Một số phương trình diophante cổ điển và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
BÙI VĂN HỒI

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE CỔ ĐIỂN
VÀ ỨNG DỤNG

ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
BÙI VĂN HỒI

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH DIOPHANTINE CỔ ĐIỂN
VÀ ỨNG DỤNG

NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 8460113

Người hướng dẫn: TS. Trương Thị Thanh Phượng

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đề án về đề tài “Một số phương trình Diophantine cổ điển và
ứng dụng” là cơng trình nghiên cứu cá nhân của tôi dưới sự hướng dẫn của thầy TS.
Trương Thị Thanh Phượng. Mọi số liệu sử dụng phân tích trong đề án và kết quả nghiên
cứu là do tôi tự tìm hiểu, phân tích một cách khách quan, trung thực, có nguồn gốc rõ

ràng. Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm về lời cam đoan này.

i

Lời cảm ơn

Để hồn thành được đề án này, tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường
Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn và Thống kê trường Đại
học Quy Nhơn, cùng quý thầy cơ giáo giảng dạy lớp cao học Phương pháp Tốn sơ cấp
khóa 24 đã dày cơng giảng dạy trong suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong
q trình học tập và thực hiện đề án. Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Trương Thị
Thanh Phượng đã dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, chỉ bảo, tận tình giúp đỡ trong
quá trình xây dựng đề tài cũng như hoàn thiện đề án.

Nhân đây tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ về mặt tinh thần của gia đình,
bạn bè đã luôn tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hồn thành tốt khóa học và đề án.

Mặc dù đề án được thực hiện với sự nỗ lực cố gắng hết sức của bản thân, nhưng do
điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế
nên đề án khó tránh khỏi những thiếu sót. Tơi rất mong nhận được những góp ý của q
thầy cơ giáo để đề án được hoàn thiện hơn.

Bình Định, ngày ... tháng ... năm 2023
Học viên

Bùi Văn Hoài

ii

Mục lục

Mục lục ii

1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Quan hệ chia hết trên tập hợp các số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Quan hệ đồng dư trên tập hợp các số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Liên phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Các khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.2 Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . 9

2 Một số phương trình Diophantine cổ điển 11

2.1 Phương trình Diophantine tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Phương trình Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Một số phương trình đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.1 Một số phương trình Diophantine bậc hai và liên quan . . . . . . . 25

2.3.2 Một số phương trình Diophantine bậc cao . . . . . . . . . . . . . . 34

3 Một số phương pháp giải phương trình Diophantine 40

3.1 Phương pháp phân tích thành nhân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 Phương pháp bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Phương pháp tham số hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4 Phương pháp mô đun số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

iii

3.5 Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 Phương pháp suy giảm vô hạn của Fermat (FMID) . . . . . . . . . . . . . 64

4 Một số ứng dụng giải phương trình Diophantine 71

4.1 Ứng dụng phương trình Diophantine để giải các bài toán hoá học . . . . . 71

4.1.1 Cân bằng phương trình hố học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.1.2 Tìm cơng thức phân tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.2 Ứng dụng phương trình Diophantine để giải các bài toán trong lĩnh vực
giao thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

iv

Danh sách kí hiệu

Tronng luận văn này, chúng tơi sử dụng một số kí hiệu sau đây.

a| b a là ước của b.
pa, bq Ước chung lớn nhất của a và b.
gcdpa, bq Ước chung lớn nhất của a và b.

v

Danh sách hình

4.1 Hình 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2 Hình 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

vi

Mở đầu

Từ "Diophantine" trong phương trình Diophantine xuất phát từ tên của nhà toán học
người Hy Lạp trong thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên là Diophantus. Những nghiên cứu hiện
nay về các bài toán Diophantine mà nhà toán học Diophantus đã khởi xướng được gọi là
phân tích Diophantine. Phương trình Diophantine là phương trình đại số với hệ số nguyên
và số ẩn thường nhiều hơn số phương trình. Liên quan đến phương trình Diophantine, có
ba câu hỏi cơ bản được đặt ra. Một là, phương trình có giải được hay khơng, có nghĩa là
phương trình có một nghiệm hay nhiều hơn một nghiệm hay khơng. Hai là, nếu phương
trình giải được thì số nghiệm của phương trình là hữu hạn hay vơ hạn. Ba là, nếu phương
trình giải được thì hãy xác định tập tất cả các nghiệm của phương trình.

