Tính hữu hạn và sự thác triển của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vấn đề duy nhất và hữu hạn đối với ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh là
một trong những vấn đề quan trọng của hình học phức. Sự phát triển của lý thuyết
Nevanlinna đã mang lại những công cụ mạnh mẽ và đẹp đẽ trong nghiên cứu vấn đề
này. Cho đến nay, hướng nghiên cứu về vấn đề này đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc
và thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước.
Đặc biệt, năm 1975, H. Fujimoto đã chứng minh rằng nếu hai ánh xạ phân hình
không suy biến tuyến tính f và g từ Cm vào Pn (C) có chung ảnh ngược (tính cả bội)
của 3n + 2 siêu phẳng thì chúng trùng nhau. Năm 1983, L. Smiley chỉ ra rằng nếu hai
ánh xạ phân hình f và g có chung ảnh ngược không kể bội của 3n + 2 siêu phẳng, giao
của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai và hai ánh xạ này
trùng nhau trên ảnh ngược của các siêu phẳng này thì f = g. Các kết quả trên có thể
xem là những kết quả đầu tiên và đẹp đẽ nhất trong việc mở rộng “Định lý 4 điểm và
5 điểm” của R. Nevanlinna. Trong những năm gần đây, G. Dethloff, T. V. Tấn, Đ. Đ.
Thái, S. Đ. Quang, Z. Chen, Q. Yan và nhiều tác giả khác đã nhận được những kết
quả sâu sắc hơn về tính hữu hạn của họ các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C). Tuy
nhiên, vấn đề trên hầu như chỉ có thể được xem xét trong trường hợp “giao của ảnh
ngược của hai siêu phẳng tùy ý có đối chiều ít nhất là hai ”. Đây là một điều kiện không
được tự nhiên, rất khó để kiểm tra và nó đóng vai trò then chốt trong các chứng minh
của các tác giả trên. Do vậy, việc tổng quát điều kiện trên hoặc đưa ra một điều kiện
yếu hơn trong việc nghiên cứu vấn đề này là một câu hỏi mở. Hơn nữa, gần đây nhiều
tác giả đã đưa ra các định lý hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ C m vào Pn (C) có
chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng khác nhau như G. Dethloff, S. Đ. Quang
và T. V. Tấn, Z. H. Wang và Z. H. Tu và một số tác giả khác. Tuy nhiên, những tác
giả này chỉ xem xét vấn đề duy nhất và hữu hạn đối với các ánh xạ không suy biến
tuyến tính. Câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên là: Liệu có hay không một định lý
về vấn đề hữu hạn khi ánh xạ f có thể suy biến?
1

2
Đồng thời, trong những năm qua, bằng việc áp dụng Định lý cơ bản thứ hai trong
lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình từ không gian phức vào không gian xạ ảnh,
nhiều tác giả đã đưa ra các tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ ánh xạ chỉnh hình,
như S. Đ. Quang và T.V. Tấn, Z. H. Tu và P. Li. Các tiêu chuẩn này cho phép kiểm
tra được tính chuẩn tắc của ánh xạ chỉnh hình trên một miền trong Cm vào không
gian xạ ảnh Pn (C) dưới điều kiện về bội giao của ánh xạ đó với ít nhất 2n + 1 siêu
phẳng di động. Dựa vào mối liên hệ giữa tính chuẩn tắc và tính thác triển được qua
một tập giải tích có đối chiều 1, T. V. Tấn và N. T. T. Hằng, Z. H. Tu và nhiều tác giả
khác đã sử dụng các tiêu chuẩn trên để nghiên cứu tính thác triển của ánh xạ chỉnh
hình. Tuy nhiên, trong đó các tác giả đều yêu cầu số siêu phẳng di động tham gia cần
ít nhất là 2n + 1 và các kỹ thuật mà họ sử dụng không thể áp dụng cho trường hợp
số siêu phẳng ít hơn. Nguyên do là phần bù của hợp một số siêu mặt trong giao một
số siêu mặt trong trường hợp đó không còn tính hyperbolic nữa. Chúng tôi đặt vấn đề
sẽ nghiên cứu tính thác triển của ánh xạ như trên, nhưng với số siêu phẳng ít hơn. Để
làm được điều này, chúng tôi sử dụng một phương pháp hoàn toàn khác, đó là sử dụng
mối liên hệ giữa độ tăng của hàm đặc trưng của đường cong chỉnh hình trên đĩa thủng
với tính kì dị bỏ được tại tâm của đĩa. Do vậy, chúng tôi sẽ đi tìm cách thiết lập được
các Định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình từ đĩa đơn vị thủng vào không
gian xạ ảnh để nghiên cứu sự thác triển của các đường cong như vậy. Thông qua các
kết quả đó, chúng tôi sẽ nghiên cứu về tính thác triển của ánh xạ phân hình từ một
miền bất kỳ qua một tập giải tích có đối chiều 1.
Vì những lí do như trên, chúng tôi lựa chọn đề tài “Tính hữu hạn và sự thác
triển của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức”, để nghiên cứu sâu
sắc hơn các tính chất của ánh xạ phân hình vào Pn (C) dưới điều kiện về ảnh ngược
của một họ các siêu phẳng cho các trường hợp: 1) Bỏ điều kiện giao của ảnh ngược
của hai siêu phẳng có đối chiều ít nhất là 2 hoặc thay điều kiện ánh xạ không suy biến
tuyến tính bởi ánh xạ có thể suy biến với bài toán duy nhất và hữu hạn; 2) Xét trường
hợp số siêu phẳng di động ít hơn 2n + 1 đối với bài toán về sự thác triển của ánh xạ
phân hình.

2. Tính cấp thiết của đề tài
Các tác giả trước đây đều chứng minh định lý duy nhất hay hữu hạn cho các ánh xạ
phân hình từ Cm vào Pn (C) với điều kiện “giao của ảnh ngược của hai siêu phẳng tùy
ý có đối chiều ít nhất là hai”. Hơn nữa, số siêu phẳng tham gia tối thiểu bằng 2n + 1
là điều kiện then chốt trong chứng minh của các tác giả trước về vấn đề thác triển của
ánh xạ phân hình. Đây là một điều kiện hạn chế. Do đó, việc đưa ra định lý duy nhất


3
và hữu hạn với điều kiện tổng quát về số chiều của giao nghịch ảnh và tìm cách chứng
minh định lý thác triển với số siêu phẳng tham gia nhỏ hơn 2n + 1 là hết sức cần thiết.
3. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích chính của luận án là nghiên cứu vấn đề duy nhất và hữu hạn của các ánh
xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) đối với các trường hợp siêu phẳng cố định, siêu phẳng
di động và có bội bị chặn. Ngoài ra, luận án còn chứng minh định lý thác triển của
ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Như đã trình bày ở phần lý do chọn đề tài, đối tượng nghiên cứu của luận án là
vấn đề duy nhất và hữu hạn của các ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược không tính
bội đối với các siêu phẳng cố định hoặc siêu phẳng di động và vấn đề thác triển được
của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh dưới điều kiện về ảnh ngược của các siêu
phẳng. Mục đích của luận án là chứng minh các định lý hữu hạn, duy nhất và sự thác
triển của ánh xạ phân hình với các điều kiện tổng quát, yếu hơn các nghiên cứu trước
đó về các vấn đề này. Hơn nữa, trong các tình huống mà chúng tôi nghiên cứu thì các
kỹ thuật và phương pháp của các tác giả trước không thể giải quyết được.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Luận án góp phần làm phát triển và sâu sắc hơn các kết quả về tính duy nhất và
hữu hạn của ánh xạ phân hình đối với họ các siêu phẳng cố định và siêu phẳng di
động, cũng như đưa ra các kết quả mới về tính thác triển của ánh xạ phân hình qua
tập giải tích mỏng.

Luận án là một trong những tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và
nghiên cứu sinh theo hướng nghiên cứu này.
6. Cấu trúc luận án
Ngoài phần mở đầu và phần phụ lục, luận án gồm bốn chương được viết theo tư
tưởng kế thừa. Chương 1 là phần Tổng quan - phân tích đánh giá các công trình nghiên
cứu của các tác giả trong và ngoài nước liên quan đến luận án. Ba chương còn lại của
luận án được viết dựa trên bốn công trình đã được đăng và nhận đăng.
Chương I: Tổng quan.
Chương II: Tính duy nhất của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định.
Chương III: Tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động.
Chương IV: Tính thác triển được của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh.


4
CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN
I. Tính duy nhất của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định.
Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi đưa ra một số ký hiệu và định nghĩa sau:
Cố định một hệ tọa độ thuần nhất (ω0 : · · · : ωn ) trong không gian xạ ảnh
phức Pn (C). Cho f là ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với biểu diễn rút gọn
f = (f0 : · · · : fn ) và cho H là siêu phẳng trong Pn (C) xác định bởi phương trình
a0 ω0 + · · · + an ωn = 0.
Đặt (f, H) := a0 f0 + · · · + an fn . Ta định nghĩa hàm ν(f,H) trên Cm với giá trị không
âm như sau:


0
ν(f,H) (z) =
k

nếu (f, H)(z) = 0,
nếu z là không điểm bội k của (f, H).

