ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG CHƢƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA TOÁN
----------

TRẦN THỊ CHÂU

ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI GIẢI MỘT SỐ
DẠNG TỐN TRONG CHƢƠNG TRÌNH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 5 năm 2016

Trang 1

UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƢỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA TOÁN
----------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Tên đề tài:

ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI GIẢI MỘT SỐ
DẠNG TỐN TRONG CHƢƠNG TRÌNH
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Sinh viên thực hiện
TRẦN THỊ CHÂU
MSSV: 2112020103
CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI HỌC SƢ PHẠM TOÁN
KHÓA: 2012 - 2016

Cán bộ hướng dẫn
ThS. DƢƠNG THỊ THU THÚY

MSCB: T34 - 15111 - 26647

Quảng Nam, tháng 5 năm 2016

Trang 2

MỤC LỤC

PHẦN 1. MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1
1.1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................... 5
1.2. Mục đích nghiên cứu........................................................................................ 5
1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................... 5
1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu................................................................................. 6
1.5. Lịch sử nghiên cứu ........................................................................................... 6
1.6. Đóng góp của đề tài .......................................................................................... 6
1.7. Cấu trúc đề tài .................................................................................................. 6
PHẦN 2. NỘI DUNG .............................................................................................. 7
CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................. 7
1.1. Phƣơng trình bậc hai một ẩn .......................................................................... 7
1.1.1. Định nghĩa 1.1. ............................................................................................... 7

1.1.2. Công thức nghiệm .......................................................................................... 7
1.1.3. Công thức Vi-ét .............................................................................................. 7
1.2. Tam thức bậc hai.............................................................................................. 8
1.2.1. Định nghĩa 1.2. ............................................................................................... 8
1.2.2. Một số tính chất .............................................................................................. 8
1.3. Bất phƣơng trình bậc hai .............................................................................. 12
1.3.1. Định nghĩa 1.3. ............................................................................................. 12
1.4. Tính đơn điệu hàm số .................................................................................... 12
1.4.1. Định nghĩa 1.4. ............................................................................................. 12
1.4.2. Định lí 1.5. .................................................................................................... 12
2.1. Phƣơng pháp tam thức bậc hai trong phƣơng trình. ................................. 13
2.2. Ứng dụng tam thức bậc hai liên quan đến bất phƣơng trình bậc hai....... 18
2.3. Ứng dụng tam thức bậc hai liên quan đến hệ phƣơng trình, hệ bất
phƣơng trình. ......................................................................................................... 22
2.4. Ứng dụng tam thức bậc hai vào chứng minh bất đẳng thức ..................... 25
2.5. Ứng dụng tam thức bậc hai để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất........ 31

Trang 3

2.6. Ứng dụng tam thức bậc hai vào giải các bài tốn về tính đơn điệu của
hàm số. .................................................................................................................... 36
PHẦN 3. KẾT LUẬN............................................................................................ 42
PHẦN 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 43

Trang 4

PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài

Tốn học là một mơn học có vai trị khá quan trọng trong chương trình THPT. Qua

tốn học giúp cho người học nâng cao được khả năng tư duy, khả năng suy luận và việc
vận dụng các kiến thức đó vào các mơn học khác, giúp người học phát triển, hồn thiện
nhân cách của mình. Chính vì lẽ đó việc lĩnh hội và tiếp thu mơn tốn là cả một vấn đề
mà khơng người giáo viên dạy tốn nào không quan tâm. Đặc biệt trong các hoạt động
dạy và học mơn tốn địi hỏi người dạy cũng như người học phải khơng ngừng tìm tịi
sáng tạo, tích luỹ kinh nghiệm để đưa ra những phương pháp giảng dạy, những cách lĩnh
hội phù hợp nhất, để giúp người học nắm vững kiến thức mơn học có tính hệ thống đây là
vấn đề được đặt ra. Nhất là trong thực hành việc giải các bài tốn mang tính vận dụng địi
hỏi người học phải nắm vững những hệ thống kiến thức cơ bản và khả năng vận dụng
linh hoạt các công cụ tốn học có tính hệ thống, các kĩ năng, kĩ sảo trong khi thực hiện.

