Sáng kiến kinh nghiệm Phân tích đa thức thành nhân tử

PHỤ LỤC 01/BCSK Page1

(Ban hành kèm theo Quyết định số 09/2021/QĐ-UBND ngày 20 tháng 4 năm 2021 của Ủy ban
nhân dân tỉnh Cà Mau)

Cái Đôi Vàm, ngày 20 tháng 3 năm 2022

BÁO CÁO

Sáng kiến hoặc giải pháp “Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử vào giải một số dạng bài tập trong chương trình đại số 8”

- Tên sáng kiến: “Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
vào giải một số dạng bài tập trong chương trình đại số 8”

- Họ và tên: Phạm Văn Công

- Đơn vị công tác: Trường THCS Lê Hồng Phong.

- Cá nhân, tổ chức phối hợp (ghi cụ thể từng thành viên):

- Thời gian đã được triển khai thực hiện: Từ ngày: 11/09/2020 đến ngày: 15/05/2021

I. ĐẶT VẤN ĐỀ

1. Tên sáng kiến hoặc giải pháp

“Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải một số
dạng bài tập trong chương trình đại số 8”

2. Sự cần thiết, mục đích của việc thực hiện sáng kiến (lý do nghiên cứu)

Trong chương trình đại số lớp 8, dạng bài tập về phân tích đa thức thành nhân
tử là một nội dung hết sức quan trọng. Việc áp dụng dạng tốn phân tích đa thức
thành nhân tử vào giải toán rất phong phú và đa dạng. Vì vậy, để giúp học sinh giải
quyết tốt dạng Toán này là yêu cầu hết sức cần thiết đối với người giáo viên.

Trong những năm thực tế giảng dạy môn đại số 8 tại trường THCS Lê Hồng
Phong tôi nhận thấy đa số học sinh khi học xong các bài phân tích đa thức thành
nhân tử vào áp dụng giải tốn cịn gặp nhiều sai sót, mất phương hướng khi gặp
những bài tập có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử, nguyên nhân là do
học sinh chưa nắm vững các phương pháp giải, chưa vận dụng các kĩ năng biến đổi
một cách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toán cụ thể.

Đề tài đưa ra nhằm giúp học sinh khắc phục được những sai sót của mình khi Page2
phân tích đa thức thành nhân tử trong các bài Tốn. Bên cạnh đó, chỉ ra một số
dạng Tốn phân tích đa thức thành nhân tử để học sinh hệ thống được cách làm của
mình cho phù hợp.

Đặc biệt, đề tài này còn giúp các em rèn kĩ năng giải các bài Tốn phương
trình tích và áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử vào một số dạng Toán liên
quan.

Hơn nữa, tơi nghiên cứu đề tài này để nâng cao trình độ chuyên môn của bản
thân đồng thời cũng trao đổi cùng đồng nghiệp khi dạy các bài “phân tích đa thức
thành nhân tử” để cung cấp thêm cho học sinh phương pháp học và làm Toán.
Giúp các em nắm được kiến thức cơ bản, cách tư duy và phương pháp sử dụng linh
hoạt các cách phân tích đa thức thành nhân tử, để các em ngày càng u thích và
có hứng thú hơn đối với bộ mơn Tốn. Góp phần cải thiện chất lượng trong học tập
của các em, giúp các em phát triển tư duy giải Toán một cách toàn diện.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN HOẶC GIẢI PHÁP.

1. Cơ sở lí luận của vấn đề
Phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung kiến thức vô cùng quan trọng
của phân môn Đại số 8 và nó áp dụng xun suốt trong q trình học cấp Trung
học cơ sở. Vì vậy yêu cầu đặt ra cho các em học sinh là phải nắm được phương
pháp và vận dụng vào giải các bài Toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân
tử nếu khơng các em sẽ gặp rất nhiều khó khăn.
Một số bài toán thường gặp như: Rút gọn biểu thức, tìm x, tính nhanh giá trị
của biểu thức, giải phương trình, bài tập về phân thức đại số… muốn giải được
học sinh cần phải phân tích đa thức thành nhân tử.
Vì vậy giáo viên cần hướng học sinh nắm chắc phần phân tích đa thức thành
nhân tử để làm tiền đề giải những dạng Toán liên quan sau này.