Phương trình Diophantine được tiếp tục nghiên cứu bởi các nhà toán học Trung Quốc
vào thế kỷ thứ 3, các nhà toán học Ả Rập trong khoảng thế kỷ thứ 8 và thế kỷ thứ 12,
và sau đó được nghiên cứu bởi các nhà toán học Fermat, Euler, Lagrange, Gauss và các
nhà khoa học khác. Chủ đề này hiện nay vẫn được các nhà khoa học nghiên cứu bởi tầm

quan trọng của nó trong tốn học đương đại.

Nhằm hiểu sâu hơn và hệ thống những kiến thức cơ bản về phương trình Diophantine
cũng như những ứng dụng của chúng trong các vấn đề thực tiễn, phù hợp với mục tiêu của
chương trình phổ thơng 2018 hiện hành, tơi chọn đề tài “Một số phương trình Diophantine
cổ điển và ứng dụng” cho luận văn thạc sĩ của mình. Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận
và Tài liệu tham khảo thì nội dung chính của đề án được trình bày trong 4 chương.

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản được sử dụng trong các chương sau
của luận văn, bao gồm: Quan hệ chia hết trên tập các số nguyên; Quan hệ đồng dư trên
tập hợp các số nguyên; Liên phân số, dạng toàn phương.
Chương 2: Một số phương trình Diophantine cổ điển

1

Trong chương này tơi trình bày một số phương trình Diophantine cổ điển bao gồm:
phương trình Diophantine tuyến tính; phương trình Pythagore và một số phương trình
đặc biệt.

Chương 3: Một số phương pháp giải phương trình Diophantine
Trong chương này tơi trình bày một số phương pháp giải phương trình Diophantine
và một số ví dụ áp dụng bao gồm:phương pháp phân tích thành nhân tử; phương pháp
bất đẳng thức; phương pháp tham số hố; phương pháp mơ đun số học; phương pháp
quy nạp toán học; phương pháp FMIDY.
Chương 4: Một số ứng dụng trong thực tiễn
Chương này dành cho việc trình bày một số ứng dụng trong thực tiễn như: hoá học,
giao thông.

2

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Quan hệ chia hết trên tập hợp các số nguyên

Định nghĩa 1.1.1. Số a P Z được gọi là chia hết cho số b với b ‰ 0 nếu tồn tại số nguyên
q sao cho a “ b.q. Ký hiệu là a...b hay b | a. Khi đó b gọi là ước số của a hay a là bội của
b, còn q gọi thương của phép chia a cho b. Nếu a không chia hết cho b ta ký hiệu là b a.
Định lý 1.1.1. Nếu các số a1, a2, ..., an chia hết cho m thì a1 ` a2 ` ... ` an chia hết cho
m.
Định lý 1.1.2. Nếu mỗi số ai chia hết cho mi, 1 ď i ď n thì tích a1a2...an chia hết cho
tích m1m2...mn.
Hệ quả 1.1.1. Nếu a chia hết cho m thì với số tự nhiên n tuỳ ý, an chia hết cho mn.
Hệ quả 1.1.2. Nếu tồn tại ai chia hết cho m, 1 ď i ď n thì tích a1a2...an chia hết cho
m.
Định lý 1.1.3. Với mọi cặp số nguyên a, b mà a ` b khác 0 và với mọi số nguyên không
âm n, số a2n`1 ` b2n`1 chia hết cho a ` b.
Định lý 1.1.4. Với mọi cặp số nguyên a, b mà a ´ b khác 0 và với mọi số tự nhiên n, số
an ´ bn chia hết cho a ´ b.
Hệ quả 1.1.3. Với mọi cặp số nguyên a, b mà a2 ´ b2 khác 0 và với mọi số nguyên dương
n, số a2n ´ b2n chia hết cho a ` b.

