Báo cáo nhóm ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận, hệ phương trình tuyến tính

lOMoARcPSD|39150642

1.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

BÁO CÁO NHÓM
HỌC PHẦN: ĐSTT BS6009
MA TRẬN, ĐỊNH THỨC, MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO,

HẠNG CỦA MA TRẬN,
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Sinh viên thực hiện:

TRẦN ĐÌNH LÂM PHẠM CÔNG LÝ

THÂN QUỐC KHÁNH KIỀU VĂN MINH

TRƯƠNG THỊ LAM NGUYỄN THỊ MINH

NGUYỄN TRÚC LINH NGÔ VĂN NAM

NGUYỄN HỮU LONG NGUYỄN HÀ NAM

NGUYỄN THỊ BÍCH NGUYỄN THỊ OANH
NGỌC

Lớp : HTTT02 Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thi Lan

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

Phần 1 : Giải các bài tập sau:

é4 1ù é1 3 ù
T3 A = ê ú, B = ê ú
Bài 1: 1. Thực hiện phép tính ( A +2B ) , biết êë1 3úû êë5 - 1úû

t 1 5 
B  
Ta có:  3  1

  4 1  1 5  3  6 113  6 11  6 11  6 11
    2          
  1 3  3  1   7 1   7 1   7 1   7 1 

 66 117 61111  6 11 113 77   6 11 1217 1320 
        
 7 6  7 7 111   7 1   49 78   7 1   840 617 

2. Cho ma trận é2 1ù
A=ê ú

êë0 3úû. Tính An

2  2 1  2 1  4 5
Xét : A      

 0 3  0 3  0 9

3  4 5  2 1  8 19 
A      
 0 9   0 3  0 27 

n  2n 3n  2n 
 A  n
3
0

2

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

3. Tìm ma trận X biết X AAt  B , trong đó

 1 3 1 0  3
A  2 1 , B  2 1 1 
   
  1 1  3 2  2 .

 1 3  t 1 2  1
 
A  2 1  A 
  3 1  1
 1 1

1 3 2  1 1 0  3

X AAt  B  2  1 
 2 1 1 
 1  1  1  
  1  3 3 2  2

1

10 5  4   1 0  3 11 5  7 
   
X  5 5  3   2 1 1   7 6  2 
   3  2  5  1  2  \
 2 1 0  2

3

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

 1 0  1   1 2 3
 2  1 2  .X  0  2 2
  
4. Tìm ma trận X thỏa mãn  3  2 3   1  1 0

 1 0  1   1 2 3
A  2  1 2  , B  0  2 2   AX B  X A 1 B
  
 3  2    1 0 
3   1

A 1  A*
A

 A11 A12 A13 
* 
Có : A  A21 A22 A23 
A A A 
 31 32 33 

A11 ( 1)11  1  2 2 1, A12 ( 1) 12 2 23 0, A13 ( 1)13 23  1  2 , A21 2, A22 6, A23 2, A31  1, A32  4, A33  1

3 3

 1 2  1
 A*  0 6  4 
 
 
  1 2  1 

1 0  1 r2  2r1 1 0  1 1 0 1

A 2 1 2 0  1 4 r3  2r2 0  1 4
3  2 3 r3  3r1 0  2 6
0 0 2

 1 2  1
 
 0 6  4
    0,5  1 0,5
1   1 2  1  

A  0  3 2 
2  
 0,5  1 0,5

4

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

 1 0  1   1 2 3
A  2  1 2  , B  0  2 2   AX B  X A 1 B
  
 3  2    1 0 
3   1

A 1  A*
A

 1 2  1
 
 0 6  4
    0,5  1 0,5
1   1 2  1  
A  0  3 2 
2  
 0,5  1 0,5

  0,5  1 0,5    1 2 3   1 0,5  3,5 
   

X A B  0  3 2  0  2 2  2 4  61
  
 0,5   0   0 
 0, 5 1  1 1 2, 5  0, 5 

 1  1 2
A   1 2 1
 
5. Cho ma trận  2  3 2 . Tìm ma trận X thỏa mãn X.A=At

X =

A 1  A*
A

 A11 A12 A13 
* 
A  A21 A22
A A23 
 31 A32 A

33 

11 2 1 7, A12 ( 1) 12  1 1 4, A13 ( 1)13  1 2 3  1, A21  4, A22  2, A23 1, A31  5, A32  3, A
A11 ( 1)
2 2 2 2
3

 7  4  5
A*  4  2  3

 
 
