Hàm polygamma, hàm zeta và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NGUYỄN THỊ HOA

Đề tài
HÀM POLYGAMMA, HÀM ZETA

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

ĐỀ TÀI THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Bình Định - Năm 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN THỊ HOA

Đề tài
HÀM POLYGAMMA, HÀM ZETA

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 8242592007
Khóa 24 (2021-2023)

Người hướng dẫn: TS. LÊ VĂN AN

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đề án Hàm Polygamma, hàm Zeta và một số
ứng dụng là kết quả nghiên cứu và tổng hợp của bản thân, được thực hiện
dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Lê Văn An, giảng viên trường Đại học
Quy Nhơn. Những phần sử dụng tài liệu tham khảo trong luận văn đã được
nêu rõ trong phần tài liệu tham khảo và trích dẫn cụ thể trong q trình
thể hiện nội dung. Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm nếu có sự không
trung thực về các thông tin sử dụng trong quá trình hồn thành đề án này.

Tác giả
Nguyễn Thị Hoa

Lời cảm ơn

Trong quá trình xây dựng đề cương và hồn thành đề án thạc sĩ, tơi
đã nhận được rất nhiều sự động viên, khuyến khích và giúp đỡ để có thể
thuận lợi đạt được kết quả mong muốn. Do vậy, tôi xin được gửi lời cảm
ơn đến q Thầy, Cơ và các đơn vị phịng ban của phòng Đào tạo sau đại
học tại Trường Đại học Quy Nhơn đã luôn luôn theo dõi và tạo điều kiện
trong suốt q trình tơi học tập và nghiên cứu tại đây. Hơn hết là lời tri
ân sâu sắc đến q Thầy, Cơ giáo của khoa Tốn và Thống kê ; quý Thầy,
Cô là giảng viên thỉnh giảng đã trực tiếp giảng dạy các chun đề, giúp
tơi có được nền tảng kiến thức vững chắc để hoàn thiện đề án này.

Đặc biệt, cho phép tôi được bày tỏ sự trân quý và biết ơn sâu sắc nhất
đến TS. Lê Văn An, giảng viên hướng dẫn trực tiếp của tơi. Xin phép được
cảm ơn Thầy vì sự hướng dẫn tận tình và chu đáo, ln sẵn sàng lắng nghe
và dẫn dắt tôi đi đúng hướng trong vấn đề nghiên cứu của mình.

Bên cạnh đó, tơi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến gia đình và bạn bè
đã ln hỗ trợ và khuyến khích tơi trong suốt quá trình học tập, nghiên

cứu và viết đề án này. Với thời gian nghiên cứu còn hạn chế, đề án khơng
thể tránh khỏi những thiếu sót, tơi rất mong nhận được các ý kiến, đóng
góp chân thành từ quý Thầy, Cô giáo; đồng nghiệp và bạn bè.

Xin chân thành cảm ơn.

Quy Nhơn, tháng 10 năm 2023
Tác giả

Nguyễn Thị Hoa

Mục lục

Danh mục các kí hiệu, chữ viết tắt i

Mở đầu 1

1 Kiến thức cơ sở 2

1.1 Lý thuyết chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Tích phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số . . . . . . . . 8

1.3.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số . . . . . . . . 9

1.4 Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Số Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Hàm Polygamma 13

2.1 Hàm Polygamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.3 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.4 Một số giá trị đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.1 Tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2.2 Tính tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.3 Bài toán tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Hàm Zeta 43

3.1 Hàm Rimeman Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.2 Đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.3 Một số định lí và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.4 Một số giá trị đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 Tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2 Tính tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.3 Bài toán tương tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Tài liệu tham khảo 68