2. Thực trạng vấn đề

Trong q trình giải tốn dạng phân tích đa thức thành nhân tử thì đa số các
em vận dụng chưa tốt, đặc biệt có nhiều em chưa nắm chắc lý thuyết, hoặc chỉ
nhận dạng được các công thức này ở những dạng đơn giản, cịn khi các cơng thức
ở dạng phức tạp hơn thì các em trở nên bị động, mất phương hướng, không biết
giải quyết như thế nào.

Một số học sinh khả năng nhận dạng bài Toán khá nhanh, tuy nhiên chưa biết
cách vận dụng linh hoạt phương pháp vào giải Toán, hoặc trường hợp các em đã
biết vận dụng nhưng trong khi thực hiện phép tính cịn xảy ra sai sót về dấu hoặc
nhầm lẫn dấu sau khi bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ…

Cụ thể, năm học 2020 – 2021, bằng một bài kiểm tra thử về dạng tốn phân
tích đa thức thành nhân tử, số HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Hồng Phong
có 75 em, cho kết quả:

Số HS Phân tích đúng Phân tích sai Khơng biết phân tích
Tỉ lệ % 25 30 20

33,3,0% 40,0% 26,7%

Từ những thực trạng nêu trên, tôi đã nghiên cứu tìm ra một số phương pháp Page3
sao cho có hiệu quả, nâng cao chất lượng học sinh trong việc vận dụng phân tích
đa thức thành nhân tử vào giải Toán.

3. Các giải pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:

Để áp dụng tốt giải toán phân tích đa thức thành nhân tử vào những bài tốn
liên quan thì trước hết học sinh cần phải:

+ Học thuộc các hằng đẳng thức đáng nhớ đồng thời cụ thể hóa bằng cơng
thức.

+ Nắm vững và biết áp dụng các cách phân tích đa thức thành nhân tử.
+ Sử dụng chính xác cách phân tích đa thức thành nhân tử mà nội dung từng
bài toán yêu cầu.
+ Kết hợp với các kĩ năng biến đổi, thu gọn biểu thức.
3.1. Kiến thức cơ bản:
* Học sinh cần học thuộc những hằng đẳng thức đáng nhớ:

 A  B 2 A2  2AB  B2

 A  B 2 A2  2AB  B2

A2  B2  A  B  A  B

 A  B 3 A3  3A2B  3AB2  B3

 A  B  3 A3  3A2B  3AB2  B3

A3  B3  A  B  A2  AB  B2 

A3  B3  A  B  A2  AB  B2 

* Học sinh cần nắm vững các cách phân tích đa thức thành nhân tử:
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức.
+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử.

+ Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp.

3.2. Các bài tập

Trước tiên ta phải nhấn mạnh cho học sinh hiểu rõ: Phân tích đa thức thành
nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức.

3.2.1. Dạng 1: Bài tập đơn giản ở mức độ nhận biết.

Phương pháp:

- Xét xem biểu thức đã cho có dạng hằng đẳng thức nào.

- Xác định biểu thức A, B

- Thay các biểu thức A, B vào hằng đẳng thức vừa xác định.

Bài tập:

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x2  2xy  y2

b) y2  2 y 1

c) a2  4

d) x3  3x2  3x 1

e) x3  6x2 12x  8

g) y3  27

h) a3  125

Giải:

Đây là những dạng bài tập nhận biết cơ bản, yêu cầu học sinh nhận dạng được
hằng đẳng thức, sau đó cho các em xác định biểu thức A, biểu thức B trong từng
câu rồi áp dụng cơng thức để phân tích:

a) x2  2xy  y2  x  y 2

y2  2 y 1 y2  2.y.112  y  1 2

b)

c) a2  4 a2  22  a  2  a  2

3 2 3 2 23 3 Page4
x  3x  3x 1 x  3x .1 3x.1 1  x 1
d)

3 2 3 2 23 3
x  6x 12x  8 x  3x .2  3x.2  1  x  2
e)

g) x3  27 x3  33  x  3  x2  3x  9

h) a3  125 a3  53  a  5  a2  5a  25

- Ta cần hướng dẫn học sinh xác định dạng của hằng đẳng thức đối với mỗi
bài tốn, sau đó xác định đâu là A, đâu là B rồi thay vào hằng đẳng thức tương ứng
để làm.

