SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TRONG GIẢI TOÁN Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM
KHOA TOÁN

----------

NGUYỄN THỊ THANH NGA

SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TRONG GIẢI TOÁN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Quảng Nam, tháng 06 năm 2021

UBND TỈNH QUẢNG NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM

KHOA TOÁN
----------

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Tên đề tài: SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TRONG GIẢI TOÁN
Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Sinh viên thực hiện
NGUYỄN THỊ THANH NGA
MSSV: 2117010133
CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN
KHÓA 2017 – 2021
Cán bộ hướng dẫn
ThS. CAO TRUNG THẠCH

MSCB: ….

Quảng Nam, tháng 06 năm 2021

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nỗ lực, khóa luận tốt nghiệp đã được hoàn thành. Ngoài sự cố
gắng của bản thân, tôi đã nhận được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ cũng như học hỏi
được nhiều kinh nghiệm quý từ phía các thầy cơ giáo trường Đại học Quảng Nam.
Lời đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo
ThS. Cao Trung Thạch là người đã giúp đỡ tơi tận tình trong suốt thời gian vừa qua để
tơi có thể hồn thành khóa luận tốt nghiệp của mình.
Bên cạnh đó, tơi cũng xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cơ giáo
trong khoa Tốn đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và
hồn thành khóa luận tốt nghiệp.
Cuối cùng, tôi xin gửi đến những người thân yêu và bạn bè một lời cảm ơn chân thành
vì mọi người đã ln khích lệ, động viên tơi trong suốt q trình thực hiện đề tài này.
Mặc dù bản thân đã rất cố gắng tìm tịi và tiếp nhận những ý kiến đóng góp của
thầy giáo hướng dẫn nhưng khơng thể tránh khỏi những thiếu sót cần bổ sung và chỉnh
sửa. Kính mong nhận được các lời nhận xét, góp ý của q thầy cơ giáo và các bạn để
khóa luận này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

Quảng Nam, tháng 06 năm 2021
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thanh Nga

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan: Khoá luận tốt nghiệp với đề tài “Sử dụng hàm đặc trưng trong
giải toán ở trường THPT” là cơng trình nghiên cứu của cá nhân tơi, khơng sao chép

của bất cứ ai.
Tơi xin chịu mọi trách nhiệm về cơng trình nghiên cứu của riêng mình!

Quảng Nam, tháng 06 năm 2021
Người cam đoan

Nguyễn Thị Thanh Nga

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU.....................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .....................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ...............................................................................................1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu............................................................................2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ..............................................................................................2
5. Phương pháp nghiên cứu .........................................................................................2
6. Cấu trúc luận văn.....................................................................................................2
Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .................................................................................3
1.1. Khái niệm hàm số..................................................................................................3
1.2. Tính đơn điệu của hàm số......................................................................................3
1.3. Cực trị của hàm số.................................................................................................4
1.4. Định lý Lagrange...................................................................................................6
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ............................................................................................7
Chương 2. SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Ở TRƯỜNG THPT......................................................................................................8
2.1. Sử dụng hàm đặc trưng trong chứng minh bất đẳng thức.......................................8
2.1.1. Đề xuất quy trình ...............................................................................................8
2.1.2. Ví dụ áp dụng.....................................................................................................8
2.1.3. Sáng tạo đề toán...............................................................................................12
2.2. Sử dụng hàm đặc trưng trong giải phương trình ..................................................13

2.2.1. Đề xuất quy trình .............................................................................................13
2.2.2. Ví dụ áp dụng...................................................................................................13
2.2.3. Sáng tạo đề tốn...............................................................................................20
2.3. Sử dụng hàm đặc trưng trong giải hệ phương trình..............................................21
2.3.1. Đề xuất quy trình .............................................................................................21
2.3.2. Ví dụ áp dụng...................................................................................................22
2.3.3. Sáng tạo đề toán...............................................................................................30
2.4. Sử dụng hàm đặc trưng trong giải bất phương trình.............................................32
2.4.1. Đề xuất quy trình .............................................................................................32
2.4.2. Ví dụ áp dụng...................................................................................................32

2.4.3. Sáng tạo đề toán...............................................................................................37
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ..........................................................................................39
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ....................................................................................40
TÀI LIỆU THAM KHẢO..........................................................................................41

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Toán học là một bộ môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và
các phép biến đổi. Tốn học là mơn học cơ bản, có vai trị quan trọng trong đời sống và
được ứng dụng rộng rãi trong thực tiễn. Đây là một môn học tương đối khó, mang tính
tư duy cao, địi hỏi người học phải chịu khó tìm tịi, khám phá và say mê nghiên cứu.

