Bài tập đại số tuyến tính (kemdethi)

BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Bộ môn Đại số và Xác suất Thống kê
10-2023

Chú ý đối với sinh viên Bài 1.6. Giải phương trình: 33xx
x 3 3 x = 0.
1. Các bài tập được tập hợp trong tài liệu này sẽ được sử xx33
dụng chung trong các giờ bài tập của học phần ĐSTT xxx3
cho các lớp hệ 2 tín chỉ và hệ 3 tín chỉ.

2. Yêu cầu về việc chuẩn bị bài tập cho từng tuần sẽ được Bài 1.7. Giải phương trình: xx11
giảng viên thông báo trực tiếp cho sinh viên. 1 1 x x = 0.
x21x
3. Để thực hiện tốt các bài tập được đề nghị sinh viên cần x2x1
phải ghi nhớ chắc chắn các nội dung lý thuyết được giảng
dạy trên lớp, tham khảo và vận dụng tốt những phương

án xử lý trong các ví dụ mẫu của sách giáo khoa. Bài 1.8. Tính giá trị của định thức

PHẦN I: ĐỀ BÀI xx11
D= 1 x x 1 .
1. Ma trận và định thức
11xx
Bài 1.1. Cho ma trận A = 2 −1 . x11x
5 −2
Bài 1.9. Cho ma trận vng cấp ba
a) Tính A567.
b) Tính det(A576 + 2A567 + 3A675). 1 3 −2
A = 2 1 3  .
Bài 1.2. Cho ma trận A = 2 3 .

−1 −1 54 7

a) Tính A2018. a) Tính det(A4 + 3A3).
b) Tính det(2A2017 − 3A2018 + 4A2019). b) Tính hạng của ma trận A + 5I.

1 −4 2 Bài 1.10. Cho hai ma trận
Bài 1.3. Cho ma trận A = 1 −4 2.
A= 1 2 3 ,  1 2
1 −4 2 −1 1 3 B = −1 3 .
Tính A200 + A.
34
Bài 1.4. Cho ma trận vuông cấp ba
a) Tính det(AB) và det(BA).
−10 11 −22 b) Tính hạng của ma trận BA + 4I.
A =  3 −2 6  .
Bài 1.11. Cho hai ma trận
6 −6 13
A= 4 2 , B= 3 1 .
a) Tính A2, A2018 và A2019. 13 23
b) Cho n là số nguyên dương. Hãy tính theo n định
thức của ma trận B với B = A2018 + 3An. a) Tính det(A3B2 + 4A2B3).
b) Tính (A + 2B)2 − 19(A + 2B).
Bài 1.5. Cho ma trận vuông cấp ba
Bài 1.12. Cho các ma trận vuông cấp ba
1 0 a 
A = 0 1 b  . 1 2 4  3 4 5

0 0 −1 A = 2 1 −2 , B = 2 2 3 .

a) Tính A2, A2018 và A2019. 3 −2 1 4 −1 3

b) Cho m, n là hai số nguyên dương. Hãy tính theo
m, n định thức của ma trận B với B = 5Am + 7An. Hãy xác định giá trị của det(AB).

1

2 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ

Bài 1.13. Cho các ma trận vuông cấp ba Bài 1.21. Tìm x để ma trận sau khả nghịch

3 5 7   1 4 −5 1 x x x

A = 2 3 −2 , B = −2 2 3  .  x 1 1 x  .
 x −2 −2
2 −2 3 4 −1 2 A=
x

Hãy xác định giá trị của det(A2B − 3AB2). −2 −2 x x

Bài 1.14. Cho các ma trận vuông cấp ba Bài 1.22. Giải phương trình ma trận

1 2 5  3 2 −2 1 −1 4  5 1 3 

A = 3 4 −1 , B = 3 1 4  . 2 1 −1 X = 2 2 −2 .

4 2 −3 52 7 1 −2 1 4 −2 1

a) Hãy xác định giá trị của det(A3B2 − 3A2B3). Bài 1.23. Giải phương trình ma trận
b) Tính hạng của ma trận A + 3B.

Bài 1.15. Cho các ma trận vuông cấp ba 2 1 −2  2 1 0

X 0 2 1  = −2 1 3 .

3 2 −2 −2 4 5  3 −1 3 1 −2 5

A = 1 1 3  , B =  1 2 −3 . Bài 1.24. Giải phương trình ma trận

2 −2 1 2 −1 1

a) Chứng minh rằng ma trận A3B2 + 3A2B3 khả 43X75 = 1 2.
nghịch. 32 32 −1 0
b) Tính hạng của ma trận A2B − 2AB2.
Bài 1.25. Tính hạng của ma trận
Bài 1.16. Tính nghịch đảo của ma trận
1 1 2 1
 2 1 −3 A = 2 1 4 3 .
A =  1 3 −2 .
3264
−1 −2 1
Bài 1.26. Tính hạng của ma trận
2 0 3
Bài 1.17. Cho ma trận A = 1 2 2 . 1 −1 3 2 −1

104 2 2 −1 2 3 
a) Tính A3 − 8A2 + 17A. A= 
b) Tính A−1. .
1 −2 −2 2 −4

4 −1 0 6 −2

Bài 1.18. Tìm x để ma trận sau khả nghịch: Bài 1.27. Tính hạng của ma trận sau theo x

a x x x 1 1 1 x

b b x x 1 x x 1
A= A= .
c c c x x x 1 1

dddd x1x1

với a, b, c, d là các số cho trước. Bài 1.28. Tính hạng của ma trận sau theo x

x 2 3 1 x 1 x
Bài 1.19. Cho ma trận A = 0 1 4. Hãy tìm x
1 x x x
058 A= .
để A4 − 3A3 là một ma trận khả nghịch. x 1 1 x

x111

Bài 1.20. Tìm x để ma trận sau khả nghịch

Bài 1.29. Tính hạng của ma trận sau theo x

1 1 1 1 

x 2 2 2  2 x x x
A=  A = x 2 x x .
.
x x −2 −2 xx2x

x x x −1

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 3

Bài 1.30. Cho ma trận Bài 2.7. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo
tham số λ
1 x x x

1 1 x x
A= . x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 3
1 x 2 x

1122
2x1 − x2 + 2x3 + 5x4 = 7
Hãy tính x biết r(A) = 2.
4x1 − 3x2 + 7x3 + 9x4 = 13



8x1 − 6x2 + λx3 + 18x4 = 26

2. Hệ phương trình Bài 2.8. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo
tham số α
Bài 2.1. Giải hệ phương trình sau theo phương pháp

Cramer
2x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 6



2x1 + 2x2 + 5x3 = 21
x1 + x2 + 3x3 + x4 = 9


2x1 + 3x2 + 6x3 = 26
3x1 + 5x2 − 5x3 + (α + 5)x4 = 3

Bài 2.9. Cho hệ phương trình
x1 − 6x2 − 9x3 = −37

Bài 2.2. Giải hệ phương trình sau theo phương pháp
khử Gauss x1 + x2 + 2x3 = 4

 

x1 + 5x2 + 2x3 + 3x4 − 2x5 = 4 3x1 + x2 + 4x3 = 8

 5x1 − 4x2 + x3 = 2

4x1 + x2 − x3 + 12x4 − 8x5 = 15 

 4x1 − x2 + 5x3 = λ

2x1 + 3x2 + x3 + 6x4 − 4x5 = 7

Bài 2.3. Giải hệ phương trình sau theo phương pháp Xác định λ để hệ trên có nghiệm. Giải hệ với λ tìm

khử Gauss được.

 Bài 2.10. Cho hệ phương trình

x1 + 3x2 + 2x3 − 3x4 − 4x5 = 14 

 x1 + x2 + x3 − x4 − x5 = 3

5x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 − 6x5 = 17 

 2x1 + 3x2 − 2x3 + 4x4 + x5 = 7
3x1 + 4x2 − 2x3 + x4 − 2x5 = 4
3x1 − 2x2 + x3 + 2x4 − 2x5 = −1

Bài 2.4. Giải hệ phương trình sau theo phương pháp
khử Gauss 6x1 + 8x2 − 3x3 + 4x4 − 2x5 = λ

 Xác định λ để hệ trên có nghiệm. Giải hệ với λ tìm
được.
x1 + 2x2 − 2x3 + x4 = 3
Bài 2.11. Cho hệ phương trình


2x1 + 3x2 + x3 − 2x4 = 4

3x1 + 5x2 − 2x3 + 2x4 = 6



6x1 + 10x2 − 3x3 + x4 = 13

Bài 2.5. Giải hệ phương trình sau: 

 3x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = 4

x1 + 2x2 − 3x3 + 2x4 = 6 

 2x1 − x2 + 3x3 + 3x4 = 3

2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 7 

3x1 + 5x2 + 2x3 + 4x4 = 23 4x1 − 3x2 − x3 − 7x4 = λ

 a) Tìm λ để hệ được cho có nghiệm.
b) Giải hệ thuần nhất tương ứng với hệ được cho.
4x1 + 6x2 + 6x3 + 2x4 = 22

Bài 2.6. Cho hệ phương trình Bài 2.12. Cho hệ phương trình

 

2x1 + 3x2 − x3 = 6 2x1 + x2 + 3x3 − 2x4 = 1

 

3x1 + x2 + 4x3 = 0 3x1 − 2x2 + x3 + 3x4 = 4

 

λx1 + 4x2 + 3x3 = 2 4x1 − 5x2 − x3 + 8x4 = λ

a) Tìm giá trị của λ để hệ có nghiệm duy nhất. a) Tìm λ để hệ được cho có nghiệm.
b) Giải hệ khi λ = 2. b) Giải hệ thuần nhất tương ứng với hệ được cho.

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

4 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ

Bài 2.13. Cho hệ phương trình Bài 3. 4. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ
{a1, a2, a3, a4} với a1 = (1, 1, 2), a2 = (2, 3, −1)
 a3 = (3, −1, 2), a4 = (2, 8, −2). Hãy tìm tất cả
các biểu diễn tuyến tính có thể có của a4 trên hệ
x1 + x2 + 2x3 − 2x4 = 3 {a1, a2, a3, a4}.

 Bài 3. 5. Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ
{a1, a2, a3, a4} với a1 = (1, 2, −2), a2 = (2, −1, 3) a3 =
3x1 + x2 − x3 + 4x4 = 5 (3, 1, 4), a4 = (5, 5, 3). Hãy tìm tất cả các biểu diễn
tuyến tính có thể có của a4 trên hệ {a1, a2, a3, a4}.

Bài 3.6. Tìm λ để x = (1, 4, λ) biểu diễn được theo
6x1 + 4x2 + 5x3 + λx4 = 6 các véc tơ dưới đây, trong khơng gian tuyến tính R3:

Giải hệ với λ̸ = −2.

Bài 2.14. Cho hệ phương trình



2x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 5



3x1 + 4x2 − 2x3 + 5x4 = 6



4x1 + 9x2 − 7x3 + λx4 = 8

Giải hệ với λ̸ = 8. a1 = (1, 1, −2); a2 = (2, −3, 1); a3 = (−1, −3, 4).