  1 1 1 

1  1 2 r2  r1 1  1 2 1 1 2

A   1 2 1 2  3 2 r3  2r1 0 1 3 r3  r2 0 1 3 0  1  2 0 0 1

 A 1

 7  4  5
 
 4  2  3
*   7  4  5
1 A  1 1 1   
A    4  2  3
A 1  
1 1 1 

5

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

 1 1 2  1 1 2 
A   1 2 1   At   1 2  3
   
  3 2  
 2  2 1 2 

 7  4  5  1  1 2   1  20 16 
1 t    
 X A A  4  2  3   1 2  3  0  11 8
   
     0 
 1 1 1   2 1 2  4  3 

6. Tìm ma trận X biết X.A - 2B = I , trong đó

 1  1 3  1 3  2
A   2 5 7 ; B=   1 2 0 
   
  1 1 2  3  1 4  .

X (I  2B) A 1

Có : A 1  A*
A

*  A11 A12 A13  

A  A21 A22 A23 
 
 A31 A A33 
32

A11 ( 1)11 51 7 3, A12 ( 1) 12  2 72  3, A13 ( 1)13  2  1 5 3,
1
2 1

A21 5, A22 5, A23 0, A31  22, A32  13, A33 3

 3 5  22 
 A*   3 5  13
 
 
 3 0 3 

1  1 3 Xét : A   2 5 7 r2  2r1 1  1 3 0 3 17
 1 1 2 r3  r1 0 0 5

Áp dụng định thức tam giác ta có 1 3 5=15

6

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

3 5  22  1 1  22 
  5 3 15 
3 5  13
A 1  A*   3  
A 0 3  1 1  13 
15  5 3 15 

1 
 0 1
5


5

1 0 0  1 3  2  3 6  4
   
I  2B  0 1 0 2 1 2 0    2 5 0
 0 0 1     
 3 1 4   6 2 9 

1 1  22    7  52 
5 3  3 5
3 6  4  15   5 
  1 1  13    7 7 
 X   2 5 0    1 5
 53 15   5 
 6 2 9 1 
  0 1   17 4  79 
5 

5  5 3 15 

é1 3 5 2 ù
ê ú
ê- 1 m 2 1 ú
A=ê ú
ê1 0 2 2 ú
ê ú
7. Tìm điều kiện để ma trận sau khả đảo êë2 1 0 - 1úû

Để ma trận A khả đảo

1 35 2 1 2 5 3  1 1 2 m r2  r1 1 2 5 0 3 7 3
1 m 2 1 m 3
Xét : A  1 0 2 2 c4  c2 1 2 2 0 r3  r1 0 0  3
2  1 0 1 r4  2r1 0  5  10 3
2 1 0 1 5

12 5 3 12 5 3

5 0 3 7 m3 5 0 3 7 m3
r4  r2 0 0  3  3 r4  r3 0 0  3 3
3 9
0 0 5 5m 0 0 0 5m  5
33 3

Để
Vậy với

8. Tính các định thức sau
7

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

1 2 1 1 0xyz
a) D  0 2 1 3 b) D  x 0 z y

310 1 yz0x
0 1 4 2. z y x 0.