Kiến thức về bất đẳng thức, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình
trong chương trình tốn ở bậc trung học phổ thơng là một nội dung rất quan trọng, vì
nó là nền tảng để giúp học sinh tiếp cận đến các nội dung khác trong chương trình tốn
học, vật lý học, hóa học, sinh học của bậc học này.

Hiện nay, giáo dục không ngừng được cải cách và đổi mới. Để kịp với xu hướng

này, rất nhiều u cầu được đặt ra. Một trong số đó chính là làm sao để có được những
phương pháp giải tốn hay, nhanh mà vẫn cho kết quả chính xác. Phương pháp sử
dụng hàm đặc trưng là phương pháp giải toán đáp ứng được những yêu cầu đó.

Trong những năm gần đây, việc sử dụng hàm đặc trưng để giải bất đẳng thức,
phương trình, hệ phương trình và bất phương trình trong các đề thi đại học, cao đẳng
và trong các đề thi học sinh giỏi được sử dụng khá phổ biến. Hàm đặc trưng có thể nói
là sáng kiến tuyệt vời để giải tốn. Thay vì việc tìm cách biến đổi những bất đẳng thức,
phương trình, hệ phương trình và bất phương trình khó, phức tạp đã có cách hay hơn
cả. Đó là sử dụng hàm đặc trưng để đưa hai vế của bài tốn về cùng một “ dạng”. Sau
đó, bài tốn sẽ được chuyển về dạng vô cùng đơn giản để giải quyết. Đây là một
phương pháp toán hay, yêu cầu khả năng tư duy phán đốn của học sinh. Nó giúp cho
việc giải bất đẳng thức, phương trình, hệ phương trình và bất phương trình khơng cịn
đáng sợ nữa. Nó đơn giản hóa biểu thức và đưa về dạng tối giản hơn bao giờ hết.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về hàm đặc trưng để giúp người học phát huy
tối đa tính sáng tạo trong việc tìm ra con đường giải tốn nhanh nhất, hay nhất nhằm
rút ngắn thời gian trong quá trình giải tốn, đem lại kết quả chính xác cao và tạo hứng
thú cho người học nên Tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp
của mình là: “Sử dụng hàm đặc trưng trong giải toán ở trường THPT”.
2. Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu vận dụng hiệu quả hàm số trong chứng minh bất đẳng thức, giải
phương trình, hệ phương trình và bất phương trình ở trường phổ thơng.

1

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về hàm số, bất đẳng thức, phương trình, hệ

phương trình và bất phương trình trong chương trình mơn tốn THPT.
+ Phạm vi nghiên cứu: Khóa luận chỉ tập trung nghiên cứu sử dụng hàm số trong

chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình ở
trường THPT.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Hệ thống các kết quả quan trọng về hàm số thường được sử dụng trong chứng
minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình ở trường
THPT;

+ Sưu tầm, đề xuất các ví dụ đa dạng về chứng minh bất đẳng thức, giải phương
trình, hệ phương trình và bất phương trình mà việc giải chúng liên quan đến tính chất
hàm số.
5. Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận;
+ Phương pháp phân tích, tổng hợp tài liệu;
+ Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Chương 2: Sử dụng hàm đặc trưng trong chứng minh bất đẳng thức, giải phương
trình, hệ phương trình và bất phương trình ở trường THPT.

2

Chương 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. Khái niệm hàm số

Cho D  , D   . Một hàm số xác định trên D là một quy tắc f cho tương ứng
mỗi số x  D với một và duy nhất chỉ một số y   . Ta kí hiệu: f : D  

x  y  f x.

