Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN VĂN AN

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI VÀ
SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA ÁNH XẠ
PHÂN HÌNH VÀO KHƠNG GIAN XẠ ẢNH

PHỨC VỚI MỤC TIÊU DI ĐỘNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2024

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN VĂN AN

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI VÀ
SỰ PHỤ THUỘC ĐẠI SỐ CỦA ÁNH XẠ
PHÂN HÌNH VÀO KHƠNG GIAN XẠ ẢNH

PHỨC VỚI MỤC TIÊU DI ĐỘNG

Chuyên ngành: Hình học và Tơpơ
Mã số: 9.46.01.05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1: GS. TS. SĨ ĐỨC QUANG
2: PGS. TS. PHẠM ĐỨC THOAN

Hà Nội, 2024

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan các kết quả được trình bày trong luận án là mới, đã được công
bố trên các tạp chí tốn học có uy tín trên thế giới. Các kết quả viết chung với
GS. TS. Sĩ Đức Quang, PGS. TS. Phạm Đức Thoan và ThS. Nguyễn Hải Nam
đã được sự đồng ý của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu
trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ cơng trình
nào khác.

Nghiên cứu sinh
Nguyễn Văn An

iii

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được hồn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TS. Sĩ
Đức Quang và PGS. TS. Phạm Đức Thoan. Các Thầy đã tận tâm giảng dạy,
động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt q trình
học tập và nghiên cứu. Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến
hai Thầy.

Tôi xin cảm ơn Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn - Tin, Phịng Sau
đại học và các phòng, ban khác của trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.

Tôi xin cảm ơn các Thầy, Cô giảng viên Khoa Toán - Tin, các thành viên
trong Seminar Hình học phức của Bộ mơn Hình học, Khoa Toán - Tin trường
Đại học Sư phạm Hà Nội vì đã quan tâm, giúp đỡ tơi và có những hướng dẫn,
trao đổi khoa học hữu ích với tơi trong suốt thời gian tơi làm Nghiên cứu sinh.
Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến Học viện Ngân hàng, Ban chủ nhiệm
và các thầy, cô đồng nghiệp ở Bộ mơn Tốn, Học viện Ngân hàng cùng các bạn
bè đã giúp đỡ, động viên, chia sẻ để tơi có được những điều kiện thuận lợi trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình và người thân đã ln
bên tơi, chia sẻ khó khăn, khích lệ và động viên tơi, để tơi có thể hồn thành
luận án này.

Tác giả

iv

MỤC LỤC

CÁC KÍ HIỆU 1

MỞ ĐẦU 3

TỔNG QUAN 9

1 HAI HÀM PHÂN HÌNH TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC CÓ

CHUNG ẢNH NGƯỢC CỦA BỐN CẶP HÀM NHỎ 20

1.1 Một số định nghĩa và kết quả của Lý thuyết Nevanlinna cho hàm

phân hình...............................................................................................21

1.2 Lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình..............................23

1.3 Hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ.........25

2 ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH

TRÊN Cm GIAO VỚI CÁC SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VỚI

HÀM ĐẾM CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG 38

2.1 Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình trên Cm vào khơng

gian xạ ảnh và các siêu phẳng..............................................................38

2.2 Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên Cm giao với các

siêu phẳng di động với các hàm đếm có trọng.....................................42

2.3 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trên Cm có chung

ảnh ngược của các siêu phẳng di động...................................................45

3 ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH
TRÊN ĐA TẠP PARABOLIC GIAO VỚI CÁC SIÊU PHẲNG

v

DI ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG 52

3.1 Lý thuyết Nevanlinna cho các ánh xạ phân hình trên đa tạp

parabolic................................................................................................52

3.2 Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic

giao với các siêu phẳng di động..............................................................62

3.3 Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trên đa tạp

parabolic có chung ảnh ngược của các siêu phẳng di động.................73

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 76

Kết luận.........................................................................................................76

Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo.....................................................77

DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN

ĐẾN LUẬN ÁN 78

TÀI LIỆU THAM KHẢO 79

vi

CÁC KÍ HIỆU

Trong toàn bộ luận án, chúng ta thống nhất một số kí hiệu như sau.