Một số kí hiệu viết tắt

Γ(z) Hàm Gamma
ψ(n) Hàm Polygamma

ζ(s) Hàm Zeta

Bj Số Bernoulli

β(p, q) Hàm Beta

Re z Phần thực của số phức z

ln(x) Logarit tự nhiên của x

γ Hằng số Euler

i

MỞ ĐẦU

Tích phân và tổng chuỗi là những vấn đề cơ bản nhất của Tốn học,
là cơng cụ đắc lực để nghiên cứu tốn và có rất nhiều ứng dụng trong đời
sống. Do đó, việc nghiên cứu về tích phân và tổng chuỗi đã và đang thu
hút được sự quan tâm của đông đảo người giảng dạy Tốn từ phổ thơng
đến đại học, cũng như nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên
cứu Toán. Một trong những cơng cụ mạnh mẽ để nghiên cứu tích phân và
tổng chuỗi là các hàm đặc biệt, mà đại diện nổi tiếng nhất là hàm Gamma
và hàm Beta. Các hàm này đã được các nhà toán học như Euler, Legendre,
Laplace, Gauss, Riemann, ... nghiên cứu từ rất lâu và đạt được khối kiến
thức đồ sộ, sâu và rộng.

Trong những năm gần đây, hàm Polygamma, hàm Zeta đã và đang là
chủ đề được các nhà toán học quan tâm. Việc tìm hiểu các kết quả về hàm
Polygamma và Zeta, đặc biệt là tìm hiểu ứng dụng của chúng trong việc
tính tổng và tính tích phân, hai vấn đề thường gặp trong Tốn phổ thơng,
là rất bổ ích và cần thiết cho việc giảng dạy và nghiên cứu Tốn ở phổ
thơng. Do đó, học viên đã chọn đề tài “Hàm Polygamma, hàm Zeta và một
số ứng dụng” để nghiên cứu cho đề án tốt nghiệp thạc sĩ của mình.

Trong đề án này, chương 1 tơi trình bày các định nghĩa, tính chất liên
quan đến chuỗi bao gồm chuỗi số và chuỗi hàm; một số vấn đề liên quan
đến tích phân suy rộng và tích phân phụ thuộc tham số; hàm Gamma và
số Bernoulli.

Nội dung trình bày chính tập trung ở chương 2, chương 3 đó là định
nghĩa, tính chất và một số ứng dụng của hàm Polygamma, hàm Zeta vào
tính tích phân và tổng chuỗi thường gặp ở chương trình phổ thơng.

1

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Trong chương này, tơi trình bày ngắn gọn các vấn đề lý thuyết làm cơ
sở cho các vấn đề trình bày ở hai chương sau. Các vấn đề về chuỗi số, chuỗi
hàm, tích phân suy rộng, tích phân suy rộng phụ thuộc tham số cũng được
nhắc lại. Ta cũng sẽ tìm hiểu sơ qua định nghĩa và các tính chất của hàm
Gamma. Phần cuối chương tôi đưa ra định nghĩa và một số giá trị cụ thể
của số Bernoulli. Tài liệu tham khảo chính chủ yếu từ [1], [2], [4], [5].

1.1 Lý thuyết chuỗi

1.1.1 Chuỗi số

Định nghĩa 1.1. Cho trước một dãy số {un}. Kí hiệu hình thức (1.1)

∞

u1 + u2 + u3 + · · · + un + · · · = un

n=1

được gọi là một chuỗi số (đôi khi ta gọi tắt là chuỗi). Ta định nghĩa dãy

số {Sn} cho bởi

S1 = u1, S2 = u1 + u2, . . . , Sn = u1 + u2 + · · · + un, . . .

và gọi là dãy tổng riêng của chuỗi (1.1). Đại lượng Sn được gọi là tổng
riêng thứ n của chuỗi.

2

3

Định nghĩa 1.2. Chuỗi (1.1) được gọi là hội tụ và có tổng là S nếu dãy

tổng riêng {Sn} hội tụ đến S. Khi đó ta viết

∞

un = S.

n=1

Ngược lại, nếu dãy tổng riêng {Sn} phân kỳ, ta nói chuỗi (1.1) phân kỳ.