3

Định nghĩa 1.1.2. Số tự nhiên p ą 1 được gọi là số nguyên tố, nếu ngoài 1 và p nó
khơng cịn ước số tự nhiên nào khác.

Số tự nhiên lớn hơn 1 và có nhiều hơn hai ước số tự nhiên được gợi là hợp số.

Số 1 chỉ có đúng một ước số tự nhiên. Số 1 không là số nguyên tố cũng không là hợp
số.

Bổ đề 1.1.1. Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có ít nhất một ước số là số nguyên tố.

Định lý 1.1.5. Nếu số tự nhiên a lớn hơn 1 và không chia hết cho số nguyên tố nào nhỏ
hơn hoặc bằng ?a thì a là số nguyên tố.

Chứng minh. Giả sử a là hợp số, đặt a “ m.n với m ď n. Khi đó a chia hết cho m và
m ď ?a.

Giả sử m có ước nguyên tố là p thì p ď m. Khi đó a chia hết cho p và p ď ?a. Điều
này trái với giả thiết a không chia hết cho các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng ?a.

Khái niệm 1.1.1. Nếu a, b là các số ngun khơng đồng thời bằng 0 thì tập hợp các ước
số chung của a, b là hữu hạn và chứa `1, ´1. Chúng ta quan tâm đến số nguyên lớn nhất
nằm trong các ước số chung này.

Ước số chung lớn nhất của hai số nguyên không đồng thời bằng không a và b là số
nguyên lớn nhất chia hết đồng thời cả a và b.

Ước số chung lớn nhất của hai số nguyên a và b được kí hiệu là pa, bq.
Khái niệm ước số chung lớn nhất của các số nguyên không đồng thời bằng khơng
a1, a2, a3, ..., an được hiểu hồn tồn tương tự như khái niệm ước số chung lớn nhất của
hai số ngun. Đó chính là số ngun lớn nhất chia hết đồng thời tất cả các aj, 1 ď j ď n.
Ước số chung lớn nhất của các số nguyên a1, a2, a3, ..., an được kí hiệu là pa1, a2, a3, ..., anq.
Cặp số ngun khơng có ước số chung lớn hơn 1 được gọi là nguyên tố cùng nhau.
Ta có pa, bq “ pb, aq và pa, bq “ p|a|, |b|q.

Nếu a, b, c là các số nguyên và pa, bq “ d thì

ab

i/ p d , dq “ 1,
ii/ pa ` cb, bq “ pa, bq.

4

Nếu a, b là các số ngun thì ta nói số ngun dạng ma ` nb là tổ hợp tuyến tính của
a và b, trong đó m, n là các số nguyên.

Cho tập M ‰ ∅ gồm các số nguyên. Tập M được gọi là modulo nếu với m, n P M thì
m ´ n P M . Từ định nghĩa modulo suy ra rằng, nếu m, n P M thì

0 “ m ´ m P M, ´n “ 0 ´ n P M, m ` n “ m ´ p´nq P M.

Nói một cách khác, nếu a, b P M thì các tổ hợp tuyến tính của a và b cũng thuộc M .
Modulo M “ t0u được gọi là modulo tầm thường.
Định lý 1.1.6. Nếu pa, bq “ d thì tồn tại hai số nguyên p và q sao cho ap ` bq “ d.
Bổ đề 1.1.2. Giả sử a, b, q, r là những số thoả mãn đẳng thức a “ bq ` r khi đó pa, bq “
pb, rq.

Dựa vào bổ đề trên, để tìm ước số chung lớn nhất của hai số nguyên a và b khác 0, ta
chia a cho b p|a| ě |b|q. Khi đó a “ bq ` r với 0 ď r ă |b|.

