CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP 4

Toán bồi dưỡng lớp 4

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG
TOÁN LỚP 4

CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ

Họ và tên học sinh: …………..…………………………
Lớp: …………………………………………………….
Năm học: ……………………………………………….

- 2015 -

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 1

Toán bồi dưỡng lớp 4

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 2

Toán bồi dưỡng lớp 4

Trong chuyên đề này, học sinh cần nắm được các kiến thức trọng tâm cũng như nhận dạng
phương pháp giải các bài toán ở những dạng cơ bản sau:

+ Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số.
+ Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay khơng?
+ Tìm số số hạng của dãy.
+ Tìm số hạng thứ n của dãy số
+ Tìm số chữ số của dãy khi biết số số hạng
+ Tìm số số hạng của dãy khi biết số chữ số
+ Tìm chữ số thứ n của dãy

+ Tìm số hạng thứ n khi biết tổng của dãy số
+ Tìm tổng các số hạng của dãy số.
+ Dãy chữ.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Lý thuyết cơ bản về dãy số
Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số chẵn… Vì vậy,
nếu:
- Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn.
- Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng số lượng các
số lẻ.
- Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻ nhiều hơn các số chẵn
là 1 số.
- Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng các số chẵn nhiều hơn các
số lẻ là 1 số.
2. Các loại dãy số:
+ Dãy số cách đều:
- Dãy số tự nhiên.

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 3

Toán bồi dưỡng lớp 4

- Dãy số chẵn, lẻ.
- Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số tự nhiên nào đó.
+ Dãy số khơng cách đều: là những dãy số tuân theo một quy luật nhất định (sẽ tìm hiểu ở phần
sau)
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG 1. ĐIỀN THÊM SỐ HẠNG VÀO DÃY SỐ
* Kiến thức cần lưu ý: Để làm tốt dạng bài này, chúng ta cần xác định được quy luật của dãy số.
Một số quy luật của dãy số thường gặp:

a) Dãy số cách đều: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng hoặc
trừ một số tự nhiên d.
Ví dụ: dãy số 1, 5, 9, 13……
b) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân hoặc chia một số tự
nhiên q (q > 1). Dãy số này còn gọi là dãy số tăng hoặc giảm theo cấp số nhân
VD: 2, 4, 8, 16, 32,…..
c) Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng hai số hạng đứng liền trước nó.
VD: 1, 4, 5, 9, 14, 23……
d) Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy.
VD: 5, 10, 30, 120, 600….,
e) Mỗi số hạng bằng tích 2 số tự nhiên cách đều
VD: 2, 6, 12, 20, 30,….

* Bài tập vận dụng
Bài 1.1. Tìm quy luật và viết tiếp 3 số hạng của dãy số sau:
a) 1, 3, 4, 7, 11, …
c) 0, 2, 4, 6, 12, 22, ….
d) 2, 7, 13, 20, …

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 4

Toán bồi dưỡng lớp 4

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Bài 1.2. Tìm quy luật và viết tiếp 2 số hạng của dãy số sau:
a) 1, 2, 6, 24, …
b) 1, 2, 2, 4, 8 …
c) 3, 8, 15, 24, …
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 5

Toán bồi dưỡng lớp 4

Bài 1.3. Tìm số hạng đầu tiên của dãy sau, biết mỗi dãy có 10 số hạng:
a) ….., 24, 27, 30
b) ….., 47, 52, 57
c) ….., 64, 81, 100
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Bài 1.4. Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau :
a) 3, 9, 15, ..., ..., 33.
b) 3, 9, 27, ..., ..., 729.
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 6

Toán bồi dưỡng lớp 4

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Bài 1.5. Điền các số thích hợp vào ô trống, sao cho tổng các số ở 3 ô liên tiếp đều bằng 215

96 49

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
* Bài tập tự luyện (làm vào vở bài tập ở nhà)
Bài 1.6. Tìm quy luật và viết thêm 3 số hạng còn thiếu vào dãy:
a) 5, 6, 11, 17, 28, …
b) 100, 97, 94, 91, …

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 7

Toán bồi dưỡng lớp 4

c) 0, 1, 2, 4, 7, 12, …
d) 10, 13, 18, 26, …
e) 128, 64, 32, 16, …
g) 1, 1, 3, 5, 17, …
Bài 1.7. Tìm số hạng đầu tiên của dãy sau, biết mỗi dãy có 10 số hạng:
a) …., 32, 36, 40

b) ….., 23, 25, 27, 29
Bài 1.8. Tìm các số cịn thiếu trong dãy sau:

a) 0, 2, 2, 4, 6, …, …, …, 42
b) 1, 4, 8, 13, …, … , …, 43
Bài 1.9. Tìm số hạng thứ 10 của dãy số sau:
a) …..39, 42, 45 ( Biết dãy này có 15 số hạng )
b) 1, 4, 9, 16, 25, ……….
Bài 1.10. Điền các số thích hợp vào ơ trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng 2015

783 998

DẠNG 2. TÌM SỐ SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Trong dãy số cách đều được viết theo thứ tự tăng dần thì:

Số lượng số hạng = (Số hạng cuối - Số hạng đầu) : Khoảng cách + 1
Ví dụ : Tính số lượng số hạng các của dãy số sau:
a) 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, 94, 97, 100
Số lượng số hạng của dãy số đã cho là:

(100 - 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng)

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 8

Toán bồi dưỡng lớp 4

b) 2, 4, 6, 8, 10, 12, …., 118, 120

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………
c) 5, 9, 13, 17, 21, …., 97, 101, 105
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
* Bài tập vận dụng:
Bài 2.1. Có bao nhiêu số tự nhiên là:
a) Số chẵn liên tiếp có 3 chữ số?
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
b) Các số lẻ từ 1 đến 2015?
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Bài 2.2. a) Có bao nhiêu số có 2 chữ số có tận cùng là 1?
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 9

