Kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử

Trờng đại học s phạm hà nội
------------------------------ -----------------------------
Đề tài khoa học
Phát huy tính tích cực học tập của học sinh
qua việc dạy giải toán phân tích đa thức
thành nhân tử.
Ngời hớng dẫn: T.S Nguyễn Văn Khải
Ngời thực hiện: Trần Văn Chung
Trờng : THCS Tân Trào.
Hải dơng 2005
I .Đặt vấn đề
Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học
nói riêng, con ngời cần phải có một tri thức, một t duy nhạy bén để nắm bắt
và sử dụng những tri thức đó trong cuộc sống hàng ngày. Muốn có những
tri thức đó con ngời cần phải học, nhà trờng là một trong những nơi cung
cấp những hành trang đó . Bộ môn toán trong trờng trung học cơ sở, nhất là
bộ môn đại số 8 là một bộ môn rèn luyện tính t duy nhạy bén của học sinh,
nó đòi hỏi ngời học phải nhìn nhận vấn đề dới mọi góc độ phải liên hệ giữa
bài toán đã giải,những kiến thức đã biết để giải quyết.vì vậy ngời thầy phải
cho học sinh nắm đợc các dạng toán cơ bản và các hớng mở rộng của bài
toán đó. Từ đó để học sinh phát triển t duy và hình thành kĩ năng giải toán.
Muốn đạt đợc điều đó phải đòi hỏi tính tích cực, tính t duy của ngời học nh-
ng phơng pháp của ngời thầy cũng rất quan trọng,làm cho học sinh học một
nhng có thể làm đợc hai ba. Từ bài toán đơn giản mở rộng lên bài khó .
Khi tính toán các phép tính đối với đa thức,nhiều khi cần thiết phải biến
đa thức đó trở thành một tích.Việc phân tích đa thức thành nhân tử đợc áp
dụng vào : Rút gọn biểu thức,giải phơng trình, quy đồng mẫu thức các phân
thức,biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị của biến để biểu thức
nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Để phân tích đa thức thành nhân tử,
có nhiều phơng pháp, ngoài ba phơng pháp cơ bản nh : Đặt nhân tử chung,
nhóm nhiều hạng tử, dùng hằng đẳng thức ta còn có các phơng pháp khác

nh tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng
tử, đặt ẩn phụ ( đổi biến), hệ số nhất định, xét giá trị riêng. Phân tích đa
thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp khác nhau do đó khi giảng dạy ng-
ời giáo viên giúp học sinh lựa chọn phơng pháp phù hợp để phát huy đợc
trí lực của học sinh, phát triển đợc t duy toán học.
Khi dạy phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi
dỡng thêm cho học sinh các phơng pháp khác ngoài sách giáo khoa. Đặc
biệt đối với học sinh khá, giỏi. Giúp các em biết lựa chọn các phơng pháp
thích hợp để giải quyết các bài toán khó. Vì vậy, tôi cũng nêu ra phơng
pháp phát huy trí lực của học sinh qua việc dạy, giải bài tập áp dụng phơng
pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
B. Nội Dung
Phần I: Các ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
1. Các phơng pháp cơ bản
a. Phơng pháp
- Tìm nhân tử chung là những đơn,đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử.
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác
- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi
hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng ).
b. Ví dụ:
15a
2
b
2
- 9a
3
b + 3a
2
b = 3a
2

b ( 5b - 3a - b
2
)
2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y)
x
m + 3
+ x
m
( x
3
+ 1) = x
m
(x + 1) (x
2
- x + 1)
2.Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
a. Phơng pháp:
- Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử
b. Ví dụ:
9x
2
- 4 = (3x)
2
- 2
2
= (3x-2)(3x+2)
8 -27a
3
b
6

= 2
3
- (3ab
2
)
3
= (2-3ab
2
)(4+6ab
2
+9a
2
b
4
)
25x
4
- 10x
2
y+y
2
= (5x
2
-y)
2
3.Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
a. Phơng pháp
- Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
- áp dụng tiếp tục các phơng pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng
thức.

b. Ví dụ:
2x
3
- 3x
2
+ 2x - 3 = (2x
3
+ 2x

) - (3x
2
+ 3)
= 2x(x
2
+1) - 3(x
2
+1)
= (x
2
+1) (2x - 3)
x
2
- 2xy + y
2
- 16 = (x -y )
2
- 4
2
= (x - y - 4) (x - y + 4)
4. Phối hợp nhiều phơng pháp

a. Phơng pháp: - Chọn các phơng pháp theo thứ tự u tiên
+ Đặt nhân tử chung.
+ Dùng hằng đẳng thức.
+ Nhóm nhiều hạng tử.
b. Ví dụ:
3xy
2
- 12xy + 12x =3x( y
2
- 4y + 4)
=3x (y -2 )
2
3x
3
y - 6x
2
y - 3xy
3
- 6axy
2
- 3a
2
xy +3xy
=3xy(x
2
- 2x - y
2
- 2ay - a
2
+ 1)