Cho {Hi }qi=1 là q siêu phẳng trong Pn (C), q
trí tổng quát nếu

n
i=0

n + 1. Ta nói rằng họ {Hi }qi=1 ở vị

Hji = ∅, với mọi họ chỉ số 1

j0 < · · · < jn

q.

Cho d là một số nguyên dương, 1 ≤ d ≤ n. Giả sử f là ánh xạ phân hình không suy
biến tuyến tính và {Hi }qi=1 (q

n + 1) là q siêu phẳng ở vị trí tổng quát thỏa mãn

d+1

f −1 (Hij )

dim

m − 2, với mọi 1 ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ q.

j=1

Với f thỏa mãn điều kiện trên và với mỗi số nguyên dương k, ta kí hiệu G(f, {Hj }qj=1 , d, k)
là tập tất cả các ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính g : Cm → Pn (C) sao cho:
a)

min{ν(g,Hj ) , k} = min{ν(f,Hj ) , k}, với mọi 1

b)

g(z) = f (z) trên

q
j=1 {z

j

q.

m

∈ C : ν(f,Hj ) (z) > 0}.

Vậy chúng ta có thể thấy được các bao hàm thức sau:
G(f, {Hj }qj=1, 1, k) ⊂ G(f, {Hj }qj=1, 2, k) ⊂ G(f, {Hj }qj=1 , 3, k) ⊂ · · · .
Bài toán về vấn đề duy nhất cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) đó là đi
tìm điều kiện của q và k sao cho tập G f, {Hj }qj=1, d, k) chỉ chứa duy nhất ánh xạ f
(định lý duy nhất), hoặc theo nghĩa rộng hơn là nghiên cứu lực lượng của tập hợp
G f, {Hj }qj=1 , d, k) và tìm ra các mối quan hệ giữa các ánh xạ trong tập hợp này.
Có hai đối tượng chính được quan tâm trong việc nghiên cứu vấn đề duy nhất đó là

số lượng các siêu phẳng tham gia q và giá trị trị chặn bội k. Các con số này càng nhỏ
thì kết quả càng có giá trị và ý nghĩa.


5
Năm 1983, L. Smiley [Geometric conditions for unicity of holomorphic curves,
Contemp. Math., 25, 149-154] đã chứng minh được rằng:
Định lý A. Nếu q ≥ 3n + 2 thì ♯ G f, {Hj }qj=1 , 1, 1) = 1.
Năm 1998, Fujimoto [Uniqueness problem with truncated multiplicities in value
distribution theory, Nagoya Math. J., 152, 131-152] đã mở rộng và chứng minh các
mệnh đề về hàm phụ trợ Cartan cho các hàm chỉnh hình cho trường hợp nhiều chiều.
Thông qua việc đánh giá hàm đếm của các hàm phụ trợ Cartan này, ông đã chứng
minh được định lý duy nhất sau:
Định lý B. Nếu q = 3n + 1, thì ♯ G f, {Hj }qj=1, 1, 2) ≤ 2.
Năm 2006, bằng việc cải tiến các hàm phụ trợ Cartan và đưa ra phương pháp mới
để đánh giá hàm đếm của chúng, Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang [Uniqueness problem
with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables,
Internat. J. Math., 17, 1223-1257] đã chứng minh được các kết quả sau:
Định lý C. 1. Nếu n ≥ 2, thì ♯ G f, {Hj }3n+1
j=1 , 1, 1) = 1,
3n−1
2. Nếu n ≥ 4, thì ♯ G f, {Hj }j=1
, 1, 2) ≤ 2.

Kỹ thuật của Thái - Quang đã mở đầu cho nhiều nghiên cứu về vấn đề này trong các
năm sau đó. Một trong những định lý duy nhất tốt nhất hiện nay được Z. H. Chen và
Q. M. Yan [Uniqueness theorem of meromorphic mappings into Pn (C) sharing 2n + 3
hyperplanes regardless of multiplicities, Internat. J. Math., 20, 717-726] chứng minh
vào năm 2009 như sau:
Định lý D. Nếu q ≥ 2n + 3, thì ♯ G f, {Hj }qj=1 , 1, 1) = 1.

Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng: các tính toán chi tiết trong chứng minh của Chen
và Yan là vô cùng phức tạp. Nếu sử dụng cách làm đó thì rất khó để chúng ta có thể
cải thiện thêm cho Định lý D. Đồng thời, trong tất cả các kết quả về vấn đề duy nhất
nêu trên của các ánh xạ phân hình vào Pn (C) với bội bị chặn thì bắt buộc đều phải có
điều kiện dimf −1 (Hi ∩ Hj )

m − 2 , với mọi 1 ≤ i < j ≤ q . Nói cách khác, các tác

giả trên chỉ xét được trường hợp tốt nhất khi d = 1. Đây là một điều kiện không được
tự nhiên, rất khó để kiểm tra và nó đóng vai trò then chốt trong chứng minh của các
tác giả trên. Đến năm 2011, S. Đ. Quang [Unicity of meromorphic mappings sharing
few hyperplanes, Ann. Pol. Math, 102(3) , 255-270] đã chứng minh lại và cải thiện kết
quả của Chen - Yan bằng một phương pháp khác đơn giản hơn rất nhiều. Cụ thể, tác
giả đã đưa ra một hàm khác thay cho việc sử dụng hàm phụ trợ Cartan, điều đó đã
giúp cho tất cả các đánh giá về hàm đếm và hàm đặc trưng trở lên đơn giản và ngắn
gọn. Lấy ý tưởng từ chứng minh của Quang, chúng tôi đặt vấn đề đầu tiên được nghiên


6
cứu trong luận án đó là chỉ ra định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào
Pn (C) trong trường hợp số d tùy ý. Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau.
Định lý 1. Nếu q = (n + 1)d + n + 2 thì ♯ G(f, {Hj }qj=1, d, 1) = 1.
Theo một cách đặt vấn đề khác, năm 2008, B. K. Trình, S. Đ. Quang và T. V. Tấn
[A uniqueness theorem for meromorphic mappings with small set of identity, Kodai
Math. J., 31, 404-413] quan tâm đến trường hợp các hàm phân hình chỉ trùng nhau
trên ảnh ngược của n + 1 siêu phẳng và họ đã đưa ra một định lý duy nhất với tập
đồng nhất của hai ánh xạ phân hình f và g trong điều kiện (b) nhỏ hơn. Tiếp tục ý
tưởng trên của chúng tôi, chúng tôi đã mở rộng các kết quả của ba tác giả trên như
sau.
Định lý 2. Cho f, g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cm vào Pn (C). Cho số

nguyên dương d (1 ≤ d ≤ n) và cho {Hj }qj=1 (q = 2nd + n + 2) là các siêu phẳng ở vị
trí tổng quát trong Pn (C) sao cho
d+1

f −1 (Hij ) ≤ m − 2 (1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ n + 1).

dim
j=1

Giả sử f và g là không suy biến tuyến tính trên Rf và
(a) min{ν(f,Hj ) , n} = min{ν(g,Hj ) , n},
(b) f = g trên

n+1
j=1

(n + 2 ≤ j ≤ q)

f −1 (Hj ) ∩ g −1 (Hj ) .

Khi đó, f = g.
Trong đó, Rf là trường các hàm phân hình “nhỏ” (so với f ) trên Cm .
II. Tính hữu hạn của các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động.
Năm 1991, W. Stoll -M. Ru và M. Shirosaki đã chứng minh được Định lý cơ bản
thứ hai cho trường hợp các mục tiêu di động với hàm đếm không được chặn bội. Định
lý cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động với hàm đếm được chặn bội có lẽ được đưa
ra đầu tiên bởi M. Ru cho trường hợp một biến phức và các đường cong chỉnh hình
không suy biến tuyến tính vào năm 2000 (kết quả này sau đó được Đ. Đ. Thái và S. Đ.
Quang chứng minh lại cho trường hợp nhiều biến vào năm 2005). Đến năm 2004 thì
M. Ru và J. Wang đã đưa ra định lý cơ bản thứ hai với hàm đếm được chặn bội cho

trường hợp ánh xạ có thể suy biến tuyến tính. Sau đó năm 2008, Đ. Đ. Thái và S. Đ.
Quang đã cải tiến kết quả của Ru-Wang bằng cách đưa ra đánh giá tốt hơn cho hàm
đặc trưng. Năm 2016, S. Đ. Quang đã tổng quát và cải tiến tất cả các kết quả trước đó
về định lý cơ bản thứ hai với hàm đếm được chặn bội cho mục tiêu di động. Áp dụng
các kết quả này, có nhiều tác giả đã quan tâm và nghiên cứu về vấn đề duy nhất và


