Một số vấn đề về bất đẳng thức và cực trị trong tam giác

BË GIO DÖC V€ €O T„O

TR×ÍNG „I HÅC QUY NHÌN
TR†N THÀ TRÓC LINH

MËT SÈ V‡N — V— B‡T NG THÙC V€
CÜC TRÀ TRONG TAM GIC

— N TH„C Sž TON HÅC

Bẳnh nh - Nôm 2023

1

Mưc lưc

Mð ¦u 1

1 Ki¸n thùc chu©n bà 2

1.1 C¡c h» thùc l÷đng cì b£n trong mët tam gi¡c. . . . . . . . . . 2

1.1.1 C¡c cỉng thùc l÷đng gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 C¡c h» thùc l÷đng gi¡c cì b£n . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 C¡c b§t ¯ng thùc cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 B§t ¯ng thùc Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 B§t ¯ng thùc Bunhiacopski . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 B§t ¯ng thùc Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.4 B§t ¯ng thùc Svacxì . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 B§t ¯ng thùc trong tam gi¡c 9

2.1 B§t ¯ng thùc tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 BĐt ng thực ữớng gĐp khúc . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 C¡c b§t ¯ng thùc cì b£n trong mët tam gi¡c . . . . . . . . . 13

2.4 C¡c b i to¡n v· b§t ¯ng thùc v cüc trà trong tam gi¡c . . . 15

2.4.1 CĂc b i toĂn và gõc v cÔnh . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.2 C¡c b i to¡n và ữớng phƠn giĂc . . . . . . . . . . . . 22

2.4.3 C¡c b i toĂn và ữớng trung tuyán. . . . . . . . . . . . 27

2

2.4.4 C¡c b i to¡n v· ÷íng cao. . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.5 CĂc bĐt ng thực liản quan án bĂn kẵnh ữớng trán

nởi, ngoÔi tiáp tam giĂc . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.6 C¡c b i to¡n v· chu vi v di»n t½ch. . . . . . . . . . . . 49

3 Cüc trà trong tam gi¡c 56

3.1 Cüc trà cõa h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.1 Kh¡i ni»m cüc trà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1.2 i·u ki»n cüc trà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.3 Luêt nhƠn tỷ Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.2 C¡c b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

K˜T LUŠN 71

T€I LI›U THAM KHƒO 71

3

Líi cam oan

Tỉi xin cam oan · ¡n vỵi · t i Mët sè v§n · v· b§t ¯ng thùc
v cüc trà trong tam giĂc l cổng trẳnh nghiản cựu khoa hồc cừa tổi dữợi

sỹ hữợng dăn cừa TS. Nguyạn Hỳu Trồn, nởi dung khổng sao chp cừa bĐt ký
ai v chữa tứng ữủc cổng bố dữợi bĐt kẳ hẳnh thực n o, cĂc kát quÊ khổng
phÊi cừa riảng tổi Ãu ữủc trẵch dăn nguỗn gốc ró r ng.

Bẳnh nh, ng y thĂng nôm 2023

Hồc viản thỹc hiằn à t i

Tr¦n Thà Tróc Linh

1

Mð ¦u

C¡c b i to¡n v· b§t ¯ng thùc v cüc trà trong tam gi¡c l mët ph¦n
quan trång cõa toĂn sỡ cĐp v cõ mối liản hằ mêt thiát vợi nhau. Cõ rĐt nhiÃu
dÔng toĂn khõ liản quan án chuy¶n · n y.

iºm kh¡c bi»t quan trång giúa b i to¡n b§t ¯ng thùc trong tam gi¡c v
b i to¡n cüc trà trong tam gi¡c l : b i to¡n b§t ¯ng thùc trong tam giĂc biát
trữợc cĂi ẵch ta phÊi i án (tực l bi¸t c£ hai v¸), cán b i to¡n cüc tr trong
tam giĂc thẳ khổng. Do vêy b i toĂn cỹc tr trong tam giĂc cõ ở phực tÔp
hỡn cĂc b i to¡n b§t ¯ng thùc trong tam gi¡c. Tuy nhiản, náu nưm vỳng
ữủc cĂc phữỡng phĂp giÊi cĂc b i toĂn bĐt ng thực trong tam giĂc thẳ
cụng dạ d ng l m ÷đc c¡c b i to¡n cüc tr trong tam giĂc, v ngữủc lÔi.

