SỬ DỤNG HÀM NHIỀU BIẾN TRONG BÀI TOÁN THỐNG KÊ docx

1
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp
xếp thứ tự, ký hiệu (x
1
, x
2
,… x
n
) (x
i
 R, i = 1, n)
được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n -
chiều được ký hiệu là R
n
.
R
n
= {x = (x
1
, x
2
,… x
n
): x
i
 R, i = 1, n}
Trong đó x
i
là toạ độ thứ i của điểm x.

2
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Khoảng cách 2 điểm: x = (x
1
,x
2
,… x
n
), y = (y
1
,y
2
,… y
n
)
 R
n
:



n
1
i
2
ii
)yx()y,x(d
Một số tính chất của d:
a) d(x,y)  0; d(x,y) = 0  x
i

= y
i
, I  x = y
b) d(x,y) = d(y,x)
c) d(x,y)  d(x,z) + d (z,y)
3
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Điểm biên: Điểm x
0
 R
n
được gọi là điểm biên của D
 R
n
nếu mọi lân cận của x
0
đều chứa ít nhất các
điểm x, y: x  D, y  D. Tập hợp mọi điểm biên của D
được gọi là biên của D.
Lân cận: Cho x
0
R
n
và số r > 0. Tập S(x
0
, r) = {x 
R
n
: d(x,x
0

) < r} được gọi là một lân cận của x
0
.
Điểm trong: Điểm x
0
R
n
được gọi là điểm trong của
D  R
n
nếu D chứa một lân cận của x
0
.
Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D.
Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D.
4
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Hàm 2 biến: D  R
2
, một ánh xạ f: D  R, được gọi là
hàm số 2 biến. Ký hiệu:
)
y
,
x
(
f
z
)
y

,
x
(
:
f


• D: miền xác định
• f(D) = {zD: z = f(x,y), (x,y)  D} gọi là miền giá trị
Ví dụ: Tìm miền xác định:
z = 2x – 3y +5
z = ln(x + y -1)
22
yx1z 
Hàm n biến: D  R
n
, một ánh xạ f: D  R được gọi là
hàm số n biến. Ký hiệu:
)
x
,
x
,
x
(
f
z
)
x
,

x
,
x
(
:
f
n
2
1
n
2
1


5
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận
M
0
(x
0
,y
0
), có thể không xác định tại M
0
. Số thực L được
gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M
0
(x

0
,y
0
), nếu:
 > 0,  > 0: d(M,M
0
) <  => f(M) – L < 
2
0
2
0
0
)y-(y)x-(x)Md(M, 
L
)
M
(
f
lim
0
MM


L
)
y
,
x
(
f

lim
)y,x()y,x(
0
0


L
)
y
,
x
(
f
lim
0
0
yy
xx



6
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
• Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như
đối với hàm số một biến.
• Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với
hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến.
Ví dụ:
22
)0,0()y,x(

yx
xy
lim


22
2
2
)0,0()y,x(
yx
)yxsin(
lim



7
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x
0
,y
0
) nếu
)
y
,
x
(
f
)
y

,
x
(
f
lim
00
)y,x()y,x(
0
0


Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị
chặn trên D  R
2
thì:
• Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M
• f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D
Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục
của hàm số đối với hàm n biến (n≥3)
8
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
3. ĐẠO HÀM RIÊNG
Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D,
M
0
(x
0
,y
0
)  D. Nếu cho y = y

0
là hằng số, hàm số một
biến f(x,y
0
) có đạo hàm tại x = x
0
, được gọi là đạo hàm
riêng của f đối với x tại M
0
. Ký hiệu:
)y,x(
x
z
),y,x(
x
f
,)y,x(f
000000
'
x




Đặt 
x
f = f(x
0
+ x, y
0

)-f(x
0
,y
0
): Số gia riêng của f tại M
0
.
x
f
limf
x
0
x
'
x





9
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f
theo biến y.
y
f
limf
y
0y
'

y




Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến
số (n3).
Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng:
4234
y2yx5xz 
y
x
u

10
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo
hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp
1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn
tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2.
)y,x(f
x
f
x
f
x
''
xx
2
2















)y,x(f
xy
f
x
f
y
''
yx
2















)y,x(f
yx
f
y
f
x
''
xy
2















)y,x(f
yy
f
y
f
y
''
yy
2














Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,…
11
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M
0
hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại
M