Tốn bồi dưỡng lớp 4

b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số có tận cùng là 2?
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
c) Có bao nhiêu số có 3 chữ số chia hết cho 5?
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Bài 2.3. Cho dãy số 1, 2, 3, 4, …, 79, 80

a) Dãy có bao nhiêu số chẵn? Bao nhiêu số lẻ
b) Dãy có bao nhiêu số tận cùng là 5?
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Bài 2.4. Cho dãy số 1, 3, 5, 7, 9, …. Trong các số 97, 98 số nào thuộc dãy trên? Vì sao? Nếu
thuộc thì nó là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 10

Toán bồi dưỡng lớp 4

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Bài 2.5. Cho dãy số 1, 2, 3, 6, 5, 10, 7, 14, …, 99, 198
a) Dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
b) Trong các số 200, 302 số nào thuộc dãy? Vì sao?
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

* Bài tập tự luyện (làm vào vở bài tập ở nhà)
Bài 2.6. Xác định số lượng số hạng của các dãy số sau:
a) 1, 4, 7, 10, 13, …, 301, 304
b) 7, 11, 15, 19, 23, …, 543, 547
c) 16, 23, 30, 37, …, 422, 429

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 11

Toán bồi dưỡng lớp 4

Bài 2.7. Có bao nhiêu số tự nhiên là:
a) Các số tự nhiên liên tiếp từ 316 đến 1002

b) Các số lẻ có 3 chữ số?
c) Các có 3 chữ số chia hết cho 3?
Bài 2.8. Trong các số từ 11 đến 150 có bao nhiêu số chẵn? Bao nhiêu số lẻ?
Bài 2.9. Tìm số số hạng của dãy: 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, …, 150, 151
Bài 2.10. Cho dãy số 3, 6, 9, 12, 15,… Trong các số 2014, 2015, 2016 số nào thuộc dãy? Vì sao?
Nếu thuộc dãy thì số đó có số thứ tự là bao nhiêu?
Bài 2.11. Bạn An viết dãy số: 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, … (Bắt đầu là số 1, tiếp đến 2 số 0 rồi lại
đến số 1,….). Hỏi:
a) Số hạng thứ 31 là số 1 hay số 0?
b) Khi viết đến số hạng thứ 100 thì ra đã viết bao nhiêu số 1? Bao nhiêu số 0?

DẠNG 3. TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Tổng các số hạng = [ (số đầu + số cuối) x Số lượng số hạng ] : 2
Ví dụ: Tính tổng các số hạng của các dãy số sau:
a) 1, 2, 3, 4, 5, …, 49, 50
Số lượng số hạng của dãy số đã cho là:
(50 - 1) : 1 + 1 = 50 (số hạng)
Tổng của dãy số là: [ (1+ 50) x 50 ] : 2 = 1275
b) 2, 4, 6, 8, 10, 12, …., 98, 100

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 12

Toán bồi dưỡng lớp 4

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

* Bài tập vận dụng:
Bài 3.1. Tính tổng các số tự nhiên chẵn từ 0 đến 100
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Bài 3.2. Tính tổng của tất cả các số lẻ nhỏ hơn 100
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Bài 3.3. Tìm x biết:  x 1   x  3   x  5  ...  x 17   x 19  200

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 13

Toán bồi dưỡng lớp 4

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

Bài 3.4. Cho dãy số: 1, 2, 3, ......., n. Hãy tìm số n biết tổng của dãy số là 55

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Bài 3.5. Tính tổng các số trong dãy sau: 1, 2, 3, 6, 5, 10, 7, 14, …, 99, 198
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Bài 3.6. Để đánh số trang 1 quyển sách dày 150 trang cần dùng tất cả bao nhiêu chữ số?
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 14

Toán bồi dưỡng lớp 4

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

* Bài tập tự luyện (làm vào vở bài tập ở nhà)

Bài 3.7. Tính các tổng sau:

a) 2 + 3 + 4 + … + 30 + 31 b) 2 + 5 + 8 + 11 + … + 32 + 35

Bài 3.8. Tính tổng của các các số chẵn liên tiếp có 2 chữ số nhỏ hơn 50

Bài 3.9. Trong một hội trường, hàng ghế đầu có 8 ghế, hàng thứ hai có 9 ghế, hàng thứ ba có 10

ghế …, cứ như thế đến hàng cuối cùng có 22 ghế. Hỏi phịng họp có đủ số ghế cho 220 người

ngồi họp hay khơng? Vì sao?

Bài 3.10. Tìm x biết:  x  2   x  6   x 10  ...  x  34   x  38  290

Bài 3.11. Một kì thi có 200 học sinh tham gia, các học sinh được đánh số báo danh lần lượt từ 1

đến 200. Hỏi cần dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh hết số báo danh cho 200 học sinh đó?
Bài 3.12. Tính tổng các số trong dãy sau 0, 1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, …, 150, 151
Bài 3.13. Cho dãy các ô vuông được xếp như các hình vẽ (hàng trên cùng có 1 ô, hàng thứ hai có

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Nguyên Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 15

Tốn bồi dưỡng lớp 4

2 ơ, hàng thứ ba có 3 ơ,…)

a) Hỏi đến hình thứ mấy thì hàng dưới cùng có 7 ơ vng và hình đó xếp được tất cả bao nhiêu ơ?
b) Một hình gồm 36 ơ vng được xếp như vậy thì hình đó xếp được mấy hàng và hàng dưới cùng
có bao nhiêu ơ?

Liên hệ: Thầy Minh, 8/18 Ngun Hồng, HN – ĐT: 0125 868 0640 Page 16