Bài tập nâng cao Mũ và logarit

BÀI TẬP MŨ VÀ LOGARIT


Câu 1: Gọi là các số thực dương thỏa mãn điều kiện và , với ,

là hai số nguyên dương. Tính .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải: Chọn A

Đặt

Theo đề ra có
Từ (1), (2), và (3) ta có

Thế vào (4) ta được thỏa mãn dữ kiện bài toán. Suy ra
Thử lại ta thấy

Câu 2: Cho ba số thực dương , , đều khác thỏa mãn và . Khi
D. .
đó bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. .

Lời giải: Chọn B

Do , , đều khác nên , và đều khác .

Ta có

và .

Suy ra .

Do đó và .

Theo giả thiết .
Do các số , ,
dương nên , vậy .

Câu 3: Cho dãy số thỏa mãn và với mọi . Giá trị nhỏ
C. . D. .
nhất để bằng

A. . B. .

Lời giải: Chọn B

Vì nên dễ thấy dãy số là cấp số nhân có cơng bội .
Ta có:

Xét

Đặt .

Phương trình trên trở thành

Với

Trong trường hợp này ta có:

Mà nên giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này là .

Câu 4: Cho hệ có nghiệm thỏa mãn . Khi đó giá trị lớn nhất
của là C. .
B. . D. .
A. .
Lời giải: Chọn C

Ta có: nên .
Từ ta có:
Từ ta có:

do .

Suy ra

Giải bất phương trình theo ta có: .

Khi đó, hệ phương trình ban đầu có dạng nên ln có nghiệm.

Vậy giá trị lớn nhất của để hệ có nghiệm là . 1

m  1log1 x 1  4m  5log1  4m  4 0 122

Câu 5: Cho phương trình 3 3 x 1 . Hỏi có bao nhiêu giá trị m

2 
1    3 ;2
nguyên âm để phương trình có nghiệm thực trong đoạn   ?

A. 6 . B. 5 . C. 2 . D. 3 .

Lời giải: Chọn D

2 
  ;2
Trên đoạn  3  thì phương trình ln xác định.
Với m ngun âm ta có
, do đó
1  4m  1log21 x 1 4 m  5log1 x 1 4m  4 0

3 3

 m  1log21 x 1 m  5log1 x 1 m  1 0

3 3

t log1 x 1 x    2 ; 2
Đặt , với  3  thì  1 t 1. Ta có phương trình:
3

m  1t2  m  5t  m  1 0  m t2  t 1 t2  5t 1

 m  t2 t2  5t 1  t 1 2

Xét hàm số f t   t2 t2  5t 1  t 1 với  1 t 1.

f t   4t2  4 2 0   t 1

Ta có t2  t 1  t  1 .

f  1 37 , f 1  3
min f t   3 max f t  7
Do đó  1;1 và  1;1 3.

Phương trình đã cho có nghiệm thực trong đoạn 2  2  t  1;1
  ;2 khi và chỉ khi phương trình có nghiệm
3 

 min f t  m max f t    3 m 7
 1;1  1;1 3 .

2 
1    ;2  3;  2;  1
Như vậy, các giá trị ngun âm m để phương trình có nghiệm thực trong đoạn 3  là .

Câu 6: Gọi là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số để phương trình
.
có ba nghiệm thực phân biệt. Tìm số phần tử của .

A. . B. Vô số. C. D. .

Lời giải: Chọn A

Ta có:

.
Phương trình đã cho có ba nghiệm thực phân biệt, ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: có một nghiệm và nghiệm còn lại khác và .

Thay vào ta được . Khi đó trở thành (Thỏa yêu
cầu).
có một nghiệm
Trường hợp 2: ta được và nghiệm còn lại khác và .
.
Thay vào

Khi đó trở thành (Thỏa yêu cầu).

Trường hợp 3: có nghiệm kép khác và .

Vậy có giá trị thỏa yêu cầu đề bài.

Câu 7: Cho phương trình . Biết phương trình có một

nghiệm là và một nghiệm cịn lại có dạng (với , là các số nguyên tố và ). Khi đó

giá trị của bằng: C. . D. .
A. . B. .
Lời giải: Chọn B

Điều kiện

.

.

. (thỏa mãn )

Như vậy phương trình đã cho có các nghiệm là , .

Khi đó , , . Vậy . có dạng
C.
Câu 8: Cho phương trình với là tham số thực. Gọi là tập tất cả các
.
giá trị của để phương trình có nghiệm. Khi đó . Tính
.
A. . B. . . D.

Lời giải: Chọn A

Ta có

Xét hàm số , đồng biến trên .
Suy ra
. Phương trình có nghiệm khi .
. Vậy .

Câu 9: Có bao nhiêu số ngun để phương trình có hai nghiệm phân
D. .
biệt lớn hơn .