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) a6  b6

b) 4a2  4a 1

c) 4a2  12a  9

a2  3 ay  9 y2
d) 16 2

Giải:

a) Đối với bài toán này giáo viên hỏi học sinh  am  n ? và yêu cầu học sinh

nhận dạng hằng đẳng thức. Học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng thức số ba A2 - B2 =

(A-B)(A+B). Học sinh tự phát hiện đưa về dạng lũy thừa  am  n am.n . Vậy trong

bài toán này ta đưa ra được như thế nào, học sinh đưa ra a6 = (a3)2, b6 = (b3)2, đến
đây học sinh tự giải quyết các bài toán.

b) và c) Với câu b, c là bài tập bắt đầu yêu cầu học sinh nâng cao tư duy, học
sinh khá giỏi sẽ giải bài này khơng khó khăn nhưng những học sinh yếu kém sẽ
thường nhầm lẫn như sau:

b)4a2  4a 1  4a 2  2. 4a  .112  4a 1 2
c)4a2  12a  9  4a 2  2. 4a .3  32  4a  3 2 (Cách làm sai của HS)

Học sinh làm sai là do xác định sai biểu thức A và B. Cần phải nắm rõ với các Page5
biểu thức A, B trong hằng đẳng thức là một biểu thức gồm cả số và biến hoặc gồm
hai biến thì phải sử dụng dấu ngoặc và lũy thừa của cả biểu thức đó.

Ví dụ:

9a2  36ab  36b2  3a 2  2.3a.6b   6b 2  3a  6b 2

Trong đó A 3a; B 6b

Hoặc x2  20xy 100 y2 x2  2.x.10 y  10 y  2  x  10 y  2

Trong đó A x; B 10 y

Vì vậy bài Tốn được giải đúng như sau:

b)4a2  4a 1  2a 2  2. 2a  .112  2a 1 2
c)4a2  12a  9  2a 2  2. 2a .3  32  2a  3 2

Giáo viên luôn luôn nhấn mạnh với học sinh là cần xác định chính xác biểu
thức A, B trước khi làm bài để tránh sai sót về sau.

d) Tương tự, sau khi học sinh đọc đề thì giáo viên định hướng và yêu cầu học

1a

sinh xác định đúng A = 4 và B = 3y, sau đó giáo viên cho học sinh phân tích cụ
thể biểu thức A2, 2AB và B2 đúng rồi sau đó mới tiến hành giải.

a2 3 2  1 2  1  2  1 2
 ay  9 y  a   2. x  .3y   3y  a  3y 
16 2 4  4  4 

3.2.2. Dạng 2: Dạng bài biến đổi, đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử để làm
xuất hiện hằng đẳng thức.

Phương pháp:

- Phát hiện nhân tử chung hoặc nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng
thức.

- Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử.

Bài tập:

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) 15a3  30a2x 15ax2

b) a3  3a2  3a  1 b3

Giải:

a) 15a3  30a2x 15ax2 Page6

Câu a giáo viên yêu cầu học sinh xác định số hạng tử trong bài, vì chỉ có 3

hạng tử là 15 a3 , 30a2 x , 15ax2 nên hướng học sinh hoặc là dùng hằng đẳng thức

hoặc đặt nhân tử chung, giáo viên đặt câu hỏi nếu sử dụng hằng đẳng thức luôn có
được khơng? Hoặc nếu đặt nhân tử chung ra ngồi thì ta nhận được biểu thức nào?
Học sinh sẽ nhận thấy rằng sau khi đặt 15a là nhân tử chung ra ngồi thì sẽ xuất
hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bài giải như sau:

