Bài tập lớn Vật lý 1: Vẽ quỹ đạo của electron trong điện từ trường tĩnh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.
HCM

KHOA ĐIỆN- ĐIỆN TỬ

BÁO CÁO
BÀI TẬP LỚN VẬT LÝ 1
Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Hoàng Giang
Tên nhóm: VL1- L24 - 7

Chủ đề 6

MỤC LỤC

Danh sách thành viên............................................................................................2
Nội dung câu hỏi......................................................................................................3
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN...................................4
BÀI LÀM CỦA NHÓM......................................................................................5

LỜI GIỚI THIỆU..............................................................................................5
I. Yêu cầu:..............................................................................................................6
II. Cơ sở lí thuyết và thuật tốn...................................................................6

1. Điện tích trong điện trường...............................................................6
2. Hạt mang điện trong từ trường........................................................7
3. Hạt mang điện chuyển động trong điện từ trường...............9
4. Thuật tốn:................................................................................................11
CODE CỦA NHĨM :.....................................................................................12
IV. Ví dụ của nhóm..........................................................................................13

1

Danh sách thành viên

Tên MSSV %Công việc
Bùi Sỹ Ngọc Anh 1912553 14.29%
Nguyễn Xuân Chủ 1912797 14.29%
Nguyễn Thế Hoàng 1913445 14.29%
Nguyễn Tấn Lộc 1914023 14.29%
Phan Anh Minh 1914174 14.29%
Trần Ngọc Thiện Nhân 1914459 14.29%
Trương Hữu Đạt 1913082 14.29%

2

Nội dung câu hỏi

Vẽ quỹ đạo của electron trong điện từ trường tĩnh

1. Yêu cầu

Khi electron chuyển động trong điện từ trường đều nó sẽ chịu tác
dụng của lực tĩnh điện ⃗FE và lực Lorenzt ⃗FL :

⃗F=⃗FE+ ⃗FL=q ⃗E+q ⃗v×⃗B

Khi đó ta có thể xác định gia tốc của electron. Nếu biết được vị trí
và vận tốc ban đầu ta có thể xác định được phương trình chuyển động
dạng động học của electron x(t), y(t) và z(t). Qua đó, khi biểu điễn
f(x,y,z)=const, ta có phương trình quỹ đạo.

Bài tập này yêu cầu sinh viên sử dụng Matlab để tính tốn và biểu
diễn đồ thị của quỹ đạo của electron trong điện từ trường tĩnh khi biết
trước vị trí và vận tốc ban đầu của nó.

2. Điều kiện

1) Sinh viên cần có kiến thức về lập trình cơ bản trong MATLAB.
2) Tìm hiểu các lệnh Matlab liên quan symbolic và đồ họa.

3. Nhiệm vụ

Xây dựng chương trình Matlab:
1) Nhập dữ liệu vị trí, vận tốc ban đầu của electron và vectơ cảm
ứng từ B⃗=(0,0,1) vectơ cường độ điện trường ⃗E của điện từ trường
tĩnh.
2) Dùng các phép tốn hình thức (symbolic) để tính lực điện từ tác
dụng lên electron, từ đó suy ra gia tốc, vận tốc và phương trình chuyển
động của electron.
3) Vẽ đồ thị quỹ đạo của electron.

3

Chú ý: Sinh viên có thể dùng các cách tiếp cận khác không dùng
symbolic.