7
hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với các siêu phẳng di động một
cách mạnh mẽ. Trước hết, chúng tôi điểm lại một số kết quả tốt nhất cho đến nay cho
hướng nghiên cứu này.
Cho f là ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C). Cho k, d (1 ≤ d ≤ n) là các số nguyên
dương và cho {aj }qj=1 là các siêu phẳng di động “chậm” (so với f ) ở vị trí tổng quát
trong Pn (C) thỏa mãn
d+1

Zero(f, aij ) ≤ m − 2 (1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ q) .

dim(
j=1

Ở đây, ta hiểu một siêu phẳng di động là một ánh xạ phân hình a : Cm −→ Pn (C)∗ ,
và siêu phẳng a được nói là di động chậm so với ánh xạ f nếu || Ta (r) = o(Tf (r)) khi
r −→ +∞.
Gọi R({ai }qi=1 ) là trường con nhỏ nhất của trường các hàm phân hình trên Cm chứa
aij
C và tất cả
, với ail ≡ 0. Giả sử f không suy biến tuyến tính trên R({ai }qi=1 ). Ta kí
ail
hiệu F (f, {ai }qi=1 , d, k) là tập tất cả các ánh xạ phân hình g : Cm → Pn (C) không suy

biến tuyến tính trên R({ai }qi=1 ), thỏa mãn hai điều kiện sau:
(i) min (ν(f,ai ) , k) = min (ν(g,ai ) , k) (1 ≤ i ≤ q),
(ii) f (z) = g(z) trên

q
i=1

zero(f, ai ).

Năm 2002, Z.H. Tu [Uniqueness problem of meromorphic mappings in several
complex variables for moving targets, Tohoku Math. J., 54, 567-579] đã chứng minh
được kết quả sau:
Định lý E. Nếu q = 3n + 2, thì ♯ F (f, {ai }qi=1 , 1, ∞) = 1.
Năm 2005, bằng việc thiết lập được Định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp mục
tiêu di động với hàm đếm được chặn bội n, các tác giả Đ. Đ. Thái và S. Đ. Quang
[Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several
complex variables for moving targets, Internat. J. Math., 16, 903-939] đã chứng minh
được định lý duy nhất sau:
(3n + 1)(n + 2)
thì ♯ F (f, {ai }qi=1 , 1, 2) ≤ 2.
2
Độc lập với các tác giả trên, năm 2006 Z. Chen và M. Ru [A uniqueness theorem

Định lý F. Nếu n

2, q

for moving targets with truncated multiplicities, Houston Journal of Mathematics, 32,
589-601] đã chứng minh được kết quả sau:
Định lý G. Nếu q

2n(n + 2), thì ♯ F (f, {ai }qi=1 , 1, 2) ≤ 2.

Gần đây, năm 2008, T. V. Tấn và B. K. Trình [A uniqueness theorem for meromorphic mappings without counting multiplicities, Analysis, Munich, 28, 383-399] đã


8
chứng minh được rằng.
Định lý H. Cho n, q là các số nguyên dương và n ≥ 2. Giả sử tồn tại số nguyên dương
t < n sao cho
2q + t − 2
3(t + 3)
>3+
n(n + 2)
q − 3n

3n
q−1
.
−
2(n − t) (n − t)(n + 2)

Khi đó, ♯F (f, {ai }qi=1 , 1, 1) ≤ 2.
Chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng trong các định lý (E-H) ở trên, các tác giả luôn
luôn giả sử điều kiện dim{z ∈ Cm : (f, ai )(z) = (f, aj )(z) = 0} ≤ m−2 (1 ≤ i < j ≤ q),
tức là d = 1 (**) thỏa mãn và điều kiện này đóng vai trò thiết yếu trong các chứng
minh của họ. Do vậy, một câu hỏi tự nhiên được đặt ra ở đây là: Liệu có hay không
định lý về vấn đề duy nhất và hữu hạn khi điều kiện (**) được bỏ đi hoặc được thay
thế bằng điều kiện khác tổng quát hơn?
Vấn đề thứ hai trong luận án là trả lời câu hỏi trên. Cụ thể, chúng tôi tổng quát

các định lý E-H tới trường hợp bội bị chặn bởi 1 (tức là không đếm bội), điều kiện
d = 1 được thay thế bởi điều kiện d 1. Chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau.
(3n2 + 5n + 3)d
thì ♯F (f, {ai }qi=1 , d, 1) ≤ 2.
Định lý 3. Nếu n ≥ 2, q ≥
2
Hơn nữa, gần đây nhiều tác giả đã đưa ra định lý duy nhất cho ánh xạ phân hình
từ Cm vào Pn (C) có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng khác nhau. Từ đó mở
ra một hướng tiếp cận vấn đề duy nhất mới so với trước đây. Điển hình, chúng ta có
thể kể đến các kết quả của G. Dethloff , S.Đ. Quang và T.V. Tấn vào năm 2010, T.B.
Cao và H.X. Yi vào năm 2011, hay của Z. Wang và Z.H. Tu vào năm 2013. Kết hợp ý
tưởng trên của chúng tôi về việc tổng quát điều kiện (**) và cách đặt vấn đề của các
tác giả trên, chúng tôi sẽ đưa ra các định lý kiểu hữu hạn cho các ánh xạ phân hình có
chung ảnh ngược với các họ siêu phẳng khác nhau. Hơn nữa, trong một số kết quả của
chúng tôi, các nghịch ảnh với bội lớn hơn một hằng số nào đó có thể không cần được
xét đến. Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh ba định lý sau:
Định lý 4. Cho f 1 , f 2, f 3 : Cm → Pn (C) là ba ánh xạ phân hình phân biệt. Cho {ati }qi=1
(t = 1, 2, 3) là ba họ siêu phẳng di động trong Pn (C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là
“chậm” (so với f t ). Giả sử f 1 không suy biến tuyến tính trên R{ati } và
(a) dim (

d+1
j=1

Zero(f 1, a1ij )) ≤ m − 2 , ∀1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ q,

(b) Zero(f t , ati ) = Zero(f 1 , a1i ) , (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3),
(c)

(f t , atv )

(f 1 , a1v )
=
trên
(f t , atj )
(f 1 , a1j )

q
i=1

Zero(f 1, a1i ), với 1 ≤ v, j ≤ q.


9
(3n2 + 5n + 3)d
thì tồn tại hai chỉ số phân biệt t, l ∈ {1, 2, 3} và ma trận
2
L ∈ GL(n + 1, R{aki }) sao cho L(f t ) = f l và L(˜ati ) = a
˜li , với mọi i = 1, . . . , q.

Nếu q ≥

Định lý 5. Cho f 1 , f 2 : Cm → Pn (C) là hai ánh xạ phân hình. Cho ki (1 ≤ i ≤ q)
là các số nguyên dương hoặc +∞. Cho {ati }qi=1 (t = 1, 2) là hai họ siêu phẳng di động
trong Pn (C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t ) và dim {z ∈ Cm :
ν(f t ,ati ),≤ki .ν(f t ,atj ),≤kj > 0} ≤ m − 2 (1 ≤ i < j ≤ q, t = 1, 2). Giả sử:
(a) min{ν(f 2 ,a2i ),≤ki (z), 1} = min{ν(f 1 ,a1i ),≤ki (z), 1} (1 ≤ i ≤ q), ∀z ∈ Cm ,
(f 1 , a1j )
(f 1 , a1i )
(b)
= 2 2 trên

(f 2 , a2i )
(f , aj )
Nếu q > 3n2 + n + 2 và

q
v=1

v=i,j

Supp {z ∈ Cm : ν(f 1 ,a1v ),≤kv (z)}, với 1 ≤ i < j ≤ q.