Trong chương trình tốn học phổ thơng tam thức bậc hai đóng vai trị khá quan
trọng, nên việc hiểu và nắm vững được là một việc làm vơ cùng cần thiết, nó làm tiền đề
về sau khi các em tiếp tục học lên những bậc cao hơn. Trong chương trình tốn học lớp 9
các em đã làm quen với tam thức bậc hai và phương trình bậc hai. Song việc ứng dụng và
vận dụng chúng trong việc giải các loại khác như thế nào chưa được quan tâm nhiều.
Chính vì lẽ đó trong q trình giáo viên giảng dạy cho các em đặc biệt là học sinh khá
giỏi, tôi nhận thấy đây là điều cần quan tâm. Để giúp các em hiểu sâu về tam thức bậc hai
và việc vận dụng nó vào giải các loại tốn khác.

Với những lí do đã nêu trên và lịng say mê tìm tịi nghiên cứu nên tơi đã chọn đề
tài: “Ứng dụng tam thức bậc hai giải một số dạng toán trong chương trình trung học
phổ thơng” để làm đề tài khố luận tốt nghiệp, nhằm giúp tơi có cái nhìn tổng thể, sâu
sắc hơn về ứng dụng tam thức bậc hai.

1.2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu việc vận dụng tam thức bậc hai vào giải các bài toán cụ thể liên quan

đến phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, hệ phương trình, hệ bất phương trình,
tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tính đơn điệu hàm số.

1.3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng tam thức bậc hai giải phương trình, bất phương
trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất, tính đơn điệu
hàm số.

Trang 5

- Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng tốn trong chương trình THPT.
1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu, đọc hiểu tài liệu.
- Phân tích, tổng hợp các kiến thức.
- Trao đổi, thảo luận với chuyên gia.
1.5. Lịch sử nghiên cứu
Đã có những cơng trình nghiên cứu liên quan tới một số vấn đề tam thức bậc hai
của tác giả như:
- Sách Lê Hồng Đức, Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc, một số ứng dụng tam thức
bậc hai, Nhà xuất bản đại học sư phạm, năm 2004.
1.6. Đóng góp của đề tài
- Định dạng các dạng bài tốn liên quan đến phương trình, bất phương trình, bất
đẳng thức… bằng tam thức bậc hai.
- Giải chi tiết các bài toán phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức… bằng
cơng cụ tam thức bậc hai cho các bạn đọc quan tâm.
- Thống kê các dạng và phương pháp giải phương trình, bất phương trình, bất đẳng
thức… bằng tam thức bậc hai hay gặp ở toán bồi dưỡng học sinh giỏi và các kì thi.
- Giúp HS có một cái nhìn và cách tiếp cận mới về tam thức bậc hai.
1.7. Cấu trúc đề tài

Khóa luận gồm phần mở đầu, kết thúc và hai chương:

- Chương 1: Những kiến thức chuẩn bị.
- Chương 2: Ứng dụng tam thức bậc hai.

Phần tài liệu tham khảo và phụ lục.

Trang 6

PHẦN 2. NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Phƣơng trình bậc hai một ẩn
1.1.1. Định nghĩa 1.1.

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: a x2  b x  c  0 (1).

Trong đó: a,b, c ; a  0 là các hệ số của phương trình (1), x là ẩn số.
1.1.2. Cơng thức nghiệm

Ta có   b2  4ac là biệt thức của phương trình bậc hai: a x2  b x  c  0.
i) Nếu  0 thì phương trình bậc hai (1) vơ nghiệm.

ii) Nếu  0 thì phương trình bậc hai (1) có nghiệm kép x1  x2  b .
2a

iii) Nếu  0 thì phương trình bậc hai (1) có 2 nghiệm phân biệt

x1,2  b   , (khơng mất tính tổng quát giả sử x1  x2 ).
2a

1.1.3. Cơng thức Vi-ét

Định lí 1.1. Nếu phương trình: a x2  b x  c  0 , với a  0 có hai nghiệm x1 và x2 thì:

S  x1  x2   b a


P  x1.x2  c
 a

Hệ quả

1. (1) có hai nghiệm trái dấu  P  0.

