Chuong 2 XSTK 23 24 26

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

2.1. Khái niệm về biến ngẫu nhiên

Biến cố có thể biểu thị về mặt định tính và cũng có thể biểu thị về mặt định
lượng.

Trong phần này ta chỉ xét những biến cố biểu thị về mặt định lượng tức là biến
cố biểu thị thành con số.

Ví dụ 2.1.1. Xét phép thử T: “Gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối và đồng chất”.

Không gian mẫu của phép thử này là   S, N . Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp

trong một lần gieo. Ta thấy rằng X là một đại lượng có tính ngẫu nhiên có thể nhận một
trong hai giá trị.

X(N)=0, nếu đồng xu xuất hiện mặt ngửa với xác suất tương ứng P N   12 .

X(S)=1, nếu đồng xu xuất hiện mặt sấp với xác suất tương ứng P S   12 .

 N S

X() 0 1

P(X= X()) ½ ½

Điều này có nghĩa X đặt tương ứng mỗi phần tử của không gian mẫu  với một và
chỉ một số thực được gọi là giá trị của X với một xác suất nào đó.

Ta có thể minh họa bằng hình vẽ sau:


S. N.

X

01 

Qua ví dụ trên ta thấy, đại lượng X liên quan đến phép thử T, đặt tương ứng mỗi
phần tử của không gian mẫu của T với một và chỉ một số thực một cách ngẫu nhiên (ứng
với một xác suất nào đó). Đại lượng X như thế được gọi là biến ngẫu nhiên hoặc đại
lượng ngẫu nhiên.

Từ đó ta có định nghĩa.

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
61

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

2.1.1. Định nghĩa
Xét một phép thử có không gian mẫu . Một biến ngẫu nhiên X là một hàm số đi

từ  vào .

Ký hiệu: X :   

  X 

 được gọi là tập xác định của biến ngẫu nhiên X.

X  là một số thực được gọi là giá trị của biến ngẫu nhiên X. Do đó tập giá
trị của biến ngẫu nhiên X là một tập con của tập số thực  được ký hiệu là Im X .

ImX   x     , X   x


.

X

Từ định nghĩa, ta có: X() 

x  ,    , các tập hợp:    : X   x  ,    : X   x ,

   : X     là các biến cố trong .

Biến cố này được xác định bởi biến ngẫu nhiên X nên nó cịn được ký hiệu gọn

hơn theo biến ngẫu nhiên X.

Nếu a, b là các số thực a  b thì các biến cố và xác suất tương ứng của chúng

được ký hiệu như sau: Ký hiệu theo Xác suất của biến cố Ký hiệu theo
biến ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên
Biến cố P    : X   a
X  a P    : X   a P X  a
   : X   a P    : X   a

   : X   a X  a P    : a  X   b P X  a
   : X   a
   : a  X   b X  a P X  a

a  X  b P a  X  b

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
62

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Ví dụ 2.1.1.1. Tung 1 đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần. Gọi X là biến ngẫu nhiên
chỉ số lần xuất hiện mặt sấp. Tìm:

1. P X  2
2. P X  2

Giải
Không gian mẫu là ={ SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN}.

Ứng với mỗi phần tử của khơng gian mẫu, ta có các giá trị tương ứng của X được
cho trong bảng sau:

 SSS SSN SNS SNN NSS NSN NNS NNN

X() 3 2 2 1 2 1 1 0

1. Gọi A   là biến cố xác định bởi X  2 . Khi đó ta có:

A  X  2     : X   2  SSN,SNS,NSS 

Do đó: P X  2  P A  38

2. Gọi B   là biến cố xác định bởi X  2 . Khi đó ta có:

B  X  2     : X   2  SNN,NSN,NNS,NNN 

Do đó: P X  2  P B  48  12

2.1.2. Phân loại biến ngẫu nhiên

 Biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu nhiên chỉ nhận một số hữu hạn hoặc vô
hạn đếm được các giá trị. Nói một cách khác, biến ngẫu nhiên rời rạc là biến ngẫu
nhiên nhận các giá trị nguyên dương.

Ví dụ 2.1.2.1.

 Gọi X là số chấm ở mặt trên của con súc sắc khi gieo một lần con súc sắc cân
đối và đồng chất thì X có thể nhận các giá trị là: 1, 2, 3, 4, 5, 6 nên X là biến ngẫu nhiên
rời rạc.