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

4

BÀI LÀM CỦA NHÓM

LỜI GIỚI THIỆU

Cho đến hiện nay, người ta biết có 4 dạng tương tác cơ bản trong tự
nhiên: tương tác điện từ, tương tác hấp dẫn, tương tác mạnh và tương
tác yếu. Thế nhưng, trong đời sống thực tế và kĩ thuật tương tác điện từ
giữ vai trò chủ yếu. Tương tác điện từ thông qua trường điện từ. Trường
điện từ là dạng vật chất bao quanh các điện tích đứng yên hoặc chuyển
động. Trường điện và trường từ chỉ là hai mặt biểu hiện của một trường
thống nhất: trường điện từ. Thế nhưng, 2 môn khoa học Điện và Từ của
2 trường này lại phát triển độc lập qua nhiều thế kỉ, mãi đến năm 1820
khi HansChristitanOersted tìm thấy mối lien hệ giữa các hiện tượng
trong các mơn này (dịng điên trong dây dẫn có thể làm lệch kim nam
châm trong địa bàn) thì 2 bộ phân này bắt đầu nhập lại với nhau.

Điện trường và từ trường có liên hệ mật thiết, mối liên hệ có thể biểu
diễn thơng qua phương trình Maxwell - Faraday và phương trình
Maxwell - Ampere. Maxell cùng các phương trình về điện từ trường đã
đóng vai trị quan trọng giống như Newton với các định luật chuyển
động của cơ học. Khi khảo sát một điện tích cần đặt điện tích trong mối
tương quan của cả 2 trường: điện và từ.

Ngày nay các phương trình Maxwell đã được sử dụng trên khắp
thế giới để giải quyết hàng loạt các bài toán khoa học và kĩ thuật.

5

I. Yêu cầu:

- Khi electron chuyển động trong điện từ trường đều nó sẽ chịu tác

dụng của lực tĩnh điện F e và lực Loenzt F l:

F = q. E + q.[ v , B ]

- Xác định gia tốc của electron. Nếu biết được vị trí và vận tốc ban

đầu ta có thể xác định được phương trình chuyển động dạng động học

của electron x(t), y(t), z(t). Qua đó, khi biểu diễn f(x,y,z)=const, ta có

phương trình quỹ đạo.

- Yêu cầu sinh viên sử dụng matlab để tính tốn và biểu diễn đồ thị

của quỹ đạo của electron trong điện từ trường tĩnh khi biết trước vị trí và

vận tốc ban đầu của nó.

II. Cơ sở lí thuyết và thuật tốn

1. Điện tích trong điện trường

Giả sử, có một điện tích dương q được đưa vào điện trường. Khi đó

trường sẽ tác dụng lên điện tích dương đó một lực F = q. E , lực có

hướng dọc đường sức. Nếu ngồi lực điện khơng có các lực khác tác

dụng lên nó, thì hạt mang điện sẽ chuyển động nhanh dẫn dọc theo đường

sức. .

Đối với các hạt mang điện âm thì điện trường tác dụng lên nó một

lực khơng đổi, nhưng có hướng ngược với đường sức. Bởi vậy, các hạt

mang điện tích âm cũng chuyển động nhanh dần đều nhưng theo chiều

ngược với chiều chuyển động của hạt mang điện tích dương.

Giả sử rằng, có một điện tích dương q bay vào điện trường giữa hai
bản song song của tụ điện, nghĩa là đường sức vuông góc với hướng bay.
Trọng lượng P của hạt mang điện và lực điện F =q. E , cùng tác dụng lên
điện tích này. Cả hai lực đều hướng thẳng đứng xuống phía dưới. Vì vậy
hạt chuyển động nhanh dần đều theo phương thẳng đứng hướng xuống
phía dưới. Khơng có lực nào tác dụng lên hạt theo phương nằm ngang và
bởi vậy nó chuyển động đều theo phương này. Chuyển động đó hồn
tồn giống như chuyển động của vật thể bị ném theo phương nằm ngang
trong trường hấp dẫn. Bởi vậy, quỹ đạo chuyển động của hạt mang điện
tích dương trong điện trường không đổi và đồng nhất là đường parabol.