Trong c¡c k¼ thi håc sinh giäi quèc gia, thi Olympic toĂn quốc tá, cĂc b i
toĂn liản quan án cỹc tr trong tam giĂc cụng hay ữủc à cêp v thuởc loÔi
khõ. CĂc b i toĂn và chựng minh bĐt ng thực, cỹc tr trong tam giĂc hay
nhên dÔng tam giĂc  ữủc à cêp nhiÃu cĂc t i liằu bỗi dữùng giĂo viản
v hồc sinh chuyản to¡n bªc trung håc phê thỉng.

Nhơm Ăp ựng nhu cƯu hồc têp v giÊng dÔy cừa hồc sinh, giĂo viản bêc
phờ thổng, Ã Ăn n y têp trung nghiản cựu mởt cĂch cõ hằ thống phữỡng
phĂp giÊi cĂc b i toĂn và bĐt ng thực v cỹc tr trong tam giĂc. Vẳ vêy tổi

 ho n th nh · ¡n vỵi · t i: Mët sè v§n · v· b§t ¯ng thùc v cüc
trà trong tam gi¡c.

2
Ngo i lới nõi Ưu, kát luên v t i liằu tham khÊo, luên vôn ữủc bố cửc
th nh 3 chữỡng:

Chữỡng 1: Kián thực chuân b.

Trẳnh b y và nhỳng kián thực cỡ bÊn ÷đc dịng trong c¡c ch÷ìng sau nh÷:
C¡c h» thùc l÷đng cì b£n trong tam gi¡c v c¡c b§t ¯ng thùc cỡ bÊn.

Chữỡng 2: BĐt ng thực trong tam giĂc.

Trong ch÷ìng n y t¡c gi£ dũng kián thực ữủc dũng bêc phờ thổng ữủc
cho chữỡng trữợc  trẳnh b y cĂc b i toĂn bĐt ng thực và cÔnh v gõc,
ữớng phƠn giĂc, ữớng trung tuyán, ữớng cao, cĂc loÔi bĂn kẵnh cụng nhữ
cĂc b i toĂn liản quan án chu vi v diằn tẵch.

Chữỡng 3: Cỹc tr trong tam giĂc.

Trong chữỡng n y tĂc giÊ trẳnh b y lỵ thuyát cỹc tr cừa h m số mët bi¸n
hay nhi·u bi¸n, v sû dưng chóng º gi£i mởt số b i toĂn bĐt ng thực,
cỹc tr liản quan ¸n tam gi¡c, hay b i to¡n gi£i tam giĂc m ổi khi cĂc
phữỡng phĂp ữủc trẳnh b y chữỡng trữợc khõ hoc khờng th giÊi quyát
ữủc. Phữỡng phĂp phũ hủp  giÊi quyát cĂc vĐn à n y l Luêt nhƠn tỷ
Lagrange. Phữỡng phĂp nhƠn tỷ Lagrange ữủc dũng  giÊi cĂc b i toĂn cỹc
tr vợi r ng buởc ng thực. Vẳ vêy, nõ l cổng cư r§t phị hđp º gi£i c¡c b i
to¡n cüc trà hay b§t ¯ng thùc trong tam gi¡c.

à Ăn ữủc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dăn tên tẳnh cừa thƯy TS. Nguyạn
Hỳu Trồn. TĂc giÊ xin gỷi lới cÊm ỡn sƠu sưc án ThƯy  nhên lới hữợng

dăn, giúp ù tổi trong quĂ trẳnh nghiản cựu  tổi cõ th ho n th nh · ¡n
n y.