1
<
ki + 1
≤ q để

q
i=1

số 1 ≤ i1 < i2 < · · · < in+1

2q
2q
−
3n(n + 1) q + 2n − 2

thì tồn tại n + 1 chỉ

(f 1 , a1in+1 )
(f 1 , a1i1 )

= ··· = 2 2
.
(f 2 , a2i1 )
(f , ain+1 )
Định lý 6. Cho f 1 , f 2 , f 3 : Cm → Pn (C) là ba ánh xạ phân hình. Cho ki (1 ≤ i ≤ q)
là các số nguyên dương hoặc +∞. Cho {ati }qi=1 (t = 1, 2, 3) là ba họ siêu phẳng di động
trong Pn (C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t ) và dim {z ∈ Cm :
ν(f t ,ati ),≤ki .ν(f t ,atj ),≤kj > 0} ≤ m − 2 (1 ≤ i < j ≤ q, 1 ≤ t ≤ 3). Giả sử:
(a) min{ν(f t ,ati ),≤ki (z), 1} = min{ν(f 1 ,a1i ),≤ki (z), 1} (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), ∀z ∈ Cm ,
(b)

(f 1 , a1j )
(f 1 , a1i )
=
trên
(f t , ati )
(f t , atj )
t = 2, 3.

q
v=1

v=i,j

Supp {z ∈ Cm : ν(f 1 ,a1v ),≤kv (z)}, 1 ≤ i < j ≤ q,

q − 3n + 2 4q − 10n + 2
4n − 2
1
<

+
− 3 thì có hai ánh xạ
ki + 1
2q − 5n + 10
3n(n + 1)
n(n + 2)
f s , f t (1 ≤ s < t ≤ 3) và n + 1 chỉ số 1 ≤ i1 < i2 < · · · < in+1 ≤ q để
(f s , a1in+1 )
(f s , a1i1 )
=
·
·
·
=
.
(f t , a2i1 )
(f t , a2in+1 )
Nếu

q
i=1

III. Tính thác triển được của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh.
Năm 2003, các tác giả Đ. Đ. Thái, P. Đ. Hương, P. N. T. Trang đã đưa ra một tiêu
chuẩn cho tính chuẩn tắc của các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến vào không gian phức.
Bằng việc kết hợp giữa tiêu chuẩn của các tác giả trên và Định lý cơ bản thứ hai trong
lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh, nhiều tác giả đã


10

đưa ra các tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ ánh xạ chỉnh hình dưới điều kiện về
ảnh ngược của họ các siêu phẳng, như: S. Đ. Quang và T. V. Tấn, Z. H. Tu và P. Li,
và nhiều tác giả khác. Như chúng ta đã biết rằng, có một mối liên hệ giữa tính chuẩn
tắc của họ ánh xạ chỉnh hình với tính chuẩn tắc của một ánh xạ chỉnh hình, và mối
liên hệ giữa tính tính chuẩn tắc của ánh xạ chỉnh hình với tính thác triển được của các
ánh xạ đó. Sử dụng các tiêu chuẩn chuẩn tắc của họ các ánh xạ phân hình vào không
gian xạ ảnh cùng với các mối liên hệ trên, nhiều tác giả đã thiết lập một số tiêu chuẩn
cho tính thác triển được của ánh xạ thông qua điều kiện về ảnh ngược của họ các siêu
phẳng. Trước hết, chúng tôi điểm qua một số kết quả.
Năm 1879, Picard đã chứng minh hai định lý sau cho hàm phân hình:
Định lý I (Định lý Picard nhỏ). Cho f (z) là hàm phân hình trên C . Nếu tồn tại 3
điểm phân biệt w1 , w2 và w3 trên hình cầu Riemann sao cho f (z) − wi (i = 1, 2, 3)
không có không điểm trên C thì f là hằng.
Định lý J (Định lý Picard lớn). Cho f (z) là hàm phân hình trên ∆∗ = {z ∈ C : 1 ≤
|z| < +∞}. Nếu tồn tại 3 điểm phân biệt w1 , w2 và w3 trên hình cầu Riemann sao
cho f (z) − wi (i = 1, 2, 3) không có không điểm trên ∆∗ , thì f không có kỳ dị tại ∞.
Năm 1972, H. Fujimoto [Extensions of the big Picard’s theorem, Tohoku. Math. J.,
24, 415 - 422] đã phát triển Định lý J với số chiều cao hơn. Năm 2006, Z.H. Tu [Big
Picard’s theorems for holomorphic mappings of several complex variables into Pn (C)
with moving hyperplanes, J. Math. Anal. Appl., 324, 629 - 638] đã tổng quát Định lý
Picard lớn cho các siêu phẳng di động như sau.
Định lý K. Cho S là tập con giải tích của miền D trong Cm với đối chiều 1 (các thành
phần kỳ dị của S là giao chuẩn tắc). Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào Pn (C).
Cho a1 (z), · · · , aq (z) (z ∈ D) là q (q ≥ 2n + 1) siêu phẳng di động trong Pn (C) ở vị trí
tổng quát sao cho f (z) giao với aj (z) trên D \ S với bội ít nhất bằng mj (j = 1, · · · , q),
ở đó m1 , · · · , mq là các số nguyên dương hoặc +∞ thỏa mãn
q

j=1

1
q − (n + 1)
<
.
mj
n

Khi đó, ánh xạ chỉnh hình f từ D \ S vào Pn (C) thác triển thành ánh xạ chỉnh hình
từ D vào Pn (C).
Gần đây, năm 2010, N. T. T Hằng và T. V. Tấn [Big Picard theorems for holomorphic
mappings into the complement of (2n+1) moving hypersurfaces in CPn , Analele
Stiintifice ale Universitatii Ovidius Constanta, Seria Matematica, 18, 155 - 162] cũng
đã tổng quát định lý Picard lớn cho siêu mặt di động.


11
Tuy nhiên, chúng tôi lưu ý rằng, trong tất cả các kết quả trên thì số siêu phẳng
(cố định hoặc di động) q luôn cần được giả sử là lớn hơn hoặc bằng 2n + 1 bởi lẽ các
tác giả này chứng minh định lý thác triển thông qua con đường chứng minh ánh xạ
chỉnh hình f từ D \ S vào Pn (C) là chuẩn tắc. Nói cách khác, các tác giả này đã sử
dụng tính hyperbolic của phần bù của giao của một số siêu phẳng trong hợp của các
siêu phẳng còn lại trong họ 2n + 1 siêu phẳng (hoặc siêu mặt) ở vị trí tổng quát trong
Pn (C) để chứng minh định lý thác triển. Do đó, cách chứng minh này sẽ không thể sử
dụng được khi số siêu phẳng q < 2n + 1 vì khi đó phần bù này không là hyperbolic.
Để vượt qua được khó khăn này chúng tôi phải đánh giá trực tiếp độ tăng của hàm
đặc trưng tại các điểm khảo sát và sử dụng định lý thác triển của Noguchi [Lemma
on logarithmic derivatives and holomorphic curves in algebraic varieties, Nagoya Math.
J., 83, 213-233]. Trong Chương 4 của luận án, chúng tôi sẽ chứng minh định lý thác
triển tương tự Định lý K trong trường hợp số siêu phẳng di động nhỏ hơn 2n + 1. Cụ
thể, chúng tôi sẽ chứng minh hai định lý sau:

Định lý 7. Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ D\S vào Pn (C) (ở đó, D là một miền
trong Cm và S là tập con giải tích mỏng có đối chiều 1 của D). Cho a1 , ..., an+2 là các
siêu phẳng di động trong Pn (C) trên D, ở vị trí tổng quát, sao cho f không suy biến
tuyến tính trên R{ai }. Giả sử f giao với mỗi ai trên D\S với bội ít nhất bằng mi , với
m1 , ..., mn+2 là các số nguyên dương cố định hoặc có thể bằng +∞ thỏa mãn
n+2

i=1

1
1
< .
mi
n

Khi đó, f thác triển được thành ánh xạ phân hình f từ D vào Pn (C).
Định lý 8. Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào Pn (C), với D là miền trong Cm
và S là tập con giải tích có đối chiều 1 của D với giao chuẩn tắc. Cho N là số nguyên
dương. Cho A = {a0 , ..., aq−1 } là tập của q (q ≥ 2N + 1) siêu phẳng di động trên D
của Pn (C) ở vị trí N-dưới tổng quát tương ứng với f . Giả sử f giao với mỗi ai trên
D \ S với bội lớn hơn hoặc bằng mi , ở đó m0 , · · · , mq−1 là các số nguyên dương cố định
hoặc có thể bằng +∞ thỏa mãn
q−1

i=0

1
q − 2N − 1
<
+ 1.

mi
Lf

Khi đó, f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f˜ từ D vào Pn (C).
Ở đó, Lf là số chiều của không gian con tuyến tính nhỏ nhất của Pn (C) chứa
f (D \ S).