 Gọi X là số lượng sinh viên đến canteen trong một ngày thì X là biến ngẫu nhiên
rời rạc.

 Gọi X là số khách hàng đến tại một quầy giao dịch trong một khoảng thời gian
thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc.

 Gọi X là số lượng sinh viên đến thư viện trung bình trong một ngày thì X là biến
ngẫu nhiên rời rạc.

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
63

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

 Biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên nhận mọi giá trị trong khoảng

a;b nào đó trên trục số (a có thể là –, b có thể là +). Nói một cách khác, biến

ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên nhận các giá trị nguyên và thập phân.
Ví dụ 2.1.2.2.

 Gọi X là trọng lượng của trẻ sơ sinh thì X là biến ngẫu nhiên liên tục.

 Gọi X là thu nhập của một hộ gia đình sống ở thành thị thì X là biến ngẫu nhiên
liên tục.

 Gọi X là kim ngạch xuất khẩu của một công ty trong ngành dệt may trong năm
2010 thì X là biến ngẫu nhiên liên tục.

 Các biến ngẫu nhiên chỉ độ dài, diện tích, thể tích, thời gian,… là loại biến ngẫu
nhiên gì?
2.1.3. Tính chất

Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên thì
X Y , X.Y , X n(n  0) , X Y (Y  0) , cX (c là hằng số) cũng là các biến ngẫu

nhiên.
2.2. Hàm (khối lượng) xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
2.2.1. Định nghĩa

Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị có thể x1, x2,... trong đó
xi  x j với i  j . Ứng với mỗi giá trị xi của nó được gắn với một xác suất

p xi   P X  xi  đặc trưng cho khả năng biến ngẫu nhiên X nhận giá trị đó.
Hàm số p x   P X  x  xác định trên tập các giá trị của biến ngẫu nhiên rời

rạc X được gọi là hàm (khối lượng) xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.

Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X chỉ có một số hữu hạn n các giá trị x1, x2,..., xn  thì

hàm (khối lượng) xác suất của nó có thể cho dưới dạng bảng gồm hai hàng:

 Hàng thứ 1 ghi các giá trị số đã sắp thứ tự của biến ngẫu nhiên.

 Hàng thứ 2 ghi xác suất tương ứng.
X x1 x2 ... xi ... xn

P X  xi  p1 p2 ... pi ... pn

n

với : pi  P(X  xi ); 0  pi  1; i  1, n ;  pi  1
i 1
Bảng trên được gọi là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X

hay gọi tắt là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X.

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
64

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Thông thường, để biểu diễn cho biến ngẫu nhiên rời rạc, ta thường dùng bảng

phân phối xác suất.

Ví dụ 2.2.1.1. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp trong phép

thử tung 1 đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần. Tìm hàm xác suất (bảng phân phối xác

suất) của biến ngẫu nhiên X.

Giải

Theo ví dụ 2.1.1.1. ta có hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X là:
1 / 8, x  0

 p x   3 / 8, x  1

3 / 8, x  2
1 / 8, x  3

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X là:

X 0 123

P X  xi  1 3 3 1

8 888

Đồ thị của hàm xác suất này được biểu diễn như sau:

y

0.4

3/8

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15

1/8

0.1

0.05

x

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-0.05

Người ta cũng thường biểu diễn hàm xác suất bằng tổ chức đồ. Đó là một biểu đồ
hình cột với các xác suất được biểu diễn bằng các diện tích.

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
65

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

y

0.4

3/8

0.35

0.3

0.25

0.2

0.15 1/8

0.1

0.05

x

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

-0.05

 Có nhận xét gì về tổng các diện tích của các hình chữ nhật trong tổ chức đồ của hàm xác

suất p x ?

Ví dụ 2.2.1.2.

Một lơ hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu.

Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản

phẩm chọn ra. Tìm luật phân phối xác suất của X.

Giải

Ta có: Im(X) ={0, 1, 2}

Áp dụng cơng thức tính xác suất lựa chọn ta được:

p0  P X  0  C 6 2 4  0.C 2 2
C10 15

p1  P X  1  C6 2 4  1.C 1 8

C10 15

p2  P X  2  C6 2 4  2.C 0 5
C10 15

Vậy luật phân phối xác suất của X là:

X 0 12

P X  xi  2 85
15 15
15

 Giải ví dụ trên nhưng lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 4 sản phẩm và X là biến
ngẫu nhiên chỉ số sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm chọn ra.

