Hàm gamma, hàm beta và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN LÊ HẠNH NHI

HÀM GAMMA, HÀM BETA
VÀ ỨNG DỤNG

ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN LÊ HẠNH NHI

HÀM GAMMA, HÀM BETA
VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 8460113

ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: PGS.TS. ĐINH THANH ĐỨC

Bình Định - Năm 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan nội dung trong đề án " Hàm Gamma, hàm Beta
và ứng dụng" là do bản thân thực hiện theo logic riêng dưới sự hướng
dẫn của PGS.TS Đinh Thanh Đức. Các nội dung và kết quả sử dụng trong
đề án đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc rõ ràng.

Bình Định, ngày 15 tháng 10 năm 2023
Tác giả

Nguyễn Lê Hạnh Nhi

i

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

1 Hàm Gamma và hàm Beta 5

1.1 Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Định nghĩa hàm Gamma cho các giá trị nguyên âm . 9

1.1.3 Một số tính chất của hàm Gamma . . . . . . . . . . 11

1.1.4 Định lý Bohr- Mollerup . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2 Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.2 Một số tính chất của hàm Beta . . . . . . . . . . . . 21

2 Một số ứng dụng của hàm Gamma và Beta 25

2.1 Công thức phản xạ Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2 Đánh giá một số tích phân qua hàm Gamma và Beta . . . . 34

2.2.1 Tích phân Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.2 Tích phân Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.3 Ứng dụng tính một số tích phân suy rộng và xác định 38

2.3 Hàm Hurwitz và Riemann zeta . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.4 Công thức Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5 Biểu diễn tích phân của ln Γ(x) và ψ(x) . . . . . . . . . . 52

2.6 Khai triển Fourier cho ln Γ(x) của Kummer . . . . . . . . 56

2.7 Tích phân Dirichlet và thể tích Ellipsoids . . . . . . . . . . 62

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1

MỞ ĐẦU

Việc khám phá và tìm hiểu ứng dụng của các hàm đặc biệt vào cuộc
sống là vấn đề nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của giới khoa học
trong nhiều thập kỷ qua. Nhà toán học Paul Turán gọi chung các hàm đặc
biệt là "hàm hữu ích". Sở dĩ chúng được gọi như vậy vì những tính chất
đặc trưng của chúng thường được ứng dụng rất nhiều trong toán học cũng
như những lĩnh vực khoa học kĩ thuật khác, đặc biệt là vật lý lý thuyết.
Một trong số các hàm đặc biệt đó là hàm Gamma và hàm Beta.

Hàm Gamma là sự mở rộng miền xác định của hàm giai thừa cho tất cả
các số thực và số phức. Do đó hàm Gamma là một hàm phân hình tương
ứng với (x − 1)! với x là số nguyên dương. Hàm Gamma có rất nhiều ứng
dụng cực kì quan trọng trong lý thuyết xác suất, tổ hợp, thống kê và cơ
học lượng tử, vật lý chất rắn, vật lý hạt nhân. Đồng thời, trong nỗ lực kéo
dài hàng thập kỷ nhằm thống nhất cơ học lượng tử với lý thuyết tương
đối, hàm Gamma cũng góp phần cho sự phát triển của lý thuyết hấp dẫn
lượng tử- mục tiêu của lý thuyết dây.

Vấn đề mở rộng hàm giai thừa cho các số không nguyên đã được Daniel
Bernoulli và Christian Goldbach xem xét lần đầu tiên vào những năm 1720
và được Leonard Euler giải quyết vào cuối thập kỷ đó. Hàm Gamma có 3
dạng định nghĩa khác nhau. Euler đã đưa ra hai định nghĩa và Gauss đã
phát triển hàm thành 1 định nghĩa khác. Định nghĩa thứ nhất được Euler
viết dưới dạng tích vơ hạn và ơng đã thông báo cho Goldbach trong một
lá thư vào ngày 13 tháng 10 năm 1729. Ông lại viết thư cho Goldbach vào
ngày 8 tháng 01 năm 1930 để công bố khám phá của mình về biểu diễn
tích phân. Đó là dạng định nghĩa thứ hai của hàm Gamma. [3] Euler còn

khám phá thêm một số tính chất quan trọng của hàm Gamma, đặc biệt

2

là công thức phản xạ.