0
thì f
xy
= f
yx
tại M
0
.
Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng
cấp cao hơn của n biến số (n3)
12
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm
số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có
các đạo hàm riêng u
x
, u
y
, v
x
, v
y
thì tồn tại các đạo hàm
riêng:
x
v
v
f
x
u

u
f
x
z












y
v
v
f
y
u
u
f
y
z













Ví dụ: Tính z = e
u
cosv, u = xy, v = x/y
13
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
3. ĐẠO HÀM HÀM ẨN
Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình
F(x,y) = 0
Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x  (A,B)
thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0.
Ví dụ: xy – e
x
+ e
y
= 0
14
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến:
y
x
F
F

'y 
Ví dụ: Tính y’ nếu:
F(x,y) = x
3
+ y
3
– 3axy = 0
F(x,y) = xy – e
x
+ e
y
= 0
15
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình
F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao
cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của
f, thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z) = 0.
Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến:
z
x
F
F
x
z



z
y

F
F
y
z



Ví dụ: tính z
x
, z
y
nếu xyz = cos(x+y+z)
16
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
4. CỰC TRỊ
Cực trị tự do:
Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại
điểm M
0
(x
0
,y
0
) nếu tồn tại một lân cận  của M
0
sao cho
f(M)  f(M
0
), M   (f(M)  f(M
0

), M  ). F(M
0
) gọi
chung là cực trị.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x
2
+ y
2
Điều kiện cần để có cực trị:
Nếu f(x
0
,y
0
) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại
(x
0
,y
0
) thì: f’
x
(x
0
,y
0
) = 0, f’
y
(x
0
,y
0

) = 0
17
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại
những điểm thỏa z
x
= z
y
0, ta gọi định thức Hessian:
Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x
2
+ y
2
+ 4x – 2y + 8,
z = x
3
+ y
3
yyyx
xyxx
zz
z
z
H 
Đặt:
yyyx
xyxx
2 ,xx1
zz
z

z
HzH 
• Nếu |H
1
|>0, |H
2
|>0: z đạt cực tiểu
• Nếu |H
1
|<0, |H
2
|>0: z đạt cực đại
18
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số y = f(x
1
,x
2
…x
n
).
Tại những điểm thỏa f
x1
= f
x1
= … f
x1
= 0, giả sử tại đó
tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặt
Ta có định thức Hessian:

ji
xxij
f
f

nn
2
n
1
n
n22221
n11211
n
2221
1211
2111
f ff

f ff
f ff
H,
ff
ff
H,fH 
• Nếu |H
1
|>0, |H
2
|>0,… |H
n

|>0 : z đạt cực tiểu
• Nếu |H
1
|<0, |H
2
|>0,… (-1)
n
|H
n
|>0 : z đạt cực đại
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số y = x
3
+ y
2
+ 2z
2
-3x - 2y – 4z
19
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Cực trị có điều kiện:
Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện
g(x,y) = c gọi là cực trị có điều kiện.










0)y,x(gcL
0gfL
0gfL
yyy
xxx
 là nhân tử Lagrange, điểm M
0
(x
0
,y
0
) của hệ trên gọi là
điểm dừng.
Định lý: Nếu M
0
(x
0
,y
0
) là cực trị có điều kiện trên.
Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với
g’
x
,g’
y
không đồng thời bằng 0 thì:
20
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1.

22
yx1z 
Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x
1
,x
2
,…x
n
) với điều kiện
g(x
1
,x
2
,…x
n
) = c. Hàm Lagrange L = f + (c-g)


















0gcL
0gfL

0gfL
0gfL
nnn
222
111
21
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại
điểm dừng M
0
, xét định thức Hessian đóng:
yyyxy
xyxxx
yx
LLg
LLg
gg0
H 
• Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện
• Nếu |H|<0: f đạt cực đại có điều kiện
Ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số:
f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x
2
+ y

2
= 1
Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện:
22
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x
1
,x
2
,…x
n
) với điều
kiện g(x
1
,x
2
,…x
n
) = c. Hàm Lagrange: L = f + (c-g). Xét
tại điểm dừng M
0
(x
0
,y
0
), ta xét định thức Hessian đóng:
nn
2
n
1

n
n
n222212
n112111
n21
L LLg

L LLg
L LLg
g gg0
H 
• Nếu |H
2
|<0, |H
3
|<0,… |H
n
|<0 : z đạt cực tiểu
• Nếu |H
2
|>0, |H
3
|<0,… (-1)
n
|H
n
|>0 : z đạt cực đại
23
C3. HÀM NHIỀU BIẾN
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z

với điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 1