Tæi xin chƠn th nh cÊm ỡn chƠn th nh quỵ thƯy cổ trong khoa ToĂn v
Thống kả, phỏng Sau Ôi hồc trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn, c biằt l quỵ thƯy
cổ Â trỹc tiáp giÊng dÔy cho lợp Cao hồc ToĂn chuyản ng nh Phữỡng phĂp
toĂn sỡ cĐp khõa 24. Cuối cũng tổi xin cÊm ỡn án gia ẳnh, ngữới thƠn v

3
bÔn b  luổn ừng hở, giúp ù v tÔo iÃu kiằn cho tổi và måi m°t trong
thíi gian qua.

Trong qu¡ tr¼nh ho n th nh · ¡n t¡c gi£ Â khổng ngứng nộ lỹc  hồc
họi, tẳm tỏi v sữu tƯm cĂc b i toĂn bĐt ng thực v cỹc tr trong tam giĂc.
Tuy nhiản, do sỹ hiu biát cõa b£n th¥n, i·u ki»n thíi gian v khn khê
cõa ỗ Ăn vôn thÔc sắ, nản chưc chưn rơng trong quĂ trẳnh nghiản cựu khổng
trĂnh khọi nhỳng khiám khuyát. TĂc giÊ mong ữủc sỹ ch dÔy cừa cĂc thƯy,
cổ giĂo v cĂc qúy bÔn ồc  Ã Ăn cừa tổi th¶m ho n thi»n hìn.

Tỉi xin chƠn th nh cÊm ỡn!

Bẳnh nh, ng y thĂng nôm 2023

Hồc viản thỹc hiằn à t i

TrƯn Thà Tróc Linh

1

Danh mưc c¡c k½ hi»u v c¡c

chú vi¸t t­t

A, B, C : C¡c gâc trong tam gi¡c.

a, b, c : CĂc cÔnh ối diản vợi cĂc nh A, B, C .

r, R : BĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp v ngoÔi tiáp cừa tam giĂc ABC .

ha, hb, hc : C¡c chi·u cao t÷ìng ùng k´ tø A, B, C.

ma, mb, mc : ở d i cĂc ữớng trung tuyán xu§t ph¡t tø A, B, C.

la, lb, lc : ở d i cĂc ữớng phƠn giĂc trong cừa ba gâc A, B, C .

ra, rb, rc : B¡n kẵnh cĂc ữớng trỏn b ng tiáp cĂc gõc A, B, C .

p : Nûa chu vi tam gi¡c.

S : Di»n t½ch tam gi¡c.

2

Chữỡng 1

Kián thực chuân b

Trong chữỡng n y, tổi s trẳnh b y và nhỳng kián thực cỡ bÊn ữủc dũng
trong cĂc ch÷ìng sau nh÷: C¡c h» thùc l÷đng cì b£n trong mởt tam giĂc, cĂc
hằ thực và ữớng phƠn giĂc, cĂc hằ thực và ữớng trung tuyán, cĂc hằ thực
và ữớng cao, c¡c b§t ¯ng thùc cì b£n trong tam gi¡c v mởt số vĐn à liản

quan. CĂc nởi dung n y ÷đc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1], [2], [3].

1.1 C¡c h» thùc l÷đng cì b£n trong mët tam
gi¡c.

1.1.1 C¡c cæng thùc l÷đng gi¡c

C¡c h» thùc l÷đng gi¡c cì b£n:

sin2 α cos2 α  1, tan Ô cot α  1.
cot α  cos α, 1 tan2 α  cos21 α .
1 cot2 α  21 .
sin α
sin α
tan α  sin α ,

cos α

3

Cæng thùc cëng:

sinp q  sin Ô cos cos Ô sin ,

sinp Ă q  sin Ô cos Ă cos Ô sin ,

cosp q  cos Ô cos Ă sin Ô sin ,

cosp Ă q  cos Ô cos sin Ô sin ,
tanpα βq  tan α tan β 1 Ă tan Ô tan ,

tanpα ¡ βq  tan α ¡ tan β .