Carl Friedrich Gauss đã viết lại tích của Euler và sau đó sử dụng cơng

thức của ơng để khám phá những tính chất mới của hàm Gamma. Mặc

dù Euler là người tiên phong trong lý thuyết của hàm biến phức nhưng

dường như ông chưa xét đến giai thừa của một số phức như Gauss đã làm.

Gauss cũng chứng minh định lý nhân của hàm Gamma và nghiên cứu mối

liên hệ giữa hàm Gamma và tích phân elipsoid.

Nhà tốn học Karl Weierstrass cũng đã xác lập thêm vai trị của hàm

Gamma trong giải tích phức, bắt đầu từ việc đưa ra biểu diễn khác của

hàm Gamma e−γx ∞ −1
Γ(x) =
x x
x k=1 1+
ek
k

trong đó γ là hằng số Euler. Đầu tiên, Weierstrass viết dạng tích của hàm

1 được lấy trên các không điểm chứ không phải là cực điểm của nó.
Γ(x)

Tên của hàm Gamma và ký hiệu Γ của nó được Adrien- Marie Legendre

giới thiệu vào khoảng năm 1811. Ký hiệu "hàm Pi" thay thế Π(z) = z!

của Gauss đôi khi bắt gặp trong văn học cổ, nhưng ký hiệu của Legendre

lại chiếm ưu thế trong các tác phẩm hiện đại.[3]

Còn đối với hàm Beta, thay vì xem nó như một hàm, sẽ sáng tỏ hơn khi

ta xem xét hàm Beta dưới dạng một lớp các tích phân mà các tích phân

đó có thể được đánh giá theo hàm Gamma. Do đó, ta thường gọi các hàm

Beta là tích phân Beta. [1]

Hàm Gamma được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như vật

lý lượng tử, cơ học thống kê và động lực học chất lưu. Lý do chính khiến

hàm Gamma trở nên hữu ích là do sự phổ biến của các biểu thức dạng
f (t)e−g(t) mơ tả các q trình phân rã theo cấp số nhân theo thời gian

hoặc không gian. Tích phân của các biểu thức như vậy thường có thể được

giải bằng hàm Gamma khi khơng thể sử dụng những phương pháp sơ cấp.

[3] Ví dụ, nếu f là hàm lũy thừa và g là hàm tuyến tính thì nhờ sự thay

đổi đơn giản của các biến ta sẽ nhận được

∞ Γ(b + 1)
b −at
t e dt = b+1 .
0 a

Công thức xấp xỉ Stirling có thể được chứng minh nhờ hàm Gamma.

3

Trong toán học, xấp xỉ Stirling là phép tính gần đúng cho giai thừa và dẫn
đến kết quả chính xác ngay cả đối với các giá trị nhỏ của n. Đề án cũng
trình bày cách chứng minh công thức phản xạ tuyệt đẹp của hàm Gamma
được tìm thấy bởi Euler. Và cơng thức phản xạ này dùng để kết nối hàm
Gamma với các hàm lượng giác. [1]

Từ đánh giá của Jacobi và Poisson đối với tích phân kép của hàm Beta,
Dirichlet đã tìm ra sự mở rộng của tích phân Beta sang khơng gian nhiều
chiều. Nhờ vậy, hàm Gamma và Beta có thể được sử dụng để tính diện tích
và thể tích. Đồng thời, chúng ta cũng trình bày chứng minh của Kummer
cho khai triển Fourier của ln Γ(x). Và đây là một cơng thức rất hữu ích
trong lý thuyết số.