Nếu r “ 0 thì dừng lại. Nếu r ą 0 ta chia b cho r và nhận được đẳng thức tương tự
b “ rq1 ` r1, với 0 ě r1. Tiếp tục quá trình trên ta nhận được: a “ bq ` r, b “ rq1 ` r1, r “
r1q2 ` r2, ..., rk´2 “ rk´1qk ` rk, rk´1 “ rkqk`1 ` rk`1. Vì những số r, r1, r2, ..., rk, rk`1 tạo
thành dãy giảm ngặt những số không âm, nên tồn tại k để rk`1 “ 0. Khi đó, đẳng thức sau
cũng có thể viết rk´1 “ rkqk`1. Theo bổ đề 1.1.2, ta có rk “ prk, rk´1q “ ... “ pr, bq “ pa, bq.

Q trình trên gọi là thuật tốn Euclide.

1.2 Quan hệ đồng dư trên tập hợp các số nguyên

Định nghĩa 1.2.1. Cho m là số nguyên dương và a, b là những số nguyên. Ta nói rằng
a đồng dư với b theo modul m, nếu pa ´ bq...m và ký hiệu là a ” b (mod m). Trường hợp
ngược lại, ta nói rằng a khơng đồng dư với b theo modul m và viết a ı b (mod m).
Định nghĩa 1.2.2. Cho n là số nguyên dương. Ký hiệu ϕpnq là số lượng tất cả các số tự
nhiên không lơn hơn n và nguyên tố cùng nhau với n. Hàm ϕpnq gọi là hàm Euler.
Định lý 1.2.1. Nếu pa, nq “ 1 thì aϕpnq ” 1 (mod n).

5

1.3 Liên phân số

Định nghĩa 1.3.1. Liên phân số hữu hạn là một biểu thức có dạng q1 ` q2` 1 1 . trong
..` 1

qn

đó q1 P Z, qi P Z˚, @i “ 2, n và được ký hiệu là rq1, q2, ..., qns.

Bằng Thuật toán Euclide, ta có thể biểu diễn số hữu tỷ a dưới dạng liên phân số hữu
b

hạn như sau: a “ bq1 ` r1, b “ r1q2 ` r2, r1 “ r2q3 ` r3, ..., rn´3 “ rn´2qn´1 ` rn´1, rn´2 “

rn´1qn.

Từ đẳng thức đầu tiên ta nhận được ba “ q1 ` r1 “ q1 ` b1 .

b r1

Từ đẳng thức thứ hai ta có b “ q2 ` r2 “ q2 ` r1 1 .
r1 r1
r2

a 1
Suy ra b “ q1 ` 1 .
q2 ` r1

r2

Tiếp tục quá trình trên, ta được ab “ q1 ` q2` 1 1 . .
..` 1

qn

Định nghĩa 1.3.2. Cho dãy vô hạn những số nguyên q1, q2, ..., qn, ..., với qi ą 0, @i ą 1.
Khi đó ta gọi biểu thức

1
q1 ` 1

q2 ` . . . ` 1
qn ` 1
...

là liên phân số vơ hạn và kí hiệu rq1, q2, ..., qn, ...s; còn những số q1, q2, ..., qn, ... gọi là
những phân tử của liên phân số vô hạn.

Ta có thể biểu diễn số vơ tỷ α thành liên phân số như sau

1
q1 “ rαs, α1 “ α ´ q1

1
q2 “ rα1s, α2 “ α1 ´ q2

...
1

qn “ rαn´1s, αn “ αn´1 ´ qn
...

6

Khi đó α “ rq1, q2, ..., qn, ...s.
Cho liên phân số α “ rq1, q2, ..., qn, ...s. Ta xác định hai dãy số Pn và Qn với n “ 1, 2, ...
theo công thức sau:

Pn “ qnPn´1 ` Pn´2, Qn “ qnQn´1 ` Qn´2, trong đó P0 “ 1, Q0 “ 0, P1 “ q1, Q1 “ 1.
Định lý 1.3.1. Thương số Pn biểu diễn giản phân thứ n liên phân số α, nghĩa là

Qn
Pn “ rq1, q2, ..., qn, ...s.
Qn
Định lý 1.3.2. Với mọi số tự nhiên n đẳng thức sau luôn đúng PnQn´1´QnPn´1 “ p´1qn.