=3xy
2 2 2
(x 2x 1) (y 2ay a )

+ + +


=3xy
( ) ( )
2 2
x 1 y a

+

=3xy
( ) ( ) ( ) ( )
x 1 y a x 1 y a

+ + +

=3xy( x-1 - y - a)(x - 1 + y +a )
5. Phơng pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.
a. Phơng pháp:
Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi
dùng Phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.
b. Ví dụ:
Phân tích đa thức x
2
- 6x + 8 thành nhân tử .
* Cách 1: x

2
- 6x + 8 = x
2
- 2x - 4x + 8
= x (x - 2) - 4(x -2) = (x - 2) (x - 4)
* Cách 2: x
2
- 6x + 8 = x
2
- 6x + 9 - 1
= ( x - 3)
2
- 1
=( x -3 - 1)( x- 3 + 1)
= (x - 4)(x -2)
* Cách 3: x
2
- 6x + 8 = x
2
- 4 - 6x + 12
=(x - 2)(x+2) - 6(x - 2) = x - 4)(x -2)
* Cách 4: x
2
- 6x + 8 = x
2
- 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + 4 ) - 6 (x - 4)
=(x - 4)(x + 4 - 6) = (x - 4)(x -2)
* Cách 5: x
2
- 6x + 8 = x

2
- 4x + 4 -2x + 4 = (x - 2)
2
- (x - 2)
=( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2)
Tuy rằng có nhiều cách tách nhng thông dụng nhất là hai cách sau:
*Cách 1: Tách hạng bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm
các hạng tử và đặt nhân tử chung mới.
áp dụng trong khi phân tích tam thức bậc hai ax
2
+ bx + c thành nhân tử ta
làm nh sau:
- Tìm tích ac
- Phân tích tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
- Chọn hai thừa số có tổng bằng b
Khi đó hạng tử bx đã đợc tách thành hai hạng tử bậc nhất.
Ví dụ: 4x
2
- 4x - 3
- Tích ac là 4.(- 3) = - 12
- Phân tích -12 = -1 . 12 = 1.(-12) =-2 . 6 = -3 .4 =3 .(-4)
- Chọn 2 thừa số có tổng là : - 4 đó là 2 và (- 6)
4x
2
- 4x - 3 = 4x
2
+ 2x - 6x - 3 = 2x( 2x+ 1) - 3 (2x + 1)
=(2x + 1)(2x - 3)
* Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng
hiệu hai bình phơng.

Ví dụ: 4x
2
- 4x - 3 = 4x
2
- 4x +1 - 4 = ( 2x - 1)
2
- 2
2
= (2x - 1 - 2)(2x - 1 +2) = (2x + 1)(2x-3)
3x
2
- 8x + 4 = 4x
2
- 8x + 4 - x
2
= (2x - 2 )
2
- x
2
= ( 2x - 2 - x)(2x -2 + x ) = (x - 2 )(3x -2)
6. Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.
a. Phơng pháp : Thêm bớt cùng một hạng tử để đa đa thức về dạng hằng
đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử. Thông thờng hay đa về dạng
a
2
- b
2
sau khi thêm bớt .
b. Ví dụ:
4x

2
+ 81 = 4x
4
+ 36x
2
+ 81 - 36x
2

=( 2x
2
+ 9)
2
- (6x)
2
= (2x
2
+ 9 - 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
x
7
+ x
2
+1= x
7
- x + x
2
+ x + 1 = x(x
6
- 1) + (x

2
+ x + 1)
= x(x
3
- 1)(x
3
+ 1) +(x
2
+ x + 1)
= x(x
3
+1)(x -1)(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
5
- x
4
- x
2
+ 1)
II. Các ph ơng pháp khác:
1. Phơng pháp đổi biến số( Đặt ẩn phụ )
a. Phơng pháp:
Đặt ẩn phụ đa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phơng pháp cơ
bản.

b. Ví dụ:
* Phân tích đa thức 6x
4
- 11x
2
+ 3thành nhân tử .
đặt x
2
= y ta đợc 6y
2
- 11y + 3 = ( 3y + 1)(2y + 3)
Vậy: 6x
4
- 11x
2
+ 3 = ( 3x
2
- 1 )(2x
2
- 3)
* Phân tích đa thức (x
2
+ x)
2
+ 3(x
2
+ x) +2 thành nhân tử.
đặt x
2
+ x = y ta đợc y

2
+ 4y + 2 = (y +1)(y+2)
Vậy: (x
2
+ x)
2
+ 3(x
2
+ x) +2 = ( x
2
+ x + 1)( x
2
+ x +2)
2. Phơng pháp hệ số bất định .
a. Phơng pháp:
Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức
bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng( a + b)( cx
2
+ dx +m) rồi biến đổi cho
đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.