Một ứng dụng hay của hàm Gamma là nghiên cứu hàm Riemann zeta,
một hàm có tầm quan trọng trong lý thuyết phân bố số nguyên tố. Và
một trong những tính chất cơ bản của hàm Riemann zeta là phương trình

hàm của nó. Nó cho thấy sự mở rộng của hàm zeta thành hàm phân hình
trong mặt phẳng phức và ngay lập tức dẫn đến một bằng chứng rằng hàm
zeta có vô số cái gọi là số 0 "tầm thường" trên trục số thực. Và Jonathan
Michael Borwein gọi công thức này là "một trong những phát hiện đẹp
nhất của toán học". [3]

Mục đích của đề án này là hệ thống những vấn đề căn bản về lý thuyết
của hàm Gamma và Beta, đồng thời tìm hiểu một số ứng dụng của các
hàm này trong lĩnh vực toán học.

Đề án "Hàm Gamma, hàm Beta và ứng dụng" bao gồm hai
chương.
Chương 1: Hàm Gamma và hàm Beta

Chương này trình bày định nghĩa, các tính chất cơ bản của hàm Gamma
và hàm Beta và định lý Bohr- Mollerup, một định lý rất hữu ích.
Chương 2: Một số ứng dụng của hàm Gamma và Beta

Chương này trình bày một số ứng dụng của hàm Gamma, hàm Beta
như: đánh giá một số tích phân, công thức phản xạ của Euler, công thức
Stirling, cuối cùng là ứng dụng của hàm Gamma vào việc nghiên cứu hàm
Riemann zeta, tích phân Dirichler và thể tích ellipsoid.

Đề án được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của

4

PGS.TS Đinh Thanh Đức, hiện đang công tác tại Trường Đại học Quy
Nhơn. Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ sự kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc
đến thầy. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại

học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo sau Đại học, khoa Tốn và Thống kê cùng
quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học Phương pháp Toán sơ cấp K24B đã
tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và thực hiện đề tài.
Nhân đây tơi cũng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã ln động viên để tơi
hồn thành tốt đề án này.

Mặc dù đề án được thực hiện dưới sự nỗ lực và cố gắng của bản thân
nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm
nghiên cứu còn hạn chế nên khó tránh khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong
nhận được sự góp ý của thầy cơ để đề án này được hoàn thiện hơn.

Bình Định, ngày 15 tháng 10 năm 2023
Học viên thực hiện

Nguyễn Lê Hạnh Nhi

5

Chương 1
Hàm Gamma và hàm Beta

Trong chương này, tơi trình bày định nghĩa và một số tính chất của
hàm Gamma và hàm Beta. Đồng thời, tôi cũng giới thiệu định lý Bohr-
Mollerup. Định lý này rất hữu ích vì nó giúp ta dễ dàng chứng minh hàm
lồi logarit cho bất kì cơng thức nào được sử dụng để xác định hàm Gamma.
Xa hơn nữa, thay vì định nghĩa hàm Gamma bằng một cơng thức cụ thể
nào đó, chúng ta có thể chọn các điều kiện của định lý Bohr- Mollerup làm
định nghĩa và chọn bất kì cơng thức nào chúng ta thích mà thỏa mãn các
điều kiện đó để làm điểm bắt đầu cho việc nghiên cứu hàm Gamma. Các
kết quả trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1], [3], [4], [5].