12 1 1 1 2 1 1
a) D  0 2 1 3 r3  3r1 0 2 1 3
0 1 r4  12 r2 0  5  3 4
31 42 0 0 3,5 0,5
01
1 1 1 2 1 1
12
r3  52r2 0 2 0 0 1 3  0,5 11,5 r4  7r3 0 2 1 3 0 0  0, 5 11, 5

00 3,5 0,5 0 0 0 81
 D  81

0xyz xyz xyz xyz xyz 1111

b) D  x 0 z y r2  r1 x 0 z y x0zy
r3  r1 (x  y  z)
y z 0 x r4  r1 y z 0 x yz0x

z yx0 z y x 0 z yx0

11 1 1 11 1 1

r2  xr1 0 x z x y x 0 x z x y x
r3  yr1(x  y  z) r4  r3(x  y  z)
r4  zr1 0 z y  y x y 0 z y  y x y

0 y z x z  z 0 0 x y z x z y

11 1 1 11 1 1

(x  y  z)(x  y  z) 0  x z  x y  x 0 z  y  y x  y r3  r2 (x  y  z)(x  y  z) 0  x z  x y  x 0 z  x  y z  x  y 0

00 1 1 00 1 1
11 1 1

(x  y  z)(x  y  z)(z  y  x) 0  x z  x y  x
01 1 0

00 1 1

8

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

Áp dụng khai triển định thức cho cột 1 D =

11 1 1

(x  y  z)(x  y  z)(z  y  x) 0  x z  x y  x
01 1 0

00 11
x z x y x

(x  y  z)(x  y  z)(z  y  x) 1( 1)11 1 1 0

01 1

( y  x  z)(x  y  z)(x  y  z)(z  y  x)

9. Sử dụng tính chất của định thức, chứng minh rằng định thức sau bằng 0:

é4 5 9 ù
ê ú
D = ê25 34 48 ú
ê ú
êë425 534 948úû.

4 5 9 1 1, 25 2, 25 Xét : A = 25 34 48 = 4 25 34 48 r2 - 25r1 1 1, 25 2, 25 4´ 0 2,75 - 8, 25
425 534 948 425 534 948 r3 - 425r1 0 2,75 - 8, 25

1 1, 25 2, 25

r3 - r2 4´ 0 2, 75 - 8, 25

00 0

Áp dụng tính chất của định thức 1 dịng có các phần tử đều bằng 0 thì định thức đó
bằng 0

D =0

1 11
x 2 3 =0
10. Giải phương trình x2 4 9

1 1 1 x 2 3 r2 - 3r1 1 1 1 x - 3 - 1 0
x2 4 9 r3 - 9r1 x2 - 9 - 5 0

9

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

Áp dụng khai triển định thức cho cột 3. Ta có:

1 11 1+3 x - 3 - 1

x - 3 - 1 0 =1´ (- 1) 2
x -9 -5
x2 - 9 - 5 0

=- 5(x - 3) - (x2 - 9)´ (- 1) = x2 - 5x - 24

Có : x2 - 5x +6 = 0

Þ ìïïí x = 2
ïïỵ x = 3

11. Tính hạng của các ma trận sau

 1 3 5  1 1 2 1 3 0 
2 1 3 4   2 2 1 1  1
a) A   b) A  
5 1 1 7  0 4 3 1 2 
   
7 7 9 1  . 5 2 3 0 4  .

 1 3 5  1
2 1 3 4 
a) A  
5 1 1 7 
 
7 7 9 1 

 1 3 5  1 1 3 5  1
r2  2r1  0  7  13 6   0  7  13 6 
r3  5r1   r 3  2r2  
r4  7r1  0  14  26 12 0 0 0 0 
   
 0  18  26 8   0  18  26 8 

 1 3 5  1 1 3 5 1 
 
 0  7  13 6  18  0  7  13 6 
r3  r4   r3  r2  52  22 
 0  18  26 8   7  0 0 
   7 7
0 0 0 0  0 0 0 0 

Rank(A) = 3

10

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

1 2 1 3 0 
 2 2 1 1  1
b) A  
0 4 3 1 2 
 
5 2 3 0 4 

1 2 1 3 0  1 2 1 3 0 
r  2r  0  2 3  5  1 r  2r  0  2 3  5  1
2 1  3 2 
r 4  5r1  0 4 3  1 2  r4  6r2  0 0 9  7 0 
   
 0  12 8  15 4   0 0  10 15 10

1 2 1 3 0 
 0  2 3  5  1
10  
r4  r3  0 0 9  7 0 
 9 
 0 0 0 65 10
 9 

Rank(A)= 4

12. Tính hạng của các ma trận sau tùy theo m

 2 1 2 1
 3 0 0 1
a) A   2 3 1 2 1

b) A  3 2 7 9 1 
2 1 0 2  
 
 4  1 2 m .   2 2  12 m  2 .