Tập hợp D được gọi là tập xác định (hay miền xác định), x được gọi là biến số,

y0  f  x0  gọi là giá trị của hàm số tại x  x0 .

Một hàm số có thể được cho bằng một cơng thức hay bằng biểu đồ hay bằng bảng.
Lưu ý rằng, khi cho một hàm số bằng cơng thức mà khơng nói rõ tập xác định thì
ta vẫn hiểu tập xác định D là tập hợp các số x   mà các phép tốn trong cơng thức
có nghĩa.
1.2. Tính đơn điệu của hàm số
 Định nghĩa
Hàm số f xác định trên K . Với mọi x1, x2 thuộc K mà x1 > x2

- Nếu f  x1  f  x2  thì f tăng trên K .
- Nếu f  x1  f  x2  thì f giảm trên K .

 Chú ý:
- Hàm số tăng hoặc giảm trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K .
- K có thể là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu:
Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng K .

- Nếu f tăng trên K thì f '  x  0 , với mọi x thuộc K .
- Nếu f giảm trên K thì f '  x  0 , với mọi x thuộc K .

 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng K.

- Nếu f '  x  0 với mọi x thuộc K thì f tăng trên K .
- Nếu f '  x  0 với mọi x thuộc K thì f giảm trên K .
Chú ý: Nếu f '  x  0, x  K (hoặc f '  x  0 , x  K ) và f '  x  0 chỉ tại một số

hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f tăng (hoặc giảm) trên K .

3

1.3. Cực trị của hàm số
 Khái niệm cực trị hàm số:

Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D  D   và x0  D.

+ x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa

điểm x0 sao cho a;b  D và f  x  f  x0  với mọi x a;b \ x0 . Khi đó f  x0 

được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .

+ x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a;b chứa

điểm x0 sao cho a;b  D và f  x  f  x0  với mọi x a;b \ x0 . Khi đó f  x0 

được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .

Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị.
Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại

điểm x0 .

Như vậy, điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D  D   .

 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
- Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu f có đạo hàm tại

điểm x0 thì f '  x0   0.

- Chú ý:
+ Đạo hàm f ' có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 .

+ Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm.
+ Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0,
hoặc tại đó hàm số khơng có đạo hàm.

 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:

- Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a;b chứa điểm x0 và có đạo hàm

trên các khoảng a; x0  và  x0;b . Khi đó:

 f '  x0   0, x  a; x0  thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 . Nói một cách khác,
+ Nếu  '
 f  x0   0, x  x0;b

nếu f '  x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại

điểm x0 .

4

x a x 0 b
 
f 'x f b
f x f a

f  x0 

 f ,  x0   0, x a; x0  thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 . Nói một cách khác,
+ Nếu  ,
 f  x0   0, x  x0;b

nếu f '  x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại

điểm x0 .

x a x 0 b

f , x  

f x
f  x0 

f a f b

- Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng a;b chứa điểm
x0, f '  x0   0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 .
+ Nếu f ''  x0   0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 .
+ Nếu f ''  x0   0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 .

 Quy tắc tìm cực trị:
- Quy tắc 1: Áp dụng định lý 2

+ Tìm f '  x .
+ Tìm các điểm xi i  1, 2,3... tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng

khơng có đạo hàm.

5

+ Xét dấu của f '  x , nếu f '  x đổi dấu khi qua điểm x0 thì hàm số có cực trị tại

điểm x0 .
- Quy tắc 2: Áp dụng định lý 3

+ Tìm f '  x .
+ Tìm các nghiệm xi i  1, 2,3... của phương trình f '  x  0 .
+ Với mỗi xi tính f ''  xi  .
 Nếu f ''  xi   0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi .
 Nếu f ''  xi   0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi .

1.4. Định lý Lagrange

Định lý: Nếu f  x là hàm liên tục trên đoạn a;b , khoảng a;b thì tồn tại
c  a;b sao cho f ' c  f b  f a .

b a

6

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Nội dung chủ yếu của chương này là trình bày về khái niệm hàm số, tính đơn
điệu của hàm số, điều kiện cần và đủ đề hàm số đơn điệu, cực trị của hàm số, điều kiện
cần và đủ để hàm số đạt cực trị và quy tắc tìm cực trị. Từ cơ sở lý thuyết này, ta có thể
giải quyết được nhiều phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và bất đẳng
thức bằng hàm đặc trưng. Sử dụng hàm đặc trưng nhằm hình thành cho học sinh có
một tư duy sáng tạo và linh hoạt khi giải toán.

7

Chương 2. SỬ DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH Ở TRƯỜNG THPT

 Hàm đặc trưng là hàm số đặc trưng cho mỗi bài toán cần giải.
2.1. Sử dụng hàm đặc trưng trong chứng minh bất đẳng thức
2.1.1. Đề xuất quy trình

- Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức đã cho về dạng f a  f b với a,b I .

- Bước 2: Xét hàm số y  f t  trên miền xác định D .

 Tính y' và xét dấu y' .

 Kết luận hàm số y  f t  là hàm số đơn điệu trên D .

- Bước 3: Kết luận bất đẳng thức đã được chứng minh.
2.1.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng:

2ab  3ab   a 2a  3a  . ab

Phân tích: Đối với bài tốn này, ta chỉ cần ln (lơgarít cơ số e) hai vế của bất đẳng thức
sẽ thấy ngay được hàm đặc trưng cần xét, cụ thể như sau:

Bài giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với: a ln 2ab  3ab   a  bln 2a  3a 

 ln 2ab  3ab  ln 2a  3a 
 .

ab a

Xét hàm số đặc trưng f t   ln 2t  3t  với t 0;.

t

Bất đẳng thức trên trở thành: f a  b  f a.

t 2 t t3

' t t t2
Mặt khác, ta có f t   2 ln t t  3 ln t t  :   2  3 2  3  2  3 t  .

2 t 3 t

Do t t  0;1 và t t  0;1 , suy ra f t   0,t  0; .'

2 3 2 3

Do đó hàm số f t  nghịch biến trên khoảng 0; .

Mà a  b  a  f a  b  f a.

8

Vậy 2ab  3ab   a  2a  3b  (đpcm). ab

x x1
 1  1 
Ví dụ 2: Xét số thực x  0. Chứng minh bất đẳng thức: 1   1   .
 x  x1

Phân tích: Tương tự bài 1, ta chỉ cần ln (lơgarít cơ số e) hai vế của bất đẳng thức sẽ

thấy ngay được hàm đặc trưng cần xét, cụ thể như sau:

Bài giải

 1  1
Bất đẳng thức đã cho tương đương với: x ln 1     x 1ln 1 .
 x  x 1

 1

Xét hàm số đặc trưng f t   t ln 1 ,t  0.

 t

Ta có f ' t   ln t 1  ln t  1 .

t 1

Xét hàm số g t   ln t với t  0 , do g t  liên tục trên t;t 1 và có đạo hàm trên

t;t 1 nên theo định lý Lagrange tồn tại c  t;t 1 sao cho:

ln t 1  ln t  g' c  1  1  f ' t   ln t  1  ln t  1  0,t  0.
t 1  t c t 1 t 1

Do đó hàm số f t  đồng biến trên 0; .

Mà x  x 1 f  x  f  x 1.

x x1
 1  1 
Vậy 1   1   (đpcm).
 x   x 1

Ví dụ 3: Xét các số thực a,b thỏa mãn a  b. Chứng minh bất đẳng thức:

2015b a  a2 1  2015a b  b2 1.

Phân tích: Đối với bài tốn này, ta chỉ cần ln (lơgarít cơ số e) hai vế của bất đẳng thức
và chuyển vế sao cho thích hợp sẽ thấy ngay được hàm đặc trưng cần xét, cụ thể như
sau:

Bài giải

Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

ln a  a2 1  a ln 2015  ln b  b2 1  b ln 2015.