6

Nếu khơng tính đến trọng lượng của hạt, thì hạt mang điện tích âm trong
trường sẽ chuyển động theo quỹ đạo parabol. Bởi vì lực tác dụng lên hạt mang
điện tích âm hướng ngược với đường sức. Nếu tính đến trọng lượng của điện tích,
thì hạt mang điện tích âm có thể chuyển động hoặc theo đường parabol lồi phía
trên, hoặc theo đường parabol lồi xuống phía dưới. Điều đó phụ thuộc vào trọng
lượng hay lực điện nào lớn hơn. Nếu hai lực này bằng nhau về độ lớn thì nói
chung hạt sẽ khơng lệch về phía trên cũng như về phía dưới. Nghĩa là điện tích

âm sẽ chuyển động thẳng đều theo phương nằm ngang với vận tốc bằng vận tốc
ban đầu của điện tích khi bay vào điện trường.

Hiện tượng chuyển động của các hạt mang điện trong điện trường đã được
người ta sử dụng vào việc chế tạo các ống tia điện tử. Chuyển động của hạt mang
điện bay vào điện trường có hướng lập thành một góc với các đường sức cũng
được nghiên cứu một cách tương tự. Và trong trường hợp này quỹ đạo của hạt
mang điện là một đường parabol hay một nhánh parabol. Giống như chuyển động
của vật thể được ném lên theo phương xiên góc trong trường hấp dẫn. Chúng ta
hy khảo sát sự chuyển động của điện tích trong điện trường của điện tích khác, mà
coi điện tích này là bất động. Vì khoảng cách giữa các hạt thay đổi nên lực tương
tác giữa chúng cũng thay đổi. Khi hạt ở xa nhau, lực tương tác nhỏ và quỹ đạo
cong ít. Khi hạt chuyển động bay lại gần hạt bất động thì lực tương tác tăng lên,
và quỹ đạo bị cong nhiều. Khi hạt chuyển động đi xa thì quỹ đạo lại bị cong ít.
Quỹ đạo của hạt là đường hypebol.

2. Hạt mang điện trong từ trường
Chuyển động của hạt mang điện trong từ trường phức tạp hơn nhiều so với
trong điện trường. Nếu điện tích đứng n, thì từ trường hồn tồn khơng tác

7

dụng lên nó. Nếu điện tích chuyển động với vận tốc v , thì từ trường tác dụng lên
nó một lực gọi là lực Lorentz. Độ lớn của lực Lorentz được tính bằng:

F = q.[ v , B ]
Độ lớn của lực Lorentz không chỉ phụ thuộc vào trị số vận tốc mà còn phụ
thuộc vào hướng của vận tốc.
Hướng của lực Lorentz: vng góc với v và B
Chiều tuân theo quy tắc bàn tay trái.

Xét từ trường đồng nhất và không đổi, quỹ đạo chuyển động của hạt mang
điện khi:
 v ⊥ B: Lực Lorentz không làm thay đổi độ lớn vận tốc mà chỉ làm thay đổi
phương của vecto vận tốc, kết quả là hạt chuyển động tròn đều, bán kính quỹ đạo
là : R= qB mv . Vận tốc hạt càng lớn thì bán kính quỹ đạo càng lớn (từ trường khó làm
cong quỹ đạo của hạt chuyển động nhanh hơn hạt chuyển động chậm).
 Cảm ứng từ càng lớn thì bán kính đường tròn càng nhỏ.
 Khối lượng hạt càng lớn thì bán kính quỹ đạo càng lớn (hạt có khối lượng
lớn thì có qn tính càng lớn và từ trường khó làm cong quỹ đạo của nó).
 Độ lớn điện tích càng lớn thì bán kính quỹ đạo càng nhỏ.
Vì khối lượng của ion lớn hơn khối lượng của electron nhiều lần, nên các
electron quay trong từ trường nhanh hơn nhiều so với các ion.
 (v , B) = α . Khi đó ta phân tích vận tốc của điện tử theo hai phương :
phương dọc theo từ trường ( vx ) và phương vng góc từ trường ( vy ).