  0
2. (1) có hai nghiệm cùng dấu  

P  0

  0

3. (1) có hai nghiệm dương  P  0
S  0

  0

4. (1) có hai nghiệm âm  P  0
S  0

Trang 7

1.2. Tam thức bậc hai

1.2.1. Định nghĩa 1.2.

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f  x a x2  b x  c , trong đó a,

b, c là những hệ số, a  0 .

Hàm số tương ứng f  x a x2  b x  c được gọi là hàm số bậc hai và phương

trình a x2  b x  c  0 được gọi là phương trình bậc hai.

Các bất phương trình dạng f  x 0 (tương ứng f  x 0, f  x0, f  x0 ) được

gọi chung là các bất phương trình bậc hai.

Biến đổi tam thức bậc hai về dạng:

 2 b b2 c b2   b 2  
f  x  a x  2. x  2   2   a  x    2  .
 2a 4a a 4a   2a  4a 

Trong đó   b2  4ac được gọi là biệt thức của f  x .

 2 b1 b12 c b12   b1 2 ' 
Nếu b  2b1 thì: f  x  a x  2. x  2   2   a  x    2  , trong đó
 a a a a   a  a 

'  b12  a c được gọi là biệt thức thu gọn của f  x .

1.2.2. Một số tính chất
Định lí 1.2. (Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử).

Xét tam thức bậc hai f  x a x2  b x  c , khi đó:

i) Nếu  0 thì f  x khơng phân tích được thành tích các nhân tử bậc nhất.

 b 2

ii) Nếu  0 thì f  x  a  x   .

 2a 

iii) Nếu  0 thì f  x  a  x  x1  x  x2  với x1,2  b   .

2a

Đặc biệt, điều kiện cần và đủ để f  x là biểu thức chính phương (là bình phương

  b 2

đúng của một nhị thức) là đồng thời xảy ra a 0 ,   0. Khi đó: f  x   a  x   .

  2a 
Định lí 1.3. (Định lí thuận về dấu của tam thức bậc hai).

Cho tam thức bậc hai f  xax2  bx  c, (a 0) . Khi đó:
i) Nếu  0 thì a f  x 0,  x .

Trang 8

ii) Nếu  0 thì af  x 0,  x . Dấu đẳng thức xảy ra khi x   b .

2a

iii) Nếu  0 thì f  x  0 có hai nghiệm phân biệt x1  x2

af  x 0,  x thỏa mãn điều kiện x  x1 hoặc x2  x .

af  x 0,  x thỏa mãn điều kiện x1  x  x2 .

f  x  0 tại x  x1 hoặc x  x2 .

Chứng minh
2  b 2  

Ta có: af  x  a . x    

 2a  4a 
Từ đó:

2  b 2  

i) Nếu  0 thì af  x  a . x     > 0,  x .

 2a  4a 
 b 2

ii) Nếu  0 thì af  x  a2. x    0 ,  x .

 2a 

a f x  0  x   b

2a

2  b 2   2 
iii) Nếu  0 thì af  x  a . x      
 
 2a   2a  

 a2  x  b    x  b   
2a  2a 


 a2  x  x1  x  x2 ,  x1  x2 

Ta lập bảng xét dấu của a f  x :

x  x 1 x 2 

x  x1 - 0 + +

x  x2 - - 0 +
0 +
 x  x2  x  x2  + 0 -

f  x  a. x  x2  x  x2  cùng dấu a trái dấu a cùng dấu a

Dựa vào bảng xét dấu ta có:

Trang 9

 af  x 0  x  x1

x  x2

 a f  x 0  x1  x  x2 .

 f  x  0 tại x  x1 hoặc x  x2 .

Nhận xét
Từ định lí về dấu của tam thức bậc hai, ta thấy chỉ có một trường hợp duy nhất

trong đó dấu của tam thức khơng thay đổi (ln âm hoặc ln dương), đó là khi   0 .