Xét hàm số f t  ln t  t2 1  t ln 2015,t  .

9

Ta có f ' t   1  ln 2015  1 ln 2015  0,t  .

1 t2

Do đó hàm số f t  nghịch biến trên .

Mà a  b  f a  f b.

Suy ra 2015b a  a2 1  2015a b  b2 1.

Đẳng thức xảy ra khi a  b.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c ta ln có:

a3 b3 c3 a2 b2 c2
3 3  3 3  3 3  2 2  2 2  2 2.
b c c a a b b c c a a b

Phân tích: Để làm xuất hiện hàm đặc trưng đối với bất đẳng thức trên ta chỉ cần biến

đổi một cách đơn giản như sau:

Bài giải

Với mọi số dương a,b,c và s  t  0 ta chứng minh:

as bs cs at bt ct
s s  s s  s s  t t  t t  t t.
b c c a a b b c c a a b

ax bx cx

Thật vậy, xét hàm số f  x  x x  x x  x x , x  0.

b c c a a b

' xx x x 2cx  ax  bx
Ta có: f  x  a b a  b ln a  ln b 2  0.
2
bx  cx ax  cx
sym

Do đó hàm số f  x đồng biến trên 0;  , mà s  t  0  f s  f t  , hay

as bs cs at bt ct
s s  s s  s s  t t  t t  t t.
b c c a a b b c c a a b

Đẳng thức xảy ra khi a  b  c.

Do đó (áp dụng với s  3,t  2 ):

a3 b3 c3 a2 b2 c2
3 3  3 3  3 3  2 2  2 2  2 2.
b c c a a b b c c a a b

Dấu "  " xảy ra khi a  b  c.

1 y x  x, y 0,1
 ln  ln   4; .
Ví dụ 5: Chứng minh bất đẳng thức
y  x  1 y 1 x  x  y

10

Phân tích: Để chứng minh bất đẳng thức trên ta phải xét hai trường hợp y  x và

y  x sau đó biến đổi ta sẽ thấy xuất hiện hàm đặc trưng cần xét, cụ thể:

Bài giải
Xét hai trường hợp:

+ Nếu y  x thì 1  ln y  ln x  4 y  x

1 y 1 x

y x
 ln  4 y  ln  4x .

1 y 1 x

+ Nếu y  x thì 1  ln y  ln x  4 y  x

1 y 1 x

y x
 ln  4 y  ln  4x.

1 y 1 x

Xét hàm đặc trưng f t   ln t  4t,t  0,1.

1 t

2
Ta có f ' t   1  4  2t 1  0,t  0,1 suy ra hàm số f t  đồng biến trên
t 1 t  t 1 t 

0,1.

Mặt khác f t  liên tục trên 0,1.

Suy ra f  y  f  x nếu y  x và f  y  f  x nếu y  x .

Vậy 1 y x  x, y 0,1
 ln  ln   4;
y  x  1 y 1 x  x  y (đpcm).

Ví dụ 6: Chứng minh rằng với mọi a,b   , ta có ab  a b
.

1 ab 1 a 1 b

Phân tích: Nhìn vào bài tốn, ta thấy ngay hàm đặc trưng cần xét là: f t   t .

1 t

Bài giải

Xét hàm số f t   t trên khoảng 0;.

1 t

Ta có f t  ' 1 2  0,t  0.

1 t 

Do đó hàm số f t  đồng biến trên khoảng 0;.

11

Từ đó suy ra f  a  b   f  a  b  với mọi a,b  . (1)

Mặt khác: ab a b a b
    . (2)

1 a  b 1 a  b 1 a  b 1 a 1 b

Từ (1) và (2) ta có: ab  a  b (đpcm).

1 a b 1 a 1 b

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Chứng minh bất đẳng thức: ax  bx   y a y  by  .x

2. Chứng minh bất đẳng thức: asin x  bsin x   x  ax  bx  ,x  0; . sin x

3. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  0 .

Chứng minh rằng: 3 xy  3 yz  3 zx  6x2  6 y2  6z2  3.