• Pn(C): không gian xạ ảnhΣphức n−chiều.
.
• ∥z∥ = |z1|2 + · · · + |zm|2 với z = (z , . . . , z ) ∈ Cm.
1/2
1 m

• ν: divisor.

• ν0 : divisor không điểm của hàm phân hình φ.

φ

1

φ,≤k • ν0 : divisor khơng điểm của hàm phân hình φ, bỏ qua các khơng điểm có
bội lớn hơn k.

0

• νφ,> : divisor khơng điểm của hàm phân hình φ, bỏ qua các khơng điểm có

k

bội nhỏ hơn k + 1.
• νφ∞: divisor cực điểm của hàm phân hình φ.
• N [M] (r, ν): hàm đếm của divisor ν, ngắt bội đến mức M .
• m (r, f ): hàm xấp xỉ của hàm phân hình f .

• T (r, f ): hàm đặc trưng của hàm phân hình f .
• O(1): hàm bị chặn đối với r.
• O(r): vơ cùng lớn cùng bậc với r khi r → +∞.
• o(r): vơ cùng bé bậc cao hơn r khi r → +∞.
• log+r = log .max{1, r}Σ với r ∈ R.
• “|| P ”: có nghĩa là mệnh đề P đúng với mọi r ∈ [0, +∞) nằm ngoài một

∫
tập con Borel E của [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞.
• ♯A: lực lượng của tập hợp A.

2

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Chúng ta biết rằng mỗi một đa thức bậc n (n > 0) ln có đủ n nghiệm phức

tính cả bội. Điều này dẫn đến, mỗi đa thức nhận một giá trị phức tùy ý với
số lần như nhau, hay nói cách khác giá trị của mỗi đa thức được phân bố trên
mặt phẳng phức là đều như nhau tại mọi điểm. Tính chất tương tự như vậy, nói
chung cũng đúng với họ hàm phân hình khác hàm hằng trên C. Người đầu tiên
tìm hiểu các tính chất này của hàm phân hình là R. Nevanlinna vào những năm
20 của thế kỷ trước. Vào năm 1925, ông bắt đầu tìm hiểu về việc các hàm phân
hình xác định trên C phân bố giá trị như thế nào và xây dựng một lý thuyết
mới gọi là Lý thuyết phân bố giá trị, hay Lý thuyết Nevanlinna. Trong lý thuyết
này, ông đưa ra ba khái niệm quan trọng là hàm đặc trưng của một hàm phân
hình h trên C, hàm đếm tập các a-điểm của h, với a là một giá trị thuộc C,
và hàm xấp xỉ tương ứng với a của h. Khi đó, mỗi giá trị a ∈ C như trên được
gọi là một mục tiêu. Nevanlinna tìm hiểu sự phân bố các giá trị của hàm h dựa

vào mối liên hệ giữa ba loại hàm này với nhau, điều này được thể hiện trong
hai định lí cốt yếu: Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai. Hơn thế
nữa, nhờ vào hai định lí trên, ơng cịn chứng minh được hai kết quả nổi tiếng về
tính duy nhất của hai hàm phân hình là các Định lí bốn điểm và Định lí năm
điểm. Định lí năm điểm của Nevanlinna phát biểu rằng, với hai hàm phân hình
h và g xác định trên C, nếu tồn tại năm mục tiêu phân biệt a1, . . . , a5 ∈ C có
tập ảnh ngược qua h và g, không đếm bội, trùng nhau (tức là h−1(ai) = g−1(ai)
với i = 1, . . . , 5) thì h và g phải bằng nhau. Định lí bốn điểm của Nevanlinna
nói rằng hai hàm h và g sai khỏc mt phộp bin i Măobius nu tp cỏc nh
ngc, đếm cả bội, của lần lượt bốn mục tiêu trong C qua hai hàm này trùng
nhau. Cho đến nay có rất nhiều cơng trình nghiên cứu mở rộng hai kết quả này.
Một trong những hướng mở rộng đó là nghiên cứu trường hợp các mục tiêu ai
trên là các hàm nhỏ. Đặc biệt, gần đây nhiều tác giả quan tâm đến trường hợp
tổng quát hơn khi các mục tiêu trên được thay bởi các cặp hàm nhỏ. Những kết
quả mở rộng đầu tiên cho Định lí bốn điểm được đưa ra theo hướng này bởi G.
G. Gundersen [7] và các nhóm tác giả P. Li-C. C. Yang [14], H. Z. Cao-T. B.
Cao [5], và gần đây bởi S. Đ. Quang-L. N. Quỳnh [28]. Một trong các kết
quả tốt