12
CHƯƠNG 2
TÍNH DUY NHẤT CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH
VỚI HỌ SIÊU PHẲNG CỐ ĐỊNH
Như đã trình bày trong phần mở đầu. mục đích của chương 1 là chỉ ra định lý duy
nhất cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với điều kiện
d+1

f −1 (Hij ) ≤ m − 2 (1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ q)

dim

(1)

j=1

Định lý của Chen và Yan là một trong những kết quả tốt nhất cho đến nay theo hướng
này. Các tác giả sử dụng kỹ thuật chia lớp các siêu phẳng được đưa ra trong bài báo
của Đ. Đ Thái và S. Đ. Quang vào năm 2006, tiến hành đếm từ bội 1 đến bội n − 1
của hàm (f, Hi ) và sau đó đánh giá hàm đếm của hàm phụ trợ Cartan trên từng lớp.
Cách làm này rất phức tạp. Hơn nữa, tác giả mới chỉ chứng minh định lý duy nhất với
điều kiện d = 1. Trong cách chứng minh của chúng tôi, chúng tôi sử dụng kiểu hàm

phụ trợ khác kiểu của Cartan và do đó có thể đếm các bội tùy ý của các hàm (f, Hi ),
từ đó chúng tôi đánh giá bội của hàm phụ trợ dựa vào bội của các hàm (f, Hi ), (g, Hi ).
Do vậy, chúng tôi không chỉ tổng quát được điều kiện về số chiều của giao các nghịch
ảnh mà còn đưa ra cánh chứng minh khác đơn giản hơn so với Chen-Yan và các tác
giả trước đó.
Chương 2 gồm hai mục. Mục thứ nhất được dành để trình bày một số kiến thức
chuẩn bị cần thiết cho toàn bộ luận án. Mục thứ hai nhằm trình bày các bổ đề và
chứng minh định lý chính.
Chương 2 được viết dựa trên bài báo [1] (trong mục các công trình đã công bố liên
quan đến luận án).
2.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ
Trong mục này, chúng ta nhắc lại khái niệm các hàm đếm của một divisor, hàm đặc
trưng của một ánh xạ phân hình và hàm xấp xỉ của một hàm phân hình. Từ đó trình
bày lại hai định lý quan trọng của Lý thuyết Nevanlinna là Định lý cơ bản thứ nhất
và thứ hai.
2.2. Định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng cố định
Cho d là một số nguyên dương, 1 ≤ d ≤ n. Cho f là ánh xạ phân hình không suy biến
tuyến tính từ Cm vào Pn (C). Cho {Hi }qi=1 (q

n + 1) là q siêu phẳng ở vị trí tổng

quát thỏa mãn
d+1

f −1 (Hij )

dim
j=1

m − 2, với mọi 1 ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ q.

13
Với f thỏa mãn điều kiện trên và mỗi số nguyên dương k, kí hiệu G(f, {Hj }qj=1, d, k) là
tập tất cả các ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính g : Cm → Pn (C) sao cho:
a)

min{ν(g,Hj ) , k} = min{ν(f,Hj ) , k} với mọi 1

b)

g(z) = f (z) trên

q
j=1 {z

j

q.

m

∈ C : ν(f,Hj ) (z) > 0}.

Vậy chúng ta có thể thấy được các bao hàm thức sau:
G(f, {Hj }qj=1, 1, k) ⊂ G(f, {Hj }qj=1, 2, k) ⊂ G(f, {Hj }qj=1 , 3, k) ⊂ · · · .
Với các kí hiệu trên, chúng tôi sẽ chứng minh định lý duy nhất như sau.
Định lý 2.2.1. Nếu q = (n + 1)d + n + 2 thì ♯ G(f, {Hi }qi=1 , d, 1) = 1.
Trong trường hợp d = 1, Định lý 2.2.1 cho ta kết quả của Chen và Yan.
Chúng ta chú ý rằng, nếu họ siêu phẳng {Hj }qj=1 (q ≥ n + 1) ở vị trí tổng quát thì

với mọi ánh xạ phân hình f từ Cm vào Pn (C) luôn có
n+1

f −1 (Hij ) = I(f )

dim

m − 2, với mọi 1 ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ q.

j=1

Do vậy, từ định lý trên ta có được hệ quả sau.
Hệ quả 2.2.2. Cho f, g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cm vào Pn (C). Cho
{Hj }qj=1 (q ≥ n2 + 2n + 2) là các siêu phẳng trong Pn (C) ở vị trí tổng quát. Giả sử
n+1

f −1 (Hj ) ∪ g −1 (Hj ) .

f = g trên
j=1

Khi đó, f=g.
Để chứng minh định lý trên, chúng ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.3. Cho f, g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cm vào Pn (C). Cho
{Hi }qi=1 (q ≥ n + 2) là các siêu phẳng trong Pn (C) ở vị trí tổng quát. Giả sử
min{ν(f,Hi ) , 1} = min{ν(g,Hi ) , 1},
Khi đó,

Tg (r) = O(Tf (r)) và

∀ 1 ≤ j ≤ q.

Tf (r) = O(Tg (r)).

Thông thường tập đồng nhất được giả sử là ảnh ngược của tất cả q siêu phẳng,
nhưng trong định lý tiếp theo của chương này chúng tôi chỉ giả sử tập đồng nhất là
ảnh ngược của n + 1 siêu phẳng. Vì chúng ta không có Định lý cơ bản thứ hai cho n + 1
siêu phẳng cố định nên điều đó đã tạo ra những khó khăn thực chất về mặt kỹ thuật.
Để vượt qua khó khăn này, các tác giả B. K. Trình, S. Đ. Quang và T. V. Tấn đã sử
dụng kỹ thuật đếm bội một cách chặt chẽ trên những lớp hàm phân hình thích hợp


14
và tìm cách chuyển bài toán sang mục tiêu di động để sử dụng Định lý cơ bản thứ hai
cho mục tiêu di động có chặn bội. Tuy nhiên, các tác giả này chỉ xem xét bài toán với
điều kiện d = 1. Bằng việc cải tiến cách chứng minh của các tác giả trên kết hợp với
cách chứng minh như ở Định lý 2.2.1, chúng tôi đã chứng minh được định lý duy nhất
mà ở đó các ánh xạ phân hình chỉ trùng nhau trên ảnh ngược của n + 1 siêu phẳng
trong trường hợp d ≥ 1 như sau.
Định lý 2.2.4. Cho f, g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cm vào Pn (C). Cho số
nguyên d (1 ≤ d ≤ n). Cho {Hj }qj=1 (q = 2nd + n + 2) là các siêu phẳng trong Pn (C)
ở vị trí tổng quát sao cho
d+1

f −1 (Hij ) ≤ m − 2 (1 ≤ i1 < · · · < id+1 ≤ n + 1).

dim
j=1

Giả sử f và g là không suy biến tuyến tính trên Rf và

(a) min{ν(f,Hj ) , n} = min{ν(g,Hj ) , n},
(b) f = g trên

n+1
j=1

∀ n + 2 ≤ j ≤ q, và

f −1 (Hj ) ∪ g −1 (Hj ) .

Khi đó, f=g.
Tương tự như hệ quả của Định lý 2.2.1, chúng ta thu được hệ quả sau.
Hệ quả 2.2.5. Cho f, g là hai ánh xạ phân hình khác hằng từ Cm vào Pn (C). Cho
{Hj }qj=1 (q = 2n2 + n + 2) là các siêu phẳng trong Pn (C) ở vị trí tổng quát. Giả sử f
và g không suy biến tuyến tính trên Rf và
(a) min{ν(f,Hj ) , n} = min{ν(g,Hj ) , n},
(b) f = g trên

n+1
j=1

∀ n + 2 ≤ j ≤ q, và

f −1 (Hj ) ∪ g −1 (Hj ) .

Khi đó, f=g.
Để chứng minh Định lý 2.2.4, chúng ta chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề 2.2.6. Cho f, g : Cm → Pn (C) là hai ánh xạ phân hình khác hằng và không suy
biến tuyến tính trên Rf . Cho {Hi }qi=1 , (q ≥ 3n + 2) là các siêu phẳng trong Pn (C) ở vị
trí tổng quát. Giả sử

N(r, ν(f,Hi ) = ν(g,Hi ) ) = o(Tf (r)), ∀i = 1, ..., q.
Khi đó, f ≡ g.


15
CHƯƠNG 3
TÍNH HỮU HẠN CỦA CÁC ÁNH XẠ
PHÂN HÌNH VỚI HỌ SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG
Như đã trình bày trong phần mở đầu, trong chương 3, chúng tôi sẽ thay thế các
siêu phẳng cố định Hj trong định nghĩa của họ G(f, {Hj }qj=1 , d, k) bởi các siêu phẳng
di động aj và ký hiệu họ mới là F (f, {aj }qj=1, d, k). Với d = 1, đã có một số kết quả
của các tác giả trước đó. Các tác giả này chủ yếu sử dụng kỹ thuật đánh giá hàm đếm
của hàm phụ trợ Cartan để chứng minh định lý. Để giải quyết bài toán hữu hạn cho
các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với họ siêu phẳng di động, trong trường hợp d
tùy ý, chúng tôi phải cải tiến cách đánh giá hàm đếm của hàm phụ trợ Cartan cho ba
hàm phân hình. Cụ thể, chúng tôi phải coi mỗi không điểm của hàm phụ trợ Cartan
chứa trong nhiều ảnh ngược của các siêu phẳng di động, từ đó có được các đánh giá
về hàm đếm tốt hơn.
Mục tiêu thứ hai của chương 3 là giải quyết bài toán hữu hạn cho trường hợp các ánh
xạ phân hình có thể suy biến tuyến tính từ Cm vào Pn (C) có chung ảnh ngược đối với
các họ siêu phẳng di động khác nhau và không cùng bội chặn. Để làm được điều này,
thay vì sử dụng Định lý cơ bản thứ hai thông thường như các tác giả trước đó, chúng tôi
phải sử dụng Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính của tác
giả S. Đ. Quang [Second main theorems for meromorphic mappings intersecting moving
hyperplanes with truncated counting functions and unicity problem, Abh. Math. Semin.
Univ. Hambg., 86(1), 1-18 ].
Chương 3 gồm ba mục. Trong mục đầu, chúng tôi bổ sung thêm một số khái niệm
và bổ đề cần thiết. Trong mục thứ hai, chúng tôi chứng minh định lý hữu hạn của ánh
xạ phân hình với họ các siêu phẳng di động. Trong mục thứ ba, chúng tôi chứng minh
định lý hữu hạn của ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng

di động khác nhau.
Chương 3 được viết dựa trên bài báo [2] và [3] (trong mục các công trình đã công
bố liên quan đến luận án).
3.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ
Trong mục này, chúng ta đưa ra khái niệm: siêu phẳng di động, hàm phụ trợ Cartan
và các tính chất, Định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai cho siêu phẳng di động.
3.2. Định lý hữu hạn cho các ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng di động
Cho f là ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C). Cho các số nguyên dương k, d
(1 ≤ d ≤ n) và cho {aj }qj=1 là các siêu phẳng di động “chậm” (so với f ) ở vị trí