Bài 2.15. Xác định nghiệm của hệ phương trình sau Bài 3.7. Tìm λ để x = (2, 3, 2, λ) biểu diễn được theo
theo tham số λ các véc tơ dưới đây, trong không gian tuyến tính R4:

 a1 = (1, 1, 2, 2); a2 = (2, 3, 1, 4); a3 = (3, 4, 2, 3).

x1 + x2 + x3 − x4 = 0 Bài 3.8. Tìm λ để x = (4, 12, −7, λ) biểu diễn được
theo các véc tơ dưới đây, trong khơng gian tuyến tính
 R4:

x1 + x2 − x3 + x4 = 0 a1 = (1, 1, −1, −2); a2 = (1, 2, −3, −1);
x1 − x2 + x3 + x4 = 0 a3 = (1, −1, 4, 2), a4 = (1, 3, 2, 1).

 Bài 3. 9. Trong không gian R3 cho hệ véc tơ
{a1, a2, a3} với
−x1 + x2 + x3 + x4 = λ
a1 = (−2, 1, 1), a2 = (1, −2, 1), a3 = (1, 1, 2).
Bài 2.16. Xác định nghiệm của hệ phương trình sau
theo tham số λ a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} là hệ độc lập tuyến
tính.
 b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử
x = (1, 3, −2) qua hệ {a1, a2, a3}.

x1 + x2 − 3x3 − 3x4 = 3
Bài 3. 10. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ
 {a1, a2, a3} với

2x1 + 3x2 + 4x3 − x4 = 5
3x1 + 4x2 + 2x3 + 2x4 = 8



7x1 + 9x2 + x3 + x4 = λ

3. Khơng gian tuyến tính

Bài 3. 1. Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ
{a1, a2, a3} với

a1 = (1, 1, −1), a2 = (3, 2, 1), a3 = (−1, 1, 3).

Chứng minh rằng phần tử x = (7, 7, 3) là một tổ hợp a1 = (1, 2, −1, 1), a2 = (1, −2, 2, 1), a3 = (1, 1, −1, 1).
tuyến tính của hệ {a1, a2, a3}.
Bài 3. 2. Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} là hệ độc lập tuyến
{a1, a2, a3} với tính.
b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử
a1 = (1, 1, −2), a2 = (3, −4, 1), a3 = (−3, 2, 1). x = (4, 6, −1, 3) qua hệ {a1, a2, a3}.

Chứng minh rằng phần tử x = (5, −6, 1) là một tổ Bài 3. 11. Trong không gian R3 cho hệ véc tơ
hợp tuyến tính của hệ {a1, a2, a3}. {a1, a2, a3} với
Bài 3. 3. Trong không gian tuyến tính R3 cho hệ
{a1, a2, a3} với a1 = (1, −1, −1), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, 1, λ),

a1 = (1, 2, 3), a2 = (3, 1, −1), a3 = (5, 3, 1). trong đó λ là tham số.
a) Tìm các giá trị của λ để hệ {a1, a2, a3} là một hệ
Hãy tìm tất cả các biểu diễn tuyến tính của phần tử độc lập tuyến tính.
x = (2, 3, 4) qua hệ {a1, a2, a3}. b) Thay λ = 1, hãy tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có)
của phần tử x = (4, 2, 3) qua hệ {a1, a2, a3}.

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 5

Bài 3. 12. Trong không gian R3 cho hệ véc tơ Bài 3.20. Trong không gian tuyến tính R4 cho M là

{a1, a2, a3} với khơng gian con hai chiều có cơ sở là {u1, u2} với

a1 = (1, 1, 1), a2 = (1, 2, 3), a3 = (2, 1, 4). u1 = (2, 1, −1, 1), u2 = (1, 2, 3, −1).

a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} là hệ độc lập tuyến Cho các phần tử u = (0, 1, 1, 3), v = (1, 1, 1, −1). Hãy
tính. xác định số thực λ sao cho u − λv ∈ M .
b) Hãy cho biết hệ {a1, a2, a3} có là một cơ sở của R3
hay khơng? Tại sao? Bài 3.21. Trong khơng gian tuyến tính R4 cho M là
khơng gian con ba chiều có cơ sở là {u1, u2, u3} với
Bài 3. 13. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ
{a1, a2, a3, a4} với u1 = (1, 2, −1, 1), u2 = (2, 1, 3, 2), u3 = (−1, 2, 1, 2).

a1 = (1, 2, 1, 2), a2 = (1, 2, −1, 1), Hãy xác định số thực λ biết rằng phần tử x =
a3 = (2, 1, 3, 1), a4 = (1, 3, −2, 2). (2, 5, 3, λ) nằm trong M .
a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3, a4} là hệ độc lập
tuyến tính. Bài 3.22. Trong không gian R3 cho các tập con M
b) Hãy cho biết hệ {a1, a2, a3, a4} có là một cơ sở của và N như sau
R4 hay không? Tại sao?

M = {(x1, x2, x3) | x1 + x2 − x3 = 0},
Bài 3. 14. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ N = {(x1, x2, x3) | x1 + x2 − x3 ≥ 0}.
{a1, a2, a3, a4} với
Hãy cho biết trong các tập con trên, tập con nào là
a1 = (1, 1, −1, 2), a2 = (2, 3, −1, 1), một không gian con của R3. Ứng với mỗi tập con là
a3 = (−1, 1, 1, 3), a4 = (2, 2, 5, 6). không gian con của R3, hãy xác định một cơ sở và số
a) Hãy cho biết hệ {a1, a2, a3, a4} là hệ độc lập tuyến chiều của nó.
tính hay là hệ phụ thuộc tuyến tính?
b) Cho b ∈ R4 là một phần tử nào đấy. Hãy cho biết Bài 3. 23. Trong khơng gian tuyến tính R4, khơng
hệ {a1, a2, a3, a4, b} là hệ độc lập tuyến tính hay là hệ gian con M được xác định bởi
phụ thuộc tuyến tính?
M = {(x1, x2, x3, x4) | x1 − x2 − x3 + x4 = 0}.
Bài 3.15. Xác định giá trị của λ để hệ {a1, a2, a3}
được cho dưới đây là hệ phụ thuộc tuyến tính: Hãy xác định một cơ sở và số chiều của M .

a1 = (2, 3, −2, 3), a2 = (2, −1, 2, 1), a3 = (1, 1, 1, λ). Bài 3.24. Trong khơng gian tuyến tính R4 cho khơng
gian con
Bài 3. 16. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ
{a1, a2, a3} với

a1 = (2, 1, 2, 3), a2 = (1, 4, 1, 5), a3 = (3, −2, 3, λ).

a) Tìm λ để hệ {a1, a2, a3} là hệ phụ thuộc tuyến tính. M = {(x1, x2, x3, x4)|2x1 − x2 − x3 + 4x4 = 0}
b) Với λ tìm được hãy xác định biểu diễn tuyến tính
của a2 theo hệ {a1, a3}. và phần tử w ∈ M với w = (1, 5, 1, 1). Hãy xác định
một cơ sở và số chiều của M và cho biết tọa độ của
Bài 3.17. Hãy tìm tọa độ của véc tơ x = (10, 9, 9) w trên cơ sở được đưa ra.
trong cơ sở dưới đây của không gian tuyến tính R3:
Bài 3.25. Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ cơ
a1 = (1, 1, 2); a2 = (1, 2, 3); a3 = (3, 1, −1). sở (a) = {a1, a2, a3} và véc tơ x có tọa độ trong cơ sở

(a) là [x]a = (1, 2, −3). Hãy tìm tọa độ của véc tơ x
Bài 3.18. Hãy tìm tọa độ của véc tơ x = (8, 8, 19, 19) trong cơ sở mới (b) = {b1, b2, b3}, biết ma trận chuyển
trong cơ sở dưới đây của khơng gian tuyến tính R4: từ cơ sở (a) sang cơ sở (b) là

a1 = (1, 1, 2, 3); a2 = (2, 1, 3, 4); 1 −1 2 
a3 = (2, 3, −2, 1); a4 = (1, 3, 3, 1). T = 2 3 1  .

Bài 3.19. Trong khơng gian tuyến tính R3 cho M là 3 4 −1
khơng gian con hai chiều có cơ sở là {u1, u2} với
Bài 3.26. Trong không gian tuyến tính ba chiều U
u1 = (1, 2, −2), u2 = (2, 2, −1). cho hai hệ cơ sở (a) và (b) với ma trận chuyển cơ sở
từ hệ (a) sang hệ (b) là
Cho các phần tử u = (4, 7, 2), v = (1, 3, 5). Hãy xác
định số thực λ sao cho u − λv ∈ M .

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

6 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ

3 −2 −1 Bài 3.32. Trong khơng gian tuyến tính ba chiều U
T = 2 2 3  . cho ba hệ cơ sở (e), (a) và (b). Cho biết ma trận
chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở (a) là
12 1
2 −1 1
Cho biết phần tử x có tọa độ trong cơ sở thứ nhất Tea = 2 1 2
(a) là [x]a = (2, 4, 5). Hãy tính tọa độ [x]b của phần
tử x trong cơ sở thứ hai (b). 314

Bài 3.27. Trong khơng gian tuyến tính ba chiều U và ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở (b) là

cho hai hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} và (b) = {b1, b2, b3} 1 1 1
với Teb = −2 3 1  .

b1 = a1+a2−3a3, b2 = 2a1−3a2+2a3, b3 = 4a1+5a2+a3. 2 1 −2

Cho biết phần tử x có tọa độ trong cơ sở thứ nhất Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (a) sang hệ (b).
(a) là [x]a = (1, −3, 5). Hãy tính tọa độ [x]b của phần
tử x trong cơ sở thứ hai (b). Bài 3.33. Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hai
hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} và (b) = {b1, b2, b3} với

Bài 3.28. Trong khơng gian tuyến tính ba chiều U a1 = (3, 1, 4), a2 = (5, −4, 2), a3 = (2, 1, 1),
cho hai hệ cơ sở (a) và (b) với ma trận chuyển cơ sở b1 = (3, −2, 3), b2 = (4, 1, −2), b3 = (3, 4, 2).
từ hệ (a) sang hệ (b) là Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (b) sang hệ (a).

1 2 −4 4. Ánh xạ tuyến tính
T = 2 5 3  . Bài 4.1. Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định bởi công
thức
32 1
f (x) = (x1 + 2x2 − x3, x1 − x2 + 2x3, 2x1 − x2 − x3),
Cho biết phần tử x có tọa độ trong cơ sở thứ nhất
(a) là xa = (1, 4, −2). Hãy tính tọa độ xb của phần tử
x trong cơ sở thứ hai (b).

Bài 3.29. Trong khơng gian tuyến tính ba chiều U với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3.
cho hai hệ cơ sở (a) và (b) với ma trận chuyển cơ sở a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính.
từ hệ (a) sang hệ (b) là b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc
của R3.
4 2 1
T = 1 −2 3 . Bài 4.2. Cho ánh xạ f : R4 −→ R3 xác định bởi công
thức

334

Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (b) sang hệ (a). f (x) = (2x1−x2−x3+x4, x1+x2−2x3+x4, x1−x3+x4),

Bài 3.30. Trong khơng gian tuyến tính ba chiều U với mọi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4.

cho hai hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} và (b) = {b1, b2, b3} a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính.

với b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên các cơ sở chính

tắc của R3 và R4.
b1 = 2a1+3a2−a3, b2 = a1+4a2+2a3, b3 = 3a1−a2+a3.