15a3  30a2 x 15ax2 15a  a2  2ax  x2  15a  a  x 2

b) a3  3a2  3a  1 b3

Với bài Toán này, tương tự học sinh tự xác định được 5 hạng tử nên giáo viên
gợi ý học sinh sử dụng cách nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức. Lúc này
học sinh sau khi nhóm sẽ dễ dàng phát hiện ra hai hằng đẳng thức: lập phương của
một hiệu và hiệu hai lập phương. Tuy nhiên giáo viên cần phải chỉ rõ cách nhóm
hạng tử để học sinh khơng bị nhầm lẫn, cách nhóm hạng tử dễ bị nhầm lẫn trong

bài này mà thường gặp trong học sinh là

a3  3a2  3a  1 b3  a3  3a2  3a  b3   1  a  b 3  13 (Cách làm sai của

HS). Từ đó sẽ dẫn đến kết quả bài sai.

Vì vậy cần yêu cầu học sinh nháp trước cách làm và giải thích cụ thể, nếu sai
giáo viên định hướng kịp thời để giúp học sinh ghi nhớ ngay kiến thức.

Bài giải trên được giải đúng như sau:

a3  3a2  3a  1 b3  a3  3a2  3a  1  b3

 a  1 3  b3  a  1 b   a  1 2  b  a  1  b2 

 a  1 b  a2  b2  ab  2a  b 1

Lưu ý: Đối với học sinh yếu hơn có thể cho các em làm bài Toán tương tự

với bậc hai trước khi làm bậc ba, ví dụ bài x2  2x 1 y2

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) xy  x  y  yz  y  z  xz  x  z   2xyz

b) x  y  z  2  y  x  z  2  z  x  y  2  4xyz Page7

Giải:

a) xy  x  y  yz  y  z  xz  x  z   2xyz Page8

Bài này có độ khó hơn, giáo viên định hướng học sinh khai triển ra rồi lại
nhóm các hạng tử vào cách khác để tạo ra nhân tử chung, đồng thời tách 2xyz
thành xyz + xyz, cụ thể ta giải như sau:

xy(x + y) + yz(y + z) + xz(x + z) + 2xyz
= x2y+ xy2 + yz(y + z) + x2z + xz2 + xyz + xyz
= (x2y + x2z) + yz(y + z) + (xy2 + xyz) + (xz2 + xyz)
= x2(y + z) + yz(y + z) + xy(y+ z) + xz(y + z)
= (y + z)( x2 + yz + xy + xz) = (y + z)[(x2 + xy) + (xz + yz)]
= (y + z)[x(x + y) + z(x + y)] = (y + z)(x+ y)(x + z)
Tương tự câu b

b) x y  z  2  y  x  z  2  z  x  y  2  4xyz

Câu b cách làm cũng tương tự, khai triển xong rồi nhóm lại cách khác, cụ thể:

khai triển hai biểu thức đầu tiên là x  y  z 2  y  x  z 2 ta được

x  y2  2 yz  z2   y  x2  2xz  z2  , nhân đơn thức cho đơn thức ta được

xy2  x2 y  xz2  yz2  4xyz , sau đó tiếp tục đặt nhân tử chung trong biểu thức thứ
hai rồi phân tích đa thức thành nhân tử.

Như vậy, bài giải được trình bày như sau:

x  y  z  2  y  x  z  2  z  x  y  2  4xyz

x  y2  2yz  z2   y  x2  2xz  z2   z  x  y  2  4xyz

xy2  x2 y  xz2  yz2  z  x  y  2 xy  x  y   z2  x  y   z  x  y  2

 x  y . xy  z2  z  x  y   x  y  xy  z2  xz  yz 

 x  y  xy  xz  yz  z2   x  y  x  y  z   z  y  z  

 x  y  y  z  x  z 

Giáo viên cần lưu ý cho học sinh có thể bớt đi một số bước làm để bài Toán
được ngắn gọn hơn.

Như vậy ta để ý thấy rằng kết quả hai bài trên giống nhau, nếu gặp bài Toán
mở rộng, Cho hai biểu thức

A xy  x  y  yz  y  z   xz  x  z   2xyz

B x  y  z 2  y  x  z  2  z  x  y  2  4xyz

Chứng minh A = B. Học sinh làm được hai câu trên sẽ biết cách kết hợp để
được kết quả hoàn chỉnh.