Lúc đó, dấu của tam thức trùng với dấu của hệ số a. Do đó, ta có:

x  2 a  0
x  , ax bxc0
  0

2 a  0
, ax bxc0
  0

Định lí 1.4. (Định lí đảo). nào đó

Xét một tam thức bậc hai f  x  ax2 + bx + c a  0 . Nếu tồn tại một số  

sao cho a. f ()  0 thì có kết luận sau:

a. Tam thức f  x  0 có hai nghiệm x1; x2,  x1  x2  .

b. Số  nằm giữa 2 nghiệm này: x1 <  < x2 .

Chứng minh

Thật vậy: Xét f  x = a x 2 + b x + c.

Giả sử rằng   0  a f  x  0,x  Không tồn tại  thỏa mãn a. f ()  0

(điều này mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy   0.

Cũng theo định lý thuận ta có f  x có hai nghiệm x1, x2 và f  x thay dấu như sau:

x x 1 x 2

f  x cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy: Số  phải nằm giữa 2 nghiệm x 1 <  < x 2.
Chú ý: Trong chương trình lớp 10 hiện tại định lí đảo khơng được sử dụng, do vậy khi
gặp bài toán so sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số thực  , ta khơng được sử
dụng định lí đảo. Ở đây để giải quyết vấn đề này ta sẽ sử dụng định lí Vi-ét hoặc tịnh tiến
về gốc tọa độ.

Trang 10

Ví dụ 1.1. Cho phương trình: x2  2mx  4m  3  0 1

Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2.
Giải

Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2  x1  x2  theo Vi-ét ta có:

x1  x2  2m

x1.x2  4m  3
Phương trình (1) có hai nghiệm lớn hơn 2:

'  0 '  0 m2  4m  3  0

 
 x1  2  x1  2  0   x1  2   x2  2  0

x  2 x  2  0 
2 2
 x1  2. x2  2  0

m2  4m  3  0 m 1 m3
 
 x1  x2  4  0 m  3

 2m  4

 4m  3  22m  4  0

x1x2  2 x1  x2   4  0



Vậy: Với m > 3 thỏa mãn u cầu bài tốn.

Ví dụ 1.2. Tìm m để bất phương trình: x2  2m 1 x  m2  2m  0 (2) nghiệm đúng

 0;1 .

Giải

Vì '  m 12  m2  2m  1  0 nên bất phương trình (2) ln có 2 nghiệm phân

biệt x1  m, x2  m  2 .

Do đó bất phương trình (2) có tập nghiệm x1; x2  , với 2 nghiệm của tam thức

f  x  x2  2m 1 x  m2  2m  0 .

x1  x2  2m 1
Theo Vi-ét: 
x1.x2  m  2m2

Do đó để bất phương trình có nghiệm đúng x 0;1  x1  0  1  x2

x1  0  x2 x2x1  0 x2x1  0
  
x1  1  x2  x1 1 x2 1  0 x2x1   x1  x2  1  0

Trang 11

m2  2m  0 m2  2m  0 2  m  0

 2  2 
m  2m  2m 1 1  0 m 1  0 1  m  1

 1  m  0

Vậy: Với 1  m  0 bất phương trình có nghiệm đúng x 0;1 .

1.3. Bất phƣơng trình bậc hai
1.3.1. Định nghĩa 1.3.

Bất phương trình bậc hai (ẩn x) là bất phương trình có một trong các dạng

f  x  0, f  x  0, f  x  0, f  x  0 , trong đó f  x là một tam thức bậc hai.

Cách giải:
Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.

1.4. Tính đơn điệu hàm số
1.4.1. Định nghĩa 1.4.
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và f là hàm số xác định trên

K, K .
Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu

x1, x2  K, x1  x2  f  x1   f  x2  .

Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu

x1, x2  K, x1  x2  f  x1   f  x2  .