Bài 4.3. Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định bởi cơng

Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (b) sang hệ (a). thức

Bài 3.31. Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hai f (x) = (3x1 − 2x2 + x3, x1 + x2 + x3, x1 − x3 + α),
hệ cơ sở (a) = {a1, a2, a3} và (b) = {b1, b2, b3} với
với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 (α là tham số).
a1 = (2, −1, 3), a2 = (1, 1, 2), a3 = (2, 1, 4), a) Hãy xác định α để ánh xạ f là một ánh xạ tuyến
b1 = (1, 2, 3), b2 = (3, 1, −2), b3 = (−1, 1, 2). tính.
b) Với α tìm được hãy lập ma trận của ánh xạ f trên
Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (a) sang hệ (b). cơ sở chính tắc của R3.

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 7

Bài 4.4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác Bài 4.9. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác

định bởi công thức định bởi công thức

f (x) = (2x1 − x2 + 2x3, x1 + 2x2 − x3, 3x1 + 4x2 − x3), f (x) = (3x1 +x2 +2x3, x1 +3x2 +2x3, 3x1 +3x2 +5x3),

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3. với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3.
a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc
của R3. của R3.
b) Hãy chỉ ra rằng ma trận của f trên cơ sở mới
b) Hãy tìm ma trận của f trên cơ sở mới {a1, a2, a3} {a1, a2, a3} của R3 với
của R3 với

a1 = (2, 1, −1), a2 = (1, −2, 3), a3 = (3, 2, 1). a1 = (1, 1, 2), a2 = (2, 2, −3), a3 = (1, −1, 0)

Bài 4.5. Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định bởi công là một ma trận đường chéo.
thức
Bài 4.10. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác
f (x) = (2x1 +3x2 +4x3, x1 +2x2 −5x3, 2x1 +x2 +3x3), định bởi công thức

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3. a) Chứng minh rằng f f (x) = (x1−2x2+x3, −2x1−2x2+2x3, −5x1−10x2+7x3),
là một ánh xạ tuyến tính.
b) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở {a1, a2, a3} với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3.
của R3, biết rằng a1 = (0, 4, 0), a2 = (2, 0, 0), a3 = a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc
(0, 0, −1). của R3.
b) Hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh
Bài 4.6. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác xạ f .
định bởi công thức
Bài 4.11. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 xác
f (x) = (2x1 + x2 − 3x3, 3x1 − 2x2 − x3, x1 + 3x2 − 2x3), định bởi công thức

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 . f (x) = (3x1−x2+2x3+x4, 3x2−x3+6x4, 3x3+5x4, 3x4),
a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc
của R3 với mọi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4.
b) Xác định x ∈ R3 để f (x) = (6, 2, 6). a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trong cơ sở chính
tắc của R4.
Bài 4.7. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R3 xác b) Hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh
định bởi công thức xạ f .

f (x) = (x1 + x2 − x4, 3x1 − 2x2 + x3, x1 + x3 − 2x4), Bài 4.12. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4 xác
định bởi công thức

với mọi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4. f (x) = (2x1, −3x1+2x2, 5x1−x2+2x3, 2x1−x2+4x3+2x4),

a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cặp cơ sở chính với mọi x = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4.
tắc của R3 và R4. a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trong cơ sở chính
b) Tìm tất cả x ∈ R4 để f (x) = f (1, 2, 1, 2). tắc của R4.

Bài 4.8. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác b) Hãy tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh

định bởi công thức xạ f .

f (x) = (x1 + x2 − 2x3, 2x1 − 2x2 + 5x3, x1 + 3x2 + x3), Bài 4.13. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác
với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 . định bởi công thức
a) Cho u = (1, −1, 2). Hãy tìm x ∈ R3 để
f (x) = (3x1 + x2 + x3, x1 + 3x2 + x3, −x1 + x2 + x3),
f (x + 2u) + f (2x − u) = (11, −7, 18).
b) Cho u = (2, −1, 2). Hãy tìm x ∈ R3 để với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3.
a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc
f (x+u)+f (x+2u)+. . .+f (x+5u) = f (36x+108u). của R3.
b) Hãy xác định các giá trị riêng và véc tơ riêng của

ánh xạ f .

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

8 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ

Bài 4.14. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác Bài 4.22. Cho ma trận
định bởi công thức
 3 −1 2 
f (x) = (3x1 − x2 + 2x3, −x1 + 3x2 − 2x3, x1 + x2 + x3), A = −2 2 −2 .

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3. 2 −1 3
a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc
của R3. Chứng minh rằng ma trận A chéo hóa được.
b) Hãy xác định các giá trị riêng và véc tơ riêng của
ánh xạ f . Bài 4.23. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của
c) Hãy xây dựng một cơ sở của R3 bao gồm ba véc tơ ma trận được cho dưới đây. Chứng minh rằng ma trận
riêng của f . đó đồng dạng với ma trận chéo và biến đổi ma trận
đó về ma trận chéo.
Bài 4.15. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của
ma trận sau 4 1 2
A = 4 4 4 .
2 1 2
A = 1 2 2 . 129

337 Bài 4.24. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của
ma trận được cho dưới đây. Chứng minh rằng ma trận
Bài 4.16. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của đó đồng dạng với ma trận chéo và biến đổi ma trận
ma trận sau đó về ma trận chéo.

2 −1 1 −2 2 1 
A = 1 0 1 . A =  1 −3 −1 .

3 −1 2 −1 2 0

Bài 4.17. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của 3 1 2
ma trận sau Bài 4.25. Cho ma trận A = 2 4 4 .

3 1 2 2 −1 1
A = 1 3 2 . a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A.
b) Ma trận A có chéo hóa được khơng? Tại sao? Nếu
111 được hãy tìm ma trận T và ma trận đường chéo B để
cho B = T −1AT .
Bài 4.18. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của
ma trận sau 3 2 2
Bài 4.26. Cho ma trận A = 2 3 2 .
1 2 2
A = 2 1 2 . 223
a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A.
221 b) Ma trận A có chéo hóa được khơng? Tại sao? Nếu
được hãy tìm ma trận T và ma trận đường chéo B để
Bài 4.19. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của cho B = T −1AT .
ma trận sau
3 1 2
3 1 2 Bài 4.27. Cho ma trận A = 1 3 2 .
A = 1 3 2 .
335
123 a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A.
b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay
Bài 4.20. Tìm các giá trị riêng và véc tơ riêng của khơng. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma

ma trận sau trận đường chéo B để cho B = T −1AT .

2 1 2 4  2 1 2
Bài 4.28. Cho ma trận A = 1 2 2 .
0 −2 2 3 
A=  236
. a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A.
0 0 3 1  b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay
không. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma
0 0 0 −3 trận đường chéo B để cho B = T −1AT .

Bài 4.21. Cho ma trận

 2 2 3
A =  1 3 3 .

−1 1 1

Chứng minh rằng ma trận A khơng chéo hóa được

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 9

3 2 3 Bài 5. 8. Cho M là không gian con hai chiều của
Bài 4.29. Cho ma trận A = 1 4 3 . khơng gian Euclid R4 có cơ sở gồm hai véc tơ u =
(1, −1, 1, 1), v = (2, −1, 2, 1). Hãy tìm véc tơ có độ
4 −1 5 dài đơn vị thuộc M sao cho véc tơ đó trực giao với
a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A. véc tơ w = (1, −2, −2, 1).
b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay

khơng. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma Bài 5. 9. Cho M là không gian con hai chiều của
trận đường chéo B để cho B = T −1AT . không gian Euclid R4 có một cơ sở gồm hai véc tơ
u = (2, 1, 1, 2), v = (3, 3, 1, 3). Hãy tìm véc tơ có độ
5. Khơng gian Euclid (Dành riêng cho hệ 3 tín dài đơn vị thuộc M sao cho véc tơ đó trực giao với
chỉ) véc tơ w = (1, 2, 3, −2).

Bài 5.1. Trong không gian R4 hãy tìm véc tơ có độ Bài 5.10. Cho M là không gian con của không gian
dài đơn vị trực giao đồng thời với véc tơ sau: Euclid R5 có cơ sở gồm hai véc tơ

v1 = (1, 0, 10, 12), v2 = (2, 2, −4, −5), u = (2, 1, 2, 1, 1), v = (1, 0, −1, 3, −1).
v3 = (3, 11, −4, −1).

Bài 5.2. Trong không gian Euclid R4 cho hệ cơ sở Hãy tìm véc tơ có độ dài đơn vị thuộc M sao cho véc
1 tơ đó trực giao với véc tơ w = (−1, 2, 1, −1, 3).
trực chuẩn {u1, u2, u3, u4} với u1 = 5 (4, −2, −2, 1),
1 1 Bài 5.11. Trong không gian R5, cho M là không gian
u2 = 5 (−1, −2, 2, 4), u3 = 5 (2, 4, 1, 2). Hãy xác định con ba chiều có một cơ sở gồm 3 véc tơ

tất cả các giá trị có thể có của u4. u1 = (1, −3, −1, 1, 1), u2 = (1, −1, 2, −1, 1),
u3 = (−1, 3, −1, −1, −3).
Bài 5.3. Trong không gian Euclid R4 cho hệ cơ sở
1 Hãy xác định trong M véc tơ có độ dài đơn vị trực giao
trực chuẩn {u1, u2, u3, u4} với u1 = 6 (5, 1, 3, 1), u2 = với cả hai véc tơ v1 = (2, 1, 1, 2, 1), v2 = (1, 1, 2, 3, 5).
1 1
6 (−1, 3, −1, 5), u3 = 6 (−3, −1, 5, 1). Hãy xác định Bài 5.12. Trong không gian R6 cho M là không gian
con ba chiều có một cơ sở gồm 3 véc tơ
tất cả các giá trị có thể có của u4.
u1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1), u2 = (2, −3, 4, 1, 5, 2),
Bài 5. 4. Trong không gian Euclid R4 cho hệ u3 = (3, −4, 10, 2, 1, 3).
{u1, u2, u3, u4} với

Hãy xác định trong M véc tơ có độ dài đơn vị trực
u1 = (2, 1, −1, −2), u2 = (1, −2, 3, −2), giao với cả hai véc tơ
u3 = (2, 1, −4, 1), u4 = (−2, 1, −3, 4).
v1 = (2, −1, 1, 3, 1, −4), v2 = (3, −2, 1, 2, 1, −1).
Hãy chỉ ra rằng nếu phần tử x ∈ R4 nào đấy thỏa
mãn x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4. Bài 5. 13. Trong không gian Euclid R4 cho M là
khơng gian con hai chiều có một cơ sở gồm hai véc
Bài 5. 5. Trong không gian Euclid R4 cho hệ tơ u1 = (1, 2, −3, 3); u2 = (2, 1, −1, 5). Hãy phân tích
{u1, u2, u3, u4} với phần tử x = (6, 1, 4, 8) thành x = u + v trong đó
u ∈ M và v ∈ M ⊥.
u1 = (2, −1, 1, 1), u2 = (1, 2, 3, −2),
u3 = (2, 2, 3, −3), u4 = (2, 1, 2, −2). Bài 5.14. Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ
x = (1, 0, −7, 2) và cho M là không gian con hai chiều
Hãy chỉ ra rằng nếu phần tử x ∈ R4 nào đấy thỏa có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (1, 2, −3, 2), u2 =
mãn x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4. (2, −1, −2, 1). Hãy tìm các véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈
M ⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u + v.
Bài 5.6. Trong không gian Euclid R4 cho các véc tơ

u1 = (1, −1, 1, 2), u2 = (−2, 1, 2, 3), v = (2, λ, −1, µ).