Định nghĩa 1.3.3. Ta gọi liên phân số vô hạn rq0, q1, q2, ...s là tuần hoàn nếu dãy pqnq
là tuần hoàn kể từ một chỉ số nào đó tức là: tồn tại số nguyên dương m và k sao cho với

mọi n ě m có qn “ qn`k. Số nguyên dương k được gọi là chu kỳ. Trong trường hợp đó ta
viết rq0, q1, q2, ..., qm´1, qm, qm`1, ..., qm`k´1s.

Định nghĩa 1.3.4. Số vô tỷ α gọi là số vô tỷ bậc hai nếu nó nghiệm của của một tam
thức bậc hai với hệ số nguyên.

?
Ví dụ 1.3.1. Số vô tỷ α “ 2 ` 3 là số vô tỷ bậc hai vì nó là nghiệm của phương trình
x2 ´ 4x ` 1 “ 0.

Bổ đề 1.3.1. Số thực α là số vơ tỷ nếu và chỉ nếu có tồn tại các số nguyên a, b, c với

?
a` b.
b ą 0 và không chính phương, c ‰ 0 sao cho α “ c

Bổ đề 1.3.2. Nếu α là số vô tỷ bậc hai thì rα`s cũng là số vô tỷ bậc hai nếu r, s, t, u là
tα`u

các số nguyên.

?
a´ b
Định nghĩa 1.3.5. Số vô tỷ α “ c được gọi là liên hợp của α và ký hiệu là α1.

Bổ đề 1.3.3. Nếu số vô tỷ bậc hai α là nghiệm của phương trình Ax2 ` Bx ` C “ 0 thì
liên hợp của nó α1 cũng là nghiệm của phương trình đó.

Thật vậy, α ` α1 “ 2a “ ´B A , pαq.pα1q “ a2 ´ b “ AC .
c c2

Bổ đề 1.3.4. Ta có các hệ thức sau

i/ pα ˘ βq1 “ α1 ˘ β1,

ii/ pα.βq1 “ α1.β1,
iii/ p βα q1 “ β1 α1 .

7

Định lý 1.3.3. Số vơ tỷ α có biểu diễn liên phân số tuần hồn khi và chỉ khi nó là số vơ
tỷ bậc hai.

Ví dụ 1.3.2. Tìm x biết rằng x “ r3, 1, 2s

Ta có: x “ r3, ys với y “ r1, 2s. ta có y “ r1, 2, ys do đó y “1` 1 “ 2y`1 3y`1 .
2` 1
y

Suy ra 2y2 ´ 2y ´ 1 “ 0. Vì y ą 0 nên y “ p1 ` ?3q{2. Vì x “ 3 ` y1 nên ta tìm được

?

x “ 3 ` 2 1`?2 “ 4` 2 2 .

?
P` d
Bổ đề 1.3.5. Nếu α là số vô tỷ bậc hai thì nó có thể biểu diễn dưới dạng α “ Q trong

đó P, Q, d là các số nguyên sao cho Q|pd ´ P 2q.

?
Ví dụ 1.3.3. Khai triển liên phân số của số α “ p6 ` 28q{4.