3

nhất đạt được gần đây là của P. Li và C. C. Yang [15]. Hai tác giả này đã
chứng minh rằng với hai hàm phân hình tùy ý khác hằng, nếu tồn tại ba cặp
hàm nhỏ phân biệt sao cho ảnh ngược, đếm cả bội, của chúng qua hai hàm
trên trùng nhau và tồn tại thêm một cặp hàm nhỏ khác có ảnh ngược, khơng
kể bội, qua hai hàm trên cng trựng nhau thỡ cú mt phộp bin i ta
Moăbius liên kết hai hàm phân hình với nhau. Nhưng kết quả này chưa đề
cập đến trường hợp bội được chặn ở một bậc nào đó cũng như chưa xét đến
việc bỏ qua các không điểm từ một mức nhất định. Nếu các trường hợp này
được giải quyết thì sẽ là những kết quả cải tiến hơn nữa cho hướng nghiên

cứu này.

Lý thuyết Nevanlinna được coi là một trong những lý thuyết toán học sâu
sắc nhất được xây dựng ở thế kỷ trước. Vì vậy, rất nhanh chóng, nhiều nhà tốn
học phát triển lý thuyết này lên cho trường hợp các ánh xạ phân hình từ khơng
gian phức nhiều chiều Cm vào các không gian xạ ảnh phức Pn(C). Những tác
giả có đóng góp đầu tiên và quan trọng nhất cho sự phát triển này phải kể đến
là H. Cartan, H. Weyl và L. Ahlfors. Đặc biệt, Lý thuyết Nevanlinna cho lớp các
ánh xạ phân hình từ các đa tạp phức parabolic vào Pn(C) đã được phát triển
bởi W. Stoll [37] sau đó. Ngồi ra H. H. Khoái [13] cũng xây dựng lý thuyết
tương tự cho các hàm chỉnh hình p-adic. Như đã nói ở trên, trọng tâm trong lý
thuyết này là hai định lí then chốt: Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản
thứ hai. Định lí cơ bản thứ nhất phát biểu rằng, mỗi ánh xạ phân hình có hàm
đặc trưng bằng tổng của hàm đếm các nghịch ảnh bởi các ánh xạ của một mục
tiêu (cố định hoặc di động) cho trước và hàm xấp xỉ tương ứng với mục tiêu
này của ánh xạ đó. Như vậy hàm đếm ln bị chặn trên bởi hàm đặc trưng.
Ngược lại, Định lí cơ bản thứ hai là một bất đẳng thức có dạng hàm đặc trưng
không vượt quá một số lần của tổng các hàm đếm các nghịch ảnh (được chặn
bội hoặc không được chặn bội) một họ các mục tiêu cho trước nào đó. Định lí
cơ bản thứ hai có nhiều ứng dụng trong Giải tích phức, Hình học phức, chẳng
hạn như ứng dụng trong việc nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các hàm phân hình
hay ánh xạ phân hình thơng qua tập nghịch ảnh họ mục tiêu nào đó của các
hàm hay ánh xạ này. Những vẫn đề đang được nghiên cứu sôi động nhất trong
những năm gần đây thông qua lý thuyết này có thể kể đến là vấn đề về sự xác
định duy nhất và tính hữu hạn của ánh xạ phân hình, sự chuẩn tắc và tính thác
triển được của ánh xạ phân hình hoặc họ các ánh xạ phân hình,... Rất nhiều