Hãy xác định giá trị của λ và µ để v⊥u1, v⊥u2.

Bài 5.7. Trong khơng gian Euclid R4 cho các véc tơ Bài 5.15. Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ
x = (6, 6, −6, 0) và cho M là không gian con hai chiều
u = (1, 3, −2, 2), v1 = (1, 3, 2, −1), v2 = (0, −1, 1, 1).
có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (1, 2, −1, 2), u2 =
Hãy xác định λ, µ sao cho w = u + λv1 + µv2 thỏa (2, −1, −2, 1). Hãy tìm các véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈
mãn điều kiện w⊥v1, w⊥v2. M ⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u + v.

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

10 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ

Bài 5.16. Trong khơng gian Euclid R4, cho véc tơ x = Bài 5.24. Trong không gian Euclid R4 cho các phần
(4, −1, −5, 4) và cho M là không gian con hai chiều tử a1 = (1, 1, 2, −1); a2 = (2, 1, −1, 3) và khơng gian
có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (2, −2, −3, 2), u2 = con
(1, −1, −2, 1). Hãy tìm các véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈
M ⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u + v. L = {x ∈ R4|⟨x, a1⟩ = 0, ⟨x, a2⟩ = 0}.

Bài 5. 17. Trong không gian Euclid R5 cho M là a) Tìm một cơ sở của L.
khơng gian con hai chiều có một cơ sở gồm 2 véc tơ b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1, a2 và các véc
tơ trong cơ sở của L đã tìm được ở câu (a).
u1 = (1, 1, −1, 3, 4); u2 = (2, 3, 1, −3, −14).
Bài 5.25. Trong một cơ sở trực chuẩn của R4, cho
Hãy phân tích véc tơ x = (5, −5, 1, −2, −9) thành các véc tơ
tổng x = u + v với u ∈ M và v ∈ M ⊥.
a1 = (2, 1, −3, −1), a2 = (3, 1, −1, 2) và b = (1, µ, 0, 2λ).
Bài 5.18. Trong khơng gian Euclid R4 cho M là một
không gian con hai chiều có một cơ sở là {u1, u2} với a) Tìm λ, µ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1 và
a2.
u1 = (3, 1, 1, 1), u2 = (−1, −3, 1, −1). b) Với λ, µ tìm được, hãy trực giao hóa hệ {a1, a2, b}.

Hãy tìm x ∈ M sao cho ||x − u1|| = 6, ||x − u2|| = 6. Bài 5.26. Trong một cơ sở trực chuẩn của R4 cho
Bài 5.19. Trong không gian Euclid R4 cho M là một các véc tơ
không gian con hai chiều có một cơ sở là {u1, u2} với
a1 = (1, 1, −3, −1), a2 = (2, 1, −1, 2) và b = (2, γ, 1, α).
u1 = (1, 2, −4, 6), u2 = (1, −6, 2, −4).
a) Tìm α, γ để véc tơ b trực giao với hai véc tơ a1 và
Hãy tìm x ∈ M sao cho ||x−u1|| = 15, ||x−u2|| = 15. a2.
Bài 5.20. Trong không gian Euclid R4 cho M là một b) Với α, γ tìm được, hãy trực giao hóa hệ {a1, a2, b}.

khơng gian con hai chiều có một cơ sở là {u1, u2} với
Bài 5.27. Trong không gian Euclid R4, cho các véc tơ
u1 = (7, −4, 2, −2), u2 = (−7, 2, −4, 2). u = (14, 8, 10, 12), v1 = (1, 3, 1, 5), v2 = (7, 1, 11, 3).
a) Hãy xác định các số λ, µ sao cho w = u+λv1 +µv2
Hãy tìm x ∈ M sao cho ||x−u1|| = 13, ||x−u2|| = 13. trực giao với các véc tơ v1, v2.
Bài 5.21. Trong không gian Euclid R5 cho M là một b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1, v2, w} theo
khơng gian con hai chiều có một cơ sở là {u1, u2} với thủ tục Gram–Schmidt.

u1 = (−1, 2, 3, 7, 1), u2 = (2, −1, −1, −7, 3). Bài 5. 28. Trong không gian Euclid R4, cho các
véc tơ u = (6, −10, −4, 17), v1 = (2, 4, 2, 5), v2 =
Hãy tìm x ∈ M sao cho ||x−u1|| = 14, ||x−u2|| = 14. (2, 14, 11, 13).
Bài 5.22. Trong không gian Euclid R4 cho các phần a) Hãy xác định các số λ, µ sao cho w = u+λv1 +µv2
tử a1 = (1, 1, 0, 1); a2 = (1, 0, −1, 1) và không gian trực giao với các véc tơ v1, v2.
con b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1, v2, w} theo
thủ tục Gram–Schmidt.
L = {x ∈ R4|⟨x, a1⟩ = 0, ⟨x, a2⟩ = 0}.
Bài 5. 29. Bằng phương pháp trực chuẩn hố
a) Tìm một cơ sở của L. Gram–Schmidt hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn của
b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1, a2 và các véc không gian R3 từ cơ sở đã cho sau đây:
tơ trong cơ sở của L đã tìm được ở câu (a).
a1 = (2, −1, 2); a2 = (4, 1, 1); a3 = (−2, 6, −3).
Bài 5.23. Trong không gian Euclid R4 cho các phần
tử a1 = (1, 2, 3, −1); a2 = (2, 3, −1, 4) và khơng gian Tính tọa độ của phần tử x = (3, 1, 5) trên cơ sở nhận
con được.

L = {x ∈ R4|⟨x, a1⟩ = 0, ⟨x, a2⟩ = 0}. Bài 5. 30. Bằng phương pháp trực chuẩn hóa
Gram–Schmidt hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn của
a) Tìm một cơ sở của L. không gian R4 từ cơ sở được cho sau đây:
b) Trực chuẩn hóa hệ gồm các véc tơ a1, a2 và các véc
tơ trong cơ sở của L đã tìm được ở câu (a). a1 = (1, 0, 1, −1); a2 = (0, 2, 2, 2);

a3 = (5, −2, 3, 2); a4 = (3, 1, 1, 1).

Tính tọa độ của phần tử x = (1, 2, 5, 6) trên cơ sở
nhận được.

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 11

Bài 5.31. Trong không gian Euclid R3 cho hệ véc tơ Bài 5.38. Hãy xây dựng một cơ sở trực chuẩn của
{u1, u2, u3} với không gian Euclid R4 sao cho cơ sở này có chứa hai
phần tử như sau
236 62 3 3 62
u1 = ( 7 , 7 , 7 ), u2 = ( 7 , 7 , − 7 ), u3 = ( 7 , − 7 , 7 ).
1 1
u1 = 2 (1, 1, −1, −1); u2 = 2 (1, −1, 1, −1).
a) Hãy chỉ ra rằng hệ {u1, u2, u3} là một cơ sở trực
chuẩn của không gian Euclid R3. Bài 5.39. Hãy xây dựng một cơ sở trực chuẩn của
b) Hãy tìm tọa độ của phần tử x = (3, 4, 5) trên cơ không gian Euclid R4 sao cho cơ sở này có chứa hai
phần tử như sau
sở {u1, u2, u3}.

Bài 5.32. Giả sử rằng {u1, u2, u3, u4} là một cơ sở

trực chuẩn của không gian Euclid R4 và ta được biết 1 1
1 1 u1 = 6 (5, 3, −1, −1); u2 = 2 (1, −1, 5, −3).
rằng u1 = 6 (3, 5, 1, 1), u2 = 6 (−5, 3, 1, −1), u3 =
1
(−1, −1, 3, 5). Giả sử phần tử x = (4, 2, 1, −5) có Bài 5.40. Chéo hóa ma trận đối xứng thực sau đây
6 bằng ma trận trực giao

tọa độ trên {u1, u2, u3, u4} là (x1, x2, x3, x4). Hãy tính

x24. 3 2 4
A = 2 3 4 .
Bài 5.33. Giả sử rằng {u1, u2, u3, u4} là một cơ sở
449
trực chuẩn của không gian Euclid R4 và ta được biết
1 1
rằng u1 = 7 (2, 4, 2, 5), u2 = 7 (−5, 2, −4, 2), u3 =
1 6. Một số bài tập nâng cao
(2, 5, −2, −4). Giả sử phần tử x = (2, −3, 1, 5) có
7
tọa độ trên {u1, u2, u3, u4} là (x1, x2, x3, x4). Hãy tính Bài 6. 1. Cho A2 = A. Hãy chỉ ra rằng (A + I)k =
I + (2k − 1)A.
x24.

Bài 5. 34. Trong không gian Euclid R5 cho M là Bài 6.2. Chứng minh đẳng thức

khơng gian con ba chiều có một cơ sở là {u1, u2, u3} (a + b)2 c2 c2
a2 (b + c)2 a2 = 2abc(a + b + c)3.
với u1 = (1, 1, 1, 1, −1), u2 = (2, 0, 3, −2, 1), b2 (a + c)2
b2
u3 = (−1, 2, 1, −1, 2).

Hãy xác định một cơ sở trực chuẩn và số chiều của

không gian con M ⊥. Bài 6.3. Chứng minh đẳng thức

Bài 5.35. Trong không gian R4 cho hai véc tơ u1 = a b cd
−b a d −c = (a2 + b2 + c2 + d2)2.

(2, 1, −2, 2); u2 = (1, −1, −1, −1). Gọi M là tập hợp −c −d a b
tất cả các véc tơ của R4 trực giao với u1, u2. −d c −b a

a) Chứng minh rằng M là một không gian con của
R4.

b) Xác định một cơ sở trực chuẩn của M . Bài 6.4. Tính giá trị định thức

Bài 5.36. Cho ma trận a1 x x . . . x

 1 2 2 x a2 x . . . x
 3 − 3 − 3 
D = x x a3 . . . x .
.. .. .. . . . ..
  ... .

  x x x . . . an

Q = − 2 − 2 1  .
 3 3 3 

  Bài 6.5. Chứng minh rằng ma trận vuông cấp hai

 

xyz

Hãy tìm x, y, z để Q là ma trận trực giao. A= a b
cd

Bài 5.37. Hãy tìm x, y, z, t để ma trận Q được cho thỏa mãn phương trình
sau đây là ma trận trực giao: X2 − (a + d)X + (ad − bc)I = 0.