3.2.3. Dạng 3: Dạng bài sử dụng nhiều hằng đẳng thức để phân tích đa
thức thành nhân tử.

Phương pháp:

- Đặt nhân tử chung (nếu có).

- Nhóm hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức.

- Dựa vào hằng đẳng thức để đưa biểu thức về dạng nhân tử.

Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) a3 – a + 3a2b + 3ab2 + b3 – b
b) 15x2 – 30xy + 15y2 – 60z2

Giải:

a) Giáo viên định hướng nhóm hạng tử để học sinh tự tìm ra được hằng đẳng
thức, sau khi đặt nhân tử chung ra ngoài lại tiếp tục xuất hiện hằng đẳng thức, phải
lưu ý các em là khai triển ra hằng đẳng thức cần làm triệt để.

a3 – a + 3a2b + 3ab2 + b3 – b
= (a3 + 3a2b + 3ab2 + b3) – (a + b) = (a + b)3 – (a + b)
= (a + b)[(a + b)2 – 1] = (a + b)(a + b + 1)(a + b - 1)
b) Giải câu b tương tự câu a, tuy nhiên cần cho học sinh thấy cần đặt nhân tử
chung ra ngồi trước khi nhóm hạng tử thì bài Tốn sẽ dễ nhìn hơn.
15x2 – 30xy + 15y2 – 60z2 = 15(x2 – 2xy + y2 – 4z2)
= 15[(x2 – 2xy + y2) – 4z2] = 15[(x – y)2 – (2z)2]
= 15(x – y + 2z)(x – y – 2z)
Tóm lại, qua mỗi dạng giáo viên cần nhắc nhở học sinh học công thức càng
trôi chảy lưu lốt bao nhiêu thì khả năng phân tích đề và độ nhạy bén khi giải đề
càng nhanh nhẹn bấy nhiêu.

3.2.4. Dạng 4: Các nhóm bài tìm giá trị của biểu thức, khi phân tích đa
thức thành nhân tử thay giá trị vào thì xuất hiện nhân tử bằng 0.

Phương pháp:

- Phân tích đa thức thành nhân tử để được kết quả ngắn gọn nhất.

- Thay giá trị của biến vào biểu thức sau khi đã thu gọn.

Bài tập: Tính giá trị của các biểu thức: Page9

a) x2 y + xy2 + xy tại x = 0 và y = 1000

b) xy(x – y) + y2(y – x) tại x= 530 và y = 0

Giải:

a) Giáo viên cho học sinh phân tích đa thức thành nhân tử, rồi thế giá trị vào
biểu thức:

x2 y + xy2 + xy = xy ( x + y + 1 ).

Thay x = 0 và y = 1000, ta được 0.1000(0 + 1000 + 1) = 0

Giáo viên đưa ra kết luận: dạng bài tìm giá trị của biểu thức, khi phân tích
thành nhân tử, thay giá trị vào xuất hiện một nhân tử bằng 0 thì giá trị của biểu
thức bằng 0, khơng cần tính giá trị của thừa số thứ hai nữa.

Ví dụ ta xét tiếp câu b) xy(x – y) + y2(y – x).

Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ta được kết quả y(x – y)2, thay giá trị
y = 0 vào biểu thức ta sẽ nhận được kết quả bằng 0.

3.2.5. Dạng 5: Giải phương trình tích thơng qua phân tích đa thức thành
nhân tử.

Phương pháp:

- Chuyển toàn bộ vế phải của phương trình sang vế trái để vế phải có giá trị là
0.

- Áp dụng các cách phân tích để biến đổi vế trái thành dạng nhân tử để giải
phương trình tích.