4

kết quả mới liên quan đến những vấn đề trên đã được các nhà tốn học trong

và ngồi nước cơng bố trong các năm qua, chẳng hạn của H. Fujimoto [10], T.
T. H. An [3], T. V. Tấn [8], G. Dethloff [9], S. Đ. Quang [23],... Trong khi Định
lí cơ bản thứ nhất gần như luôn tự động thỏa mãn khi xây dựng lý thuyết này
đối với cả mục tiêu cố định và mục tiêu di động nhờ vào công thức Jensen thì
hiện nay chỉ trong các trường hợp riêng người ta mới thiết lập được các Định lí
cơ bản thứ hai tối ưu. Do vậy việc nghiên cứu, cải tiến và đưa ra các dạng mới
của Định lí cơ bản thứ hai ln là vấn đề chính được nhiều tác giả quan tâm.

Định lí cơ bản thứ hai đầu tiên cho ánh xạ phân hình nhiều biến phức được
đưa ra bởi H. Cartan [6] vào năm 1933. Cụ thể ông đã xét trường hợp ánh xạ
phân hình khơng suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn(C) và họ mục tiêu là các siêu
phẳng cố định ở vị trí tổng quát với hàm đếm được chặn bội n. Năm 1983, bằng
cách đưa ra khái niệm trọng Nochka, I. Nochka [19] đã tổng quát kết quả của
Cartan cho trường hợp các siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát. Điều này tương
đương với việc Nochka có thể xem xét ngay cả khi các ánh xạ có thể suy biến
tuyến tính. Trong những thập niên 1990 của thế kỷ trước, W. Stoll - M. Ru [32]
và M. Shirosaki [35] đã thiết lập được các Định lí cơ bản thứ hai cho các mục
tiêu là siêu phẳng di động trong không gian xạ ảnh. Tuy nhiên, hàm đếm trong
các định lí đó khơng được chặn bội. Kết quả của Stoll-Ru và Shirosaki đã được
cải thiện bởi Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [9] khi các tác giả này đã chặn bội cho
các hàm đếm bởi một bậc cụ thể. Tuy nhiên bậc chặn bội đó vẫn cịn rất lớn.
Trong những năm gần đây, S. Đ. Quang [24], [25], [26] đã đưa ra một số dạng
Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với siêu phẳng di
động mà ở đó hàm đếm được chặn bội đến bậc n. Lưu ý rằng các kết quả trên
của S. Đ. Quang khi xét trong trường hợp họ mục tiêu cố định thì lại vẫn cịn
rất xa so với kết quả tối ưu của H. Cartan. Theo một hướng tổng quát các kết
quả này, bằng cách xem xét trường hợp các mục tiêu có thể đóng vai trò khác
nhau, S. Đ. Quang đã đưa ra một dạng mới của Định lí cơ bản thứ hai cho các
mục tiêu là siêu phẳng di động trong đó các hàm đếm được xét với các trọng số
khác nhau. Do vậy, một vấn đề thú vị được đặt ra trong nghiên cứu là có thể

hay khơng kết hợp cả hai hướng tổng quát trên để thu được các Định lí cơ bản
thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với họ siêu phẳng di động
và các hàm đếm có trọng được chặn bội, tối ưu và nhiều ứng dụng hơn.

5

Theo một hướng nghiên cứu khác, để tổng quát kết quả của H. Cartan [6],
W. Stoll [39] và một số nhà toán học khác đã nghiên cứu việc thay thế Cm
bởi các đa tạp parabolic. Chú ý rằng rằng kỹ thuật được các tác giả sử dụng
để chứng minh các dạng Định lí cơ bản thứ hai nêu trên là dựa vào khái niệm
Wronskian tổng quát của các ánh xạ và Bổ đề Đạo hàm logarit. Trong khi đó,
khái niệm Wronskian tổng quát và bổ đề này rất khó được xây dựng cho các
ánh xạ phân hình trên các đa tạp parabolic. Dựa theo kỹ thuật của Y. Liu khi
nghiên cứu bài tốn khơng gian con Schmidt trong xấp xỉ Diophantine, Q. Yan
[46] đã thiết lập được Định lí cơ bản thứ hai với mục tiêu di động trên đa tạp
parabolic mà tránh được việc sử dụng Bổ đề Đạo hàm logarit. Kết quả của Q.
Yan là tổng quát kết quả của Đ. Đ. Thái-S. Đ. Quang [41] cho lớp ánh xạ phân
hình xác định trên Cm. Tuy nhiên, kết quả này lại yếu hơn rất nhiều so với các
kết quả gần đây của S. Đ. Quang trong [26]. Vì vậy, một vấn đề đặt ra ở đây là
có thể hay khơng kết hợp kĩ thuật của Q. Yan [46] và phương pháp của S. Đ.
Quang [26] để thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cho lớp ánh xạ phân hình từ đa
tạp parabolic vào Pn(C) với siêu phẳng di động và các hàm đếm được chặn bội
n, vừa mở rộng được kết quả của S. Đ. Quang [26] và đơn giản hóa được chứng
minh.