−1 1 1 1

1  1 −1 1 1 .
 1 −1 1
Q= 
2 1 Bài 6. 6. Chứng minh rằng nếu A là ma trận thực và
AAT = θ thì A = θ.
x y zt

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

12 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ

Bài 6.7. Cho hai ma trận vuông cấp hai A = 4 −1 Bài 6.19. Chứng minh rằng không tồn tại các ma trận
21 A và B sao cho AB − BA = I.

và B = 2 0 . Bài 6.20. Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n sao cho
03 r(AB − BA) = 1. Chứng minh rằng (AB − BA)2 = θ.

a) Hãy tìm một ma trận khả nghịch T sao cho T A = BT . Bài 6.21. Cho A, B là các ma trận kích thước 3 × 2 và
b) Tính A2011. 2 × 3. Giả sử rằng tích A.B là

Bài 6.8. Cho A là một ma trận vuông cấp n khả nghịch có  8 2 −2 
ma trận phụ hợp là A∗. Hãy chứng minh rằng det(A∗) =
(det A)n−1. AB =  2 5 4  .

Bài 6.9. Cho A là một ma trận vuông sao cho A4 = 0. −2 4 5

Hãy chứng minh rằng I + A là một ma trận khả nghịch.
Hãy chỉ ra rằng
Bài 6.10. Cho A là một ma trận vuông sao cho A10 = 0.
Hãy chứng minh rằng I + A2 + A5 là một ma trận khả BA = 9 0 .
nghịch. 09

Bài 6.11. Cho A, B là hai ma trận vuông cùng cấp sao Bài 6.22. Cho A, B là các ma trận vuông cấp 3 với các
cho (AB)10 = I. Chứng minh rằng (BA)10 = I. phần tử thực sao cho

Bài 6.12. Cho A là một ma trận vuông thực cấp ba có det A = det B = det(A + B) = det(A − B) = 0.
ba giá trị riêng thực phân biệt. Hãy chứng minh rằng ma
trận A3 cũng có ba giá trị riêng thực phân biệt. Chứng minh rằng det(xA + yB) = 0 với mỗi cặp số thực
x, y.

Bài 6.13. Cho A là một ma trận vng thực cấp ba có Bài 6.23. Cho A là một ma trận vuông cấp n. Chứng
minh rằng nếu A là một ma trận luỹ linh và B là ma trận
ba giá trị riêng thực phân biệt. Hãy chứng minh rằng ma giao hốn với A thì I − AB và I + AB là các ma trận khả
trận A5 − A4 + A cũng có ba giá trị riêng thực phân biệt. nghịch.

Bài 6.14. Cho A là một ma trận vuông thực cấp n khả Bài 6. 24. Cho ma trận vuông A = 2015 −2014 .
nghịch và có n giá trị riêng thực dương phân biệt. Chứng 2014 −2013
minh rằng ma trận A3 +2A−3A−1 cũng có n giá trị riêng
thực phân biệt. Hãy xác định số nguyên dương n sao cho tồn tại ma trận
vuông cấp hai X với các phần tử nguyên để
Bài 6. 15. Cho A là một ma trận vuông cấp hai đồng
dạng với ma trận B = 3 2 . Hãy tính giá trị của định X2015 + Xn = 2A.

04
thức det(A3 + 3A).

  PHẦN II: ĐÁP SỐ VÀ HƯỚNG DẪN

2 −1 3

Bài 6.16. Cho ma trận A = 0 1 2 . Tính det B 1. Ma trận và định thức

0 4 −1 1.1. a) A567 = −A = −2 1 .
−5 2
với B = A2004 − A1002.
b) A576 + 2A567 + 3A675 = I − 5A, det(A576 + 2A567 + 3A675) =

Bài 6.17. Tính định thức 26.
1.2. a) A2018 = A2 = 1 3 .
1 2 3 ... n
−1 −2

−1 0 3 . . . n b) 2A2017 − 3A2018 + 4A2019 = −3 −3 , det(2A2017 −
3A2018 + 4A2019) = 3. 10
D = −1 −2 0 . . . n .
.. .. .. ... ..
. . . . 1.3. A200 + A = θ.

−1 −2 −3 . . . 0 1.4. a) A2 = A2018 = I, A2019 = A.

Bài 6.18. Tính định thức b) n = 2k thì det B = 64, n = 2k + 1 thì det B = −32.

1.5. a) A2 = A2018 = I, A2019 = A.

11 1 ... 1 b) Nếu m, n chẵn thì det B = 1728. Nếu m chẵn, n lẻ thì

1 C1 C1 ... C1 det B = −288. Nếu m lẻ, n chẵn thì det B = 288. Nếu m, n lẻ

2 3 n
C2 C2 C2
D= 1 ... n+1 . thì det B = −1728.
3 4
.. .. .. . . . ..
.. . . 1.6. x = ±3.

1 Cn−1 Cn−1 . . . Cn−1 1.7. x ∈ {−1, 1, 2}.
n n+1 2n−2

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 13

1.8. D = 0. 2.4. x = (−9 − 17x4, 7 + 11x4, 1 + 3x4, x4) với x4 tùy ý.

1.9. a) det(A4 + 3A3) = −61952. 2.5. x = (−64, 43, 4, −2).

b) r(A + 5I) = 3. 2.6. a) λ̸ = 5.
52 28 46
1.10. a) det(AB) = −36, det(BA) = 0.
b) x = , , − .
b) r(BA + 4I) = 3. 39 39 39

2.7. x = (4 − 3x4, 1 − x4, 0, x4) với mọi λ.

1.11. a) det(A3B2 + 4A2B3) = 911.400. 2.8. Nếu α = −2 hệ phương trình có nghiệm là

b) (A + 2B)2 − 19(A + 2B) = −70I. x = (21 − 10x3 − x4, −12 + 7x3, x3, x4) với x3, x4 tùy ý.

1.12. det(AB) = −47, (det A = −47, det B = 1). Nếu α̸ = −2 hệ phương trình có nghiệm là

1.13. det(A2B − 3AB2) = 15.080.310. x = (21 − 10x3, −12 + 7x3, x3, 0) với x3 tùy ý.

HD: det(A2B − 3AB2) = det A. det(A − 3B). det B. 2.9. Hệ có nghiệm với mọi λ, x = 10 − λ 10 − λ λ − 6 với
, ,
1.14. a) det(A3B2 − 3A2B3) = 122.132.500. 2 2 2
mọi λ.

b) r(A + 3B) = 3. 2.10. Với λ = 14 thì hệ có nghiệm và nghiệm là x = (−28 +

1.15. a) det(A3B2 +3A2B3) = (det A)2 det(A+3B)(det B)2̸ = 17x4 + 14x5, 25 − 14x4 − 11x5, 6 − 2x4 − 2x5, x4, x5) với x4, x5

0 vì det A = 39, det B = −51, det(A + 3B) = −1878. Do đó ma tùy ý.

trận A3B2 + 3A2B3 khả nghịch. 2.11. a) λ = 5.

b) det(A2B−2AB2) = det A. det(A+3B). det B̸ = 0 vì det A = b) x = (−5x3 − 8x4, −7x3 − 13x4, x3, x4) với x3, x4 tùy ý.

39, det B = −51, det(A + 3B) = 207. Do đó r(A2B − 2AB2) = 2.12. a) λ = 7.

3. 1 12
  b) x = − x3 + 7 x4, −x3 + 7 x4, x3, x4 với x3, x4 tùy ý.
−1 5 7
1
1.16. A−1 = −  1 −1 1. λ + 26 3 2λ − 36 7 −8
4 1 35 2.13. x = λ + 2 + 2 x3, λ + 2 − 2 x3, x3, λ + 2 với x3

1.17. a) A3 − 8A2 + 17A = 10I. tùy ý.

 8 0 −6 26λ − 221 10 −3λ + 20 13 1
b) A−1 = 1 −2 5 −1. 2.14. x = 11(λ − 8) − 11 x3, 11(λ − 8) + 11 x3, x3, λ − 8

10 −2 0 4 với x3 tùy ý.

1.18. Nếu d = 0 thì khơng tồn tại x để A khả nghịch. λλλλ
2.15. x − , , , .
Nếu d̸ = 0 thì A khả nghịch với x̸ ∈ {a, b, c}.
4444

2.16. Nếu λ̸ = 19 thì hệ vơ nghiệm. Nếu λ = 19 thì hệ có

HD: Hãy chỉ ra rằng det A = d(a − x)(b − x)(c − x). nghiệm x = (4 − 70x4, −1 + 55x4, −6x4, x4) với x4 tùy ý.

1.19. x̸ ∈ {0, 3}. 3. Khơng gian tuyến tính

HD: Sử dụng đẳng thức det(A4 − 3A3) = (det A)3 det(A − 3I). 3.1. Hãy chỉ ra rằng x = 2a1 + 2a2 + a3.

1.20. x̸ ∈ {−2, −1, 2}. 3.2. Hãy chỉ ra rằng x = 6α3 + 2 a1 + 5α3 + 11 a2 + α3a3

1.21. x̸ ∈ {−2, 1, 2}. 7 7
−31 −9 8 
với α3 ∈ R tùy ý. Nói riêng, nếu chọn α3 = 2 thì x =
1.22. X = − 1  15 −27 6 .
18 −11 −9 −14 2a1 + 3a2 + 2a3.
3.3. x = −4α3 + 7 a1 + −7α3 + 1 a2 + α3a3 với α3 ∈ R tùy ý.
 17 10 8  5 5
1.23. X = 1 −29 29 0 . 3.4. a4 = (1 − α4)a1 + (2 − 2α4)a2 + (α4 − 1)a3 + α4a4 với

29 −29 0 29 α4 ∈ R tùy ý.

1.24. X = −2 3. 3.5. a4 = (1 − α4)a1 + (α4 − 1)a2 + (2 − 2α4)a3 + α4a4 với
4 −7
α4 ∈ R tùy ý.
1.25. r(A) = 2.
3.6. λ = −5.

1.26. r(A) = 3. 3.7. λ = 7.

3 3.8. λ ∈ R tùy ý.
1.27. Nếu x = 1 thì r(A) = 1. Nếu x = − thì r(A) = 3.
3.9. a) Sử dụng định nghĩa hoặc chỉ ra ma trận của hệ
2

x̸ = 1 thì r(A) = 4. {a1, a2, a3} có hạng bằng 3 (có định thức khác 0).
Nếu x̸ = − 23 7 11 1

1.28. Nếu x = 1 thì r(A) = 1. Nếu x = −1 thì r(A) = 3. b) x = − 6 a1 − 6 a2 + 2 a3.
3.10. a) Sử dụng định nghĩa hoặc chỉ ra ma trận của hệ
x̸ = 1 thì r(A) = 4.
Nếu {a1, a2, a3} có hạng bằng 3.

x̸ = −1

1.29. Nếu x = 2 thì r(A) = 1. Nếu x̸ = 2 thì r(A) = 3. b) Phần tử x khơng có biểu diễn tuyến tính trên hệ {a1, a2, a3}.

1.30. x = 2. 3.11. a) λ̸ = 2.

b) x = a1 + a2 + a3.

2. Hệ phương trình 3.12. a) Sử dụng định nghĩa hoặc chỉ ra ma trận của hệ

4 20 25 {a1, a2, a3} có hạng bằng 3.
2.1. x = , , . b) Hệ {a1, a2, a3} là một cơ sở của R3.

