10 toán số học đồng dư buổi 3

THPT chuyên Nguyễn Trãi Giáo viên: Tô Hoàng Hiệp

Buổi 3.

THẶNG DƯ NGHỊCH ĐẢO.

I. Khái niệm

Định lý. Cho số nguyên tố và là một số nguyên tố cùng nhau với . Khi đó luôn tồn tại số nguyên tố sao cho:

≡ 1( )

Số nguyên này được gọi là thặng dư nghịch đảo của a.

Kí hiệu: thặng dư nghịch đảo của có thể kí hiệu là 1

hoặc .

a

Ví dụ 1. Tìm thặng dư nghịch đảo của 3, 4, 5, 6, 12, 13 mod 7.

Chi theo nghĩa đồng dư. Việc tồn tại thặng dư nghịch đảo cho phép ta chia hai dồng dư theo mod p.

Nếu ≢ 0 ( ) thì a  a.b1 mod p .

b

2 3 20
Ví dụ 2. Tính mod 7; mod 7; mod 7 .
3 8 46

Lưu ý: thặng dư nghịch đảo không phải lúc nào cũng tồn tại. Thật vật, bạn hãy thử tìm thặng dư nghịch đảo của 2 mod 6.

II. Hiểu thặng dư nghịch đảo như hiểu phân số.

Ví dụ 3. Xét tổng hai phân số

2 3 25


3 8 24

Giờ ta xét tổng này theo nghĩa mô dun 7

VT  2  3  2.31  3.81  3  3  6mod 7 ; VP  25  4  4.31  6 mod 7 .
38 24 3

2 3 25

Do đó theo nghĩa modun 7 ta có thể viết   mod 7 .

3 8 24

Mệnh đề 1. Chp là số nguyên tố và , ≢ 0 ( ). Khi đó với mọi số nguyên , ta có:

a  c  a.b1  c.d 1  ad  bc.bd 1  ad  bc mod p
bd bd

Chứng minh:

( . + . ) = .( . )+ .( . )≡ + ( )

Mệnh đề 2. . Chp là số nguyên tố và , ≢ 0 ( ). Khi đó với mọi số nguyên , ta có:

1

THPT chuyên Nguyễn Trãi Giáo viên: Tơ Hồng Hiệp

a . c  a.b1 .c.d 1   ac.bd 1  ac mod p
bd bd

Chứng minh:

.. ≡ . . ( . ). ( . ) ≡ ( )

.( ) . ≡ ( )

Ví dụ 3. Xét theo mod 7 tính:

23 2 10 25 25 8
a)  b) . c)  d) .

34 58 39 48 12

a
Ví dụ 4. Thuật tốn giúp tính nhanh (mod p) .

b

Áp dụng thuật tốn hãy tính 5 9

7 b) mod13 c) mod13

a) mod13 11 28

10

III. Bài tập

Bài 1. Tìm thặng dư nghịch đảo của {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} mod 11.

Bài 2. Chứng minh rằng nếu ≢ 0 ( ) và là số nguyên tố. Chứng minh ≡ ( ).

Bài 3. Nếu là số nguyên, là số tự nhiên và là số nguyên tố. Chứng minh rằng ( ) ≡ ( ) ( ).

Áp dụng tìm nghịch đảo của 256 mod 47.

Bài 4. Với là số nguyên tố lẻ. Tìm lớp các số nguyên a mod p sao cho là nghịch đảo của chính nó mod p.

Bài 5. Định lý Wilson: Với là số nguyên tố. Chứng minh ( − 1)! ≡ −1( ).

Bài 6. Với mọi số tự nhiên , tacó: ( − 1)! ≡ −1 ( ) khi và chỉ khi là số nguyên tố.

Bài 6’ . Với mọi số tự nhiên , thỏa mãn: ( − 2)! ≡ 1 ( ). Chứng minh: là số nguyên tố.

Bài 7.

a) Tìm số dư khi chia 568! cho 569.

b) Tìm số dư khi chia 225! cho 227.

c) Chứng minh 63! ≡ −1 ( 71)

Bài 8. Cho là số nguyên tố. Chứng minh số dư khi chia ( − 1)! cho ( − 1) là − 1.

Bài 9. a) Với là số nguyên tố. Chứng minh {1 , 2 , … , ( − 1) } là một hệ thặng dư thu gọn mod p.

2

THPT chuyên Nguyễn Trãi Giáo viên: Tơ Hồng Hiệp

b) Với là số nguyên tố. Chứng minh 1  1  0mod p

i pi

11 1 2 2 2
c) Chứng minh 2  2  ...  2  1  2  ...   p 1 mod p .
12  p 1

d) (Định lý Wolstenholme)

11 1m
Cho > 3 là số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu 1   ...  (trong đó , là hai số nguyên tố cùng nhau)

23 p 1 n

thì ≡ 0( ).

Bài 10. Cho , là các số tự nhiên thỏa mãn

a 111 11 . Chứng minh ≡ 0( 1979). (Gợi ý: 1979 là số nguyên tố).
 1    ... 

b 234 1318 1319

11 1m
Bài 11. Cho > 3 là số nguyên tố. Chứng minh rằng nếu 1 2  2  ... 2  (trong đó , là hai số nguyên tố
23  p 1 n

cùng nhau) thì ≡ 0( ).

Bài 12. Cho số nguyên tố > 3. CMR: 1 + 2 + ⋯ + ( − 1) ≡ + ( − 1)! ( ).

Bài 13. Tìm điều kiện của số nguyên tố để [1.3.5 … ( − 2)] ≡ 1 ( ).

Bài 13’. Chứng minh (135  2009)2 1  0 mod 2011 . Biết 2011 là số nguyên tố.

2

 

Bài 14. Tìm điều kiện của số nguyên tố để:   r   1 mod p .

 1r p1 
 2

Bài 14’. Cho là số nguyên tố lẻ. Đặt = . Chứng minh: ( !) + (−1) ≡ 0 ( ).

Bài 15. Cho là số nguyên tố lẻ. Chứng minh 4( − 3)! + 2 ≡ 0 ( ).

Bài 16. Cho nguyên tố. Chứng minh ( − )!. ( − 1)! ≡ (−1) ( ).

Bài 17. a) Chứng minh rằng nếu là số nguyên tố thì ≡ (−1) ( ) ∀ = 1, − 1.

b) Cho là số nguyên tố và − 1 = + ( , ∈ ℕ). Khi đó chứng minh !. ! ≡ (−1) ( ).

Bài 18. Biết , + 2 đều là số nguyên tố. Chứng minh 4[( p 1)!1]  p  0 (mod p( p  2)) .

Bài 19. Tìm tất cả các số nguyên tố thỏa mãn ( − 1)! = − 1 với là số tự nhiên nào đó.

3