16
tổng quát trong Pn (C) thỏa mãn
d+1

Zero(f, aij ) ≤ m − 2 (1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ q).

dim(
j=1

Giả sử f không suy biến tuyến tính trên R({ai }qi=1 ). Gọi F (f, {ai }qi=1 , d, k) là tập các
ánh xạ phân hình g : Cm → Pn (C) thỏa mãn hai điều kiện sau:
(a) min{ν(f,ai ) (z), k} = min{ν(g,ai ) (z), k} (1 ≤ i ≤ q), với mọi z ∈ Cm bên ngoài
một tập giải tích có hàm đếm bằng o(Tf (r)),
q
i=1

(b) f (z) = g(z), với mọi z ∈

Zero(f, ai ) bên ngoài tập giải tích có hàm đếm

bằng o(Tf (r)).
Chúng tôi sẽ chứng minh các định lý sau.
(3n2 + 5n + 3)d
Định lý 3.2.1. Nếu q >
thì ♯ F (f, {ai }qi=1 , d, 1) ≤ 2.
2
Chúng ta để ý rằng, điều kiện (a), (b) trong họ F (f, {ai }qi=1 , d, k) của Định lý 3.2.1
yếu hơn điều kiện (i), (ii) trong họ F (f, {ai }qi=1 , d, k) của các tác giả trước đó. Hơn
nữa, ánh xạ g ∈ F (f, {ai }qi=1 , d, k) trong Định lý không đòi hỏi không suy biến tuyến
tính trên R({ai }qi=1 ). Thực tế thì chúng tôi chứng minh được rằng: nếu q > n(n + 2)d
thì với mỗi g ∈ F (f, {ai }qi=1 , d, k), g không suy biến tuyến tính trên R({ai }qi=1 ) [Bổ đề
3.2.3].
(3n2 + 5n + 3)
thì ♯F (f, {ai }qi=1 , 1, 1) ≤ 2.
2
Để chứng minh Định lý 3.2.1, chúng ta cần có các bổ đề sau:

Hệ quả 3.2.2. Nếu q >

Bổ đề 3.2.3. Cho q > n(n + 2)d. Khi đó, với mỗi g ∈ F (f, {ai }qi=1 , d, 1) thì g không
suy biến tuyến tính trên R({ai }qi=1 ).
Bổ đề 3.2.4. Cho f và g là hai ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C). Cho {ai }qi=1 và
{bi }qi=1 là hai họ q (q ≥ n + 2) siêu phẳng di động “chậm” tương ứng so với f và g
trong Pn (C) ở vị trí tổng quát. Giả sử Zero(f, ai ) = Zero(g, bi ) bên ngoài tập một giải
tích có hàm đếm bằng o(Tf (r)) với mọi i = 1, . . . , q. Khi đó, ta có
Tf (r) = O(Tg (r)) và

Tg (r) = O(Tf (r)).

Với mỗi c = (c1 , . . . , cq ) ∈ Cq \ {0}, đặt
q

q

j=0

i=1

i=1
n

ci (f k , a
˜i ) (1 ≤ k ≤ 3).

ci a
˜ij fj =
j=0 i=1

i=1

q

q

(f k , ac ) :=

1

ci a

˜ij |2 ) 2 ,

|

ci a
˜in ), ||ac || = (

ci a˜i0 , · · · ,

ac := (

q

n

i=1


17
Ta ký hiệu β là hợp của tất cả các thành phần bất khả quy, có số chiều m − 1 của
tập giải tích

q
i=1

Zero(f, ai ). Thế thì, β hoặc là tập giải tích có số chiều nhỏ hơn hoặc

bằng (m − 1) hoặc là tập rỗng. Và ký hiệu νβ là divisor rút gọn trên Cm với giá β. Rõ
ràng
β ⊂ {z ∈ Cm : det(aij )(z) = 0, 1 ≤ i ≤ n + 1, 0 ≤ j ≤ n}.

Do đó

n+1

N(r, νβ ) ≤ Ndet(aij ) (r) ≤

Tai (r) = o(Tf (r)).
i=1

Với c ∈ C , ta ký hiệu
q

Scik

là bao đóng của tập (Zero(f k , ai ) ∩ Zero(f k , ac )) \ β. Khi đó,

Scik là tập giải tích. Ta đặt C là tập các c ∈ Cq \ {0} sao cho dim Scik ≤ m − 2.
Bổ đề 3.2.5. C trù mật trong Cq .
Bổ đề 3.2.6. Với mọi c ∈ C, đặt Fcik =

(f k , ˜ai )
. Khi đó,
(f k , ac )

T (r, Fcik ) ≤ T (r, f k ) + o(Tf (r)).
Bổ đề 3.2.7. Giả sử tồn tại c ∈ C sao cho Φα = Φα (Fci0 1 , Fci0 2 , Fci0 3 ) ≡ 0 với bộ chỉ số
α ∈ (Z+ )m nào đó mà |α| = 1. Khi đó, với mỗi 1 ≤ k ≤ 3, ta có:
2
d

q

3
[1]
N(f k ,ai ) (r)

i=1

[n]

[1]

N(f t ,ai ) (r) − (2n + 3)N(f k ,ai ) (r)

+

0

0

t=1

≤ N(r, νΦα ) + o(Tf (r)) ≤ T (r) + o(Tf (r)).
3.3. Ánh xạ phân hình có chung ảnh ngược với các họ siêu phẳng di động
khác nhau
Cho f t : Cm → Pn (C) là ánh xạ phân hình. Cho {ati }qi=1 là họ các siêu phẳng di
động trong Pn (C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t ). Bằng cách thay
đổi hệ tọa độ thuần nhất của Pn (C) (nếu cần thiết), chúng ta giả sử rằng với mỗi ánh
xạ phân hình ati = (ati0 , ..., atin ), ati0 ≡ 0 (1 ≤ i ≤ q) . Đặt ati =

ati
,
ati0

1 ≤ i ≤ q.

Định lý 3.3.1. Cho f 1 , f 2 , f 3 : Cm → Pn (C) là ba ánh xạ phân hình phân biệt. Cho
{ati }qi=1 (t = 1, 2, 3) là ba họ siêu phẳng di động trong Pn (C) ở vị trí tổng quát sao cho
ati là “chậm” (so với f t ). Giả sử f 1 không suy biến tuyến tính trên R{ati } và
(a) dim (

d+1
j=1

Zero(f 1, a1ij )) ≤ m − 2 , ∀1 ≤ i1 < ... < id+1 ≤ q,

(b) Zero(f t , ati ) = Zero(f 1 , a1i ) (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3),
(c)

(f 1 , a1v )
(f t , atv )
=
trên
(f t , atj )
(f 1 , a1j )

q
i=1

Zero(f 1, a1i ), với 1 ≤ v, j ≤ q.

18
(3n2 + 5n + 3)d
thì tồn tại hai chỉ số phân biệt t, l ∈ {1, 2, 3} và ma trận
2
L ∈ GL(n + 1, R{aki }) sao cho L(f t ) = f l và L(˜ati ) = a
˜li , với mọi i = 1, . . . , q.

Nếu q ≥

Tiếp theo chúng tôi chứng minh hai định lý hữu hạn cho ánh xạ phân hình suy biến
tuyến tính. Nếu như ở Định lý 3.3.2, chúng tôi sử dụng kỹ thuật chia lớp và đánh giá
hàm đếm của hàm phụ trợ Pi trên từng lớp thì ở Định lý 3.3.3, bằng việc cải tiến cách
đánh giá hàm đếm của hàm phụ trợ Cartan như trong Định lý 3.2.1, chúng tôi đã chứng
minh được các định lý kiểu hữu hạn như dưới đây. Một trong các điểm mấu chốt trong
chứng minh của hai định lý này là chúng tôi đã phải sử dụng Định lý cơ bản thứ hai
của tác giả S. Đ. Quang [Second main theorems for meromorphic mappings intersecting
moving hyperplanes with truncated counting functions and unicity problem, Abh. Math.
Semin. Univ. Hambg., 86(1), 1-18 ] để đánh giá.
Định lý 3.3.2.