Ta có P0 “ 6, Q0 “ 4, d “ 28, 4|p28 ´ 62q “ ´8, α0 “ p6 ` ?28q{4, a0 “ rα0s “ 2 và
P1 “ 2.4 ´ 6 “ 2, Q1 “ p28 ´ 22q{4 “ 6, α1 “ p2 ` ?28q{6, a1 “ rα1s “ 1
P2 “ 1.4 ´ 2 “ 4, Q2 “ p28 ´ 42q{6 “ 2, α2 “ p4 ` ?28q{2, a2 “ rα2s “ 4
P3 “ 4.2 ´ 4 “ 4, Q3 “ p28 ´ 42q{2 “ 6, α3 “ p4 ` ?28q{6, a3 “ rα3s “ 1
P4 “ 1.6 ´ 4 “ 2, Q4 “ p28 ´ 22q{6 “ 4, α4 “ p2 ` ?28q{4, a4 “ rα4s “ 1
P5 “ 1.4 ´ 2 “ 2, Q5 “ p28 ´ 22q{6 “ 4, α5 “ p2 ` ?28q{4, a5 “ rα5s “ 1

Ta thấy P1 “ P5, Q1 “ Q5 do đó a1 “ a5 và dãy tuần hồn chu kỳ 4. Ta có

?
6` 28
4 “ r2, 1, 4, 1, 1, 1s.

Định lý 1.3.4. Số vô tỷ bậc hai α có biểu diễn tuần hồn ngay từ đầu nếu và chỉ nếu
α ą 1 và ´1 ă α1 ă 0.

1.4 Dạng toàn phương

1.4.1 Các khái niệm liên quan

Định nghĩa 1.4.1. Dạng toàn phương của hai biến x, y là một biểu thức có dạng ax2 `
2bxy ` cy2 với a, b, c là những số nguyên không đồng thời bằng 0.

Số D “ b2 ´ ac được gọi là định thức dạng toàn phương.

8

Cho dạng toàn phương f px, yq “ ax2 ` 2bxy ` cy2. Ta đổi biến số x và y bằng những

biến ε và η theo công thức

$ (1.1)
’&x “ αε ` βη

’%y “ γε ` δη

trong đó α, β, γ, δ là những số nguyên.
Khi đó f px, yq “ a1ε2 ` 2b1εη ` c1η2 “ φpε, ηq, trong đó a1 “ aα2 ` 2bαγ ` cγ2,

b1 “ aαβ ` bαδ ` bβ ` cγδ, c1 “ aβ2 ` 2bβδ ` cδ2.
Đẳng thức (1.1) gọi là phép biến đổi dạng toàn phương. Số αδ ´ βγ gọi là mô đun của

phép biến đổi (1.1).

Hai dạng toàn phương gọi là tương đương nhau khi từ dạng thứ nhất chuyển đổi sang
dạng thứ hai, cũng như ngược lại đều thông qua một phép biến đổi với hệ số nguyên.

1.4.2 Biểu diễn số nguyên theo dạng toàn phương

Cho dạng toàn phương ax2 ` 2bxy ` cy2 và m là một số nguyên. Nếu tồn tại x0, y0 P Z
sao cho m “ ax20 ` 2bx0y0 ` cy02, ta nói rằng số nguyên m biểu diễn qua dạng toàn phương
ax2 ` 2bxy ` cy2.

Nếu m ‰ 0, giả sử rằng m biểu diễn được theo dạng toàn phương, tức là m “
ax20 ` 2bx0y0 ` cy02, với x0, y0 là những số nguyên tố cùng nhau.

Ta biết rằng khi x0, y0 là những số nguyên tố cùng nhau thì tồn tại hai số nguyên
p, q sao cho px0 ` qy0 “ 1. Khi đó, ta được đẳng thức sau: mU “ V 2 ´ pb2 ´ acq, với
U “ paq2 ´ 2bqp ` cp2q, V “ ppx0b ` y0cq ´ qpx0a ` y0bq. Từ đó suy ra nếu số m ‰ 0 biểu
diễn qua dạng toàn phương ax2 ` 2bxy ` cy2 với x “ x ´ 0, y “ y0 và px0, y0q “ 1, thì
tồn tại số nguyên V sao cho hiệu bình phương của số đó với định thức dạng toàn phương
chia hết cho m.