39 9 3.13. a) Sử dụng định nghĩa hoặc chỉ ra ma trận của hệ
2.2. x = (3 − 3x4 + 2x5, 1, −2, x4, x5) với x4, x5 tùy ý.

2.3. x = (1, 3 + x4, 2 + 2x5, x4, x5) với x4, x5 tùy ý.

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

14 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ

{a1, a2, a3, a4} có hạng bằng 4.  120 −192 120 
b) Hệ {a1, a2, a3, a4} là một cơ sở của R4. b) B = − 1  11 −52 −4 .
92 −116
3.14. a) Hệ {a1, a2, a3, a4} độc lập tuyến tính. 16 −89

b) Hệ {a1, a2, a3, a4, b} phụ thuộc tuyến tính. 4.5. a) Sinh viên tự giải.

3.15. Không tồn tại λ để hệ {a1, a2, a3} phụ thuộc tuyến tính.  2 2 4 1 5 
b) B =  6 2 −2.

3.16. a) λ = 1. −4 −4 3

b) a2 = 2a1 − a3. 2 1 −3

3.17. [x]a = (1, 3, 2). 4.6. a) A = 3 −2 −1.
92 89 23 8
1 3 −2
3.18. [x]a = 35 , 35 , − 35 , 5 .
3.19. λ = 1. b) x = (1, 1, −1).

1 1 0 −1

3.20. λ = −4. 4.7. a) A = 3 −2 1 0 .

3.21. λ = 5. 1 0 1 −2

3.22. M là một không gian con của R3 và dim M = 2. N không b) x = (1, x4, 2x4 − 3, x4) với x4 tùy ý.
phải là không gian con của R3.
4.8. a) x = (1, 2, −1).

b) x = −3u = (−6, 3, −6).

3.23. Phân tích để đi đến việc lựa chọn ba phần tử thích hợp 3 1 2

của M và chỉ ra chúng tạo thành một hệ vừa là hệ sinh của M 4.9. a) A = 1 3 2.

vừa là hệ độc lập tuyến tính. dim M = 3. 335

b) Hãy chỉ ra rằng f (a1) = 8a1, f (a2) = a2, f (a3) = 2a3 và

3.24. Tương tự bài 3.24. sử dụng chúng.
3.25. 1
3.26. [x]b = 9 15 −2 1
3.27. [x]b = − 2, , .

3.28. [x]b = 4.10. a) A = −2 −2 2.
3.29. [x]b = 77
7 37 11 −5 −10 7
3.30.
, ,− . b) λ = 2, x = x1(1, 0, 1) + x2(0, 1, 2) với x2 + x2 ̸= 0.
3.31. 4 16 8  
1 2
3.32. 79 60 8
−,, . 3 −1 2 1
3.33.
73 73 73 8 4.11. a) A = 0 0 3 5 0 3 −1 6.
31 27 1
−,, . 00 03
19 19 19

−17 −5

Tba = − 491  5 13 −11. b) λ = 3, x = x1(1, 0, 0, 0) với mọi x1̸ = 0.
9 −6 −10  2 0 0 0

 6 5 −13 4.12. a) A =  5 −1 2 0 −3 2 0 0.

Tba = 1 −2 5 11 .
40 5

10 −5 2 −1 4 2

−1 8 −4  b) λ = 2, x = x4(0, 0, 0, 1) với mọi x4̸ = 0.
 3 1 1
Tab = −1 31 −13.

2 −22 10 4.13. a) A =  1 3 1.

−14 14 13  −1 1 1

Tab = 1 −16 11 7 . b) λ = 1, x = x2(1, 1, −3) với mọi x2̸ = 0; λ = 2, x =
5

17 −12 −14 x1(1, 0, −1) với mọi x1̸ = 0; λ = 4, x = x2(1, 1, 0) với mọi

 68 132 19 x2̸ = 0.

Tba = 1 −27 56 11.  3 −1 2 
97
4.14. a) A = −1 3 −2.
65 −45 31

111

b) λ = 1, x = x 1 (1, 1, − 3 ) với mọi x1 ̸= 0; λ = 2, x =
2
x3(− 12 , 32 , 1) với mọi x3̸ = 0; λ = 4, x = x2(−1, 1, 0) với mọi

4. Ánh xạ tuyến tính x2̸ = 0.

4.1. a) Sinh viên tự giải. c) Ứng với λ = 1 chọn véc tơ riêng a1 = (2, 2, −3) (gán x1 = 2);
1 2 −1
ứng với λ = 2 chọn véc tơ riêng a2 = (−1, 2, 3) (gán x3 = 2);
b) A = 1 −1 2 .
2 −1 −1 ứng với λ = 4 chọn véc tơ riêng a3 = (−1, 1, 0) (gán x2 = 1).

4.15. λ = 1, x = x2(−1, 1, 0)+x3(−2, 0, 1) với mọi x22 +x23̸ = 0;
4.2. a) Sinh viên tự giải.
2 −1 −1 1 λ = 9, x = x1(1, 1, 3) với mọi x1̸ = 0.

b) A = 1 1 −2 1. 4.16. λ = 0, x = x3(−1, −1, 1) với mọi x3̸ = 0; λ = 1,
1 0 −1 1
x = x3(0, 1, 1) với mọi x3̸ = 0; λ = 3, x = x2(1, 1, 2) với
4.3. a) α = 0.
3 −2 1  mọi x2̸ = 0.

b) A = 1 1 1 . 4.17. λ = 0, x = x1(1, 1, −2) với mọi x1̸ = 0; λ = 2,
1 0 −1
2 −1 2  x = x1(1, −1, 0) với mọi x1̸ = 0; λ = 5, x = x3(2, 2, 1) với

4.4. a) A = 1 2 −1. mọi x3̸ = 0.
3 4 −1
4.18. λ = −1, x = x2(−1, 1, 0) + x3(−1, 0, 1) với mọi x2 + x23 ̸=

2

0; λ = 5, x = x1(1, 1, 1) với mọi x1̸ = 0.

4.19. λ = 1, x = x 1 (1 , 1, − 3 ) với mọi x1 ̸= 0; λ = 2,
2

x = x3(−3, 1, 1) với mọi x3̸ = 0; λ = 5, x = x3(1, 1, 1) với

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 15

mọi x3̸ = 0. x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 ta có ⟨x, u4⟩ = λ1⟨x, u1⟩ + λ2⟨x, u2⟩ +

4.20. λ = 2, x = x1(1, 0, 0, 0) với mọi x1̸ = 0; λ = −2, λ3⟨x, u3⟩ = 0.

x = x1(1, −4, 0, 0) với mọi x1 ̸= 0; λ = 3, x = x2(6, 1, 5 , 0) 5.5. Tương tự bài 5.4.
2
với mọi x2̸ = 0; λ = −3, x = x3( 65 , 16, 1, −6) với mọi x3̸ = 0.
5.6. λ = 3, µ = 1.

4.21. Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = 1 (bội 6 37
5.7. λ = − , µ = .
n1 = 2), λ2 = 4 (bội n2 = 1). Ứng với λ1 = 1 ta có 41 41
1
r(A − λ1I) = 2̸ = n − n1 = 3 − 2 = 1. 5.8. x = ± √ (3, −1, 3, 1).
20
4.22. Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = 1 (bội 1

n1 = 2), λ2 = 6 (bội n2 = 1). Hãy chỉ ra rằng r(A − λ1I) = 5.9. x = ± (1, −1, 1, 1).
2
n − n1 và r(A − λ2I) = n − n2 (ở đây n = 3). 1
5.10. x = ± (5, 2, 3, 5, 1).
4.23. Ma trận A có ba giá trị riêng phân biệt λ1 = 2, λ2 = 8

4, λ3 = 11 nên A chéo hóa được. Biến đổi đồng dạng đưa A về 1
5.11. x = ± (3, −7, 2, 1, 1).
ma trận chéo có thể lựa chọn là 8
1
5.12. x = ± (1, 3, −4, 1, 6, 1).
2 0 0   1 −1 2 8

T −1AT = 0 4 0  với T = −4 −2 4 . 5.13. u = (4, −1, 3, 9), v = (2, 2, 1, −1).

0 0 11 1 15 5.14. u = (3, 1, −5, 3), v = (−2, −1, −2, −1).

5.15. u = (4, 3, −4, 5), v = (2, 3, −2, −5).

4.24. Ma trận A có hai giá trị riêng phân biệt λ1 = −1 (bội 5.16. u = (3, −3, −5, 3), v = (1, 2, 0, 1).
n1 = 2), λ2 = −3 (bội n2 = 1). Chỉ ra ma trận A chéo hóa
được bằng cách xây dựng một cơ sở gồm 3 véc tơ riêng của A. 5.17. u = (3, 4, 0, 0, −10), v = (2, 1, 1, −2, 1).
Biến đổi đồng dạng đưa A về ma trận chéo có thể lựa chọn là
5.18. x = 2u1 + 2u2 = (4, −4, 4, 0) hoặc x = −(u1 + u2) =

(−2, 2, −2, 0).

−3 0 0   1 2 1 HD: Từ giả thiết chúng ta có ⟨u1, u1⟩ = 18, ⟨u1, u2⟩ = −9,

T −1AT =  0 −1 0  với T = −1 1 0 . ⟨u2, u2⟩ = 18. Nếu x là phần tử cần tìm thì x = λ1u1 + λ2u2.
Chỉ ra rằng ∥x − u1∥2 = 18(λ1 − 1)2 − 18(λ1 − 1)λ2 + 18λ22
0 0 −1 1 01
và đối chiếu với giả thiết ∥x − u1∥ = 6 ta có phương trình
4.25. a) λ = 1, x = x1(1, 2, −2) với mọi x1̸ = 0; λ = 2, 18(λ1 − 1)2 − 18(λ1 − 1)λ2 + 18λ22 = 36. Tiếp theo từ giả thiết
x = x1(1, 5, −3) với mọi x1̸ = 0; λ = 5, x = x1(1, 2, 0) với mọi ∥x − u2∥ = 6 ta có phương trình 18λ21 − 18λ1(λ2 − 1) + 18(λ2 −
x1̸ = 0. 1)2 = 36. Giải hệ hai phương trình được đưa ra ta thu được
b) Lựa chọn một cơ sở của R3 gồm 3 véc tơ riêng ứng với A,
chẳng hạn là a1 = (1, 2, −2), a2 = (1, 5, −3), a3 = (1, 2, 0). Từ hai nghiệm λ1 = λ2 = 2 và λ1 = λ2 = −1.
đó khẳng định được A là ma trận chéo hóa được. Biến đổi
5.19. x = 3u1 + 3u2 = (6, −12, −6, 6) hoặc x = −2u1 − 2u2 =
đồng dạng đưa A về ma trận chéo tương ứng với việc lựa chọn
(−4, 8, 4, −4).

{a1, a2, a3} là
5.20. x = 4u1 + 4u2 = (0, −6, −6, 0) hoặc x = −2u1 − 2u2 =

(0, 4, 4, 0).