Cho f 1 , f 2 : Cm → Pn (C) là hai ánh xạ phân hình. Cho ki

(1 ≤ i ≤ q) là các số nguyên dương hoặc ∞. Cho {ati }qi=1 (t = 1, 2) là hai họ siêu
phẳng di động trong Pn (C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t ) và
dim {z ∈ Cm : ν(f t ,ati ),≤ki .ν(f t ,atj ),≤kj > 0} ≤ m − 2 (1 ≤ i < j ≤ q, t = 1, 2). Giả sử:
(a) min{ν(f 2 ,a2i ),≤ki (z), 1} = min{ν(f 1 ,a1i ),≤ki (z), 1} (1 ≤ i ≤ q), ∀z ∈ Cm ,
(b)

(f 1 , a1j )
(f 1 , a1i )
=
trên
(f 2 , a2i )
(f 2 , a2j )

Nếu q > 3n2 + n + 2 và

q
v=1

v=i,j

Supp {z ∈ Cm : ν(f 1 ,a1v ),≤kv (z)}, với 1 ≤ i < j ≤ q.

1
<
ki + 1
≤ q để

q
i=1

số 1 ≤ i1 < i2 < · · · < in+1

2q
2q
−
3n(n + 1) q + 2n − 2

thì tồn tại n + 1 chỉ

(f 1 , a1in+1 )
(f 1 , a1i1 )
= ··· = 2 2
.
(f 2 , a2i1 )
(f , ain+1 )
Định lý 3.3.3.

(2)

Cho f 1 , f 2 , f 3 : Cm → Pn (C) là ba ánh xạ phân hình. Cho ki

(1 ≤ i ≤ q) là các số nguyên dương hoặc ∞. Cho {ati }qi=1 (t = 1, 2, 3) là ba họ
siêu phẳng di động trong Pn (C) ở vị trí tổng quát sao cho ati là “chậm” (so với f t )
và dim {z ∈ Cm : ν(f t ,ati ),≤ki .ν(f t ,atj ),≤kj > 0} ≤ m − 2 (1 ≤ i < j ≤ q, 1 ≤ t ≤ 3). Giả
sử:
(a) min{ν(f t ,ati ),≤ki (z), 1} = min{ν(f 1 ,a1i ),≤ki (z), 1} (1 ≤ i ≤ q, t = 2, 3), ∀z ∈ Cm ,
(b)

(f 1 , a1j )
(f 1 , a1i )
=
trên
(f t , ati )
(f t , atj )
t = 2, 3.

q
v=1

v=i,j

Supp {z ∈ Cm : ν(f 1 ,a1v ),≤kv (z)}, 1 ≤ i < j ≤ q,


19
1
q − 3n + 2 4q − 10n + 2
4n − 2
<
+
− 3 thì có hai ánh xạ
ki + 1
2q − 5n + 10
3n(n + 1)
n(n + 2)
f s , f t (1 ≤ s < t ≤ 3) và n + 1 chỉ số 1 ≤ i1 < i2 < · · · < in+1 ≤ q để
Nếu

q
i=1

(f s , a1in+1 )
(f s , a1i1 )
= ··· = t 2
.
(f t , a2i1 )

(f , ain+1 )
Để chứng minh Định lý 3.3.3, chúng ta cần các bổ đề sau:
Cho f 1 , f 2 , f 3 , ki (1 ≤ i ≤ q) và {ati }qi=1 (t = 1, 2, 3) như trên, đặt
3

Tf t (r).

T (r) =
t=1

Giả sử ati có biểu diễn rút gọn ati = (ati0 : · · · : atin ). Bằng cách thay đổi hệ tọa độ
thuần nhất của Pn (C), ta giả sử rằng ati0 ≡ 0 (1 ≤ i ≤ q, 1 ≤ t ≤ 3). Với mỗi
c = (c1 , ..., cq ) ∈ Cq \ {0}, đặt
q

q

atc

:= (

||atc ||

i=1

i=1
n

1

ci atij |2 ) 2 ,

|

:= (
j=0

i=1

q

q

ci (f t , ai ) (1 ≤ t ≤ 3).

ci aij fjt =

(f t , atc ) :=

q

n

ci atin ),

ci ati0 , ...,

j=0 i=1

i=1

Ký hiệu β là hợp tất cả các thành phần bất khả quy có số chiều m − 1 của tập giải tích
q
i=1

Zero(f t , ati ) (1 ≤ t ≤ 3). Thế thì β hoặc là tập giải tích có số chiều m − 1 hoặc là

tập rỗng. Với c ∈ Cq , ta ký hiệu Scjt là bao đóng của tập (Zero(f t, atj )∩Zero(f t, atc ))\β.
Khi đó, Scjt là tập giải tích. Gọi C là tập tất cả c ∈ Cq \ {0} sao cho dim Scjk ≤ m − 2.
Tương tự Bổ đề 3.2.5, ta có C trù mật trong Cq .
(f t , atj )
jt
Với mọi c ∈ C, đặt Fc := t t
(1 ≤ j ≤ q, 1 ≤ t ≤ 3). Tương tự Bổ đề 3.2.6,
(f , ac )
ta có:
|| T (r, Fcjt ) ≤ Tf t (r) + o(T (r)).

(3)

Bổ đề 3.3.4. [D. D. Thai and S. D. Quang (2005), Uniqueness problem with truncated
multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables for moving targets,
Internat. J. Math., 16, pp. 903-939]
Giả sử tồn tại c ∈ C, |α| = 1 sao cho Φα = Φα (Fcj0 1 , Fcj0 2 , Fcj3 ) ≡ 0. Khi đó, với mỗi


20
1 ≤ t ≤ 3, ta có:
3

3

2
j=1

[1]
N(f 1 ,a1 ),≤kj (r)
j

[n]

+

N(f t ,at

j0 ),≤kj0

t=1

[1]

(r) − (2n + 3)N(f 1 ,a1

[1]
N(f t ,at ),>kj (r)
j
0
t=1

(r)

3

3

−2

j0 ),≤kj0

0

≤N

Φα

[1]

(r) + o(T (r)) ≤ T (r) +

N(f t ,at
t=1

j0 ),>kj0

(r) + o(T (r)).


21
CHƯƠNG 4
TÍNH THÁC TRIỂN ĐƯỢC CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH

VÀO KHÔNG GIAN XẠ ẢNH
Mục đích của chương 4 là chứng minh định lý thác triển trong trường hợp số siêu
phẳng nhỏ hơn 2n + 1. Như giới thiệu trong phần mở đầu, các tác giả T.V. Tấn, N.T.T
Hằng, Z.H. Tu ... mới chỉ chứng minh được định lý thác triển của ánh xạ chỉnh hình
qua tập giải tích có đối chiều 1 dưới điều kiện về bội giao của ánh xạ đó với ít nhất
2n + 1 siêu phẳng di động. Con số 2n + 1 này không thể nhỏ hơn vì điểm mấu chốt
trong cách chứng minh của các tác giả này là sử dụng tính hyperbolic của phần bù của
2n + 1 siêu phẳng (siêu mặt). Vì thế khi tìm cách chứng minh định lý thác triển với
số siêu phẳng di động tham gia là n + 2, chúng tôi đã gặp phải những khó khăn thực
chất về mặt kỹ thuật. Không thể đi theo con đường của các tác giả trước đó, chúng
tôi phải sử dụng kỹ thuật đánh giá trực tiếp độ tăng của hàm đặc trưng tại các điểm
khảo sát. Mà hàm đặc trưng trong lý thuyết Nevanlinna chỉ được xây dựng cho đĩa
thủng mà không xây dựng trực tiếp trên miền kiểu ∆∗ × ∆m−1 . Chính vì vậy, sau khi
sử dụng lý thuyết Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình trên đĩa thủng để kiểm soát
tính thác triển của các đường cong chỉnh hình trên các đường thẳng phức, chúng tôi
phải sử dụng một số kỹ thuật của giải tích phức để chứng minh tính thác triển cho
ánh xạ chỉnh hình trên miền có dạng ∆∗ × ∆m−1 .
Chương 4 gồm ba mục. Mục thứ nhất dành để nhắc lại một số khái niệm và các kết
quả bổ trợ. Mục thứ hai, chúng tôi chứng minh định lý thác triển ánh xạ phân hình
với (n + 2) siêu phẳng di động. Mục thứ ba, chúng tôi chứng minh định lý thác triển
cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính.
Chương 4 được viết dựa trên bài báo [4] (trong mục các công trình đã công bố liên
quan đến luận án).
4.1. Một số khái niệm và kết quả bổ trợ
Trong phần này chúng tôi nhắc đến các khái niệm về lý thuyết Nevanlinna trên đĩa
đơn vị, về họ chuẩn tắc của các ánh xạ phân hình.
4.2. Thác triển ánh xạ phân hình với (n + 2) siêu phẳng di động
Trong chương này chúng tôi sẽ chứng minh định lý sau.
Định lý 4.2.1. Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ D\S vào Pn (C) (ở đó, D là một miền
trong Cm và S là tập con giải tích mỏng có đối chiều 1 của D). Cho a1 , ..., an+2 là các

siêu phẳng di động trong Pn (C) trên D, ở vị trí tổng quát, sao cho f không suy biến
tuyến tính trên R{ai }. Giả sử f giao với mỗi ai trên D\S với bội ít nhất bằng mi , với