1 tan Ô tan

Cổng thực nhƠn:

sin 2  2 sin α cos α,

cos 2α  cos2 α ¡ sin2 α  2 cos2 α ¡ 1  1 ¡ 2 sin2 α,
tan 2α  1 ¡ tan2 2 tan αα,
sin 3α  3 sin α ¡ 4 sin3 α,

cos 3α  4 cos3 α ¡ 3 cos α,
tan 3α  1 ¡ 3 tan2 3 tan α ¡ tanα . 3 α

Cỉng thùc bi¸n têng th nh t½ch:

sin α sin  2 sin Ô cos Ă β ,
2 2
¡β
sin α ¡ sin β  2 cos α Ô sin ,
2 2
¡β
cos α cos β  2 cos Ô cos ,
2 2
¡β
cos Ă cos  Ă2 sin Ô sin α ,
2 2
pα βq
tan α tan β  sin cos α ¤ cos β ,

tan α ¡ tan β  sinpα ¡ βq ,
cos Ô cos
cot α cot β  sinpα βq sin Ô sin ,
cot α ¡ cot β  sinpα ¡ βq .
sin Ô sin

4

1.1.2 C¡c h» thùc l÷đng gi¡c cì b£n

Cho tam gi¡c ∆ABC vợi cĂc cÔnh a, b, c, ma, la, ha tữỡng ựng l cĂc ữớng
trung tuyán, phƠn giĂc, ữớng cao tứ nh A, R, r, ra lƯn lữủt l bĂn kẵnh
ữớng trỏn ngoÔi tiáp, nởi tiáp tam giĂc ABC , v ữớng trỏn b ng tiáp gõc
A; S l diằn tẵch tam gi¡c, v p l nûa chu vi. Khi â, ta câ c¡c ¯ng thùc

sau

(1) sin A sin B sin C  4 cos A cos B cos C .

222

(2) sin 2A sin 2B sin 2C  4 sin A sin B sin C.

(3) sin2A sin2B sin2C  2 p1 cos A cos B cos Cq.

(4) cos A cos B cos C  1 4 sin A sin B sin C .
(5) tan A tan B
222

tan C  tan A tan B tan C.

A B cot C  cot A cot B cot C .
(6) cot cot 2 222

2 2

AB BC tan C tan A  1.
(7) tan tan tan tan
22
22 22

(8) cot A cot B cot B cot C cotC cot A=1.

(9) a  2R sin A (nh lỵ h m sè sin).

(10) a2  b2 c2 ¡ 2bc cos A (ành l½ h m sè cosin).

(11) cot A  b2 c2 ¡ a2 (ành l½ h m sè cosin suy rëng).

4S

(12) la  . 2bc cos A2

b c

(13) ma2  2b2 2c2 ¡ a2
.

4

(14) ra  p tan A .

2

5

(15) r  pp ¡ aq tan A  4R sin A sin B sin C .
2 222

(16) C¡c cæng thùc v· di»n t½ch

S  1aha  1bc sin A
2 2

 2R2 sin A sin B sin C

 pr  pp ¡ aqra  abc

˜ 4R

 ppp ¡ aqpp ¡ bqpp ¡ cq (Cæng thùc Heron).

CĂc cổng thực trản cõ th ữủc chựng minh mởt cĂch dạ d ng bơng cĂch
sỷ dửng cĂc php bián ời lữủng giĂc. CĂc cổng thực (1)-(4) ÷đc chùng minh
mët c¡ch t÷ìng tü. Ta chùng minh ch¯ng hÔn cổng thực (4). Ta cõ

cos A cos B cos C

 2 cos A B cos A ¡ B 1 ¡ 2sin2 C
2 2

'2
 1 2 sin C cos A ¡B
¡ sin C
2 2
 2

¡B '
 1 2 sin C cos A
2 2 ¡ cos A B

2

 1 4 sin A sin B sin C .