5.21. x = 3u1 + 3u2 = (3, 3, 6, 0, 12) hoặc x = −2u1 − 2u2 =

1 0 0  1 1 1 (−2, −2, −4, 0, −8).

T −1AT = 0 2 0 với T =  2 5 2 . 5.22. a) Có thể chọn cơ sở của L là {a3, a4} với a3 =

005 −2 −3 0 (1, −1, 1, 0) và a4 = (−1, 0, 0, 1).

4.26. a) λ = 1, x = x2(−1, 1, 0)+x3(−1, 0, 1) với mọi x22 +x23̸ = b) (Theo cách chọn của câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 =

2 1
a2 − 3 u1, u3 = a3, u4 = a4 + 3 u3. Sau đó chuẩn hóa các phần
0; λ = 7, x = x3(1, 1, 1) với mọi x3̸ = 0. tử u1, u2, u3, u4.

b) Tương tự bài 4.24. 5.23. a) Có thể chọn cơ sở của L là {a3, a4} với a3 =

4.27. a) λ = 1, x = x 1 (1 , 1, − 3 ) với mọi x1 ̸= 0; λ = 2, (11, −7, 1, 0) và a4 = (−11, 6, 0, 1).
2

x = x1(1, −1, 0) với mọi x1̸ = 0; λ = 8, x = x1(1, 1, 2) với mọi b) (Theo cách chọn của câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 =

x1̸ = 0. 1 163
a2 − 15 u1, u3 = a3, u4 = a4 + 171 u3. Sau đó chuẩn hóa các
b) Tương tự bài 4.25. phần tử u1, u2, u3, u4.

4.28. a) λ = 1, x = x1(1, 1, −1) với mọi x1̸ = 0; λ = 8, 5.24. a) Có thể chọn cơ sở của L là {a3, a4} với a3 =
x = x1(1, 1, 52 ) với mọi x1̸ = 0.
b) Ma trận A không chéo hóa được (tương tự bài 4.21). (3, −5, 1, 0) và a4 = (−4, 5, 0, 1).

b) (Theo cách chọn của câu (a)) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 =

2 37
a2 + 7 u1, u3 = a3, u4 = a4 + 35 u3. Sau đó chuẩn hóa các phần
4.29. a) λ = 2, x = x1(1, 1, −1) với mọi x1̸ = 0; λ = 8,

x = x1(1, 1, 1) với mọi x1̸ = 0. tử u1, u2, u3, u4.
1 7
b) Ma trận A khơng chéo hóa được (tương tự bài 4.21). 5.25. a) λ = − , µ = − .
6 3
5. Không gian Euclid 8
b) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = a2 − 15 u1, u3 = b.
1 4 1
5.1. x = ± (2, −2, −5, 4). 5.26. a) α = − , γ = − .
3 3
7 1
1 b) Hệ trực giao: u1 = a1, u2 = a2 − 3 u1, u3 = b.
5.2. u4 = ± 5 (−2, 1, −4, 2). 5.27. a) λ1 = −2, λ2 = −1.
1
5.3. u4 = ± 6 (1, −5, −1, 3). 1 1
5.4. Cách 1: Chứng minh rằng nếu x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 thì b) Hệ trực chuẩn: u1 = 6 (1, 3, 1, 5), u2 = 6 (3, −1, 5, −1),
1
x = x4(1, 1, 1, 1) và ta tính được trực tiếp ⟨x, u4⟩ = 0. u3 = 6 (5 , 1 , −3 , − 1) .

Cách 2: Chỉ ra u4 có dạng u4 = λ1u1 + λ2u2 + λ3u3 nên khi

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

16 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ

5.28. a) λ1 = −7, λ2 = 2. A và cột i của AT chính là a2i1 + a2i2 + . . . + a2in. Nếu tổng này
bằng 0 thì tất cả phần tử trên hàng thứ i của A là 0.
1 1
b) Hệ trực chuẩn: u1 = 7 (2, 4, 2, 5), u2 = 7 (4, −2, 5, −2),
1 6.7. a) Sinh viên tự giải.
7
u3 = (− 2, − 5, 2, 4) . b) A2011 = 2.32011 − 22011 22011 − 32011
2.32011 − 22012 22012 − 32011
1 1
5.29. Cơ sở trực chuẩn: u1 = 3 (2, 1, −2), u2 = 3 (2, 2, −1),
1 6.8. Sử dụng AA∗ = (det A)I để đưa ra đẳng thức
u3 = 3 (− 1, 2, 2) . Tọa độ của x trên cơ sở {u1, u2, u3} là
det A det A∗ = (det A)n.
[x]u = (5, 1, 3).
6.9. Sử dụng đẳng thức I − A4 = (I − A)(I + A)(I + A2) để
5.30. Cơ sở trực chuẩn: u1 = √13 (1, 0, 1, −1), u2 =
chứng minh det(I + A)̸ = 0.
√13 (0, 1, 1, 1), u3 = √13 (1, −1, 0, 1), u4 = √13 (1, 1, −1, 0), Tọa độ
13 5 2 6.10. Đặt B = I + A3 thì A2 + A5 = A2B và A2B = BA2.

của x trên cơ sở {u1, u2, u3, u4} là [x]u = 0, √ , √ , − √ . Do đó (A2B)5 = A10B5 = θ và ta phân tích được tương tự bài
33 3
6.9.

5.31. a) Sinh viên tự giải. 6.11. Chỉ ra det A̸ = 0 và sử dụng đẳng thức (BA)10 =

b) Tọa độ của x trên cơ sở {u1, u2, u3} là [x]u = 48 11 5 A−1(AB)10A.
5.32. x42 = 121 . , ,− .
6.12. Nếu A có ba giá trị riêng thực phân biệt là λ1, λ2, λ3 thì
9 77 7

các giá trị riêng của A3 là λ31, λ32, λ3 và là ba số thực phân biệt.

3

5.33. x42 = 361 . 6.13. Nếu A có ba giá trị riêng thực phân biệt là λ1, λ2, λ3 thì
49
các giá trị riêng của A5 − A4 + 4A là f (λ1), f (λ2), f (λ3) với

5.34. Có thể lựa chọn một cơ sở thông thường {e1, e2} của M f (x) = x5 − x4 + x. Do f (x) đồng biến nên f (λ1), f (λ2), f (λ3)

với e1 = (2, 1, −2, 0, 1), e2 = (−9, −8, 12, 5, 0). Trực chuẩn hóa là ba số thực phân biệt.

hệ {e1, e2} ta thu được một cơ sở trực chuẩn {w1, w2} của M 6.14. Nếu A có các giá trị riêng thực là λ1, λ2, . . . , λn >
0 thì ma trận A3 + 3A − 5A−1 có các giá trị riêng là
1 1
với w1 = √ (2, 1, −2, 0, 1), w2 = (1, −3, 2, 5, 5). f (λ1), f (λ2), . . . , f (λn) với f (x) = x3 + 2x − 3x−1. Do f (x)
10 8
đồng biến trên (0, +∞) nên f (λ1), f (λ2), . . . , f (λn) là n giá trị
5.35. a) Sinh viên tự giải.
riêng phân biệt.
b) Thực hiện tương tự bài 5.34.
1 6.15. det(A3 + 3A) = 2280.

5.36. (x, y, z) = ± (2, −1, 2). 6.16. det B = 181002(21002 − 1)(31002 − 1)2.
3

6.17. D = n!.
5.37. (x, y, z, t) = ±(1, 1, 1, 1).

5.38. Bước 1: Chỉ ra hệ {u1, u2} là hệ trực chuẩn nên tồn HD: Cộng hàng 1 vào các hàng 2, 3, . . . , n, ta thu được định

tại cơ sở trực chuẩn của R4 chứa hệ {u1, u2}. Bước 2: Xét thức tam giác.

tất cả các véc tơ x ∈ R4 sao cho x ⊥ u1, x ⊥ u2 và chỉ ra 6.18. D = 1.

x = (x4, x3, x3, x4). Chọn a1 = (1, 1, 1, 1) ứng với việc gán x3 = HD: Ký hiệu định thức là Dn. Bước 1, biến đổi định thức theo

x4 = 1 thì a1 ⊥ u1, a1 ⊥ u2. Tiếp theo chọn x = (x4, x3, x3, x4) thứ tự sau: lấy hàng n trừ hàng (n − 1), hàng (n − 1) trừ hàng

sao cho x ⊥ a1 và ta thu được x = a2 = (1, −1, −1, 1). Chuẩn (n − 2), . . ., lấy hàng 2 trừ hàng 1. Lấy kết quả thu được khai

hóa hệ {a1, a2}: u3 = a1 , u4 = a2 thì hệ {u1, u2, u3, u4} triển theo cột 1. Bước 2, biến đổi định thức theo thứ tự sau:

∥a1∥ ∥a2∥ lấy cột (n − 1) trừ đi cột (n − 2), lấy lấy cột (n − 2) trừ đi cột

chính là cơ sở trực chuẩn cần xây dựng. (n − 3), . . ., lấy cột 2 trừ cột 1. Đến đây ta thu được Dn−1,

5.39. Tương tự bài 5.38. nghĩa là Dn = Dn−1.

5.40. Biến đổi đồng dạng đưa ma trận A về ma trận đường 6.19. Hãy chỉ ra trace(AB) = trace(BA) với mọi A, B vuông

chéo và ma trận trực giao được lựa chọn để sử dụng tương ứng cùng cỡ. Từ đó chỉ ra được trace(AB −BA) = 0̸ = trace(I) = n

là nên AB − BA̸ = I.

  √ √  6.20. Hãy chỉ ra rằng nếu M là ma trận vuông và r(M ) = 1

10 0 1 √3 √2 1
thì M 2 = (trace(M ))M , sau đó sử dụng trace(AB − BA) = 0.
T −1AT = 0 1 0  và T = √ − 3 2 1 .
6 0 −√2 2 6.21. Hãy chỉ ra rằng r(AB) = 2 và (AB)2 = 9AB. Sử dụng
0 0 13
r(AB) = 2 để chỉ ra r(BA) ≥ r((AB)2) = 2 và khẳng định

được BA là ma trận khả nghịch. Sử dụng (AB)2 = 9AB để

6. Một số bài tập nâng cao chỉ ra (BA)3 = 9(BA)2. Nhân (BA)−2 vào hai vế đẳng thức

6.1. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp. (BA)3 = 9(BA)2 thì thu được kết quả.