∞

Định lí 1.3. (Điều kiện cần cho một chuỗi tụ). Nếu chuỗi un hội tụ

n=1

thì lim un = 0. Ngược lại nói chung khơng đúng.

n→∞

∞ ∞

Định lí 1.4. (Các phép tốn). Cho hai chuỗi un và vn và số thực

n=1 n=1

c̸ = 0. Khi đó ∞ ∞ ∞

i) Nếu hai chuỗi un và vn hội tụ thì các chuỗi (un ± vv) và

∞ n=1 n=1 n=1

(cun) cũng hội tụ và hơn nữa

n=1

∞ ∞ ∞ ∞ ∞

(un ± vv) = (un) ± (vn) , (cun) = c (un).

n=1 n=1 n=1 n=1 n=1

∞ ∞

ii) Nếu chuỗi un phân kỳ thì chuỗi (cun) cũng phân kỳ.

n=1 n=1

1.1.2 Chuỗi hàm

Như cách thức định nghĩa chuỗi số, chuỗi hàm cũng được định nghĩa
thông qua dãy hàm. Tức là, fn : D → R là một dãy hàm thì ký hiệu hình
thức ∞

f1 + f2 + f3 + · · · + fn + · · · = fn

n=1

được gọi là một chuỗi hàm. Như vậy đối với chuỗi hàm ta cũng có các khái
niệm hội tụ điểm và hội đều theo định nghĩa sau.

4

∞

Định nghĩa 1.5. Ta nói chuỗi hàm fn, trong đó fn : D → R, D ⊂ R,

n=1

hội tụ điểm hay hội tụ đơn giản đến hàm f : D → R nếu dãy hàm tổng
n ∞

riêng Sn = fk hội tụ điểm đến hàm f . Khi đó ta ký hiệu fn = f

k=1 ∞ n=1

(đơn giản trên D). Ta cũng nói chuỗi hàm fn hội tụ đều đến hàm f

n=1

trên D nếu dãy hàm tổng riêng {Sn} hội tụ đều đến hàm f trên D. Khi

∞

đó ta kí hiệu fn = f (đều trên D).

n=1

Định lí 1.6. (Tổng của chuỗi hàm liên tục, hội tụ đều). Nếu chuỗi hàm

∞

fn hội tụ đều trên miền D ⊂ R đến hàm f và nếu mỗi hàm fn,

n=1

n = 1, 2, . . .liên tục trên D thì hàm f liên tục trên D.

Định lí 1.7. (Tổng của chuỗi hàm liên tục, hội tụ đều). Nếu chuỗi hàm

∞

fn hội tụ đều trên miền [a, b] đến hàm f và nếu mỗi hàm fn, n =

n=1

1, 2, . . ., liên tục trên [a, b] thì

b ∞b

f (x)dx = fn(x)dx.

a n=1 a

∞

Định lí 1.8. Cho chuỗi hàm fn hội tụ điểm đến hàm f trên [a, b]. Nếu

n=1
∞

′

fn, n = 1, 2, . . ., có đạo hàm liên tục trên [a, b] và chuỗi hàm fn hội tụ

n=1
∞

′ ′
đều trên [a, b] thì f (x) = fn(x), với mọi x ∈ [a, b].

n=1

Định nghĩa 1.9. Cho {an}n=0 ∞ là một dãy các số thực và c ∈ R. Một chuỗi

dạng ∞

an(x − c)n

n=0

5

được gọi là một chuỗi lũy thừa tâm c. Các số thực an, n = 0, 1, . . ., được
gọi là các hệ số của chuỗi lũy thừa.

Định lí 1.10. (Đạo hàm chuỗi lũy thừa). Giả sử

∞

f (x) = an(x − c)n

n=0

trong đó chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ là R > 0. Khi đó f có đạo hàm

mọi cấp trên miền {x : |x − c| < R}, và với m ∈ N cố định,

∞

f (m)(x) = ann(n − 1) · · · (n − m + 1)(x − c)n−m.

n=m

Hơn nữa, hệ số an được xác định bởi

f (n)(c)

an = n! .