Bài tập: Giải các phương trình sau:

a) 15y(y + 3) = 3(y + 3)
b) 2(x + 115) – 2x2 – 230x = 0

Giải:

a) Giáo viên gợi ý học sinh chuyển vế rồi phân tích đa thức thành nhân tử.
15y(y + 3) = 3(y + 3)
⇔ 15y(y + 3) – 3(y + 3) = 0
⇔ 3(y + 3)(5y – 1) = 0
⇔ y + 3 = 0 hoặc 5y – 1 = 0
• y + 3 = 0 ⇔ y = -3

1

• 5y – 1 = 0 ⇔ y = 5 Page10
1

Vậy y = -3 hoặc y = 5 .

b) Giáo viên gợi ý học sinh đặt nhân tử chung rồi phân tích đa thức thành
nhân tử.

2(x + 115) – 2x2 – 230x = 0
⇔ 2(x + 115) – (2x2 + 230x) = 0

⇔ 2(x + 115) – 2x(x + 115) = 0

⇔ 2(x + 115)(1 – x) = 0

⇔ 1 – x = 0 hoặc x + 115 = 0

• 1–x=0⇔x=1

• x + 115 = 0 ⇔ x = -115
Vậy x = 1 hoặc x = -115.
Với dạng Tốn tìm x hay giải phương trình, một khi đã áp dụng phân tích đa thức
thành nhân tử vào thì việc giải Tốn sẽ trở nên dễ dàng hơn.

3.2.6. Dạng 6: Một số bài Toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên
quan đến các hằng đẳng thức.

Phương pháp:

- Xác định biểu thức cần chứng minh là dạng hằng đẳng thức nào.

- Từ đó phân tích đa thức thành nhân tử.

Bài tập: Chứng minh:

a)29  1 chia hết cho 7

b)56  104 chia hết cho 9

c)  n  3 2   n  1 2 chia hết cho 8

d )  n  6 2   n  6 2 chia hết cho 24

e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120

Phương pháp chung:

- Để chứng minh A(n) chia hết cho một số m ta phân tích A(n) thành nhân tử
có một nhân tử là bội của m, nếu m là hợp số thì ta lại phân tích nó thành nhân tử
có các đơi một nguyên tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n) chia hết cho các số đó.

Giải:

- Giáo viên gợi ý học sinh làm câu a, tách 29 thành một số mũ 3 để biểu thức Page11
cần chứng minh trở thành A3 – B3. Sau đó áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ học

sinh dễ dàng chứng minh được như sau

a)29  1  23 3  1 83  1 83  3  8  1  82  8.112  7.73

1

Vậy 7.73 chia hết cho 7. Page12

Do đó 29  1 chia hết cho 7

- Tương tự, đối với câu b này, giáo viên định hướng cho học sinh đặt nhân tử
chung. Tách 56 và 104 làm sao để xuất hiện nhân tử chung, cách làm như sau:

b)56  104 54.52  54.24 54  52  24  54.9

Vậy 54.9 chia hết cho 9.

Do đó 56  104 chia hết cho 9.

- Câu c đề bài  n  3 2   n  1 2 giáo viên cho học sinh tự liên tưởng tới hằng

đẳng thức, rõ ràng học sinh sẽ nghĩ đến 2 hằng đẳng thức là bình phương của một
tổng, bình phương của một hiệu. Tuy nhiên giáo viên yêu cầu học sinh nhìn một
cách tổng quát hơn, học sinh sẽ phát hiện ra hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Sau khi học sinh xác định đúng dạng hằng đẳng thức thì giáo viên cho học
sinh làm bài:

c) n  3 2   n  1 2  n  3  n  1  n  3  n 1

 2n  2 4 8n  8 8 n 1

Bài Toán trên học sinh thường mắc phải lỗi do dấu trừ trước biểu thức thứ hai
nên sẽ có một số học sinh tính ra kết quả sau:

 n  3 2   n  1 2  n  3  n 1  n  3  n  1 (Cách làm sai của HS)

do đó giáo viên cần nhấn mạnh học sinh đặc biệt chú ý với các biểu thức có
nhiều hạng tử mà trước ngoặc có dấu trừ.

- Với câu d cách làm hoàn toàn tương tự, ta có

d ) n  6 2   n  6 2  n  6  n  6  n  6  n  6

2n.12 24n

Như vậy 24n chia hết cho 24 hay  n  6 2   n  6 2 chia hết cho 24.

e) x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120.