222

C¡ch chùng minh c¡c cæng thùc tø (5)-(8) ho n to n gièng nhau, lĐy l m

thẵ dử, ta chựng minh cổng thực (7).

A B C  90Ơ nản tan A B  cot C , tø â ta câ
2 2 2
Do

2

A B
tan 2 tan 2  1 ,
1 ¡ tan A tan B tan C
22 2

tø õ ta cõ iÃu phÊi chựng minh.

Cỏn lÔi ta s chùng minh cæng thùc (12) v (15) (cæng thùc (14) chùng

minh mët c¡ch d¹ d ng).

6

A

c b

la

B D C

Ta câ S  SABC SACD hay 1 bc sin A  1 la sin A pb cq.
2 2 2
Thay sin A  2 sin A cos A , ta ÷đc
22

2bc cos A

la  b c 2.

A

I
r

B H C

Gåi I l tƠm ữớng trỏn nởi tiáp. K I HuBC, ta cõ BC  a  HB HC.

Hay £ 

2R sin A  r cot B cot C .
2 2

B C

4R sin A cos A  r sin 2 .

2 2 sin B sin C
22

V¼ sin B C  cos A , n¶n ta câ ngay r  4R sin A sin B sin C .
2 2 222

1.2 C¡c b§t ¯ng thùc cì b£n

º gi£i quy¸t b i toĂn cỹc tr hay bĐt ng thực liản quan án cĂc yáu
tố trong tam giĂc thẳ cĂc bĐt ng thực cờ in nhữ BĐt ng thực Cauchy,
Bunhiacopski, Chebyshev, Svacxỡ l nhúng cỉng cư húu hi»u.

7

1.2.1 B§t ¯ng thùc Cauchy

ành lỵ 1.2.1. Cho a1, a2, . . . , an l c¡c sè thüc khỉng ¥m. Khi â, ta câ b§t

¯ng thùc

a1 a2 . . . an ¥ cn a1a2...an. (1.2.1)

n

D§u = trong (1.2.1) x£y ra khi v ch¿ khi a1  a2  . . .  an.

1.2.2 B§t ¯ng thùc Bunhiacopski

nh lỵ 1.2.2. Cho hai dÂy số thỹc a1, a2, . . . , an v b1, b2, . . . , bn. Khi â, ta

câ b§t ¯ng thùc

¡ ©¡ ©
a12 a22 . . . an2 b12 b22 . . . bn2 Ô pa1b1 a2b2 . . . anbnq2.

(1.2.2)

D§u = trong (1.2.2) x£y ra khi v ch¿ khi a1  a2  . . .  an .
b1 b2 bn

1.2.3 BĐt ng thực Chebyshev

nh lỵ 1.2.3. Cho hai d¢y sè thüc a1, a2, . . . , an v b1, b2, . . . , bn. Khi õ,

(a) Náu a1 Ơ a2 Ơ ... Ơ an v b1 ¥ b2 ¥ . . . ¥ bn, th¼

Ô Ô 

1 akbk án Ơ ¥ 1 ak ¸ ¥ bk. n 1 ¸n
n k1 n k1 n k1

(b) Náu a1 Ơ a2 Ơ ... Ơ an v b1 Ô b2 Ô . . . Ô bn, thẳ

Ô Ô 

1 akbk án Ô Ơ 1 ak á Ơ bk. n 1 ¸n
n k1 n k1 n k1

D§u = trong c¡c bĐt ng thực trản xÊy ra khi v ch khi

a1  a2  . . .  an ho°c b1  b2  . . .  bn.