Mặt khác, mỗi một định lí cơ bản thứ hai được thiết lập cho một lớp ánh xạ
phân hình sẽ kéo theo rất nhiều ứng dụng trong việc tìm hiểu mối liên hệ giữa
các ánh xạ đó. Một ứng dụng quan trọng đó là nghiên cứu về sự phụ thuộc đại
số của các ánh xạ phân hình vào Pn(C) thông qua các giả thiết về nghịch ảnh
của họ các siêu phẳng di động. Kết quả đầu tiên về sự phụ thuộc đại số cho họ

các ánh xạ phân hình (có thể suy biến tuyến tính) theo hướng này được đưa ra
bởi M. Ru [30] vào năm 2001. Sau đó, kết quả của M. Ru được các tác giả P.
Đ. Thoan, P. V. Đức và S. Đ. Quang [43] cải tiến nhờ vào áp dụng Định lí cơ
bản thứ hai trong [41] của Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang. Do vậy, có thể thấy số
siêu phẳng di động tham gia vào giả thiết của các kết quả này là khá lớn. Từ
đây cũng mở ra một vấn đề là áp dụng các dạng định lí cơ bản thứ hai tốt nhất
và phát triển thêm các kĩ thuật về tính bội của các hàm phụ trợ để cải tiến các
định lí về phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình sao cho số mục tiêu di
động tham gia được giảm đi cũng như xét không gian nguồn tổng quát hơn là
các đa tạp parabolic.

6

Vì những lý do trên, chúng tơi chọn đề tài "Một số định lí cơ bản thứ hai và
sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh phức với mục
tiêu di động ", để xây dựng các dạng định lí cơ bản thứ hai mới với hàm đếm
được chặn bội cho các ánh xạ phân hình tối ưu hơn các định lí đã biết, đồng
thời áp dụng các kết quả đó để nghiên cứu các tính chất của các ánh xạ.
2. Tính cấp thiết của đề tài

Đề tài nghiên cứu có ý nghĩa khoa học, thực tiễn và giáo dục, giải quyết một
số vấn đề mới trong toán học mà các nhà toán học đang quan tâm.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu thứ nhất của luận án là tổng quát những kết quả của
các định lí về hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ.

Nhiệm vụ nghiên cứu thứ hai là cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ
phân hình với hàm đếm có trọng.

Nhiệm vụ nghiên cứu cuối cùng là cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho các
ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic vào khơng gian xạ ảnh phức.

Áp dụng các kết quả thu được, luận án đưa ra một số kết quả cho bài toán
về sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình trong một vài trường hợp.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận án tập trung nghiên cứu vào đối tượng là các ánh xạ phân hình từ đa
tạp parabolic nói chung và Cm nói riêng vào Pn(C).

Phạm vi nghiên cứu trong luận án thuộc về Hình học phức nói chung và Lý
thuyết phân bố giá trị nói riêng.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận án đưa ra được những định lí cơ bản thứ hai mới cho lớp các ánh xạ
phân hình từ Cm hoặc rộng hơn là từ đa tạp parabolic vào không gian xạ ảnh
với các mục tiêu là siêu mặt di động và hàm đếm được chặn bội. Luận án cũng
đưa ra một số kết quả mới cho sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình
vào khơng gian xạ ảnh phức hoặc các hàm phân hình trên mặt phẳng phức.
Những kết quả của luận án góp phần làm phong phú và sâu sắc các hiểu biết về
sự phân bố giá trị của các ánh xạ phân hình cũng như mối liên hệ giữa các ánh
xạ này dưới điều kiện về tập nghịch ảnh của các mục tiêu.