Giáo viên định hướng học sinh phân tích số 120 thành tích các thừa số nguyên
tố, ta được 120 = 23.3.5. Từ bài toán chứng minh x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia
hết cho 120 ta đưa về chứng minh x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho tích

của các thừa số 2, 3, 5. Sau đó giáo viên tiếp tục hướng dẫn các em phân tích đa
thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung nhiều lần. Bài giải cụ thể như sau:

Dễ thấy 120 = 23.3.5. Ta có

x5 10x4  35x3  50x2  24x

x  x4 10x3  35x2  50x  24

x  x3  x 1  9x2  x 1  26x  x 1  24 x 1 

x  x 1  x3  9x2  26x  24

x  x 1  x2  x  2  7x  x  2 12 x  2 

x  x 1  x  2  x2  7x 12

x  x 1  x  2  x  3  x  4

Mà ta có x  x 1  x  2  x  3  x  4 chia hết cho 2, 3, 4, 5

Mặt khác 2, 3, 5 là các số nguyên tố cùng nhau nên

x  x 1  x  2  x  3  x  4 chia hết cho 2.3.4.5 = 120

Vậy x5 + 10x4 + 35x3 + 50x2 +24x chia hết cho 120.

3.2.7. Dạng 7: Dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thơng qua
hằng đẳng thức.

Phương pháp:

- Quy các biểu thức về dạng bình phương của một tổng hoặc bình phương của
một hiệu.

- Xuất hiện tổng của một hằng đẳng thức với một số.

- Dựa vào biểu thức vừa tìm được bằng suy luận để tìm ra giá trị lớn nhất
(hoặc nhỏ nhất) của biểu thức.

Bài tập

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau:

a) A = a2 – 14x + 51 Page13

b) B = 5x – x2

Giải:

a. Giáo viên định hướng học sinh quy biểu thức về dạng bình phương của một

hiệu, để ý hiệu a2 – 14a phân tích được a2 – 2.7.a, lúc này học sinh sẽ tìm được

hạng tử thứ hai là 7, vậy ta giải như sau

Ta có: A = a2 – 14x + 15 = x2 – 2.7a + 49 + 2 = (a – 7)2 + 2

Vì (a – 7)2 ≥ 0 nên (a – 7)2 + 2 ≥ 2

Suy ra: A ≥ 2.

Vậy A = 2 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức tại x =3.

b. Giáo viên hướng dẫn học sinh đổi dấu hạng tử đầu tiên bằng cách đưa dấu

“-“ ra ngồi ngoặc, tương tự bài trên ta phân tích x2 – 5x ra dạng A2-2.A.B để tìm

ra hạng tử B

5 5 5

B = 5x – x2 = -(x2 – 5x) = - [x2 - 2. 2 x + ( 2 )2 – ( 2 )2]

5 25 5 25

= - [(x - 2 )2 - 4 ] = - (x - 2 )2 + 4

5 5 5 25 25

Vì (x - 2 )2 ≥ 0 nên - (x - 2 )2 ≤ 0 ⇒ - (x - 2 )2 + 4 ≤ 4

25 25 5

Suy ra: B ≤ 4 . Vậy B = 4 là giá trị lớn nhất tại x = 2 .
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau:

a) M = 6a2 – 18a

b) N = m2 + n2 – m +6n + 10

Giải:

a) Giáo viên gợi ý tương tự bài 1, sau khi đưa nhân tử chung ra ngồi thì trong

ngoặc các em biến đổi về dạng bình phương của một hiệu để tìm ra hạng tử thứ

hai.

3 99 3 27 27

M = 6a2 – 18a = 6(a2-3a) = 6.(a2 - 2. 2 .x + 4 – 4 )= 6.( a- 2 ) 2 - 2  - 2

27 3

Vậy MinM = - 2 khi x = 2

b) Tương tự như trên, tuy nhiên giáo viên cần gợi ý câu hỏi cho học sinh rằng
đối với bài này có thể phân tích được thành bao nhiêu hằng đẳng thức trong bài. Để
định hướng cho các em nhìn thấy được hai hằng đẳng thức.