1.1 Hàm Gamma

Bài tốn "Tìm một hàm của biến liên tục x để giá trị của hàm này bằng
n! khi x = n là một số tự nhiên" được Euler nghiên cứu vào cuối những
năm 1720. Bài toán này được đề xuất bởi Daniel Bernoulli và Goldbach.
Lời giải của nó có trong bức thư của Euler gửi cho Goldbach vào ngày 13
tháng 10 năm 1729. Trước hết, chúng ta đề cập lại về khởi thủy của Euler
về vấn đề này. Ta giả sử rằng x ≥ 0 và n ≥ 0 là những số nguyên, ta viết:

(x + n)! (1.1.1)
x! =

(x + 1)n

trong đó với mọi số thực hoặc số phức bất kì a, ta định nghĩa

(a)n = a(a + 1)...(a + n − 1) với n > 0, (a)0 = 1. (1.1.2)

6

Viết lại biểu thức (1.1.1) dưới dạng

x! = n!(n + 1)x n!nx (n + 1)x
= . x.
(x + 1)n (x + 1)n n

Bởi vì (n + 1)x
nên ta có lim x = 1,
n→∞ n

x! = lim n!nx . (1.1.3)

n→∞ (x + 1)n

Quan sát thấy rằng, khi x là một số phức khác số nguyên âm thì giới

hạn trong biểu thức (1.1.3) ln tồn tại. Để thấy được điều đó, ta có sự

phân tích sau:

n!nx n xn x −1 1x
= n+1 j=1 1+ 1+

(x + 1)n j j

và x −1 1 x x(x − 1) 1

a+ 1 + j = 1 + 2j2 + O j3 .
j

Khi đó, tích vơ hạn

∞ x −1 1 x
1+ 1+
j=1 j j

hội tụ và giới hạn trong biểu thức (1.1.3) tồn tại. Do đó, ta nhận được

hàm

k!kx (1.1.4)
(x) = lim

k→∞ (x + 1)k

xác định với mọi số phức x̸ = −1, −2, −3, ... và (n) = n!.
Từ ý tưởng này, Euler đưa ra khái niệm đầu tiên về hàm Gamma.

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1. ([1]) Với mọi số phức x̸ = 0, −1, −2, ... hàm Gamma

Γ(x) được xác định bởi giới hạn

Γ(x) = lim k!.kx−1 . (1.1.5)

k→∞ (x)k

7

Một hệ quả được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 1.1.1 là

Γ(x + 1) = xΓ(x). (1.1.6)

Đồng thời, từ công thức (1.1.6) và sử dụng

Γ(1) = 1 (1.1.7)

ta cũng nhận được công thức của hàm Gamma với đối số nguyên như sau

Γ(n + 1) = n!. (1.1.8)

Từ công thức (1.1.5), ta suy ra rằng hàm Gamma có các cực điểm tại

0 và các số nguyên âm, mặc dù 1 là một hàm nguyên với không điểm

Γ(x)

tại những điểm này. Ta biết mọi hàm nguyên đều có thể được biểu diễn

dưới dạng một tích vơ hạn và hàm 1 cũng có một biểu diễn tích rất

Γ(x)

đẹp như sau.

Định lý 1.1.2. ([1])

1 = xeγx ∞ 1 + x e−x/n , (1.1.9)
Γ(x) n (1.1.10)

n=1

trong đó γ là hằng số Euler được xác định bởi

 

γ = lim  n1 − log n .

n→∞ k=1 k

Chứng minh. Ta có

1 = lim x(x + 1)...(x + n − 1)

Γ(x) n→∞ n!nx−1

= lim x 1 + x x x e−x log n
1 + ... 1+ e−x/k
n→∞ 1
2 n
x
n 1+
k
= lim xex(1+ 21 +...+ n1 −log n)

n→∞
k=1

∞ 1 + x e−x/n .
n
= xeγx

n=1

8

Định lý 1.1.3. ([1]) Với Re x > 0

∞ (1.1.11)

Γ(x) = tx−1e−tdt.

0

Chứng minh. Để chứng minh công thức (1.1.11), chúng ta hãy tính tích

phân sau In = n 1 − t n tx−1dt.

0 n

t
Đặt k = n ⇒ t = nk ⇒ dt = ndk, thay vào In ta được

1

In = (1 − k)n(nk)x−1ndx

0
1

= nz (1 − k)nkx−1dx.