Nghiên cứu sinh, học viên cao học và sinh viên có thể tham khảo luận án để
tìm hiểu và nghiên cứu về Lý thuyết phân bố giá trị.

7

6. Cấu trúc luận án
Ngoài các phần: Mở đầu, Mục lục, Tổng quan, Kết luận và kiến nghị, luận

án bao gồm ba chương. Các cơng trình liên quan đến luận án của các tác giả
trong và ngồi nước được phân tích đánh giá trong phần Tổng quan. Ba chương
của luận án được viết dựa trên 02 cơng trình đã được đăng và 01 cơng trình đã
được chấp nhận đăng.
Chương 1: Hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức có chung ảnh ngược của
bốn cặp hàm nhỏ.
Chương 2: Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên Cm giao với các
siêu phẳng di động với hàm đếm có trọng và ứng dụng.
Chương 3: Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic
giao với các siêu phẳng di động và ứng dụng.

Luận án được viết dựa trên 03 bài báo đã công bố trong các tạp chí quốc
tế SCIE thuộc loại Q3: Bulletin of the Korean Mathematical Society, Indian
Journal of Pure and Applied Mathematics và Kyushu Journal of Mathematics.
7. Nơi thực hiện đề tài luận án.

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

8

TỔNG QUAN

Trong luận án, chúng tơi đặt ra ba vấn đề chính để nghiên cứu. Thứ nhất là mở
rộng Định lí bốn điểm của Nevanlinna. Cụ thể, chúng tơi đi tìm các mối liờn h
ph thuc bi cỏc bin i ta Măobius gia những hàm phân hình trên
C có cùng ảnh ngược đối với bốn cặp hàm nhỏ. Thứ hai là tổng quát các kết quả
về Định lí cơ bản thứ hai của ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn(C) với mục tiêu di
động và các hàm đếm có trọng. Thứ ba là đưa ra một Định lí cơ bản thứ hai
tối ưu hơn kết quả những kết quả trước đó cho các ánh xạ phân hình từ đa tạp

parabolic vào Pn(C). Dựa vào các Định lí cơ bản thứ hai mới thu được, trong
vấn đề thứ hai và vấn đề thứ ba chúng tôi đồng thời nghiên cứu việc áp dụng
các định lí này để xem xét điều kiện về tính phụ thuộc đại số của họ các ánh xạ
phân hình.

Đầu tiên, chúng tơi trình bày sơ lược về lịch sử của các kết quả trước đó cũng
như các kết quả mới thu được trong luận án theo từng vấn đề nêu trên.

Vấn đề 1: Nghiên cứu mối liên hệ phụ thuộc giữa hai hàm phân hình
trên C có cùng ảnh ngược đối với bốn cặp hàm nhỏ

Trước hết, chúng ta có một số định nghĩa và kí hiệu sau.
Ta kí hiệu C là mặt phẳng phức. Một divisor D trên C là được xem như một
hàm số trên C với giá trị trong tập các số nguyên Z sao cho tập giá Supp D
=
{z ∈ C|D(z)̸ = 0} là tập rời rạc. Đặt

Σ
n(t, D) = D(z).

|z|≤t

Ta định nghĩa hàm đếm N (r, D) của divisor D bởi:

N (r, D) = ∫rn(t, D)dt (1 < r < ∞).

t

1

Với ℓ và N là các số nguyên dương (hoặc bằng ∞), ta đặt



[≤Nℓ]  min{N, D(z)} nếu D(z) ≤ ℓ,
D (z) =
0 nếu D(z) > ℓ,

9

và N [N](r, D) := N (r, D[N]). Ta bỏ qua kí hiệu [N] (tương ứng ≤ ℓ) nếu N = +∞
≤ℓ ≤ℓ

(tương ứng ℓ = +∞). Tương tự, ta định nghĩa N [N](r, D).