22
m1 , ..., mn+2 là các số nguyên dương cố định hoặc có thể bằng +∞ thỏa mãn
n+2

i=1

1
1
< .
mi
n

Khi đó, f thác triển được thành ánh xạ phân hình f từ D vào Pn (C).
Để chứng minh Định lý ta cần một số bổ đề sau.
Bổ đề 4.2.2.(Cho bởi Noguchi năm 1981) Cho f : ∆∗ → Pn (C) là đường cong chỉnh
hình. Khi đó, f thác triển tại ∞ đến đường cong chỉnh hình f˜ từ ∆ = ∆∗ ∪ {∞} vào
Pn (C) khi và chỉ khi
lim inf Tf (r)/(log r) < ∞.
r→∞

Bổ đề 4.2.3. Giả sử

n+1
i=0 fi

= 0 và

i∈I

fi = 0, với mọi I

{0, ..., n + 1}, thế thì ta

có thể tìm được phân hoạch
{f0 , ..., fn+1 } = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak , k ≥ 1,
với A1 , ..., Ak là các tập khác rỗng, rời nhau; và các tập khác rỗng A′1 ⊂ A1 , A′2 ⊂
A1 ∪ A2 , ..., A′k−1 ⊂ A1 ∪ ... ∪ Ak−1 sao cho A1 , A2 ∪ A′1 , ..., Ak ∪ A′k−1 là là tập tối tiểu,
tức là tập này là tập phụ thuộc tuyến tính nhưng mọi tập con thực sự của nó đều độc
lập tuyến tính trên R{ai }.
Bổ đề 4.2.4. Cho f là đường cong chỉnh hình từ đĩa thủng ∆∗ vào Pn (C) với biểu diễn
rút gọn f = (f0 : · · · : fn ), và cho fn+1 = −f0 − · · · − fn sao cho
fi = 0, ∀I

{0, ..., n + 1}.

i∈I

Khi đó, ta có
n+1

N [n] (r, νf0i ) + O(log+ Tf (r)) + O(log r).

|| Tf (r) ≤
i=0

Bổ đề 4.2.5. Cho f là đường cong chỉnh hình từ đĩa thủng ∆∗ vào Pn (C), cho

a1 , ..., an+2 là n + 2 siêu phẳng di động trong Pn (C) trên ∆ ở vị trí tổng quát, sao
cho tồn tại các hàm phân hình khác không αi (1 ≤ i ≤ n + 2) trên ∆ thỏa mãn:
n+2
i=1

αi (f, ai ) = 0 và
αi (f, ai ) = 0, ∀I
i∈I

{1, ..., n + 2}.


23
Giả sử f giao với mỗi ai trên ∆∗ với bội ít nhất bằng mi , ở đó m1 , ..., mn+2 là các số
nguyên cố định hoặc bằng +∞, thỏa mãn
n+2

i=1

1
1
< .
mi
n

Khi đó, f thác triển tại ∞ thành đường cong chỉnh hình f từ ∆ = ∆∗ ∪ {∞} vào
Pn (C).
4.3. Định lý thác triển cho ánh xạ phân hình suy biến tuyến tính
Trong mục này chúng ta xét đến trường hợp ánh xạ phân hình có thể có ảnh nằm
trong một không gian con tuyến tính của Pn (C) và họ siêu phẳng đang xét có thể ở vị

trí dưới tổng quát.
Định lý 4.3.1 Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ D \ S vào Pn (C), với D là miền trong
Cm và S là tập con giải tích có đối chiều 1 của D với giao chuẩn tắc. Cho N là số
nguyên dương. Cho A = {a0 , ..., aq−1 } là tập của q (q ≥ 2N + 1) siêu phẳng di động
trên D của Pn (C) ở vị trí N-dưới tổng quát tương ứng với f . Giả sử f giao với mỗi ai
trên D \ S với bội lớn hơn hoặc bằng mi , ở đó m0 , · · · , mq−1 là các số nguyên dương cố
định hoặc có thể bằng +∞ thỏa mãn
q−1

i=0

1
q − 2N − 1
<
+ 1.
mi
Lf

Khi đó, f thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f˜ từ D vào Pn (C).
Để chứng minh Định lý 4.3.1 ta cần bổ đề sau.
Bổ đề 4.3.2. Cho f là ánh xạ chỉnh hình từ Cm vào Pn (C) và cho {H0 , · · · Hq−1 } là
q (q ≥ 2N − Lf + 1) siêu phẳng của Pn (C) ở vị trí N−dưới tổng quát tương ứng với f .
Khi đó,
q−1

N [Lf ] (r, ν(f,Hi ) ) + o(Tf (r)).

|| (q − 2N + Lf − 1)Tf (r) ≤
i=0

(f,Hi )≡0


24
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận
Các kết quả chính của luận án:
• Chứng minh định lý duy nhất cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) cho
họ siêu phẳng cố định, với điều kiện “giao của ảnh ngược của d + 1 siêu phẳng
tùy ý có đối chiều ít nhất là hai”, với d tùy ý. Đồng thời, chúng tôi chứng minh
định lý duy nhất trong trường hợp tập đồng nhất của các ánh xạ chỉ là nghịch
ảnh của n + 1 siêu phẳng.
• Chứng minh được định lý hữu hạn cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C)
cho họ siêu phẳng di động, với điều kiện “giao của ảnh ngược của d + 1 siêu phẳng
di động tùy ý có đối chiều ít nhất là hai”, với d tùy ý.
• Chứng minh được các định lý hữu hạn cho các ánh xạ phân hình suy biến tuyến
tính từ Cm vào Pn (C) có chung ảnh ngược đối với các họ siêu phẳng di động khác
nhau và bội chặn được tính có thể khác nhau.
• Chứng minh được định lý thác triển cho các ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C)
với số siêu phẳng di động nhỏ hơn 2n + 1.
Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo
Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau:
Trong các định lý về vấn đề hữu hạn cho ánh xạ phân hình với mục tiêu di động,
chúng tôi sử dụng các Định lý cơ bản thứ hai tốt nhất hiện nay với hàm đếm được
chặn bội cho bởi S. Đ. Quang vào năm 2016. Tuy nhiên, ngay cả định lý của Quang
cũng chưa đạt đến mức tối ưu như định lý của Cartan-Nochka trong trường hợp siêu
phẳng cố định. Chúng tôi hy vọng trong thời gian tới sẽ chứng minh được các Định lý
cơ bản thứ hai tốt hơn để từ đó có thể có được các định lý về vấn đề hữu hạn tốt hơn.
Trong vấn đề về tính thác triển của ánh xạ phân hình, chúng tôi sử dụng mối liên
hệ giữa tính thác triển được tại điểm gốc của đường cong chỉnh hình trên đĩa đơn vị

với độ tăng của hàm đặc trưng của nó, sau đó mới sử dụng các phương pháp của giải
tích phức để chứng minh tính thác triển được cho trường hợp ánh xạ phân hình nhiều
biến. Trong thời gian tới, chúng tôi hi vọng có thể tìm ra được mối liên hệ trực tiếp
giữa tính thác triển được của ánh xạ phân hình trên hình cầu mở trong không gian
nhiều chiều bỏ đi một tập con giải tích thực sự với tính thác triển được của nó, để từ
đó nhận được các kết quả tốt hơn cho sự thác triển của các ánh xạ phân hình.


25
Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án
[1] H.H. Giang, L.N.Quynh and S. D. Quang (2012), "Uniqueness theorems for
meromorphic mappings sharing few hyperplanes", Journal of Mathematical Analysis
and Applications, 393, pp. 445-456.
[2] S .D. Quang and H. H. Giang (2015), “A Finiteness theorem for meromorphic
mappings sharing few moving hyperplanes”, Vietnam J. Math., 43, No. 4, pp. 725-742.
[3] H. H. Giang (2014), "Multiple values and finiteness problem of meromorphic
mappings sharing different families of moving hyperplanes", Bull. Math. Soc. Sci. Math.
Roumanie, (accepted).
[4] S. D. Quang and H. H. Giang (2015), “Big Picard theorem for meromorphic
mappings with moving hyperplanes in Pn (C)”, Ukrainian Mathematical Journal, 66,
No. 11, pp. 1485-1497.