Nói một cách khác, nếu hàm số f xác định trên K thì

Hàm số f đồng biến trên K khi và chỉ khi với x tuỳ ý thuộc K , ta có

f  x   x  f  x  0 với mọi  x  0 mà x   x  K .

 x

Hàm số f nghịch biến trên K khi và chỉ khi với x tuỳ ý thuộc K , ta có

f  x   x  f  x  0 với mọi  x  0 mà x   x  K .

 x

1.4.2. Định lí 1.5.
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I, I  .

 Nếu f '  x  0 với mọi x  I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I.

 Nếu f '  x  0 với mọi x  I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I.

 Nếu f '  x  0 với mọi x  I thì hàm số f khơng đổi trên khoảng I.

Trang 12

CHƢƠNG 2. ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI

2.1. Phƣơng pháp tam thức bậc hai trong phƣơng trình.
Bài tốn 2.1. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai và phương trình quy về

bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.

Phƣơng pháp
Bước 1: Nếu phương trình quy về bậc hai thì ta chuyển về phương trình bậc hai,

chuyển điều kiện nghiệm từ ẩn cũ về ẩn mới.

Bước 2: Xét tam thức bậc hai và giải điều kiện của bài toán (dù tam thức theo ẩn
cũ hay ẩn mới thì vấn đề bây giờ chỉ đối với tam thức đang xét).

Bước 3: Kết luận.

Ví dụ 2.1. Xác định m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt:

x2  2m 1 x  m 1  0 1

Giải
Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt: 0  x1  x2

'  0 m2  3m  0
 
 P  0  1 m  0  0  m  1

S  0  2  m  1  0
 

Kết luận, với 0  m  1 phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.

Ví dụ 2.2. Cho phương trình: m 1 x2  2m 1 x  m  2  0 (2)

Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 4 x1  x2   7x1x2 .

Giải

Phương trình có hai nghiệm x1 và x2 :

a  0 m 1  0  1  m  3 *
 ' 
  0 3  m  0

Khi đó phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn:

x1  x2  2m 1
m 1
 m2
x1x2  m 1

Theo yêu cầu bài toán:

Trang 13

4 x1  x2   7x1x2  4. 2m 1  7. m  2  m  6 thỏa mãn điều kiện (*).
m 1 m 1

Kết luận: Với m = - 6 thỏa mãn u cầu bài tốn.

Ví dụ 2.3. Tìm m để phương trình:

2x3  26m 1 x2  32m 1 x  31 2m  0 (3)

Có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 sao cho x12  x22  x32  28 .

Giải

Phương trình (3) tương đương:  x 1 2x2 12m  31 2m  0

x 1

   f  x  2x2 12mx  31 2m  0 3' 

Để phương trình (3) có ba nghiệm thì phương trình ( 3' ) phải có 2 nghiệm phân
biệt khác 1.

 1 7
 f x  0 36m2 12m  6  0 m  6
  
 f 1  0 17  6m  0  17 1 7
  m 
 6 6

Theo Vi-ét, phương trình ( 3' ) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 luôn thỏa mãn:

x1  x2  6m

 31 2m
x1.x2 
 2

Với yêu cầu bài toán

2 22 2 2 2
 x1  x2 1  28  x1  x2  27   x1  x2   2x1x2  27

m 1

 36m2  31 2m  27  m  1 (l)

 12

Kết luận: Với m = 1 thỏa mãn u cầu bài tốn.

Ví dụ 2.4. Tìm m để phương trình: mx4  2m 1 x2  m 1  0 4 có hai nghiệm phân

biệt.
Giải

Đặt t  x2 ( t  0 ), khi đó:

Trang 14

Phương trình được viết lại: f t   mt2  2m 1t  m 1  0 4' 

Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Với m = 0, ta được:

4'   2t 1  0  t  1  x2  1  x   1
2 2 2

Trường hợp 2: Với m  0 , (4) có hai nghiệm phân biệt

 4'  có nghiệm kép t1  t2  0 hoặc 4'  có hai nghiệm phân biệt t1  0  t2

TH1: 4'  có hai nghiệm phân biệt t1  0  t2

 4'  có nghiệm t1  0  t2  ac  0

 mm 1  0  0  m  1

TH2: 4'  có nghiệm kép t1  t2  0

'  m 12  mm 1  0 1 m  0
 
 b
 m 1 VN 
  0  0
 a m

Vậy: Với 0  m  1 phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2.5. Giải và biện luận phương trình:

5x2 2mx2  52x2 4mxm2  x2  2mx  m 5 .