0

1 Ta sẽ chứng minh (1−k)nkx−1dx = n! khi Re x > 0.
x(x + 1)...(x + n)
0


u = (1 − k)n
Đặt
dv = kx−1dx


du = n(1 − k)n−1dx
v = Khi đó kx

x

Ta có

1

1(1 − k)nkx−1dk = (1 − k)nkx + n 1
x x
0 kx(1 − k)n−1dk.

0

0

Nếu Re x > 0 thì lim kx = 0.

k→∞

Suy ra

1(1 − k)nkx−1dk = n 1(1 − k)n−1kzdk,

z0
0

1(1 − k)n−1kxdk = n − 1 1(1 − k)n−2kx+1dk,
x+1 0
0

... ... ... ... ... ...

9

1(1 − k)kx+n−2dk = 1 1 1
x+n−1 0 .
kx+n−1dk = (x + n − 1)(x + n)

0

Cuối cùng ta được

1 n!
.
(1 − k)nkx−1dk = x(x + 1)...(x + n)

0

Do đó

n tn tx−1dt = In = n!nx
1− .
n x(x + 1)...(x + n)

0

Mặt khác

n t n ∞
1−
lim tx−1dt = e−ttx−1dt.
n
n→∞ 0 0

Từ công thức (1.1.5) suy ra ∞
Γ(x) = lim In =
e−ttx−1dt.
n→∞
0

Tích phân trong cơng thức (1.1.11) của Γ(x) đơi khi được gọi là tích
phân Euler loại hai. Nó thường được xem là định nghĩa của hàm Gamma
với Re x > 0 hơn là công thức của Gauss trong Định lý 1.1.2.

1.1.2 Định nghĩa hàm Gamma cho các giá trị nguyên âm

Từ phương trình (1.1.6), ta có

1 (1.1.12)
Γ(x) = Γ(x + 1).

x

Ngoại trừ x = 0, vế phải của phương trình này được xác định với

x + 1 > 0, tức là x > −1. Lưu ý rằng, ta có thể nói Γ(x) là vơ hạn vì với
x → 0, ta có Γ(x + 1) → Γ(1) = 1 và do đó Γ(x) = (1/x)Γ(x + 1) → ∞.
Đến đây, vế trái của phương trình này chỉ được xác định với x > 0. Tuy
nhiên, bây giờ ta có thể sử dụng vế phải của phương trình để mở rộng định
nghĩa hàm Gamma cho x > −1. Như vậy, ta có các ý sau:

10

(i) Phương trình (1.1.12) đã được chứng minh là đúng với x > 0;
(ii) Vế phải được xác định với x > −1 còn vế trái được xác định với

x > 0;
(iii) Sử dụng vế phải để xác định vế trái với x > −1.

Điều này có nghĩa là bây giờ chúng ta có Γ(x) xác định với x > −1. Vì
vậy, vế phải của phương trình (1.1.12) được xác định với x + 1 > −1, tức
là x > −2. Và quá trình này có thể được lặp đi lặp lại để ta có thể xác
định Γ(x) với mọi giá trị âm của x.
Định lý 1.1.4. ([4]) Γ(m) = ∞ với m = 0 hoặc m là các số nguyên âm.
Chứng minh. Ta có Γ(0) = ∞. Từ phương trình (1.1.12), ta có

1
Γ(−1) = Γ(0) = ∞

−1
1
Γ(−2) = Γ(−1) = ∞
−2
...

Như vậy, ta có thể vẽ đồ thị của Γ(x). Việc vẽ các điểm kết hợp với các
định lý khác nhau dẫn đến đồ thị như trong Hình 1.1.

Hình 1.1: Đồ thị của hàm Gamma

11

1.1.3 Một số tính chất của hàm Gamma

Định lý 1.1.5. ([4]) Với mọi x > 0, Γ(x + 1) = xΓ(x).

