối lượng của mẫu giảm 94,25%. Tìm chu kỳ bán rã của chất phóng
xạ, biết rằng tốc độ phân rã của một chất phóng xạ tỉ lệ thuận với khối lượng hiện
có của nó.

Giải
Ký hiệu R(t) là khối lượng radium tại thời điểm t.
Tốc độ phân rã là dRdt , tỉ lệ thuận với khối lượng hiện có của nó.
Tốc độ này là một đại lượng âm vì R giảm theo thời gian.
Theo điều kiện ban đầu ta có phương trình vi phân :
dRdt = -kR ( R > 0, k > 0 ) trong đó k là hệ số tỷ lệ. (1)
R(0) = R0 = 1
R(15,8) = 1 – 0,9425 = 0,0575

Giải phương trình vi phân (1)

9

dRdt = -kR => dRR = -kdt

Tích phân 2 vế của phương trình ta được :

 lnR = -kt + ln|C|

 R = Ce-kt ( ln|C| = C1 ) (2)

Với R(0) = 1 thay vào (2) ta được C = 1

R(t) = e-kt (3)

Với R = 0,0575 thay vào (3) ta được:

e-15,8k = 0,0575  k=0.1807

Vậy quy luật phân rã của chất phóng xạ là:

R(t) = e-0,1807t

Gọi T là chu kỳ bán rã của chất phóng xạ, ta có:

R(T) = R0 2 = 12

 e-0,1807T = 12 => T = 3,83 ngày.

3.2Một số ứng dụng của phương trình vi phân cấp 2 (4 ứng dụng)
Câu 1 (mạch điện) : Xét mạch điện nối tiếp như hình vẽ gồm các phần tử sau
R=5Ω,L=1H,C=0,25F,vs=10 sin 4 t.Tìm vc (t )? Biết mạch có điều kiện ban đầu
vc (0)=0,v'c (0)=0.

Giải
Áp dụng định luật kirchoff 2(K2), ta được:

vR+ vL+ vC=vs(1)
Ri+ L i'+ vc=vs
Mài=C . v'c ; i'=C' . v''c

10

 (1)  v ”c + RL v c' + vc LC = vs LC

Thay số ta được:
v' 'c+ 5 v'c+ 4 v'c=40 sin 4 t (2)

Xét phương trình đặc trưng:

k 2+5 k + 4=0

Phương trình đặc trưng có nghiệm: k1=-1,k2=-4
Nghiệm của phương trình thuần nhất là

vh=c1 e−t +c2 e−4t

Xét VP = 40sin4t(a=0,n=1)
Ta thấy a=0 không là nghiệm của phương trình đặc trưng

Nên nghiệm riêng của (2) có dạng:

vp= Acos 4 t +Bsin 4 t

 v' p=−4 Asin 4 t + 4 Acos 4 t
 v' ' p=−16 Acos 4 t −16 Bsin 4 t

Thay vp , v' p , v' 'p vào (2)
 (2)  (−12 A +20 B )cos 4 t +(−20 A−12 B) sin 4 t =40 sin 4 t

−12 A +20 B=0

−20 A−12 B=40

 A=−25 17 ,B=−15 17
 vp=−25 17 cos 4 t − 1517 sin 4 t

Nghiệm tổng quát:
vc (t )=v p+ vh=e−t c1+e−4 t c2− 25 17 cos 4 t − 15 17 sin 4 t

Với điều kiện ban đầu
vc (0)=0 , v'c(0 )=0

 c1+c2− 2517 =0

−c1−4 c2−4. 1517 =0

11

c1=3,14 , c2=−1,67

 vc=3,14.e−t−1,67 e−4t− 2517 cos 4 t− 1517 sin 4 t

12

Câu 2 (mạch điện):

Hãy tìm phương trình vi phân ứng với dòng điện i2 trong mạch

Giải

Áp dụng định luật Kirchhoff 2

Ta có: 2 i1+ ⅆ i1 ⅆt − ⅆ i2 ⅆt =vs

−ⅆ i1 ⅆt +3 i2+2 ⅆ i1 ⅆt =0

Sử dụng toán tử s=d ∕ ⅆt

(2+ s) i1−s i2=vs

−s i1+(3+ 2 s) i2=0

Sử dụng định luật Cramer để tìm i2 ta được:

i2= (2+ s ) (3+ 2 s)−s2 s vs = s2 s vs +7 s+6

( s2+7 s+6 )i2=s vs

Vậy pt vi phân cho i2 là:

ⅆ2i2 ⅆi2 ⅆ vs
+7 +6 i2=
ⅆ t 2 ⅆt ⅆt

Xét phương trình đặc trưng:

k 2+7 k+ 6=0

Phương trình đặc trưng có nghiệm là: k= -1,k= -6

Vậy nghiệm của phương trình thuần nhất là:

vh=C1 ⅇ−t +C 2ⅇ−6t

13

Câu 3 (lò xo) : Một lò xo khối lượng 3Kg có độ dài tự nhiên 0,3(m). Người ta cần
một lực 30(N) kéo giãn nó ra một độ dài 0,8(m). Nếu lò xo được kéo giãn tới độ dài
0,8(m) và sau đó được thả ra với vận tốc ban đầu là 0, hãy tìm vị trí của vật thể tại
thời điểm t bất kỳ.