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
66

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

2.2.2. Tính chất của hàm (khối lượng) xác suất

1. 0  p xi   1, xi

2. p x   0, x  xi

3.  p x   1 i  1, 2,... (Tổng các diện tích của các hình chữ nhật trong tổ chức
x xi

đồ của hàm xác suất p x  bằng 1).

2.3. Hàm phân phối (xác suất) của biến ngẫu nhiên

Gọi X là biến ngẫu nhiên liên quan đến phép thử T. Với mọi x   , ta nhận thấy

biến cố X  x  thay đổi nếu x thay đổi. Do đó xác suất P X  x  cũng thay đổi theo,

tức là xác suất này phụ thuộc vào x, nó là một hàm của x và được gọi là hàm phân phối
(xác suất) của biến ngẫu nhiên X.

Hàm phân phối (xác suất) của biến ngẫu nhiên X được dùng để mô tả (hoặc xác
định) cho cả biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục.

2.3.1. Định nghĩa

Hàm phân phối (xác suất) của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu là F x , được xác

định như sau:

F x  P X  x ,x  

Nếu biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất

X x1 x2 ... xi ... xn
p2 ... pi ... pn
P X  xi  p1

thì hàm phân phối (xác suất) của biến ngẫu nhiên rời rạc X có thể được viết dưới

dạng:

F x  P X  x    p xi ,x  
xi x

hay:

0, x  x1
p x1,
 x1  x  x2
F x   p x1  p x2 , x2  x  x3

...
p x1  ...  p xn , x  xn

trong đó p xi  là hàm (khối lượng) xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X.

Hàm phân phối (xác suất) của biến ngẫu nhiên rời rạc X xác định tổng các diện
tích của các hình chữ nhật được dựng trên mỗi cạnh xi  x .

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
67

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Ví dụ 2.3.1.1. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp trong phép

thử tung 1 đồng xu cân đối và đồng chất 3 lần. Tìm hàm phân phối xác suất của X và vẽ

đồ thị.

Giải.

Theo ví dụ 2.2.2.1. biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất là:

X 0 1 23

P X  xi  1 3 31
8 88
8

F x 0 1 4 71
8 88

nên nó có hàm phân phối xác suất là:
0, x  0

1 / 8, 0  x  1

F x   4 / 8, 1  x  2

7 / 8, 2  x  3
1, x  3
Vẽ đồ thị

y

1.1

1

7/8 0.9

0.8

0.7

0.6

1/2 0.5

0.4

0.3

0.2

1/8 0.1

x

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

-0.1

Ví dụ 2.3.1.2. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất. Gọi X là số chấm xuất hiện.

1. Lập bảng phân phối xác suất của X.

2. Tìm hàm phân phối xác suất của X và vẽ đồ thị.

Giải:

1. Ta có Im(X)={1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Do con súc sắc cân đối và đồng chất nên

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
68

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

P X  1  P X  2  ...  P X  6  16 .

Do đó bảng phân phối xác suất của X là:

X 1 2 3456

P X  xi  1 1 1 1 1 1

6 6 6666

F x 0 1 2 3 4 51

6 6 666

2. Ta có: F(x)   pi , do đó:
xi x

 x  1 : F x   0

 1  x  2 : F x   1 / 6

 2  x  3 : F x   1 / 6  1 / 6  2 / 6

..........

 x  6 : F x   5 / 6  1 / 6  1

Vậy hàm phân phối xác suất của X là:

 0 neáu x 1
 1 / 6 neáu 1x 2
neáu 2x 3
1 / 3 neáu 3x 4
F x   1 / 2 neáu 4x 5
 2 / 3 neáu 5x 6
 5 / 6  neáu x 6
 1

 Tiếp tục tính để có hàm phân phối xác suất của X như trên.

Đồ thị hàm F x  được vẽ như sau:

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
69

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

y

1.1

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1 x

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
-0.1

 Cho biết F 1, 3,F 1,F 7 ?

2.3.2. Tính chất
Tính chất 1: x   , 0  F(x) 1.

Tính chất 2: Hàm phân phối F(x) của biến ngẫu nhiên X là hàm không giảm,

nghĩa là nếu x1  x2 thì F x1  F x2 .