Hệ quả 1.11. (Tính liên tục và khả tích của chuỗi lũy thừa). Giả sử

∞

f (x) = an(x − c)n,

n=0

trong đó chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ R > 0. Khi đó f liên tục trên

miền {x : |x − c| < R}. Hơn nữa, với mọi x thỏa |x − c| < R,

x ∞ x

f (y)dy = an(y − c)ndy.

c n=0 c

Ví dụ 1. Khai triển một số hàm cơ bản thành chuỗi lũy thừa với tâm 0:
• 1 = xn ∞ , |x| < 1;

1 − x n=0
∞ • ln(1 + x) = (−1) xn n+1 , |x| < 1;

n=0 n
∞ • arctan x = (−1) x2n−1 n+1 , x ∈ R;

n=1 2n − 1

6

• ex ∞ = 1 xn, x ∈ R;
n=0 n!
∞ sin nπ
• sin x = 2 xn, x ∈ R;
n=1 n!
∞ cos nπ
• cos x = 2 xn, x ∈ R.
n=0 n!

1.2 Tích phân suy rộng

1.2.1 Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.12. Cho hàm số xác định trên [a, +∞) và khả tích trên

mọi đoạn hữu hạn [a, b], với b > a. Ta gọi giới hạn

b

I = lim f (x)dx

b→+∞ a

là tích phân suy rộng loại 1 của f (x) trên [a, +∞) và kí hiệu là

+∞ b

f (x)dx := lim f (x)dx = I.
b→+∞ a
a

+∞

Nếu I hữu hạn ta nói tích phân suy rộng f (x)dx hội tụ, còn trong

a
+∞

trường hợp ngược lại thì ta nói tích phân suy rộng f (x)dx là phân

a

kỳ.

Tích phân suy rộng trên các khoảng (−∞, b] và (−∞, +∞) cũng được

định nghĩa tương tự.

Định nghĩa 1.13. Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a, b), trong đó

lim f (x) = ∞ (điểm b gọi là điểm bất thường của f (x)). Giả sử f (x) khả
−
x→b

tích trên mọi đoạn [a, b − ε], với ε > 0 bé tùy ý. Ta gọi giới hạn

lim b−ε

ε→0+ f (x)dx

a

7

b

là tích phân suy rộng loại 2 của f (x) trên [a, b] và ký hiệu là f (x)dx.

b b−ε a

Như vậy f (x)dx = lim f (x)dx.
ε→0+ a
a

Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân suy rộng

b

f (x)dx hội tụ, cịn trong trường hợp ngược lại thì ta nói tích phân suy

a
b

rộng f (x)dx phân kỳ.

a

Định nghĩa 1.14. Cho hàm số y = f (x) xác định trên [a, b] \ {c}, c ∈

c

(a, b), trong đó lim f (x) = ∞. Nếu cả hai tích phân suy rộng f (x)dx
x→c
a
b c b

và f (x)dx đều tồn tại và tổng f (x)dx + f (x)dx có nghĩa thì

c a c

tổng này được gọi là tích phân suy rộng của hàm số f trên [a, b] và được

b

kí hiệu là f (x)dx. Như vậy

a

b c b

f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx.

a a c

1.2.2 Một số tính chất

Ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau áp dụng cho tích phân
suy rộng loại 1 và tương tự áp dụng cho tích phân suy rộng loại 2.

+∞ +∞

Tính chất 1.15. Nếu các tích phân suy rộng f (x)dx và g(x)dx

+∞ a +∞ a

hội tụ thì tích phân suy rộng f (x)dx + g(x)dx hội tụ và

a a

+∞ +∞ +∞

[f (x) + g(x)] dx = f (x)dx + g(x)dx.

a a a

+∞

Tính chất 1.16. Nếu tích phân f (x)dx hội tụ và k là một hằng số

+∞ a +∞ +∞

thực thì tích phân kf (x)dx hội tụ và kf (x)dx = k f (x)dx.

a a a

8

Tính chất 1.17. Nếu trong mọi đoạn [a, b] ta áp dụng công thức Newton-

Leibnitz

b

f (x)dx = F (x)|ab = F (b) − F (a)

a

+∞

và tồn tại lim F (b) = F (+∞) thì f (x)dx = F (+∞) − F (a).
b→+∞
a

Tính chất 1.18. (Cơng thức tích phân từng phần)

Nếu u(x), v(x) là những hàm khả vi liên tục trên [a, +∞) và giới hạn

lim u(x)v(x) tồn tại hữu hạn thì

x→+∞

+∞ +∞
udv = uv|a+∞ − vdu,
a a

trong đó uv|a+∞ = lim [u(x)v(x)] − u(a)v(a).

x→+∞

1.3 Tích phân phụ thuộc tham số

1.3.1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số

Định nghĩa 1.19. Cho D = [a, b] × [c, d] ⊂ R2. Giả sử α, β là các hàm
số xác định trên [c, d] và thỏa mãn α(t), β(t) ∈ [a, b] với mọi t ∈ [c, d].