>
ℓ
Với một tập rời rạc S ⊂ C, ta xem S như một divisor rút gọn có hàm đếm được

kí hiệu là N (r, S).

Trong tồn bộ mục này, khi nói đến một hàm phân hình ta ln hiểu rằng
hàm đó được xác định trên toàn bộ C. Cho f là một hàm chỉnh hình khác
khơng. Trong lân cận của mỗi điểm a0 ∈ C cho trước, ta có khai triển Taylor

của f là

Σ ∞
f (z) = bj(z − a0)j.

j=0

Divisor không điểm ν0 fđược định nghĩa bởi:

10

ν0(a0) = min{j : bj̸ = 0}.

f

φ1
Cho φ là hàm phân hình trên C. Ta viết φ = , với , là hai hàm chỉnh
φ φ φ2

2

hình trên C khơng có khơng điểm chung. Các divisor cực điểm và divisor
νφ∞

không điểm ν0φ của φ được định nghĩa như sau:

νφ∞ := ν0 và ν0 := ν0 .
φ2 φ φ1

Ta lần lượt định nghĩa các hàm xấp xỉ (tương ứng với giá trị ∞) và hàm đặc
trưng Nevanlinna của φ như sau:

2π ∫ .
1 1, |φ(reiθ)| dθ (r > 1),

m(r, φ) := log Σ
2π max

0

T (r, φ) := m(r, φ) + N (r, νφ∞).

Ta kí hiệu S(r, φ) là một đại lượng bằng với o(T (r, φ)) với r đủ lớn nằm ngồi
một tập Borel có độ đo hữu hạn.

Xét hai hàm phân hình h và g. Lấy các giá trị a, b ∈ C. Hai hàm h và g được
nói là có chung ảnh ngược IM (hoặc CM) của a nếu h − a và g − a có chung các
khơng điểm khơng kể bội (hoặc tính cả bội). Tổng qt hơn, h và g được nói là
có chung ảnh ngược IM (hoặc CM) của cặp (a, b) nếu h − a và g − b có chung
các khơng điểm khơng kể bội (hoặc tính cả bội).

Định lí năm điểm của Nevanlinna nói rằng hai hàm phân hình khác hằng
có chung ảnh ngược IM của năm giá trị phân biệt phải trùng nhau. Trong khi

1
1

đó, Định lí bốn điểm của Nevanlinna nói rằng hai hàm phân hình có chung ảnh
ngược CM của bốn giá tr phõn bit s sai khỏc mt bin i Moăbius của
Pn(C). Sau đó, việc nghiên cứu tính duy nhất của hai hàm phân hình có chung
ảnh ngược của các giá trị phân biệt hoặc có chung ảnh ngược của các cặp giá trị
được nhiều nhà toán học quan tâm. Năm 1997, T. Czubiak-G. Gundersen [7]
chứng minh được rằng hai hàm phân hình khác hằng có chung ảnh ngược của
sáu cặp giá trị phân biệt thì sai khác một phép biến i Măobius. Bng vic
a ra mt phn vớ d c thể, P. Li-C. C. Yang [14] chỉ ra rằng khẳng định

trong kết quả trên của T. Czubiak-G. Gundersen sẽ không còn đúng nếu số cặp
giá trị giảm xuống còn năm cặp.

Trong hai bài toán trên, ta đều yêu cầu tập ảnh ngược của mỗi mục tiêu
qua các ánh xạ là hoàn toàn trùng nhau (theo nghĩa tập hợp). Một vấn đề thú
vị đặt ra tiếp theo đó là: Ta có thể làm yếu điều kiện trùng nhau của các tập
hợp này hay khơng và có thể thay mục tiêu là các giá trị bởi các hàm nhỏ hay
không? Điều này đưa chúng ta đến với bài toán nghiên cứu mối liên hệ bởi
các phép biến đổi ta Moăbius gia hai hm phõn hỡnh cú chung nh ngược IM
(hoặc CM) của các cặp hàm nhỏ ngoài một tập nhất định nào đó, hay cịn gọi
là có chung ảnh ngược IM* (hoặc CM*).
Cụ thể, xét hàm phân hình f . Ta nói một hàm phân hình a là hàm nhỏ so với
f nếu T (r, a) = S(r, f ). Tập các hàm nhỏ so với f lập thành một trường và
được kí hiệu là Rf .