Tính chất 3: Hàm phân phối F(x) là hàm liên tục bên phải, nghĩa là

lim F x  F a

x a

Tính chất 4:

lim F x   0hay F   0

x 

và lim F x   1hay F   1.
x  

2.3.3. Tính xác suất từ hàm phân phối
Từ định nghĩa và tính chất của hàm phân phối, ta có thể tính các xác suất theo các

cơng thức sau:

 P X  a  F a
 P X  b  1 F b
 P a  X  b  F b  F a, với mọi a và b thỏa a  b

 P X  a  F a F a , với mọi a  

Ví dụ 2.3.3.1. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối F được xác định bởi:

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
70

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

 0 neáu x  0
 F (x)   x + 1
neáu 0  x  1
 2 neáu 1  x
 1


Khi đó,

P (3  X  1)  F (1 )  F (3)  3  0  3
2 2 4 4

P X  0  F 0  F 0 = 12  0  12 .

Ví dụ 2.3.3.2. Gieo lần lượt 2 con súc sắc vô tư và quan sát số nút xuất hiện ở mặt
trên của hai con súc sắc. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lớn nhất trong hai số xuất hiện,
i.e. với mọi (a,b) thuộc , X(a,b) = max (a,b).

Khi đó, Im(X) = 1, 2, 3. 4, 5, 6.
Ta có:

P(X = 1) = P((1,1)) = 1/36;

P(X = 2) = P((1,2), (2,2), (2,1)) = 3/36;

P(X=3) = P((1,3), (2,3), (3,3), (3,2), (3,1)) = 5/36;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bảng phân phối xác suất của X:

X 1 2 3 4 5 6

P(X=x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36

Xác suất của biến cố {X  3}:
P(X  3) = P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1  3  5  9 .

36 36 36 36
Xác suất của biến cố {2  X < 5}:
P(2  X < 5) = P(X = 2)+P(X = 3)+P(X = 4) = 3  5  7  15 .

36 36 36 36
Ví dụ 2.3.3.3. Tung đồng thời 2 đồng tiền xu cân đối và đồng chất. Gọi X là biến
ngẫu nhiên chỉ số lần xuất hiện mặt sấp.
1. Lập bảng phân phối xác suất của X.
2. Tìm hàm phân phối xác suất của X.
Giải:
1. Tập giá trị của X là Im(X)={0, 1, 2}.

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
71

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Gọi Ai ={đồng tiền thứ i xuất hiện mặt sấp}, i  1, 2 .
A1,A2 độc lập.

Biến cố 0 = X = A1A2
Suy ra

P X  0  P A1.P A2   1 21 2  1 4 .

Biến cố 1 = X = A1A2  A1 A2

Suy ra:

P X  1  P A1.P A2  P A2.P A1.

 1 21 2  1 21 2  2 4

…
Vậy bảng phân phối xác suất của X là:

X 01 2
14 24
P X  xi 

F x 0 14 34

 Hoàn thành bảng trên.
2. Bạn đọc tự giải.
2.4. Hàm mật độ (xác suất) của biến ngẫu nhiên liên tục (sinh viên tự đọc tài liệu)
2.4.1. Định nghĩa
Giả sử X là một biến ngẫu nhiên liên tục. Nếu tồn tại một hàm số f khơng âm, khả

tích trên  và thỏa mãn

x

F(x)   f (t)dt, x  


trong đó F x  là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X thì f được gọi là hàm mật độ

(xác suất) của X, còn X được gọi là liên tục tuyệt đối.

Đối với biến ngẫu nhiên liên tục, tài liệu này chỉ khảo sát loại liên tục tuyệt đối nên
để đơn giản cách trình bày, chúng ta gọi chung là biến ngẫu nhiên liên tục.

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
72

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

2.4.2. Tính chất

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối F và hàm mật độ f.
Khi đó, với mọi số thực a và b thỏa a < b:

(i) f x   F 'x  tại những điểm f x  liên tục.



(ii)  f (x)dx  1


(iii) P X  a  F a  F a  0 (vì F liên tục tại a).

b

(iv) P a  X  b  F b F a   f (x)dx
a

và xác suất vẫn không thay đổi dù tại các điểm a và b có hoặc khơng có dấu bằng.

Đồ thị hàm mật độ f của một biến ngẫu nhiên liên tục.