8

1.2.4 B§t ¯ng thùc Svacxì

ành lỵ 1.2.4. Cho hai dÂy số a1, a2, . . . , an v b1, b2, . . . , bn trong â bi ¡ 0

vỵi måi i  1, 2, . . . , n . Khi â ta câ

a . . . 21 a2n ¥ pa1 a2 . . . anq .2 (1.2.3)
b1 bn b1 . . . bn

D§u = x£y ra khi v ch¿ khi a1  a2  . . .  an .
b1 b2 bn

9

Chữỡng 2

BĐt ng thực trong tam
gi¡c

Trong ch÷ìng n y trẳnh b y cĂc b i toĂn và bĐt ng thực trong tam ữủc
phƠn loÔi theo cĂc chuyản mửc nhữ cĂc b i toĂn và cÔnh v gõc, và ữớng
phƠn giĂc, ữớng trung tuyán ữớng cao, cĂc loÔi bĂn kẵnh cụng nhữ cĂc hằ
thực liản quan án chu vi, diằn tẵch cừa mởt tam giĂc. Phữỡng phĂp chừ yáu
ữủc dũng º gi£i quy¸t c¡c b i to¡n n y l sû dưng c¡c b§t ¯ng thùc cì b£n,
hay c¡c b§t ¯ng thùc tam gi¡c, hay dịng c¡c ph²p bi¸n êi lữủng giĂc,...
cụng nhữ kát hủp cĂc ối tữủng n y º gi£i chóng. Nëi dung cõa ch÷ìng n y
÷đc tham kh£o tø c¡c t i li»u [1]-[8].

2.1 B§t ¯ng thùc tam giĂc
nh lỵ 2.1.1. Trong mởt tam giĂc, ở d i mởt cÔnh bao giớ cụng lợn hỡn

hiằu v nhọ hỡn tờng ở d i cừa hai cÔnh cỏn lÔi.

Xt tam gi¡c ABC, ta câ b§t ¯ng thùc

|AB ¡ AC| Ô BC AB AC.

10

(D§u "" x£y ra khi v ch¿ khi A, B, C th¯ng h ng v C n¬m giỳa hai im

A, B).

nh lỵ 2.1.2. Trong mởt tam giĂc, gõc ối diằn vợi cÔnh lợn hỡn l gõc lợn

hỡn.

nh lỵ 2.1.3. Trong mởt tam giĂc, cÔnh ối diằn vợi gõc lợn hỡn l cÔnh

lợn hỡn.

B i toĂn sau ữủc xem nhữ mởt vẵ dư ìn gi£n cõa b§t ¯ng thùc tam
gi¡c.

B i to¡n 2.1.1. Cho a, b, c l ba cÔnh cừa mởt tam gi¡c.

(a) Chùng minh r¬ng a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca.

(b) Chùng minh r¬ng pa b ¡ cqpb c ¡ aqpc a Ă bq Ô abc.

Lới giÊi.

(a) Sỷ dửng bĐt ¯ng thùc tam gi¡c |a ¡ b| c. Khi â, a2 ¡ 2ab b2 c2.
T÷ìng tü, ta công câ b2 ¡ 2bc c2 a2, v c2 ¡ 2ca a2 b2. Cëng v¸

theo vá ba bĐt ng thực n y, ta cõ bĐt ng thực cƯn chựng minh.

(b) Vẳ a, b, c l ba cÔnh cừa mởt tam giĂc nản c¡c sè a b¡c, b c¡a, c a¡b ¡ 0.

Do õ theo BĐt ng thực Cauchy ta ữủc c ¡ aq  b2 2 .

£

pa b ¡ cq pb
pa b ¡ cqpb c ¡ aq ¤

2

T÷ìng tü,

pb c Ă aqpc a Ă bq Ô c2, pc a Ă bqpa b Ă cq Ô a2.

Tứ õ, ta cõ bĐt ¯ng thùc c¦n chùng minh.

11

B i to¡n 2.1.2. Cho a, b, c l ba cÔnh cừa mởt tam giĂc. Chựng minh rơng

a2b b2c c2a a2c c2b b2a ¡ a3 ¡ b3 ¡ c3 ¡ 0.

Líi gi£i.

V¼ a, b, c l ba cÔnh cừa mởt tam giĂc nản theo b§t ¯ng thùc tam gi¡c ta câ

b c ¡ a, c a ¡ b, a b ¡ c.