L0 0 L
m x 0,5 mF

Theo định luật Hooke, nếu lò xo được kéo dãn thêm x đơn vị so với chiều dài tự
nhiên của nó, thì nó tạo nên một lực tỷ lệ thuận với x. Lực cần thiết để kéo giãn lò
xo là:

F=kx
30=0,5k

 k=60
Nếu bỏ qua mọi lực cản , theo ĐL II Newton: F=ma  -kx=mx” 3x”+60x=0
3x”+60x=0 là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất
Ta có phương trình đặc trưng là :
3λ2 +60 =0

 λ1=2 √5 i
λ2=−2 √5 i

Nghiệm tổng quát của phương trình là

x(t) = C1cos (2 √5¿t )+ C 2 sin(2 √5¿ t)¿ ¿
x’(t)¿−2 √5 C 1 sin(2 √5¿t )+2 √5 C 2 cos(2 √5¿t )¿ ¿

14

Thời điểm bắt đầu thả vật t=0 => x(0) =0,5 =>C1=0,5
Vận tốc ban đầu là 0
=> v(0)=0  x’(0) =0  C2 =0

=> x(t)= 12 cos (2 √5¿t )¿ pt xác định vị trí của vật thể tại thời điểm t

Câu 4 (lị xo): Một lị xo có độ cứng K , một đầu lò xo gắn cố định một đầu gắn với

vật nặng khối lượng 4 kg chiều dài tự nhiên của lò 0,4 m . người ta cần một lực

60(N) kéo giãn nó ra một độ dài 1 m. nếu lò xo được kéo giãn tới độ dài 1m và sau

đó được thả ra với vận tốc ban đầu là 0. Hãy tìm tọa độ của vật thể tại thời điểm

t= 12 s?

Giải

Theo định luật hooke nếu lò xo được kéo dãn thêm x đơn vị so với chiều dài tự

nhiên của nó, thì nó tạo nên một lực tỷ lệ thuận với x. Lực cần thiết để giãn lò xo là:

F=Kx

Suy ra: 60=0,6K

Suy ra: K=100 (N/m)

Nếu bỏ qua mọi lực cản theo định luật II Newton:

F=ma

Suy ra: -kx=ma

Suy ra: 4x ¿+100x=0 (1)

Ta có phương trình (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất

Ta có phương trình đặc trưng : b2+60 b=0

Suy ra: b1=2i √15 ; b2=−2i √15

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

x=e0 ¿+C2sin 2 t √15) (2)

Tại t=0, x=0,6 thay vào phương trình (2) ta được: C1=0,6

Tại t=0, v=0 thay vào x' ta được: 0=-2√15 ×0,6×sin2t√15 +2C2√15 ×cos 2 t √15

Suy ra C2=0

Suy ra phương trình giao động của vật là: x=0,6cos(2t√15)

Suy tọa độ của vật tại thời điểm t=1/2 s là: x=-0,4465.

15

Phần 4 Kết luận

Từ những ví dụ đã nêu ở trên ta đã thấy được tính ứng dụng của bộ mơn
Tốn Kỹ Thuật trong thực tế. Là một công cụ rất hữu dụng để chúng ta nghiên cứu,
kiểm tra và đánh giá một số hiện tượng sự vật quanh ta. Chúng ta cũng đã thấy được
mơn học Tốn Kỹ Thuật khơng phải là một bộ môn với những con số khô khan
không có tính ứng dụng, khơng có giúp ích gì cho cuộc sống chúng ta. Chỉ khi ta
tìm tịi để hiểu thêm về nó thì khi đó thứ mà nó mang lại cho chúng ta rất hữu dụng.
Các công việc mà chúng ta vẫn đang làm từ trước đến giờ nếu ta ứng dụng tốn kĩ
thuật vào đó được thì hiệu quả đem lại sẽ rất lớn và hơn thế nữa là khi ta chuyển từ
cách làm việc theo kiểu mới thì nó sẽ đem lại cho chúng ta một tinh thần vui vẻ, có
thêm động lực để sáng tạo và khiến cơng việc đó bớt nhàm chán. Chính vì tất cả
những lí lẽ đó mà chúng ta nên học hỏi, tìm tịi, biết cách vận dụng các kiến thức
một cách khơn ngoan để có thể giúp cho cuộc sống của chúng ta phát triển theo một
chiều hướng tích cực, tốt đẹp hơn!!!

Phần 5 Tài liệu tham khảo

Tiếng việt
 Cuuduongthancong. (khơng ngày tháng). Hồ Chí Minh.
 Loi, T. D. (2021). ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 GIẢI
MẠCH ĐIỆN. Trần Đức Lợi.
 Tốn kỹ thuật - 20221BS6004010. (khơng ngày tháng).

16