Page14

N m2  n2  m  6n 11

m2  n2  m  6n  1  9  7
44

(m2  m  1)  (n2  6n  9)  7
4 4

2 1 1 2 7
 m  2.m.     n  2.n.3  9 
 2 4 4

 1 2 27
 m     n  3 
 2 4

 1 2 2
 m   0  1 27 7
Do  2   N  m     n  3  
 2 44
 n  3 02

Dấu “=” xảy ra khi:

1 1
m  0 m 
 2  2

n  3 0 n  3

7 x 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của N = 4 khi 2 và y = -3

Tóm lại: Tốn phân tích đa thức thành nhân có những ứng dụng rất quan
trọng trong việc giải toán cấp trung học cơ sở. Để vận dụng tốt thì các em phải
hiểu cách biến đổi của từng dạng. Trong phần này tôi đã đưa ra những dạng tốn
thường gặp trong chương trình tốn trung học cơ sở, vì vậy nó sẽ giúp các thầy, cơ
và các em rất nhiêu trong việc dạy và học môn tốn cấp trung học cơ sở.

III. ĐÁNH GIÁ VỀ TÍNH MỚI, TÍNH HIỆU QUẢ VÀ KHẢ THI, PHẠM VI
ÁP DỤNG

1. Tính mới.

Sau khi áp dụng đề tài tôi nhận thấy học sinh linh động hơn trong việc tìm ra Page15
cơng thức để giải toán, các em biết cách xử lý nhanh hơn khi giải tốn phân tích đa
thức thành nhân tử và những dạng toán liên quan.

Đề tài có hướng đến những lỗi sai trong cách giải của học sinh để giúp các em
định hướng cách làm đúng và nhanh nhất.

2. Tính hiệu quả và khả thi.

Năm học 2020 – 2021, trong bài kiểm tra phân tích đa thức thành nhân tử, số

HS khối 8 trường Trung học cơ sở Lê Hồng Phong có 75 em, cho kết quả:

Phân tích đúng Phân tích sai Khơng biết phân tích

Số HS 45 20 10

Tỉ lệ % 66,7% 26,7% 13,3%

Như vậy, sau một năm học áp dụng kinh nghiệm dạy này, tôi nhận thấy đa số
học sinh tham gia đều rất hứng thú học Toán, tự giác và chủ động trong những kiến
thức Toán giáo viên đưa ra, đặc biệt là những kiến thức liên quan đến phân tích đa
thức thành nhân tử.

3. Phạm vi áp dụng

Đề tài: “Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải
một số dạng bài tập trong chương trình đại số 8” Đã được nhà trường thống nhất
và cho áp dụng rộng rãi trong toàn khối 8 tại trường THCS Lê Hồng Phong, năm
học 2021 – 2022.

IV. KẾT LUẬN

Phương pháp dạy phân tích đa thức thành nhân tử là phương pháp cực kỳ
quan trọng, góp phần định hướng tư duy cho học sinh trong các kĩ năng giải toán,
dễ dàng nhận dạng và giải quyết các bài toán từ đơn giản đến phức tạp.

Đối với người giáo viên khi dạy phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
thì định nghĩa cần hướng dẫn học sinh biết cách kết hợp với các kĩ năng biến đổi,
thu gọn biểu thức để giải các dạng toán liên quan.

Đối với học sinh ngồi việc nắm vững lý thuyết thì cần phải nhận ra dạng toán
và vận dụng linh hoạt các kĩ năng để giải bài tốn đó.

Những cách tôi thực hiện trong đề tài này là những kinh nghiệm mang tính cá
nhân trong q trình tổ chức các tiết học. Chính vì vậy khơng thể tránh khỏi những
hạn chế thiếu sót, tơi rất mong nhận được những đóng góp quý báu của các q
thầy, cơ để đề tài này được hồn chỉnh hơn.

XÁC NHẬN CỦA Người báo cáo Page16
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ TRỰC TIẾP Phạm Văn Công

Page17