Khi â,

a2pb cq ¡ a3, b2pc aq ¡ b3, c2pa bq ¡ c3.

Cëng c¡c b§t ¯ng thùc n y vá theo vá ta ữủc bĐt ng thực cƯn chựng
minh.

2.2 BĐt ng thực ữớng gĐp khúc

BĐt ng thực sau cõ tản gồi l BĐt ng thực ữớng gĐp khúc, ữủc xem
nhữ mởt m rởng cừa bĐt ng thực tam giĂc.

nh lỵ 2.2.1 (Nguyản lỵ trưc a). oÔn thng nối hai im cõ ở d i ngưn

nhĐt so vợi mởt ữớng gĐp khúc nối hai iºm â.

A2 An

A1 An¡1
A3

Cho c¡c iºm A1, A2, ..., An b§t ký. Xt cĂc ữớng gĐp khúc A1A2...An ta

cõ bĐt ng thực ữớng gĐp khúc:

A1A2 A2A3 ... An¡1An ¥ A1An.

12

ÝÝÝÑ ÝÝÝĐ ÝÝÝÝÝÝĐ
D§u "" x£y ra khi v ch¿ khi A1A2, A2A3, ..., AnĂ1An l cĂc vectỡ cũng hữợng.

Vẵ dử 2.2.2. Cho x, y, z l ba sè thüc thäa m¢n i·u ki»n x 2y 3z  4.

T¼m gi¡ trà nhä nh§t cõa biºu thùc: P  c16 x2 2—16 y2 3c16 z2.

Líi gi£i.

y

4 C

xA
B

04 12 24 x

Vợi x 2y 3z  4, trản mt phng tåa ë Oxy x²t c¡c iºm

Ap4; xq; Bp12; x 2yq; Cp24; x 2y 3zq.

Vẳ x 2y 3z  4 nản Cp24; 4q l im cố nh. Dạ thĐy OA  c42 x2;

˜ ˜
AB  82 4y2  2 16 y2

— —
BC  122 9z2  3 16 z2.

Vªy P  OA AB BC . Do â theo BĐt ng thực ữớng gĐp khúc, ta ữủc

P ¥ OC  24 — 2 42  4c37. (2.2.1)

D§u "=" trong p2.2.1q x£y ra ơ O, A, B, C th¯ng h ng

ô x  x 2y  x 2y 3z .

4 12 24

Do â, theo gi£ thi¸t, ta suy ra x  y  z  4  2 . Vªy

123 3

min P  4c37 ô x  y  z  2.

3

13

2.3 C¡c b§t ¯ng thùc cì b£n trong mët tam
gi¡c

Trong måi tam gi¡c ABC ta câ c¡c b§t ¯ng thùc cì bÊn sau

(a) cos A cos B cos C Ô 3.

2

(b) sin2A sin2B sin2C Ô 9.

4

(c) sin A sin B sin C Ô 1.

2 2 28

(d) cos A cos B cos C Ô 1.

8c
(e) sin A sin B sin C ¤ 3 3.
2c
(f) cos A cos B cos C Ô 3 3.
2 2 22

A B sin C Ô 3.
(g) sin sin
22
2 2
A B tan C ¥ c3.
(h) tan tan
2 2 2

(i) cot A cot B cot C ¥ c3.

(j) tan A tan B tan C ¥ 3c3.

(k) cos2 A cos2 B cos2 C Ô 9.
2 2
24

D§u "=" cõ trong cĂc bĐt ng thực trản khi v ch¿ khi ABC l tam gi¡c

·u.

C¡ch chùng minh c¡c b§t ¯ng thùc (a) - (d) ho n to n t÷ìng tỹ.

Chng hÔn, ta chựng minh (c).

Ta cõ sin A sin B sin C Ô 1
2£ 2 2 8 
¡C
ô 4 sin A cos B Ă cos Ô 1
B C

2 2 2