Chứng minh. Từ công thức (1.1.11), ta có Γ(x + 1) = ∞

 txe−tdt.
u = tx
Đặt 0
dv = −e−tdt


du = xtx−1dt
Khi đó
v = −e−t

Suy ra ∞ ∞ ∞

txe−tdt = −txe−t + xtx−1e−tdt.

0 0 0

Khi đó

m ∞

Γ(x + 1) = lim −txe−t + xtx−1e−tdt
m→∞
0 0 ∞

= lim (−e−mmx) + x tx−1e−tdt.
m→∞
0

Vì lim mxe−m = 0 nên ta có

m→∞

∞

Γ(x + 1) = x tx−1e−tdt = xΓ(x).

0

Γ(x + 1) = xΓ(x) được gọi là phương trình hàm của hàm Gamma.
Chúng ta có thể mở rộng phương trình hàm của hàm Gamma cho các giá
trị âm bằng phép nghịch đảo,

Γ(x) = Γ(x + 1) ,

x

ví dụ như Γ −1 1

= −2Γ . Việc này cho phép chúng ta xác định
2 2

hàm Gamma trên toàn bộ trục số thực ngoài trừ các số nguyên âm

(0, −1, −2, ...).

Từ đó, ta có định lý dưới đây.

12

Định lý 1.1.6. ([4]) Với mọi n ∈ N, Γ(n + 1) = n!.
Chứng minh. Từ định lý 1.1.5, ta có

Γ(n + 1) = n.Γ(n)
= n.(n − 1).Γ(n − 1)
...
= n.(n − 1)...2.1.Γ(1)
= n!.Γ(1).

Ta có ∞ m
Γ(1) =
e−tdt = lim −e−t = lim (−e−m + 1) = 1.
m→∞
0 0 m→∞

Vậy Γ(n + 1) = n!

Định lý 1.1.7. ([4])

∞ Γ(x) = 2 e−t2t2x−1dt.

0

∞

Chứng minh. Ta có Γ(x) = tx−1e−tdt.

0

Đặt t = u2 ⇒ dt = 2udu.

Khi đó

Γ(x) = ∞ e−u2(u2)x−1.2udu

0
∞
−u2 2x−1

= 2 e u du

0
∞
−t2 2x−1

= 2 e t dt.

0

Định lý 1.1.8. ([4])

π/2 cos2x−1 θ sin2y−1 θ dθ = Γ(x)Γ(y)
2Γ(x + y)
0

13

Chứng minh. Ta chứng minh kết quả này bằng cách xét tích phân kép dưới
đây theo hai cách khác nhau

I= exp(−t2 − u2)t2x−1u2y−1 dt du

R

(trong đó R là góc phần tư đầu tiên của mặt phẳng Otu, được hiển thị ở
phần không gạch chéo trong Hình 1.2).

Hình 1.2: Mặt phẳng Otu

Đầu tiên, ta có

∞∞

I= exp(−t2 − u2)t2x−1u2y−1 dt du

t=0 u=0
∞ ∞
= e−t2t2x−1 dt. e−u2u2y−1 du

0 0

11
= Γ(x). Γ(y) (Sử dụng định lý 1.1.7)

22

1 (1.1.13)
= Γ(x)Γ(y).