Giả sử hàm số f (·, t) khả tích trên đoạn [a, b]. Khi đó

β(t)

I(t) = f (x, t)dx, t ∈ [c, d] (1.2)

α(t)

xác định một hàm số theo biến t và biểu thức ở vế phải của (1.2) được gọi

là tích phân phụ thuộc tham số.

Định lí 1.20. Giả sử
1. Hàm f liên tục trên hình chữ nhật D = [a, b] × [c, d] ⊂ R2;

9

2. Các hàm số α, β liên tục trên [c, d] và thỏa mãn α(t), β(t) ∈ [a, b] với

mọi t ∈ [c, d]. β(t)
Khi đó hàm I(t) =
f (x, t)dx liên tục trên [c, d].

α(t)

Định lí 1.21. Giả sử

1. Hàm f liên tục trên hình chữ nhật D = [a, b] × [c, d] ⊂ R2;
∂f

2. Hàm số f (x, t) có đạo hàm riêng liên tục trên D;
∂t

3. Các hàm số α, β liên tục [c, d] và thỏa mãn α(t), β(t) ∈ [a, b] với mọi

t ∈ [c, d].

β(t)

Khi đó hàm I(t)= f (x, t)dx khả vi và liên tục trên [c, d] và đạo hàm

α(t)

của nó được tính theo cơng thức

β(t) I′(t) = ∂f (x, t)dx + β′(t)f (β(t), t) − α′(t)f (α(t), t), ∀t ∈ [c, d] .
α(t) ∂t

1.3.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số

Định nghĩa 1.22. Cho hàm số f xác định trên [a; ∞) × [c; d] ⊂ R2. Giả

∞

sử tích phân suy rộng f (x, t)dx tồn tại ∀t ∈ [c, d]. Khi đó hàm số

a

∞ t ∈ [c, d] (1.3)

I(t) = f (x, t)dx,

a

được gọi là tích phân suy rộng phụ thuộc tham số.

Định nghĩa 1.23. Tích phân suy rộng (1.3) được gọi là hội tụ trên [c, d]
nếu nó hội tụ tại ∀t ∈ [c, d], nghĩa là

∀ε > 0, ∀t ∈ [c, d] , ∃A0 = A0(ε, t) > 0, ∀A > A0

ta có

A ∞

I(t) − f (x, t)dx = f (x, t)dx < ε.

a A

10

Số A0 nói chung phụ thuộc tham ε và t. Trong trường hợp số A0 chỉ phụ
thuộc vào ε chung cho ∀t ∈ [c, d] thì ta có sự hội tụ đều.

Định nghĩa 1.24. Tích phân suy rộng (1.3) được gọi là hội tụ đều trên

[c, d] nếu với mọi ε > 0, tồn tại A0 = A0(ε) > a sao cho

∞

f (x, t)dx < ε, ∀A > A0, ∀t ∈ [c, d] .

A

Định lí 1.25. Giả sử

1. Hàm f liên tục trên D = [a; ∞) × [c; d];

∞

2. Tích phân f (x, t)dx hội tụ đều trên [c, d].

a∞

Khi đó hàm I(t) = f (x, t)dx liên tục trên [c, d].

a

Định lí 1.26. Giả sử

∂f
1. Hàm số f liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên [a; ∞) × [c; d];
∞ ∂t
∞ ∂f

2. Tích phân f (x, t)dx hội tụ và a ∂t dx hội tụ đều trên [c, d].

a∞

Khi đó hàm I(t) = f (x, t)dx khả vi liên tục trên [c, d] và

a

I′ ∞ (t) = ∂f dx, ∀t ∈ [c, d] .
a ∂t

1.4 Hàm Gamma

Để thuận tiện cho việc tìm hiểu một số tính chất của hàm Gamma,
trước hết ta có bổ đề sau.