Mệnh đề 1.4.1. Nếu một số ngun biểu diễn thơng qua một dạng tồn phương đã cho
thì nó cũng biểu diễn thơng qua mọi dạng tồn phương khác, mà nó bao hàm bởi dạng
tồn phương đã cho.

Định lý 1.4.1. Nếu m là số nguyên khác 0, mà nó biểu diễn thơng qua dạng tồn phương
ax2 ` 2bxy ` cy2 với x “ x0, y “ y0, px0, y0q “ 1 và định thức D của nó là số dư bình

9

phương của số V đối với m thì những dạng toàn phương sau tương đương ax2 ` 2bxy ` cy2
và mε2 ` 2V εη ` V 2 ´ D η2.

m

10

Chương 2

Một số phương trình Diophantine cổ
điển

2.1 Phương trình Diophantine tuyến tính

Một phương trình có dạng

a1x1 ` ... ` anxn “ c (2.1)

trong đó a1, a2, ..., an là các số nguyên cố định, được gọi là phương trình Diophantine
tuyến tính. Giả sử rằng n ě 1 và các hệ số a1, a2, ..., an đều khác 0.

Chúng ta bắt đầu với trường hợp n “ 2. Kết quả chính liên quan đến các phương
trình Diophantine tuyến tính sau:

Định lý 2.1.1. Cho a, b, c là các số nguyên,a và b khác 0. Xét phương trình Diophantine
tuyến tính.

ax ` by “ c (2.2)

i/ Phương trình (2.2) giải được với số nguyên khi và chỉ khi d “ gcdpa, bq chia hết cho
c.

ii/ f px, yq “ px0, y0q là nghiệm riêng của (2.2 thì mọi nghiệm nguyên đều có dạng

b a (2.3)
x “ x0 ` d t, y ““ y0 ´ d t

trong đó t là một số nguyên.

11

iii/ Nếu c “ gcdpa, bq và |a| hoặc |b| khác 1 thì có thể tìm được một nghiệm riêng
px, yq “ px0, y0q từ (2.3) có thể tìm được |x0| ă |b| và |y0| ă |a| .

Chứng minh.

i/ Nếu d khơng chia hết c thì rõ ràng phương trình khơng giải được. Nếu d chia hết c,
thì chia cả hai vế của (2.2) cho 4, đủ để chứng minh rằng d là một tổ hợp tuyến tính
với các hệ số nguyên của a và b. Đối với điều này, ta sử dụng thuật toán Euclide. Giả
sử a “ bq ` r cho các số nguyên a, b, r và q. Dễ dàng thấy rằng mọi ước chung của
a và b đều là ước chung của b và r và ngược lại. Rõ ràng, nếu b|a thì gcdpa, bq “ b.
Nói chung, ta có gcdpa, bq “ gcdpb, rq. Những quan sát này dẫn đến một phép tính
đơn giản về gcd của hai con số. Ta viết a “ r´1 và b “ r0 (giả sử a, b dương và
a ě b):

r´1 “ r0q0 ` r1, 0 ď r1 ă r0
r0 “ r1q1 ` r2, 0 ď r2 ă r1
r1 “ r2q2 ` r3, 0 ď r3 ă r2
r2 “ r3q3 ` r4, 0 ď r4 ă r3
....

Quá trình phân chia này cuối cùng sẽ kết thúc, vì phần cịn lại ngày càng nhỏ hơn.

r´1 ą r0 ą r1 ą r2 ą ...,

Nói cách khác, một số rn chia hết rn´1 trước đó (và để lại phần dư rn`1 “ 0). Ta có
...

rn´2 “ rn´1qn´1 ` rn, 0 ď rn ă rn´1,
rn´1 “ rnqn

Từ đó

rn “ gcdprn´1, rnq “ gcdprn´2, rn´1q “ ... “ gcdpr´1, r0q “ gcdpa, bq

Phép tính trên của gcdpa, bq có thể được rút lại để cho gcdpa, bq dưới dạng một tổ
hợp nguyên của hai số a và b.

12