Giải

Đặt t  x2  2mx  2 , phương trình (5) được viết lại:

5t  t  52tm2  2t  m  2 5' 

Xét hàm số f t   5t  t

 Miền xác định D 
 Đạo hàm: f '  5t.ln 5 1  0,x  D  Hàm số tăng trên D.

Từ phương trình 5'  ta có: f t   f 2t  m  2  t  2t  m  2  t  m  2  0

 x2  2mx  m  0 5'' 

Xét phương trình 5''  , ta có: '  m2  m

 Nếu '  0  m2  m  0  0  m  1

Trang 15

Phương trình 5''  vơ nghiệm  Phương trình ( 5' ) vô nghiệm

 Nếu '  0  m  0 hoặc m = 1.

- Với m = 0 phương trình 5''  có nghiệm kép x0  0

- Với m = 1 phương trình 5''  có nghiệm kép x0  1

 Nếu '  0  m  1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
m  0

x1,2  m  m2  m
Kết luận:

 Với m = 0, phương trình đã cho có nghiệm kép x0  0

 Với m = 1, phương trình đã cho có nghiệm kép x0  1
 Với 0 < m < 1, phương trình đã cho vơ nghiệm
 Với m > 1 hoặc m < 0, phương trình đã cho có hai nghiệm:

x1,2  m  m2  m .

Bài tốn 2.2. Chứng minh phương trình ln có nghiệm hoặc vơ nghiệm.
Ví dụ 2.6. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì phương
trình sau vơ nghiệm:

a2x2  a2  b2  c2  x  b2  0

Giải

Ta có:   a2  b2  c2 2  4a2b2

 a2  b2  c2   2ab a2  b2  c2   2ab
 

 a2  b2   c2  a2  b2   c2 
 

 a bca bca bca bc

Vì a, b, c là độ dài của 3 cạnh trong một tam giác nên:

a  b  c  0
a  b  c  0

a  b  c  0

a  b  c  0

Suy ra   0

Trang 16

Vậy phương trình vơ nghiệm.
Ví dụ 2.7. Cho a, b, c thỏa mãn: 3a + 4b + 6c = 0. Chứng minh rằng phương trình sau

ln có nghiệm f  x  a x2  b x  c  0.

Giải

 Nếu a  0 , thì bx + c = 0  x   c
b

 Nếu a  0 , thì '  b'2  4ac

 3a  6c2  4ac (vì b   3a  6c )
16 4

 1 9a2  28ac  36c2   0 (*)

16

(*)  f a  9a2  28ac  36c2  0

Ta có:

 f a '  14c2  9.36c2

 196c2  324c2
 128c2  0

Suy ra f a  0

Vậy phương trình f  x  0 ln có nghiệm.

Ví dụ 2.8. Cho 3 số dương a, b, c và phương trình: x2  2x  a  b  c  5  0
bc ca ab 2

Chứng minh rằng phương trình ln có nghiệm.
Giải

Ta có: '  1 a  b  c  5  a  b  c  3  0
bc ca ab 2 bc ca ab 2

Nhận xét rằng:

a b c a b c 
    1   1   1  3
bc ca ab bc  ca  ab 

1 1 1

 a b  c   3

bc ca ab

  1 a  b  b  c  c  a  1  1   1   3

2 bc c  a a b

Trang 17

 1 .33 a  bb  cc  a.3 1 3

2 3 a  bb  cc  a

 9  3  3 *
2 2

(Theo bất đẳng thức TBC – TBN)

 a  b  c  3  0  '  0
bc ca ab 2

Vậy phương trình ln có nghiệm.