 2 1 2 1
 3 0 0 1
a) A  
2 1 0 2
 
 4  1 2 m

 1 0,5  1 0,5  1 0,5  1 0,5 
1  3 0 0 1  r2  3r1  0 0 0 1 
r1   r3  2r1  
2   2 1 0 2  r4  4r1  0 2  2 3 
 4 1 2 m   0  3 6 m  2 

 1 0,5  1 0,5   1 0,5  1 0,5 
 
0  3 6 m  2 2 0  3 6 m  2 
r2  r4   r3  r2  13 2 
 0 2  2 3   3 0 0  6  m
   3 3
0 0 0 1 
 0 0 0 1 

Với 4

11

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

2 3 1 2 1
b) A  3 2 7 9 1 
 
  2 2  12 m  2

 31 1 
 2 3 1 1 2  1 2 2 2 1
 1  
c4  c5  3 2 7 1 9  r1  3 2 7 1 9 
  2 2  12  2 m 2   2 2  12  2 m
 
 

 311   311 
1 1 1 1
 2 2 2   222 
r2  3r1   5 11  1    5 11  1 
r  2r  0 6  r3  2r2  0 6 
3 1  2 2 2 0 5  11  1 m  2 2 22
  0 0 0  2 m 14

   

 311 
1 1

 2 22 
c4  c3  0  5  1 11 6 
 2 22 
 0 0  2 0 m 14
 
 

Vậy với

13. Tìm m để hạng của ma trận sau bằng 3

 1 1 2 4 
0 3 2 2
a) B   1 3 1 1 
 1 4 0  2 b, B   2  6 m  1 4
 
 1 1 m 4  .  
 4 12 3  m2
m  3 .

12

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

 1 1 2 4 
0 3 2 2
a) B  
  1 4 0  2

 
 1 1 m 4 

 1 1 4 2 1 1 4 2 
 0 3 2 2 r r 0 3 2 2 
c3  c4   3 1 
  1 4  2 0  r4  r1  0 3 2 2 
   
 1  1 4 m 0 0 0 m  2

1 1 4 2  1  1 4 2
 0 3 2 2  r  r  0 3 2 2
r3  r2  4 3 
 0 0 0 0  c4  c3  0 0 m  2 0
   
0 0 0 m  2  0 0 0 0

Để rank(A)= 3 m 1 
Vậy với thì rank(A)= 3 4

1 3 1 
b, B   2  6 m  1 m  3


 4 12 3  m2

r2  2r1  1 3 1 1 

r 3  4r1  2 0 0 m 1 2 
 0 0 m  1 m 1

Để rank(A)= 3

 1 3 1 1 
b, B   2  6 m  1 4 
 
 4 12 3  m2 m  3

r2  2r1  1 3 1 1 

r 3  4r1  2 0 0 m 1 2 
 0 0 m  1 m 1

m2  1 0
  m 1
Để rank(A) =3  m 1 0

Vậy với m = 1 thì rank(A)= 3

13

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

 x1  2x2 +3x3  4x4 5

 x2  x3  x4  1

 x1  3x2  3x4 2

14. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss  7x1  3x3  x4  4

Xét ma trận hệ số mở rộng =

 1 2 3 4 4  1 2 3 4 4 
   
 0 1  1 1  1 r3  r1  0 1  1 1  1
 1 3 0  3 2  r 4  7r1  0 5  3 1  2 
   
 7 0 3 1  4  0  14 24  27 24 

1 2 3 4 4  1 2 3 4 4 
   
r3  5r2  0 1  1 1  1 0 1  1 1  1
r4 14r2  0 0 2  4 3  r4  5r3  0 0 2  4 3 
   0 0 10  13 10     0 0 0 7  5