2.1.3. Sáng tạo đề toán

ln t ' 1  ln t 1  ln e
Ví dụ 1: Xét f t   có f t   2  2  0  f t  nghịch biến trên
t t t

e; . Sau đó thay vì chứng minh một bất đẳng thức quen thuộc nào đó, chẳng hạn:

a  b. (1)

Ta sẽ chuyển yêu cầu bài toán qua f  x .

(1)  f a  f b  ln a  ln b  b ln a  a ln b  ln ab   ln ba   ab  ba.

ab
Ta được bài toán: Chứng minh bất đẳng thức: ab  ba ,a  b  e.

Ví dụ 2: Xét f t   ln1 ct  (Với c: hằng số) có

t

' ct ln ct  1 ct ln 1 ct 
f t   0  f t  nghịch biến trên 0; . Sau đó thay vì
t2 1 ct 

chứng minh một bất đẳng thức quen thuộc nào đó, chẳng hạn: 1 4a  1 4b. (2)

(2)  f 1 4a   f 1 4b 

ln  1 4a  ln  1 4b   ln 1 4a b  ln 1 4b a  1 4a b  1 4b a
a b

ab ba b a
1 4  1 4   a 1   b 1 
 a   b   2  a  2  b  .
 2   2   2  2

12

b a
 a 1  b 1
Ta được bài toán: Chứng minh bất đẳng thức:  2  a    2  b  , a  b  0.
 2  2

2.2. Sử dụng hàm đặc trưng trong giải phương trình

2.2.1. Đề xuất quy trình

- Bước 1: Biến đổi phương trình về dạng: f u  f v,u,v  D , trong đó

u  ux,v  vx.

- Bước 2: Xét hàm số y  f t  trên miền xác định D .

 Tính y' và xét dấu y' .

 Kết luận hàm số y  f t  là hàm số đơn điệu trên D .

- Bước 3: Kết luận.

 Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi u  v .

 Giải phương trình u  v .
 Kết luận nghiệm của phương trình đã cho.
2.2.2. Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1: Giải phương trình 3 6x  5  x3  5x  5  x  .

Phân tích: Nếu cộng 6x  5 vào 2 vế của phương trình, ta sẽ thấy ngay hàm đặc trưng
cần xét. Cụ thể như sau:

Bài giải
TXĐ: D   .
3 6x  5  x3  5x  5
 6x  5  3 6x  5  x3  x. (1)

Xét hàm số f t   t3  t với t  .

Ta có f ' t   3t2 1  0,t   suy ra hàm số f t  đồng biến trên .

Mặt khác f t  là hàm liên tục trên .

Do đó phương trình (1)  f  3 6x  5   f  x

13

3 6x5  x

 3  6x  5  0

x

 x 1  2  x  5  0

x

x 1

 x 1 21.


 2

 1  21 
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  1; .
2 


Ví dụ 2: Giải phương trình 8x2  2 x   x  6 5  x  0 x   (2).

Phân tích: Đối với bài tốn này, ta chuyển  x  6 5  x qua vế phải của phương

trình, sau đó phân tích hai vế ta sẽ thấy hàm đặc trưng xuất hiện, cụ thể như sau:
Bài giải

Điều kiện: x  5.

2  8x2  2 x  6  x 5  x

 2x2 1 2x   5  x 2 1 5  x. (2a) 

Xét hàm số f t   t2 1t với t  .

Ta có f ' t   3t2 1,t   suy ra hàm số đồng biến trên .

Mặt khác f t  là hàm liên tục trên .

Do đó 2a  f 2x  f  5  x 

0  x  5

 2x  5 x   2  x 1.

4x  x  5  0

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  1.

Ví dụ 3: Giải phương trình 2x3  x2  3 2x3  3x  1  3x 1 3 x2  2  x  .

Phân tích: Để làm xuất hiện hàm đặc trưng, một cách đơn giản ta chỉ cần chuyển x2

qua vế phải, chuyển 3x qua vế trái thì sẽ thấy ngay hàm đặc trưng cần xét, cụ thể như
sau:

14