Diện tích của vùng được tơ đen trong hình là xác suất P(a  X  b).

2.5. Vectơ ngẫu nhiên n chiều (Biến ngẫu nhiên nhiều chiều)
Trong nhiều bài toán thực tế, khi nghiên cứu một đối tượng, chúng ta phải ghi

nhận cùng một lúc nhiều đặc tính của đối tượng. Chẳng hạn, khi quan tâm đến kích thước
sản phẩm của một máy sản xuất, chúng ta phải để ý đến cả chiều dài, được biểu diễn bởi
biến ngẫu nhiên X1, lẫn chiều rộng, được biểu diễn bởi biến ngẫu nhiên X2, của sản
phẩm đó. Như vậy, kích thước của một sản phẩm được đặc trưng bởi một bộ hai biến
ngẫu nhiên (X1, X2 ), mà người ta gọi là một vectơ ngẫu nhiên. Ở thí dụ này, véctơ
ngẫu nhiên có 2 thành phần nên được gọi là một véctơ ngẫu nhiên 2 chiều hoặc biến

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
73

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

ngẫu nhiên 2 chiều. Một véctơ ngẫu nhiên có n thành phần được gọi là một véctơ ngẫu

nhiên n chiều hoặc biến ngẫu nhiên n chiều.
2.5.1. Định nghĩa

Giả sử X1, X2,..., Xn là n biến ngẫu nhiên trên không gian mẫu  . Một véctơ
ngẫu nhiên n chiều (còn được gọi là biến ngẫu nhiên n chiều) X trên  là một hàm số

đi từ  vào n .

Ký hiệu: X:   n

  X =X1 , X2 ,..., Xn 

hay X =X1, X2,..., Xn 
Các biến ngẫu nhiên Xi i  1,...,n được gọi là các thành phần hay các tọa độ

của véctơ ngẫu nhiên X.

Miền giá trị của X là Im(X) = Im(X1)  Im(X2)  . . .  Im(Xn).
Một véctơ ngẫu nhiên X được gọi là thuộc loại rời rạc hay liên tục tùy theo các
biến ngẫu nhiên thành phần của nó thuộc loại rời rạc hay liên tục.

Để đơn giản cách viết, với mọi x1, x2,..., xn   n , biến cố

n

   : Xi   xi 

i1

n

được ký hiệu là X1  x1, X2  x2,..., Xn  xn  hay Xi  xi 
i1

và xác suất của nó được ký hiệu là P X1  x1, X2  x2,..., Xn  xn 

n 
hay P Xi  xi .
i1 

Từ nay, để đơn giản trong cách trình bày, giáo trình chỉ xét trường hợp biến ngẫu
nhiên hai chiều (X1, X2). Đối với trường hợp biến ngẫu nhiên n chiều (X1, X2, …, Xn),
chúng ta cũng có các kết quả tương tự.

2.6. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

2.6.1. Kỳ vọng (Expectation) (Trung bình (Mean))
2.6.1.1. Định nghĩa

Kỳ vọng (hay vọng số) của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu E(X) (hoặc EX hoặc
M(X) hoặc X hoặc  ) là một số được xác định như sau:

a) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc:

Giả sử X có bảng phân phối xác suất:

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
74

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

Khi đó:

n

E X   x1.p1  x2.p2    xn .pn   xi.pi
i 1

Ví dụ 2.6.1.1.1. Lớp học có 100 sinh viên. Điểm thi môn XSTK của lớp như sau:

Điểm 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Số SV 1 3 5 8 23 25 15 7 8 3 2

1. Tính điểm trung bình mơn XSTK của lớp.
2. Chọn ngẫu nhiên 1 SV trong lớp ra xem điểm thi. Gọi X là điểm số của SV
này. Lập bảng phân phối xác suất của X và tính kỳ vọng của X?
Giải
1. Điểm trung bình
X = (1/100)(01+13+25+38+423+525+…+102) = 5,04 điểm

2. Bảng phân phối xác suất

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

P 0,01 0,03 0,05 0,08 0,23 0,25 0,15 0,07 0,08 0,03 0,02

E X =00,01+10,03+20,05+30,08+40,23+50,25+…+100,02

= (1/100)(01+13+25+38+423 +525+…+102) = 5,04 điểm = X

Vậy E(X) chính là điểm số trung bình.