Rank(A)=Rank() = số ẩn

nhất

x1  2x2  3x3  4x4 4 x1 0,5
  3
 x2  x3  x4  1  x2 
  14
 2x3  4x4 3 
 1
7x4  5  x3 
 14

 5
x4 
7

 x  y  2z 1

2x  3y  mz 4
 15. Tìm m để hệ phương trình sau có vơ số nghiệm 4x  5y  z 2m

Xét ma trận hệ số mở rộng =

 x  y  2z 1

2x  3y  mz 4
4x  5 y  z 2m

1 1 2 1  1 1 2 1  1 1 2 1 
  r2  2r1    
 2 3 m 4  r  4r  0 1 m  4 2  r 3  r2  0 1 m  4 2 
 4 5  1 2m 3 1 7 2m  4   0 0 3  m 2m  6 
0 1

14

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

Để hệ phương trình vơ nghiệm  rank(A)rank()

 3-m=0

 m=3

Vậy với m=3 thì hệ phương trình trên vơ nghiệm

Phần 2: Tìm hiểu một số ứng dụng theo chủ đề ma trận, ma trận nghịch đảo,
định thức , hệ phương trình tuyến tính

I.Ứng dụng của ma trận

1.Ứng dụng của ma trận trong kinh tế

Ví dụ: Một xí nghiệp sản xuất ra 3 loại sản phẩm G1,G2,G3 và phân phối hàng tuần
cho 3 đại lý A, B, C với số lượng cho bởi bảng sau:

G1 G2 G3

Đại lý A 150 320 180

Đại lý B 170 420 190

Đại lý C 201 63 58

Giả sử giá nhập các sản phẩm G1,G2,G3 lần lượt là 480$, 600$, 1020$. Và giá bán lẻ
của các sản phẩm tại các đại lý phân phối cho bởi bảng sau:

G1 G2 G3

Đại lý A 560 750 1580

Đại lý B 520 690 1390

Đại lý C 590 720 1780

a. Tính chi phí hàng tuần của mỗi đại lý
b. Tính Tổng doanh thu hang tuần của mỗi đại lý đối với từng loại hang hóa
c. Tính tổng lợi nhuận hàng tuần của mỗi đại lý

Bài Giải

a. Ta biểu diễn lượng hàng tiêu thụ hàng tuần và giá nhập hàng bởi các ma trận

như sau:

150 320 180  480 
Q 170 420 190 C  600 
  
 201 63 58  , 1020

Tổng chi phí là:

15

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

150 320 180  480   447600
170 420 190  600   527400

    
Total Cost = Q.C =  201 63 58  1020 193440

b. Ma trận giá bán lẻ được biểu diễn như sau:

 560 750 1580 T  560 520 590 
P  520 690 1390  750 690 720 
  
 590 720 1780 1580 1390 1780

Ta có:

150 320 180  560 520 590 
Q P 170 420 190  750 690 720 
  
 201 63 58  1580 1390 1780

 604400 N/A N/A 
 N / A 642300 N/A 
N/A
 
 N / A 267190

Ma trận doanh thu là ma trận cột gồm các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma
trận tích QP như sau:

 604400
 642300
 
Total Revenue =  267190

c. Ta có: Lợi nhuận (profit) = Doanh thu – Chi phí

Profit = Total revenue – Total Cost

 604400  447600 156800
 642300   527400 114900
   
 267190 193440  73750 

2.Ứng dụng giải các bài toán thực tế

Ví dụ: Lớp điện 7 có top 10 bạn điểm kiểm tra cao nhất gồm các điểm 8, 9, 10. Biết
rằng tổng số điểm của 10 bạn là 87 và tổng số bạn có điểm 9 và điểm 10 bằng tổng số

16

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

bạn có điểm 8. Hỏi có bao nhiêu bạn được điểm 8, bao nhiêu bạn được điểm 9, bao
nhiêu bạn được điểm 10 ?