Theo phương dọc theo từ trường, hạt chuyển động thẳng đều.
Theo phương vng góc với từ trường, dưới tác dụng của lực Lorentz, hạt
chuyển động theo đường tròn trong mặt phẳng vng góc với từ trường.
Kết quả là hạt sẽ chuyển động theo đường xoắn ốc. Khoảng cách h mà hạt đi
qua dọc theo từ trường sau một vòng trọn vẹn theo đường xoắn ốc được gọi là
bước xoắn:

8

h=v x . 2 πmm qB

Ta thấy, với cùng một giá trị vận tốc vx, bước xoắn của các electron nhỏ hơn
nhiều so với bước xoắn của các ion.

3. Hạt mang điện chuyển động trong điện từ trường.

Trong các điều kiện như thế, tâm vịng trịn xiclơtron( được gọi là tâm chính),
nó bắt đầu dịch chuyển theo hướng vng góc với từ trường. Người ta gọi chuyển
động đó của tâm chính là sự trơi.

Giả sử rằng, ngoài từ trường đồng nhất và khơng đổi cịn có một điện trường
đồng nhất và khơng đổi có hướng vng góc với các đường cảm ứng từ cũng tác
dụng lên hạt, trường này được gọi là trường giao nhau. Giả sử, từ trường vng
góc với mặt phẳng hình vẽ và hướng về phía chúng ta, còn điện trường hướng dọc
theo trục y. Đầu tiên chúng ta hăy đặt một điện tích dương ở gốc tọa độ. Khi đó từ
trường khơng tác dụng lên điện tích, và dưới tác dụng của điện trường thì nó bắt
đầu chuyển động nhanh dần dọc theo trục y. Nhưng từ trường lại tác dụng lên điện
tích chuyển động. Khi vận tốc của hạt nhỏ, nó chủ yếu chuyển động theo hướng
của điện trường, còn từ trường chỉ làm cong một ít quỹ đạo của nó. Dưới tác dụng
của điện trường, cùng với sự tăng lên vận tốc của hạt chính lực Lorentz cũng được
tăng lên làm cho quỹ đạo của hạt càng ngày càng bị xoắn lại. Cuối cùng khi vận
tốc lớn đến nỗi lực Lorentz trội hơn lực tăng tốc của điện trường, thì chuyển động
trở nên chậm dần. sau một khoảng thời gian nào đấy thì hạt dừng lại và tất cả
được lặp lại từ đầu. Sự giải quyết chính xác bài tốn này chỉ ra rằng quỹ đạo của
hạt là đường cong xicloit. Tùy theo hạt có vận tốc như thế nào ở thời điểm ban
đầu và thời gian nó ở điểm đó mà quỹ đạo của nó là đường xiclơit hay đường cong
như hình vẽ:

Người ta gọi những đường cong đó là đường trịn xiclơit. Như vậy chuyển
động của hạt mang điện trong trường giao là phức tạp. Có thể biểu diễn nó dưới

9

dạng sự quay của hạt theo xiclôit và sự chuyển động của tâm chính theo hướng

vng góc vectơ E và B . Đó chính là sự trơi. Trị số vận tốc trơi khơng phụ thuộc
vào trị số điện tích mà chỉ phụ thuộc vào cường độ điện trường và từ trường.

Nhưng điều đó tất nhiên khơng có nghĩa là sự trôi xảy ra với các hạt không mang
điện. Dưới tác dụng của điện trường và từ trường chỉ có những hạt mang điện mới

chuyển động.
Trường hợp tổng quát, khi vận tốc ban đầu của hạt khơng vng góc với từ

trường, quỹ đạo chuyển động là đường xoắn quấn xung quanh đường parabol.
Đối với electron, chuyển đông trôi cùng chiều với hạt mang điện dương.

Nhưng, quỹ đạo chuyển động của các electron tất nhiên sẽ khác với quỹ đạo của
các ion dương. Thứ nhất là các electron quay ngược chiều với ion dương. Thứ hai
là bán kính xiclơtron của electron nhỏ hơn nhiều so với bán kính xiclơtron của ion.