Tương tự:

Nếu X là trọng lượng thì E(X) là trọng lượng trung bình.

Nếu X là chiều cao thì E(X) là chiều cao trung bình.

Nếu X là năng suất thì E(X) là năng suất trung bình.

Ví dụ 2.6.1.1.2. Có một trị chơi như sau:

Tung đồng thời 3 con súc sắc. Nếu xuất hiện 3 mặt nhất thì được 1 000đ, xuất
hiện 2 mặt nhất được 500đ, xuất hiện 1 mặt nhất được 100đ, không xuất hiện mặt nhất
nào thì khơng được gì cả. Mỗi lần chơi đóng a đ. Hỏi a là bao nhiêu để trò chơi cơng
bằng.

Giải.

Gọi X là số tiền được, thua trong 1 ván.

Trị chơi được gọi là công bằng nếu E(X)=0.

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
75

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Ta có bảng phân phối xác suất của X là:
X –a 100–a 500–a 1 000–a

P 125/216 75/216 15/216 1/216

E X   a 125 216  100 a 75 216  500 a 15 216 
1 000 a 1  216a  1 600
216 216

Vì E (X) = 0 nên a = 1 600/2167,4 đ.

b) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f x :

E X      xf x dx

Ví dụ 2.6.1.1.3. Tính kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

f x  1 1  x  2
 

e 2   ,

 2

trong đó , 2 là các tham số.

Giải.

1  x  2
 1 2    
Ta có E X    x  2 e dx


1  x  2
 1 2   


    x    2 e dx


1  x  2 1  x  2
 1     1 2    
 

     
e 2   dx  x  e  dx

  2   2

1  x  2
 1 2   


    x    2 e dx


(tích phân thứ nhất bằng 1?)

Đặt z  x   , ta được


E X        z 1 e12 z2dz  
2

(tích phân bằng 0?)

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
76

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Vậy E X   

2.6.1.2. Tính chất

Tính chất 1: E C   C với C: đại lượng ngẫu nhiên hằng.

Tính chất 2: E X  Y   E X   E Y 

Tính chất 3: E .X   .E X     .

Tính chất 4: E X E X   0 .


Tính chất 5: Nếu X > 0 thì E (X) > 0.

Tính chất 6: Nếu X, Y độc lập thì E (X.Y) = E (X).E (Y).

Tính chất 7: Cho X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên , ta có :

E X.Y 2  E X 2  .E Y 2


 Tính: E kX  lY  k,l  .

2.6.1.3. Ý nghĩa
Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x1 , x2 ,... , xn với xác

suất tương ứng p1, p2,..., pn .

Gọi X là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X trong n phép thử này. Theo
định nghĩa của xác suất theo quan điểm thống kê, với n đủ lớn, ta có:

X  p1x1  p2x2  ...  pnxn  E X   E X   X

Kỳ vọng là số trung bình theo xác suất của tất cả các giá trị có thể có của đại
lượng ngẫu nhiên .

Nếu xem x1 , x2 ,... , xn là 1 hệ chất điểm tại đó có đặt các khối lượng tương ứng là
: p1 , p2 ,... , pn thì kỳ vọng chính là trọng tâm của hệ chất điểm.

Ví dụ 2.6.1.3. E là cân nặng của trẻ sơ sinh, ta thực hiện 5 lần được:
x1 =3,28kg; x2 =2,92kg; x3 = 3,47kg; x4 =3,53kg; x5 = 3,5kg.

Do đó trọng lượng trung bình 5 lần quan sát là :
X  x1  x2  x3  x4  x5
5

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
77

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

2.6.2. Phương sai (Độ phân tán) (Variance)
2.6.2.1. Định nghĩa

Cho X là biến ngẫu nhiên có trung bình   E X  . Phương sai của biến ngẫu

nhiên X là kỳ vọng của bình phương độ sai lệch giữa các giá trị của đại lượng ngẫu

nhiên X với trung bình  của nó, ký hiệu : V(X), DX, D(X), VarX , 2 X , X2 . Ta có:

V X   E X  2

Trong thực tế, người ta tính phương sai bằng cơng thức:

V X   E X 2  2

 Chứng minh cơng thức tính phương sai trong thực tế.
Đơn vị đo của phương sai bằng đơn vị đo của biến ngẫu nhiên X bình phương.
a) Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc:
Giả sử X có bảng phân phối xác suất:

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pi

Khi đó:

X  n 2 2
    
V pixi 
i  1 

Ví dụ 2.6.2.1.1. Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:

X 1 2 3

P 0,3 0,3 0,4

Tính kỳ vọng, phương sai của X.
Giải.
Ta có :
 = E(X) = 2,1.