Giải:

Gọi số bạn được 10 điểm là a

Gọi số bạn được 9 điểm là b

Gọi số bạn được 8 điểm là c

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

10a + 9b + 8c = 87

a + b + c = 10 (*)

a + b = c

Từ (*) ta có:

10 9 8   a  87
A  1 1 1  X  b B 10
 
 1 1  1 ;  
 c  ;  0 

(*) trở thành: A.X=B

Det( A)  2 0  tồn tại A-1

Ta có:

 a11 a21 a31  a11 ( 1)11 Det(M11) 1 1 1  1  2
*  a12 ( 1)12 Det(M12 )  1 1 1  1  2
A  a12 a22 a13 ( 1)13 Det(M13 ) 1 1 1 1 0
a32 
 a13 a23 a33  ;

Tương tự ta tính được: a23 = -1
a33 = 1
a21 = 17; a31 = 1 ;

a22 = -18 a32 = -2

Ta có:

17

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

A 1  1 A*
det( A)

  2 17 1 
1 1  
 A   2  18  2
2  
 0  1 1 

 1  8,5  0,5
 A 1   1 9 1 
 
 0 0,5  0,5

Nhân A-1 vào hai bên trái của cả hai vế phương trình (1) ta được:

1 1
A AX A B

 1  8,5  0,5  87  2
 X A 1 B   1 9 1  10  3
    
 0 0,5  0,5  0   5

a = 2
b = 3
c = 5
Kết luận: có 2 bạn 10 điểm, 3 bạn điểm 9, 5 bạn 8 điểm
3.Ứng dụng của ma trận trong mật mã học
Ví dụ: Cho ma trận

1  1 1
A  0  1 1

 
 1 0 1

Và một sự tương ứng giữa các ký tự và các số như sau:

0 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9

- U E A H O Q Y TM I

18

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

Một người muốn gửi một dòng mặt khẩu cho đồng nghiệp. Để đảm bảo bí mật anh ta
dùng bảng tương ứng trên chuyển dòng mặt khẩu này thành một dãy số và viết dãy số
nay thành mà trận B theo nguyên tắc: lần lượt từ trái sang phải mỗi chữ số là 1 vị trí
trên các dịng của ma trận B. Sau khi tính C = A.B và chuyển C về dãy số thì ta được
sau đây

4 5 1 14 5 3 3 -2 10 0 9 11 8 14 10

Hãy giải mã dịng thơng tin trên

Giải:

Ta có:

det( A)  1 0  A 1 Mà A-1 Là ma trận vuông cấp 3 nên C có 3 dịng
C AB  B A 1C

Mặt khác dãy có 15 phần tử suy ra mỗi dịng có 5 phần tử. C là ma trận cấp 3x5

 4 5 1 14 5 
C  3 3  2 10 0 
 
 9 11 8 14 10

Tính các phần bù đại số và lập ma trận phù hợp ta được

1 1 0  1 1 0 

A*  1 0  1 A 1 ( 1)  1 0  1
   
 1  1  1 ;  1  1  1

19

Downloaded by ANH BACH ()

lOMoARcPSD|39150642

  1 1 0   4 5 1 14 5 
B A 1 C ( 1)  1 0  1  3 3  2 10 0 
  
 1  1  1  9 11 8 14 10

1 2 3 4 5
B  5 6 7 0 5
 
 8 9 5 10 5

Dãy số của ma trận B là:
1 2 3 4 5 5 6 7 0 5 8 9 5 10 5

Mật mã: QUYET TAM - THI TOT

II.Ứng dụng của định thức

1.Tính diện tích tam giác

VD:

1   1 2,5 1 1 5

SABC   AB, AC   3 2 1
2 21 31 4

2.Tính thể tích hình khơng gian
Ví Dụ: Tính thể tích hình lăng trụ

20

Downloaded by ANH BACH ()