6.2. Sử dụng các biến đổi sơ cấp để rút nhân tử chung (a+b+c) 6.22. Nếu x = 0 thì det(xA + yB) = det(yB) = y3 det B = 0.

ra ngoài định thức ba lần để thu được (a + b + c)3 bên ngoài Nếu x ̸= 0 thì det(xA + yB) = x3P (t) trong đó t = y và
x

định thức. Sau đó khai triển định thức sẽ thu được nhân tử P (t) = det(A + tB) là đa thức bậc 3. Theo giả thiết P (0) =

còn lại của vế phải là 2abc. P (1) = P (−1) = 0 nên P (t) phải có dạng P (t) = αt(t2 − 1) với

6.3. det A = (a2 + b2 + c2 + d2)2. 1 1
α là hằng số. Tiếp theo α = lim 3 P (t) = lim det( A+B) =
HD: Thực hiện phép nhân ma trận AT A. Sử dụng kết quả phép t→∞ t t→∞ t

nhân để thu được (det A)2 = (a2 + b2 + c2 + d2)4 và suy ra rằng det B = 0. Từ đó ta có P (t) = 0 với mọi t.

det A = k(a2 + b2 + c2 + d2)2 với k2 = 1. Thay b = c = d = 0 6.23. Tương tự bài 6.10.

vào hai vế đẳng thức này để khẳng định k = 1. 6.24. n = 2013.
x x x HD: Đặt M = 1 −1 thì phương được cho là X2015 + Xn =
6.4. D = 1 + + +...+ (ai − x)
a1 − x a2 − x an − x 1≤i≤n 1 −1

2I + 4028M . Chỉ ra X thỏa mãn phương trình M X = XM và

nếu x̸ = ai với mọi i = 1, 2, . . . , n. Nếu x = ai, i = 1, 2, . . . , n giải phương trình này để thu được X = αI + βM với α, β ∈ Z.
Sử dụng M 2 = θ để chỉ ra X2015 + Xn = (α2015 + αn)I +
thì D = x(a1 − x) . . . (ai−1 − x)(ai+1 − x) . . . (an − x).

6.5. Tính tốn trực tiếp.

6.6. Đặt A = (aij)m×n. Khi đó kết quả phép nhân hàng i của

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê 17

(2015α2014 + nαn−1)βM . Từ đó quy về hệ phương trình Bài 5. Trong không gian Euclid R4 cho hệ
{u1, u2, u3, u4} với
α2015 + αn = 2
(2015α2014 + nαn−1)β = 2048 u1 = (1, 1, 1, 2), u2 = (2, 1, 1, −1),
u3 = (3, 2, −1, 3), u4 = (5, 2, 5, −4).
Chỉ ra α là ước của 2 để giải phương trình thứ nhất và tính
ra nghiệm α = 1. Thay α = 1 vào phương trình thứ hai thì Hãy chỉ ra rằng nếu phần tử x ∈ R4 nào đấy thỏa
thu được (2015 + n)β = 4048. Dựa vào n + 2015 là ước số của mãn x ⊥ u1, x ⊥ u2, x ⊥ u3 thì ta phải có x ⊥ u4.
4048 ta khẳng định được n + 2015 = 4048 và suy ra β = 1. Từ
đó ta tính được n = 2013 và hơn nữa tính được X = 2 −1 . ĐỀ SỐ 2
Bài 1. Tính hạng ma trận sau theo x

10
x 3 3 x
MẪU ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN A = 3 x x x .

Bộ môn Đại số và Xác suất thống kê trân trọng giới thiệu xxxx
một số mẫu đề thi kết thúc học phần mơn Đại số tuyến tính.
Để có sự chuẩn bị tốt cho kỳ thi sinh viên cần lưu ý các điểm Bài 2. Giải hệ phương trình
sau:

1. Sinh viên học ĐSTT 2 tín chỉ chỉ làm bốn câu đầu tiên.
Thời gian làm bài đối với mỗi đề thi là 70 phút. 3x1 − x2 + 5x3 − x4 = 3

2. Sinh viên học ĐSTT 3 tín chỉ chỉ làm cả 5 câu. Thời gian 
làm bài đối với mỗi đề thi là 90 phút.
2x1 + x2 + x3 + 4x4 = 6
3. Không được mang tài liệu trong phịng thi. Khơng mang
điện thoại vào phòng thi. 

4. Mang thẻ sinh viên khi đi thi, mang máy tính (nếu cần) 2x1 − x2 + 4x3 − 2x4 = 2
để sử dụng trong giờ thi.
Bài 3. Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hệ
5. Sinh viên không được nháp vào đề thi, phải nộp lại đề thi {a1, a2, a3, a4} với a1 = (1, 1, −1), a2 = (2, 1, 3) a3 =
cùng bài làm khi hết giờ làm bài. (1, 4, 2), a4 = (5, 0, 2). Hãy tìm tất cả các biểu diễn
tuyến tính có thể có của a4 trên hệ {a1, a2, a3, a4}.
ĐỀ SỐ 1
Bài 1. Cho ma trận A = −3 5 . 3 1 −1
Bài 4. Cho ma trận A = 1 3 −1 .
−2 3
a) Tính A215. 5 4 −5
b) Tính det(A512 + 4A215 + 2A251). a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của A.

Bài 2. Giải và biện luận hệ phương trình b) Ma trận A có chéo hóa được khơng? Tại sao? Nếu
được hãy tìm ma trận T và ma trận đường chéo B để
 cho B = T −1AT .

x1 − x2 + 2x3 − x4 = 4 Bài 5. Trong không gian Euclid R4, cho véc tơ x =
(2, 4, −5, 6) và cho M là không gian con hai chiều
 có một cơ sở gồm 2 véc tơ u1 = (2, 1, 3, −1), u2 =
(1, −1, 1, 2). Hãy tìm các véc tơ u, v với u ∈ M, v ∈
2x1 + x2 + 3x3 + 4x4 = 2 M ⊥ sao cho ta có đẳng thức x = u + v.

 ĐỀ SỐ 3

4x1 − x2 + 7x3 + λx4 = 8 Bài 1. Cho hai ma trận

Bài 3. Trong không gian R4 cho hệ véc tơ {a1, a2, a3} 1 2 2   1 5 3
với
A = 2 3 −2 , B = −1 3 1 .
a1 = (1, 1, 3, −2), a2 = (2, 1, 2, 1), a3 = (1, 3, 3, 2).
11 1 2 −1 2
a) Chứng minh rằng hệ {a1, a2, a3} là hệ độc lập tuyến
tính. a) Tính nghịch đảo của ma trận A.
b) Tìm biểu diễn tuyến tính (nếu có) của phần tử
x = (4, 0, 4, −2) qua hệ {a1, a2, a3}. b) Giải phương trình AX = B.
Bài 4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định
bởi công thức Bài 2. Giải và biện luận hệ phương trình sau theo

f (x) = (3x1 + x2 + 2x3, 2x1 + 2x2 − 3x3, 3x1 + x2 − x3) tham số λ

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3. Hãy tìm ma trận của f 
trên cơ sở {a1, a2, a3} của R3 với

x1 + 2x2 + x3 + 2x4 = 2
a1 = (2, 1, 4), a2 = (1, −1, 1), a3 = (2, 2, 1).


2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 5

3x1 + 5x2 + 3x3 + 4x4 = 8



6x1 + 10x2 + λx3 + 5x4 = 15

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023

18 Bài tập Đại số tuyến tính - 2& 3 Tín chỉ

Bài 3. Trong khơng gian tuyến tính R4 cho khơng a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng ma trận A.
gian con b) Ma trận A có đồng dạng với ma trận chéo hay
khơng. Nếu có hãy chỉ ra ma trận chuyển T và ma
M = {(x1, x2, x3, x4)|x1 + x2 − 2x3 + 4x4 = 0} trận đường chéo B để cho B = T −1AT .
Bài 5. Trong không gian Euclid R4, cho các véc
và phần tử w ∈ M với w = (1, 1, 3, 1). Hãy xác định tơ u = (3, −2, −2, 11), v1 = (2, −1, 3, 3), v2 =
một cơ sở và số chiều của M và cho biết tọa độ của (1, 1, −1, 2).
w trên cơ sở được đưa ra. a) Hãy xác định các số λ, µ sao cho w = u+λv1 +µv2
trực giao với các véc tơ v1, v2.
Bài 4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định b) Hãy xây dựng hệ trực chuẩn từ hệ {v1, v2, w} theo
bởi công thức thủ tục Gram–Schmidt.

f (x) = (4x1 +3x2 −3x3, x1 −2x2 −3x3, x1 +3x2 +2x3), ĐỀ SỐ 5
Bài 1. Giải phương trình

với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3 .
a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc x11x
của R3 x x x x = 0.
b) Xác định x ∈ R3 để f (x) = f (2, −1, 3). x2x2
22xx
Bài 5. Bằng phương pháp trực chuẩn hoá
Gram–Schmidt hãy xây dựng cơ sở trực chuẩn của Bài 2. Giải hệ phương trình
khơng gian R3 từ cơ sở đã cho sau đây:

a1 = (2, 2, 1); a2 = (4, 10, −1); a3 = (2, 7, 3).
x1 + 2x2 + 2x3 − 3x4 − 4x5 = 11
Tính tọa độ của phần tử x = (1, 8, 9) trên cơ sở nhận
được. 

ĐỀ SỐ 4 3x1 + x2 + 3x3 − 9x4 − 2x5 = 14
Bài 1. Cho hai ma trận

 2 1 1 1 2 3 
2x1 − 2x2 + 5x3 − 6x4 + 4x5 = 13
A =  3 −2 1 , B = 3 −2 1  .
Bài 3. Hãy tìm tọa độ của véc tơ x = (3, 10, −2, 3)
−2 1 2 1 4 −2 trong cơ sở dưới đây của khơng gian tuyến tính R4:

a) Tính det(2A3B2 + 3A2B3). a1 = (1, 1, −1, 2); a2 = (2, 3, 1, 1);
b) Tính hạng của ma trận A + 2B. a3 = (−1, 2, −2, 1); a4 = (1, 1, 1, −1).
Bài 4. Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 xác định
Bài 2. Cho hệ phương trình bởi công thức

 f (x) = (4x1 +x2 −x3, 2x1 +3x2 −x3, −x1 −3x2 +2x3),

x1 + x2 + x3 + x4 = 4 với mọi x = (x1, x2, x3) ∈ R3.
a) Hãy lập ma trận của ánh xạ f trên cơ sở chính tắc
 của R3.
b) Hãy chỉ ra rằng ma trận của f trên cơ sở mới
3x1 + x2 − x3 − 2x4 = 6 {a1, a2, a3} của R3 với

2x1 − 4x2 + x3 − 2x4 = 5



2x1 + 6x2 − x3 + x4 = λ

Xác định λ để hệ trên có nghiệm. Giải hệ với λ tìm a1 = (1, 1, 4), a2 = (3, −1, 5), a3 = (−1, −1, 1)
được.
Bài 3. Trong khơng gian tuyến tính R3 cho hai hệ cơ là một ma trận đường chéo.
sở (a) = {a1, a2, a3} và (b) = {b1, b2, b3} với
Bài 5. Trong không gian Euclid R4 cho hệ cơ sở
a1 = (2, 1, −1), a2 = (3, 1, 2), a3 = (2, 1, 4), 1
b1 = (1, 2, 3), b2 = (−1, 0, 2), b3 = (5, 1, 2). trực chuẩn {u1, u2, u3, u4} với u1 = 5 (4, 2, 1, 2), u2 =
1 1
Hãy tính ma trận chuyển cơ sở từ hệ (a) sang hệ (b). 5 (−1, 2, 4, −2), u3 = 5 (2, −4, 2, −1). Hãy xác định
3 −1 2
tất cả các giá trị có thể có của u4.
Bài 4. Cho ma trận A = 1 1 2 .
3 −1 5

Đại học Giao thông Vận tải Tháng 10 năm 2023