 Cách 1: V(X) = E X  E X    xi   pi 2 3 2

1

= (1 – 2,1)2 (0,3) + (2 – 2,1)2 (0,3) + (3 –2,1)2(0,4) = 0,69.

3
 pixi2  2  2  0, 3.22  0, 4.32 2 
 Cách 2: V(X) = 0, 0, 69
3.1  2,1

1

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
78

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

b) Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f x : (sinh viên tự đọc

tài liệu)

V X     x  2 f x dx


Ví dụ 2.6.2.1.2. Tính phương sai của biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

f x  1 1  x  2
 

e 2   ,

 2

trong đó , 2 là các tham số.

Giải.

1  x  2
 21 2   



Ta có: V X    x    2 e dx


Đặt z  x   , ta được


V X   2    z 2 1 e12z2dz
2

Dùng phương pháp tích phân từng phần ta tính được

  z2 1 e12z2dz  1
 2

Vậy V X   2

2.6.2.2. Tính chất
Tính chất 1: V(C) = 0; C : đại lượng ngẫu nhiên hằng.
Tính chất 2: Nếu X,Y độc lập thì V(X + Y) = V(X) + V(Y)

Tính chất 3: V X    2.V X , ,  là các hằng số.

Tính chất 4: V(X)  0, X .

 Cho X,Y độc lập, tính: V kX  lY  k,l  .

2.6.2.3. Ý nghĩa
Phương sai biểu thị độ tập trung hay phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên

xung quanh kỳ vọng của nó.

Nếu phương sai càng lớn thì các giá trị của biến ngẫu nhiên càng phân tán.
Nếu phương sai càng bé thì các giá trị của biến ngẫu nhiên càng tập trung quanh

kỳ vọng của nó.

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
79

Xác suất thống kê kinh tế Chương 2. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

 Trong cơng nghiệp, phương sai biểu thị độ chính xác của các sản phẩm.

 Trong chăn nuôi, phương sai biểu thị độ tăng trưởng đồng đều của các gia súc.

 Trong trồng trọt, phương sai biểu thị mức độ ổn định của năng suất.

2.6.3. Độ lệch chuẩn (Standard Deviation) V X 
2.6.3.1. Định nghĩa

Vì V(X) có cùng đơn vị với (X–)2 nên ta định nghĩa thêm đại lượng

được gọi là độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X và được ký hiệu là  X , X ,

SD X .

 X   V X 
 X  có cùng đơn vị với (X–E(X)), nghĩa là cùng đơn vị với X.

2.6.3.2. Tính chất

 X      X 

2.6.3.3. Ý nghĩa
Độ lệch chuẩn có ý nghĩa giống phương sai.
Ví dụ 2.6.3.3.1. Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:

X 1 2 3

P 0,3 0,3 0,4

Tính độ lệch chuẩn của X.
Giải.
Theo ví dụ 2.6.2.1.1. ta có: V(X) = 0,69

Vậy:  X   V X   0, 69  0, 831.

Ví dụ 2.6.3.3.2. (Trích Đề thi Kết thúc Học phần Khoá 13) Một kiện hàng chứa
8 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm xấu và 5 sản phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên từ kiện hàng
ra 4 sản phẩm (khơng hồn lại).

a) Hãy lập bảng phân phối xác suất cho số sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm lấy
ra, và tính xác suất để trong đó có ít nhất 2 sản phẩm tốt.

b) Đem 4 sản phẩm vừa lấy ra đi bán. Biết rằng bán một sản phẩm tốt được lời 50
ngàn đồng, và bán một sản phẩm xấu bị lỗ 15 ngàn đồng. Tính lợi nhuận thu được trung
bình và độ lệch chuẩn của lợi nhuận khi bán 4 sản phẩm trên.

Giải.
a) Gọi X là BNN chỉ số sản phẩm xấu có trong 4 sản phẩm lấy ra.

Ths. Dương Phú Điền Bộ môn Kinh tế tổng hợp, Khoa Kinh tế - QTKD, Trường ĐHAG
80