Cho h và g là hai hàm phân hình và n là một số nguyên dương hoặc bằng
+∞. Lấy (a, b) là một cặp hàm nhỏ (đối với h và g).

Định nghĩa 1. Ta nói rằng h và g có chung ảnh ngược của cặp (a, b) với bội bị

ngắt bởi n, hoặc chung ảnh ngược của cặp (a, b), nếu
C Mn∗

min{n, νh− 0 (z)} = min{n, (z)}
a ν0 g−

b

với mọi z ∈ C nằm ngồi một tập rời rạc có hàm đếm bằng với S(r, h) + S(r, g).

Hai hàm h và g được gọi là có chung ảnh ngược IM ∗ của cặp hàm (a, b) nếu

n = 1 và có chung ảnh ngược CM ∗ của cặp hàm (a, b) nếu n = ∞.

Định nghĩa 2. Ta nói hàm h là một bin i ta Măobius ca g nu tn ti cỏc

cỏc hàm nhỏ (so với g) ai (1 ≤ i ≤ 4) mà a1g + a2
a1a4 − a2a3 ̸≢≡ 0 sao cho h = a3g + a .

Đặc bit, hm h c gi l mt bin i Măobius của g nếu a1, a2, a3, a4 đều

là

hàm hằng.
Đến đây, một câu hỏi thú vị được đặt ra: “ Có tồn tại hay khụng mt phộp bin

i ta Măobius gia h v g khi chúng có chung ảnh ngược IM ∗ hoặc CM ∗ của
các cặp hàm nhỏ? ”.

Định lí năm điểm của Nevanlinna được tổng qt hóa cho trường hợp các
hàm nhỏ như sau: hai hàm phân hình khác hằng phải trùng nhau nếu chúng có
chung ảnh ngược IM của năm hàm nhỏ. Trong khi đó, vào năm 2003, P. C. Hu,
P. Li và C. C. Yang [12] đã cải tiến Định lí bốn điểm thành: nếu hai hàm
phân hình khác hằng có chung ảnh ngược CM ∗ của bốn cặp hàm nhỏ thì liên
kết với nhau bởi mt phộp bin i ta Moăbius. Ngoi ra, nm 2014 S. Đ.
Quang và L.
N. Quỳnh [22], [28] đã xem xét trường hợp số cặp hàm nhỏ nhiều hơn 5 nhưng
điều kiện có chung ảnh ngược được làm yếu hơn. Ngồi ra, H. Z. Cao - T. B.
Cao [5], L. Zhang - L. Yang [47], cũng đưa ra các cải tiến khác nhau cho hai
định lí bốn điểm và năm điểm theo hướng này. Một trong những kết quả tốt

nhất đến nay được cho bởi P. Li và C. C. Yang [15] như sau.

Định lí A. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và ai, bi (i = 1, . . . ,
4; ai ≠ aj, bi̸ = bj ∀i ≠ j) là các hàm nhỏ so với f và g. Nếu f và g có chung
ảnh ngược CM ∗ của ba cặp hàm nhỏ (ai, bi), (i = 1, 2, 3) và có chung ảnh
ngược IM ∗ của cặp hàm nhỏ (a4, b4) thì f là mt bin i ta Măobius ca g.

Trong luận án này, chúng tôi đã cải tiến kết quả trên với một mức ngắt bội
cụ thể khi đếm bội các cặp hàm nhỏ và chỉ ra mối liên hệ giữa hai hàm phân
hình như sau.
Định lí 1.3.6. Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng và ai, bi (i =
1, . . . , 4; ai̸ = aj, bi̸ = bj ∀i j) là các hàm nhỏ tương ứng so với f và g. Nếu f
và g có chung ảnh ngược IM ∗ của cặp hàm nhỏ (a1, b1) và có chung ảnh ngược