Bổ đề 1.27. z e−kz chỉnh hình trên C và G(z) = 0 tại z =
1+
∞
k
i) G(z) =

k=1

−1, −2, . . .

11

∞ z2
ii) sin z = z 1 − k2π2 .
k=1
1∞ 1 1
iii) cot z = + + .
z n=1 z + nπ z − nπ

Tiếp theo ta định nghĩa hàm Gamma

Định nghĩa 1.28. Hàm Gamma được kí hiệu là Γ, hàm được xác định

bởi

∞

Γ(z) = e−ttz−1dt, Re z > 0.

0

Từ định nghĩa trên, ta suy ra một số tính chất của hàm hàm Gamma
như sau

Định lí 1.29.

Với mọi số phức C thỏa mãn Re z > 0, ta có Γ(z + 1) = zΓ(z).

∞

Đặc biệt Γ(1) = e−tdt = 1.

0

Từ đó dễ dàng có công thức Γ(n + 1) = n! với mọi n ∈ N∗.

Định lí 1.30. Ta có z e− kz , z ∈ C (1.4)
1 = zeγz ∞ 1+

Γ(z) k

k=1

trong đó γ là hằng số Euler, tức γ là giới hạn của dãy

1 1
γn = 1 + 2 + · · · + n − ln n.

Từ định lý trên ta suy ra Γ(z) khơng có khơng điểm.

Định lí 1.31. Với mọi z ∈ C thỏa mãn Re z > 0 ta có

i) Γ(z)Γ(1 − z) = π . (1.5)
(1.6)
1 sin√πz
πΓ(2z)
ii) Γ(z).Γ(z + 2) = 22z−1 .

12

Định lí 1.32. Với mọi p > 0, q > 0, ta có

i) β(p, q) = Γ(p)Γ(q) , (1.7)

Γ(p + q) (1.8)
(1.9)
trong đó β(p, q)là hàm Beta được xác định theo cơng thức

1

β(p, q) = xp−1(1 − x)q−1dx, p>0, q>0.

0

π
ii) Γ(p).Γ(q) 2 = 2 sin2p−1u.cos2q−1udu.
Γ(p + q)
0

1.5 Số Bernoulli

Định nghĩa 1.33. Số Bernoulli Bk (k = 1, 2, 3 . . . ) là những hệ số thỏa
∞ = Bk xk.
x
mãn khai triển chuỗi sau x
e −1 k!
k=0

Nhận xét 1.34.
i) Khai triển của các số Bernoulli ex x− 1 = B0 0! + B1 1! x+ B2 2! x2 + B3 3! x3 +· · ·
ii) Một vài số Bernoulli đầu tiên

1 1 1 1
B0 = 1, B2 = 6, B4 = −30, B6 = 42, B8 = −30, · · ·

1
B1 = −2, B3 = B5 = B7 = · · · = 0.

Chương 2

Hàm Polygamma

Trong chương này tôi sẽ trình bày định nghĩa, một số tính chất của
hàm Polygamma, ứng dụng của hàm Polygamma để tính tích phân và
tính tổng. Tài liệu tham khảo chính từ các nguồn [3], [4], [5], [6].

2.1 Hàm Polygamma

2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.1. Cho n là số tự nhiên. Hàm Polygamma cấp n, kí hiệu
là ψ(n), được định nghĩa bởi đạo hàm cấp n + 1 của hàm ln Γ(s), nghĩa là

ψ(n)(s) = dn+1 ln Γ(s), s > 0.
dsn+1

Đặc biệt, khi n = 0, hàm Polygamma cấp 0, thường được kí hiệu là ψ và
được gọi là hàm Digamma. Như vậy,

d s > 0,
ψ(s) = ln Γ(s),

ds

và ψ(n) chính là đạo hàm cấp n của hàm Digamma.

13