2.2. Ứng dụng tam thức bậc hai liên quan đến bất phƣơng trình bậc hai
Sử dụng tam thức bậc hai để tìm miền nghiệm của bất phương trình bậc hai hay

bất phương trình quy về bậc hai (không chứa tham số) là một mảng kiến thức cực kì quan

trọng trong chương trình tốn phổ thơng. Để tìm nghiệm của bất phương trình chỉ cần

dựa vào bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng.

Trong phần này tác giả chỉ đề cập đến bất phương trình bậc hai hoặc bất phương

trình quy về bậc hai có chứa tham số.

Bài tốn 2.3. Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình ln có nghiệm hoặc ln

vơ nghiệm hoặc có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.

Ví dụ 2.9. Cho bất phương trình: x2  6x  7  m  0 9 .

Tìm m để bất phương trình:

a) Có nghiệm.

b) Có đúng một nghiệm.

c) Có nghiệm là một đoạn độ dài bằng 1.

Giải
a) Bất phương trình x2  6x  7  m  0 có nghiệm khi:

'  0  9  7  m  0  m  2 .

Vậy m  2 bất phương trình (9) có nghiệm.

b) Bất phương trình (9) có đúng một nghiệm khi:

'  0  9  7  m  0  m  2 .

Vậy m  2 bất phương trình (9) có nghiệm.

c) Bất phương trình (9) có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 1 khi '  0 và

x2  x1  1.

Trang 18

 '  0  m  2 phương trình tương ứng có hai nghiệm

x1  3  2  m , x2  3  2  m

 x2  x1   x2  x1   3  2  m  3  2  m   1  m  74

Vậy với m  7 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
4

Ví dụ 2.10. Giải và biện luận bất phương trình:

m 1 x2  2mx  2m  0 10 .

Giải

 Nếu m + 1 = 0  m  1, khi đó:

Bất phương trình 10  2x  2  0  x  1.

 Nếu m + 1  0  m  1  -2 -1 0 
Lập bảng xét dấu của a và  : -
- - 0+ +
m
a  m1 0 + + 0-

'  m2  2mm 1  m2  2m

Trường hợp 1: Với m < - 2, ta có:

'  0

  f  x  0, x   Nghiệm của (10) là x  .

a  0

Trường hợp 2: Với m = - 2, ta có:

'  0  f  x  0, x   Nghiệm của (10) là x  .

a  0

Trường hợp 3: Với 2  m  1, ta có:

'  0

a  0

Khi đó f  x  0 có hai nghiệm phân biệt

x1  m  ' & x2  m  '

m 1 m 1

Trường hợp này a < 0 nên x2 < x1 do đó:

Trang 19

x 2 x 1

////////////////////

Vậy: Nghiệm của bất phương trình (10) là: x  x2  x  x1

Trường hợp 4: Với 1  m  0 , ta có:

'  0  f  x  0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2.

a  0

Trường hợp này a > 0 nên x2 > x1 do đó:

x 2 x 1

///////////////// ////////////////////

Vậy: Nghiệm của (10) là: x1  x  x2

Trường hợp 5: Với m = 0, ta có:

a  0  f  x  0, x  0
 '   Nghiệm của (10) là x = 0.
  0  f  x  0 khi x  0

Trường hợp 6: Với m > 0, ta có:

'  0

  f  x  0, x   10 vô nghiệm,

a  0

+ Kết luận:

Với m  - 2, nghiệm của (10) là: x  .

Với 2  m  1, nghiệm của (10) là: x  x2  x  x1 .

Với m = - 1, nghiệm của (10) là: x  1.

Với 1  m  0 , nghiệm của (10) là: x1  x  x2 .

Với m = 0, nghiệm của (10) là: x = 0.

Với m > 0, (10) vơ nghiệm.

Ví dụ 2.11. Tìm m để bất phương trình:  x 1 x  3  m x2  4x  5 nghiệm đúng với

x  2, 2  3.

Giải

Viết lại bất phương trình dưới dạng:

 x2  4x  3  m x2  4x  5  0   x2  4x  5  m x2  4x  5  2  0 11

Trang 20