Tính chất 3 đường trung tuyến

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

I. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC - Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác
A ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là
đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A
P GN hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC.

C M B Chú ý:

- Đường thẳng AM cũng được gọi là đường
trung tuyến.
- Một tam giác có ba đường trung
tuyến.

II. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
1) Tính chất:

- Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua
một điểm, điểm đó được gọi là trọng tâm của tam
g-iáTcr.ọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng

bằng2 3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

A

Trong tam giác ABC:

P N +) Các đường trung tuyến AM, BP, CN cùng đi qua
C G điểm G (hay đồng quy tại điểm G)

M
Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC

+)AG= 23 AM;BG= 23 BPC; G= 23 CN

B

II. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN Cách 2
2) Cách xác định trọng tâm của một tam giác A
CỦA TAM GIÁC

Cách 1
A

P GN G

C M B C M B

Vẽ hai trung tuyến BP và CN của Vẽ trung tuyến AM Lấy điểm G trên AM sao choAG= 2 AM
Lấy G là giao điểm của BP và CN 3

A
P GN

C M B

A 2
3
P GN
A

G

C BC M B

III. BÀI

BTẬàiP1: Cho hình 1. Hãy điền số thích hợp vào chỗ trống trong các đẳng thức

sau: 2 3

M a) MG = ...... MR b) NS = ...... NG

N 3 2

S 1 NS =3...... GS
G
GR = ...... MR
R
3

1 NG =2...... GS

GR = ...... MG

2

P

Hình 1

III. BÀI

BTẬàiP2: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt
na)haCuhứtạnigGminh rằng: BD = CE và tam giác BGC
cân

Bài 2: A tuyến a) Chứng minh BD = CE Sơ đồ phân tích
BD = CE
B ED Vì cân tại A (gt) ⇒AB= AC
GT G ∆ ABD=∆ ACE
Mà BD là trung tuyến của (gt)
C ^A chung
cân tại A 1
BD, CE là các đường trung D là trung điểm AC⇒ A D =2 AC A D= AE
BD, CE cắt nhau tại G
CE là trung tuyến của (gt)

E là trung điểm AB⇒ A E= 12 A B

⇒ AD= AE

Xét
^A chung
(cmt)
(cmt)

⇒ ∆ ABD=∆ ACE(c. g . c)

BD = CE (2 cạnh tương ứng)

Trong một tam giác cân, hai A D= 12 AC AB= AC
đường trung tuyến ứng với AE= 1 AB
a) BD = CE và hai cạnh bên thì bằng nhau
KL 2

Bài 2: A a) Chứng minh
Xét :
ED BD là trung tuyến (gt) Sơ đồ phân tích
G CE là trung tuyến (gt)
BD giao CE tại G ∆ BGC c ân

G là trọng tâm B G=CG

B C ⇒BG= 23 B D vCà G= 23 CE
Mà BD = CE (cmt)⇒ BG=CG
cân tại A ⇒ ∆ BCGc â nt ại G B G= 23 BD BD = CE (cmt)
BD, CE là các đường trung tuyến C G= 2 CE

BD, CE cắt nhau tại G 3

GT

G là trọng tâm

a) BD = CE và
KL

III. BÀI

BTẬàiP2: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt
na)haCuhứtạnigGminh rằng: BD = CE và tam giác BGC
bcâ) nTrên tia đối tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm GM.
Chứng minh CG là trung tuyến tam giác BMC

Bài 2: A b) Chứng minh:

E M Vì G là trọng tâm (cmt) Sơ đồ phân tích
G D
⇒ BG=2 G D CGl àtrung tuy ế n∆ BCM

Mà D là trung điểm GM (gt) G là trung điểm BM

⇒ GM =2 GD

B C G là trung điểm BM B G=2GD GM =2 GD
CG là trung tuyến
cân tại A
BD, CE là các đường trung tuyến

BD, CE cắt nhau tại G G là trọng tâm D là

GT b) trung điểm GM
MD = DG

KL a) BD = CE và
b)

III. BÀI

BTẬàiP2: Cho tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến BD và CE cắt
na)haCuhứtạnigGminh rằng: BD = CE và tam giác BGC
bcâ) nTrên tia đối tia DG lấy điểm M sao cho D là trung điểm GM.
Chứng minh CG là trung tuyến tam giác BMC
c) Gọi F là giao của AG với BC, N là giao của MF với CE. Biết CE

bằng 18cm, tính GN

Bài 2: A c) Tính
Vì G là trọng tâm (cmt)
B E M là đường trung tuyến Sơ đồ phân tích
GT G D Tính
KL F là trung điểm BC
N MF là đường trung tuyến GN = 13 GC GC =?

F C Xét có N là trọng tâm (cmt)
(cmt)
cân tại A (cmt)
BD, CE là các đường trung tuyến
C G giao MFt ại N
BD, CE cắt nhau tại G
N là trọng tâm
b) MF là trung CG là trung
MD = DG ⇒ GN = 13 GC tuyến tuyến
c) AG giao BC tại F MàGC = 2 CE(cmt)
23
MF giao CE tại N, CE = 18cm
⇒ GC= 3 ⋅ 18=12 (cm )
a) BD = CE và ⇒ GN = 1 ⋅ 12=4 (cm ) F là G là trọng tâm
b) trung điểm BC

3
c)

III. BÀI

BTẬàiP3: Cho tam giác ABC. Trên tia đối tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA.

1
Trên cạnh BCBElấ=y 3điBểCm E sao cho . Gọi K là giao điểm của AE và

Ca)DD. KCh=ứnKgCminh rằng:

3
b)BC + AK > 2 AC A

E

B C

K
D

Bài 3: A

B E a) Chứng minh: DK = KC Sơ đồ phân tích
a) DK = KC
C VìBE= 13 BC⇒CE = 23 CB
AK là trung tuyến
K Vì , BD = BA E là trọng tâm
D

B là trung điểm AD BE= 31 BC CB là trung tuyến
ΔABC CB là trung tuyến

GT , BD = BA , BE= 1 BC Xét có:
AE giao CD tại K 3 CB là trung tuyến (cmt)

KL a) DK = KC b)BC + AK > 3 AC 2
2 CE =3 C(cBmt)

E là trọng tâm
A

K là trung điểm CD ⇒ DK =KC

BD = BA

Bài 3: A

E a) Chứng minh: DK = KC b) Chứng minhB: C + AK > 23 AC
B
VìBE= 13 BC⇒CE = 23 CB Sơ đồ phân tích
C
K Vì , BD = BA 3
D b)BC + AK > 2 AC
B là trung điểm AD
ΔABC CB là trung tuyến E là trọng tâm32 CE + 32 A E> 32 AC

GT , BD = BA , BE= 1 BC Xét có: CE+ A E> AC
AE giao CD tại K 3 CB là trung tuyến (cmt)
Bất đẳng thức

KL a) DK = KC 3 2 tam giác trong
b)BC + AK > AC CE =3 C(cBmt)
2
E là trọng tâm
A

K là trung điểm CD

⇒ DK =KC

HƯỚNG DẪN VỀ

Hoàn thành câu 3b NHÀ

Làm các bài 27, 28, 29, 30 (SGK – trang 67)

Chuẩn bị bài sau: “Cộng, trừ đa thức một biến”