4

Tiếp theo, ta thay đổi các biến thành mặt phẳng tọa độ cực r và θ

14

trong mặt phẳng Otu sao cho t = r cos θ và u = r sin θ. Khi đó, ta có

I= exp(−r2 cos2 θ − r2 sin2 θ)(r cos θ)2x−1(r sin θ)2y−1r dr dθ

R

= ∞ π/2 2x−1 2y−1 2y−1
−r2 2x−1
e r cos θ r sin θ r dr dθ

r=0 θ=0

= ∞ π/2 2y−1
−r2 2(x+y)−1 2x−1

er dr cos θ sin θ dθ

0 0

= 1 π/2 Γ(x + y) cos2x−1 θ sin2y−1 θ dθ. (1.1.14)
2
0

Từ hai biểu thức (1.1.13) và (1.1.14), ta thu được

1 π/2 Γ(x + y) cos2x−1 θ sin2y−1 θ dθ = 1Γ(x)Γ(y).
2 4
0

Suy ra

π/2 cos2x−1 θ sin2y−1 θ dθ = Γ(x)Γ(y) .
2Γ(x + y)
0

Như vậy, ta có điều phải chứng minh. Kết quả này sẽ đúng với x > 0

và y > 0, vì trong phạm vi này thì các hàm Gamma liên quan được xác

định.

Nhận xét 1.1.9.

1√
Γ = π.

2

1
Chứng minh. Theo Định lý 1.1.8, với x = y = , ta nhận được

2

π/2 Γ 12 Γ 12
dθ =
2Γ(1)
0

1 1 2

=Γ .
2 2

Tính tích phân ở vế trái, ta được

π1 1 2

=Γ .
22 2

15

Do đó 1 √

Γ 2 = ± π.

Theo Hệ quả 1.1.3, Γ(x) phải dương (vì tích phân ln dương) nên ta

có thể loại bỏ giá trị âm và thu được Γ 1√
= π như yêu cầu.
2

Hệ quả 1.1.10. ([4]) ∞ e−t2dt = 1√π.

0 2

Chứng minh. Ta có

Γ 1√
= π.
2

Theo Định lý 1.1.3, ta có

Γ 1 ∞ = t−1/2e−tdt.
2
0

Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt t = x2, dt = 2xdx, ta được

Γ 1 ∞ = x−1e−x22xdx = √π.
2
0

Do đó −x ∞ 2 √π

e dx = .
2
0

Vì e−x2 đối xứng qua x = 0 nên ta có

∞ e−x2 ∞ dx = 2 e−x2dx = √π.

−∞ 0

Một tính chất quan trọng khác của hàm Gamma được đưa ra trong
công thức Gauss.

Định lý 1.1.11. ([5]) Với mọi số nguyên dương cố định n ≥ 2, ta có

Γ(x)Γ x + 1 . . . Γ x + n − 1 = (2π)(n−1)/2n(1/2)−nxΓ(nx). (1.1.15)
n n

16

Chứng minh. Để chứng minh công thức này, trước tiên ta lưu ý rằng ta có
thể viết định nghĩa hàm Gamma dưới dạng:

m!mx−1
Γ(x) = lim

m→∞ (x)m

(m − 1)!mx
= lim

m→∞ x(x + 1) . . . (x + m − 1)

= lim (mn − 1)!(mn)x .

m→∞ x(x + 1)...(x + mn − 1)

Ta định nghĩa hàm f (x) như sau:

f (x) = nnxΓ(x)Γ(x + x1 ) . . . Γ(x + n−n 1)
nΓ(nx)

n−1 (m − 1)!mx+k/n

nnx−1 lim
k=0 m→∞ x + nk k k
x + n + 1 ... x + n + m − 1

= (mn − 1)!(mn)nx

lim
m→∞ nx(nx + 1 . . . (nx + nm − 1))

= lim [(m − 1)!]nm(n−1)/2nmn−1(nx)(nx + 1) . . . (nx + mn − 1)

m→∞ n−1

(mn − 1)! [(nx + k)(nx + k + n) . . . (nx + k + mn − n)]

k=0

= lim [(m − 1)!]nm(n−1)/2nnm−1 .

m→∞ (nm − 1)!

1
Do đó, f là hàm hằng. Đặt x = , ta được

n

f (x) = Γ 1 Γ 2 ...Γ n−1 > 0.

n n n

Vì vậy, ta có

[f (x)]2 = πn−1
.
π 2π (n−1)π
sin n sin n . . . sin n

Từ kết quả

π 2π (n − 1)π n
sin n sin n . . . sin n = 2n−1 với n = 2, 3, . . . ,