4. Thuật toán:

F =q. E + q.[ v , B ]

r = x0 i + y0 j + z0 k

v 0 = v0x i + v0y j + v0z k

B = (0 ,0 ,1 )

E=( , , )

(| | | | | [v ,B → →]= v0y
0

v0z ; v0z v0 x ; v0x |)v0 y 0 =( v0 y ;−v0x ; 0)
11 00

10

Fx = max = q.( Ex + v0y ) => ax= q(E x +v 0 y ) m
Fy = may = q.( Ey - v0x ) => ay = q(E y −v 0 x) m
Fz = maz = q.Ez => az = m q E z

Phương trình chuyển động:

x = xo + v0xt + a xt2
y = yo + v0yt + 2
z = zo + z0xt +
a yt2
2

a zt2
2

CODE CỦA NHÓM :

% lorentz - Program to compute the motion of an electron in

% an E and B field using the Euler-Cromer method

clear all; help lorentz; % Clear memory and print header

%@ Initialize variables (e.g., electric and magnetic fields)

r = [0 0 0]; % Initial position

v = input('Enter initial velocity [vx vy vz] (m/s) - ');

B = [0 0 1]; % B field (points in z-direction);

fprintf('Magnetic induction B = [%g %g %g] tesla\n',...

B(1),B(2),B(3));

E = input('Enter electric field, [Ex Ey Ez] (V/m) - ');

dt = 1e-13; % Time step (sec)

mass = 9.10939e-31; % Mass of electron (kg)

q = 1.602177e-19; % Charge of electron (C)

q_over_m = q/mass;

%@ Set up for plotting the electron's motion

clf; figure(gcf); % Clear figure window and bring it forward

plot(0,0,'bo'); % Mark the origin with a blue circle

XMax = 1.0e-11; XMin = -XMax; % Axis limits

YMin = XMin; YMax = XMax;

axis([XMin, XMax, YMin, YMax]);

grid on; % Place a hash grid on the graph

xlabel('x (m)'); % X-axis label

ylabel('y (m)'); % Y-axis label

title('Computing motion ...');

hold on; % Hold the graph on the screen as points are added

11

%@ Loop over time steps to compute the motion
time = 0.0;
nstep = 1000;
for istep=1:nstep

%@ Compute acceleration on electron as a = q/m (E + v X B)
v_cross_B = [ (v(2)*B(3)-B(2)*v(3)) ...

-(v(1)*B(3)-B(1)*v(3)) ...
(v(1)*B(2)-B(1)*v(2)) ];
accel = q_over_m * (E + v_cross_B);

%@ Calculate new position and velocity using Euler-Cromer
v = v + dt*accel; % Update the velocity
r = r + dt*v; % Update the position
time = time + dt; % Increment the time

%@ Add data point to graph; expand axis limits if needed
plot(r(1),r(2),'.','EraseMode','none');
if( r(1) > XMax ) % If position is outside axis limits
XMax = 2*XMax; % then increase limits
axis([XMin, XMax, YMin, YMax]);
elseif( r(1) < XMin ) % If position is outside axis limits
XMin = 2*XMin; % then increase limits
axis([XMin, XMax, YMin, YMax]);
elseif( r(2) > YMax ) % If position is outside axis limits
YMax = 2*YMax; % then increase limits
axis([XMin, XMax, YMin, YMax]);
elseif( r(2) < YMin ) % If position is outside axis limits
YMin = 2*YMin; % then increase limits
axis([XMin, XMax, YMin, YMax]);
end
drawnow; % Redraw the graph

end
% Write final title to show that calculation is complete
title(sprintf('Motion of an electron for %g seconds',time));

IV. Ví dụ của nhóm

Nhap vao vecto van toc, v= [1 2 3]
Nhap vao vecto dien truong, E= [3 2 1] vecto cam ung tu B=[0 0 1]

12

1