A. . B. Vô số. C. .

Lời giải: Chọn C

Điều kiện: .
Ta có:

Xét hàm số: trên , ta có , .
Do đó hàm số đồng biến trên .
Suy ra:

Xét hàm số: trên , ta có . Điều này đúng với mọi .
Bảng biến . thiên:

- có hai nghiệm phân biệt lớn hơn khi và chỉ khi
Theo bảng biến thiên ta thấy: phương trình

Do nên . .
Vậy có thỏa mãn yêu cầu bài toán.
giá trị nguyên của

Câu 10: Cho hàm số . Biết rằng với , ,
, , là các số nguyên tố và .
, là các số nguyên dương, trong đó . Tính tổng
C. . D. .
A. . B. .

Lời giải: Chọn C

Ta có , với .
Khi đó

…

Suy ra

Do đó .

Câu 11: Cho phương trình . Biết phương trình có hai nghiệm , thỏa mãn

. Khẳng định đúng trong bốn khẳng định dưới đây là

A. Không có . B. . C. . D. .

Lời giải: Chọn B

Đặt thì phương trình đã cho trở thành .

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm , có hai nghiệm dương phân biệt ,

.

Khi đó ,

Ta có ,

Đặt thì trở thành .

+ : ptvn do .

+ (nhận).

Vậy thỏa ycbt.

Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để tập nghiệm của bất phương trình

A. . chứa khoảng . D. .

Lời giải: Chọn C B. . C. .

Điều kiện:

Với điều kiện trên bất phương trình trở thành

Đặt thì vì

 t 1  m,t  8
t 7 . Đặt .

Yêu cầu bài toán

Xét hàm số trên khoảng

Ta có ln nghịch biến trên khoảng

Do đó .

Mà nên .
Vậy có
giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 13: Cho hai số thực dương thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu
D.
thức với Hỏi bằng bao nhiêu.
B. . C. .
A. .

Lời giải: Chọn D

Ta có
.

Gọi là giá trị nhỏ nhất của khi đó là số dương nhỏ nhất để hệ có
nghiệm.

Ta có

Từ .

Đặt (*).
.
Ta đi tìm để (*) có nghiệm dương

Do đó , dấu “=” xảy ra khi
Vậy
, , là các số thực thuộc đoạn thỏa mãn Khi biểu thức
Câu 14: Cho là

đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng

A. . B. . C. . D. .
Lời giải: Chọn C
Vì nên .
Đặt

Ta chứng minh .
Xét hàm số Thật vậy:

Trên đoạn ta có .
.
hay Do đó.
).
Xét: .
và các hốn vị.
( Vì theo trên ta có và . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

Vậy . D. .
.
Tương tự
.
Do đó và các hoán vị, tức là

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó .

Câu 15: Cho phương trình

số để phương trình đã cho có nghiệm ?
C. .
A. . B. .

Lời giải: Chọn D

Ta có: (1)

Với với
phương trình (2) có nghiệm

Xét hàm số , có

đồng biến trên đoạn

Khi đó :
(2)

Phương trình (1) có nghiệm

với

hay
Vậy có 9 giá trị nguyên của thỏa mãn u cầu bài tốn.
Câu 16: Có bao nhiêu số nguyên dương ( là tham số) để phương trình

nhất? có nghiệm duy

A. . B. . C. Vô số. D. .
Lời giải: Chọn B

Điều kiện

Mà vế trái của luôn dương với mọi nguyên dương

Vì nên

Do đó từ suy ra thỏa yêu cầu. không tồn tại .
Vậy không có giá trị . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 17: Xét các số thực , thỏa mãn điều kiện

.

A. . B. . C. . D. .

Lời giải: Chọn C

.

Ta có:

( luôn đúng với ).

( vì ) .

Do đó .

Vì nên .

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương: , ,

.

Từ và ta có .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Vậy . .
là các số thực thỏa mãn
Câu 18: Cho , . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A. . . C. . D.
Lời giải: Chọn C B. .

Ta có .
.
Suy ra .
với .
Đặt , do ;
ta được
Ta có hàm số

.
Lập bảng biến thiên trên

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là đạt được khi
.

Câu 19: Cho , là hai số thực dương thỏa mãn và . Gọi , lần lượt là giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính tổng .

A. . B. . C. . D. .

Lời giải : Chọn B

Ta có , ta thay vào ta được
Vì dương nên

Đặt vì nên

Xét hàm số

Ta có bảng biến thiên

Vậy . . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị
Câu 20: Cho các số thực không âm thỏa mãn
bằng
nhỏ nhất của biểu thức . Giá trị của biểu thức

A. . B. . C. . D. .

Lời giải: Chọn C

Đặt . Ta có .



 Gọi .

Do khi (vì
Suy ra .
, do đó
thỏa mãn
Câu 21: Cho . Gọi , lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất của biểu thức . Khi đó bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .
Lời giải: Chọn B .

Ta có

Xét hàm số , với

Hàm số đồng biến trên

Cách 1:
Theo giả thiết

Xét hàm số , với .
Bảng biến thiên
. Cho
2- 3 1 2+ 3
x0
y' 4 2 4 1

12 0 +0 0+
y 25
12

191 2 191
16
16

Từ bảng biến thiên, ta có .
.
Vậy .

Cách 2:

Từ và suy ra

Viết lại

Đặt thì .

Khảo sát hàm ta được , .

Vậy

Câu 22: Cho hai số thực , thỏa mãn , và . Xét biểu thức
. Khi đó giá trị của
. Gọi , lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
.
bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D.

Lời giải: Chọn A

Ta có:

Đặt , . Phương trình trở thành: .

Xét hàm số trên khoảng .

Có , . Do đó hàm số luôn đồng biến.
Dễ thấy có nghiệm
. Do đó là nghiệm duy nhất của .

Suy ra . Khi đó .

Xét hàm số trên , có

, .

Do đó, , .

Suy ra , .

Vậy .

Câu 23: Cho cấp số cộng , cấp số nhân thỏa mãn và ; và hàm số
nhỏ nhất và lớn hơn
sao cho và . Số nguyên dương sao cho

là B. . C. . D. .
A. .
Lời giải: Chọn B

Hàm số có bảng biến thiên như sau:

Theo giả thiết , hơn nữa .
Từ đó suy ra . Ta xét các trường hợp:

 Nếu thì .

 Nếu thì điều này là không thể.
.
Do đó chỉ xảy ra trường hợp

Từ đó suy ra .

Tương tự vì nên , suy ra .

Xét hàm số trên nữa khoảng , ta có bảng biến thiên

Ta có nên số nguyên dương nhỏ nhất thỏa là .
Ta chọn đáp án A. nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để phương trình
Câu 24: Có bao

A. . B. . có hai nghiệm thực phân biệt? D. .
Lời giải: Chọn B . C. .

Điều kiện:

Ta có

Xét hàm số với có ,
.
đồng biến trên nên
.
Từ đó

YCBT có hai nghiệm phân biệt , lớn hơn

mà .

Câu 25: Cho phương trình: . Gọi là tập hợp chứa tất cả các giá trị

ngun của tham số để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm. Số phần tử của tập là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải: Chọn C

Do nên điều kiện là
Khi đó phương trình

Xét hàm số với thì

Suy ra hàm số đồng biến

Xét , ta có

Phương trình (*) có đúng hai nghiệm khi
Vậy có 2 giá trị của tham số .

Câu 26: Cho hai số thực thỏa mãn điều kiện
. Khi đó biểu thức
nguyên? B. . C. . có bao nhiêu ước số
A. . ; D. .
Lời giải: Chọn B (*)

Đặt

Ta có giả thiết trở thành:

Lại có: nên VT
Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi

(*) suy ra

Khi đó . Số 19 có 4 ước số nguyên là .

Câu 27: Cho các số thực thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của
biểu thức thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? D. .

A. . B. . C. .

Lời giải: Chọn A

Ta có:

Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng suy ra
Khi đó:

Do

Câu 28: Cho hàm số . Có bao nhiêu giá trị nguyên của

tham số để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi ?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải: Chọn D

Ta có: . Suy ra :
Mà

nghiệm đúng với mọi

Vậy có 21 giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 29: Cho các số thực dương lớn hơn 1 thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất
D. .
của biểu thức .

A. . B. . C. .
Lời giải: Chọn B

Đặt

Ta có:

Suy ra

Mà nên

Dấu “ ” xảy ra khi và chỉ khi

Do đó:

Vậy khi và chỉ khi:

Câu 30: Cho 2 số thỏa mãn C. . và
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A. . .
Lời giải: Chọn C B. . D. .

Biến đổi giả thiết ta có:

Xét hàm số

Ta có:

Đặt

Do , nên hàm số đồng biến trên .

Suy ra .

Vậy giá trị nhỏ nhất của là 2.

Câu 31: Cho bất phương trình . Số các giá trị ngun của tham
số để bất phương trình trên có đúng năm nghiệm nguyên dương phân biệt là:

A. . B. . C. . D. .

Lời giải: Chọn B

Ta có:

Xét hàm số , có

Xét hàm số với . Ta có:

Để bất phương trình có đúng 5 nghiệm nguyên dương thì

Kết hợp điều kiện, suy ra .

Vậy có 4 giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài tốn.

Câu 32: Có tất cả bao nhiêu giá trị ngun của sao cho tương ứng mỗi luôn tồn tại không quá 63 số nguyên

thỏa mãn điều kiện B. . ? D. .
A. . C. .
Lời giải: Chọn C

Đặt (coi là tham số).

Điều kiện xác định của là : .

Do nguyên nên . Cũng vì nguyên nên ta chỉ cần xét trên nửa khoảng .

Ta có :
Ta có bảng biến thiên của hàm số

u cầu bài tốn trở thành:

Mà nguyên nên thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
Vậy có 602 giá trị ngun của