Một số vấn đề về đa thức chebyshev dưới góc nhìn hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN PHƯƠNG YẾN NHI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ
VỀ ĐA THỨC CHEBYSHEV
DƯỚI GÓC NHÌN HÌNH HỌC

ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - Năm 2023

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN PHƯƠNG YẾN NHI

MỘT SỐ VẤN ĐỀ
VỀ ĐA THỨC CHEBYSHEV
DƯỚI GÓC NHÌN HÌNH HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

ĐỀ ÁN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: PGS.TS. THÁI THUẦN QUANG

Bình Định - 2023

Mục lục

Mở đầu 1

Danh mục các ký hiệu 4

1 Tính chất hình học của nghiệm đa thức Chebyshev 6

1.1 Đa thức Chebyshev và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.3 Nghiệm của đa thức Chebyshev thu gọn . . . . . . . . . . . 11

1.2 Tính chất hình học của đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . 11

2 Định lý Chebyshev đối với các elip trong mặt phẳng phức 15

2.1 Xấp xỉ đều đến 0 trên [−1, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Đa thức Tn(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2 Xấp xỉ đều đến 0 trên [-1;1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Xấp xỉ đều đến 0 trên các elip tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Các elip tiêu chuẩn Ea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Định lý Chebyshev đối với các elip . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.3 Elip tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Dạng tồn phương và các bất đẳng thức hình học 26

i

3.1 Bất đẳng thức hình học cho đa giác số cạnh chẵn và
dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1.1 Bất đẳng thức hình học cho đa giác số cạnh chẵn . . . . . 26
3.1.2 Dạng toàn phương với đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . 28

3.2 Một bất đẳng thức hình học cho đa giác số cạnh lẻ . . . . . . . . . 34
3.2.1 Một bất đẳng thức hình học cho đa giác số cạnh lẻ . . . . 35
3.2.2 Đa giác bán đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Kết luận 43

Tài liệu tham khảo 44

1

MỞ ĐẦU

Đa thức Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Nga Pafnuty Chebyshev
(1821-1894), là một dãy đa thức trực giao (orthogonal polynomials), và có liên
quan đến công thức de Moivre (de Moivre’s formula). Người ta có thể xác định
dãy đa thức này bằng cơng thức truy hồi, giống như số Fibonacci và số Lucas.

Đa thức Chebyshev có vị trí rất đặc biệt trong toán học với rất nhiều ứng
dụng, chẳng hạn như trong Lý thuyết xấp xỉ, Lý thuyết nội suy,.... Các nghiệm
của đa thức Chebyshev loại I, còn được gọi là các điểm Chebyshev (Chebyshev
node), được dùng trong đa thức nội suy. Nhờ có nó, mà sai số do hiệu ứng Runge
là nhỏ nhất. Cho đến ngày nay các nhà toán học đã cơng bố một lượng đồ sộ
các cơng trình nghiên cứu về đa thức Chebyshev.

Trong chương trình tốn phổ thơng, mảng tốn đa thức Chebyshev là một
mảng tốn khó, thường chỉ xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia và
quốc tế. Mặc dù gần đây đa thức Chebyshev ít xuất hiện hơn trong các kỳ thi
vì hệ thống bài tập mang tính lý thuyết của nó, nhưng việc hiểu biết và nghiên
cứu về đa thức này vẫn hết sức quan trọng trong quá trình bồi dưỡng học sinh
giỏi. Khá nhiều bài tốn về đa thức Chebyshev dẫn đến những kết quả lý thú và
vì vậy chúng có tác dụng phát triển tư duy logic và tính sáng tạo khi nghiên cứu
tốn. Đồng thời sự phát hiện những ứng dụng đa dạng của đa thức Chebyshev
trong đại số cũng lôi cuốn đông đảo sự quan tâm nghiên cứu của giáo viên và

2

học sinh. Mặc dù đã có nhiều tài liệu về đa thức Chebyshev nhưng hầu hết đều
khó với học sinh khi bước đầu tiếp cận. Nhằm giúp giáo viên và học sinh có góc
nhìn trực quan hơn khi nghiên cứu đa thức Chebyshev, đề án này đề cập đến
vấn đề có liên quan đến đa thức này dưới góc nhìn hình học.

Mục tiêu của Đề án là nghiên cứu một số góc nhìn hình học của một số yếu
tố liên quan đến đa thức Chebyshev và tìm hiểu việc ứng dụng chúng trong việc
giải một số bài tốn khó trong chương trình tốn phổ thơng. Cụ thể, Đề án sẽ
tập trung các vấn đề sau:

1. Các tính chất hình học của nghiệm đa thức Chebyshev.

2. Định lý Chebyshev đối với các elip trong mặt phẳng phức.

3. Một vài ứng dụng của đa thức Chebyshev trong giải tốn hình học.

Ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, đề án được bố cục thành
3 chương.

Chương 1 tập trung khảo sát mối quan hệ giữa độ dài đường chéo các n-giác
đều với nghiệm đa thức Chebyshev.

Dựa trên Định lý Chebyshev cổ điển nói rằng các đa thức Chebyshev là các
xấp xỉ tối ưu đối với hàm zero trên [−1, +1], Chương 2 quan tâm đến nghiên cứu
Định lý Chebyshev đối với các elip trong mặt phẳng phức với ý tưởng là các đa
thức Chebyshev là các xấp xỉ tối ưu đối với hàm zero trên bất kỳ elip nào trong
mặt phẳng phức có các tiêu điểm −1 và +1.

Nội dung chính của Chương 3 là khảo sát một bất đẳng thức hình học đối
với các đa giác có số cạnh “chẵn” thơng qua số nghiệm của đa thức Chebyshev.
Từ đó đưa ra một phiên bản “lẻ” của bất đẳng thức hình học và gợi ý một số
bài tốn hình học thú vị cho đa giác với số cạnh lẻ.

3

Đề án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Thái Thuần
Quang, Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn. Tơi xin được bày
tỏ lịng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ dạy
và giúp đỡ tơi rất nhiều trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề án.

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường Đại học Quy Nhơn,

Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán và Thống kê, cùng quý thầy cô giáo
giảng dạy lớp cao học Phương pháp Toán sơ cấp khoá 24B đã giảng dạy và tạo
điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt q trình học tập và thực hiện đề tài.

Ngoài ra tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn học viên lớp cao học Phương
pháp Toán sơ cấp K24B đã đóng góp ý kiến và giúp đỡ tơi trong quá trình viết
đề tài này.

Và cuối cùng, xin dành lời cảm ơn kèm yêu thương vô bờ đến gia đình, người
thân của tơi đã ln cổ vũ tinh thần, làm hậu phương vững chắc để tơi có thể
hoàn thành đề án này.

Mặc dù đề án được thực hiện với sự nổ lực cố gắng hết sức của bản thân,
nhưng do điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức và kinh nghiệm nghiên
cứu của bản thân còn hạn chế nên đề án này sẽ khơng tránh khỏi những thiếu
sót. Tơi rất mong nhận được những góp ý của q thầy cơ giáo để đề án được
hồn thiện tốt hơn.

Tơi xin chân thành cảm ơn.

Nguyễn Phương Yến Nhi

4

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

N : Tập hợp số tự nhiên
Z : Tập hợp số nguyên
R : Tập hợp số thực
Rn : Không gian vectơ thực n chiều

C : Tập hợp số phức
Tn(cos x) : Đa thức Chebyshev loại 1
Un(cos x) : Đa thức Chebyshev loại 2
Vn(cos x) : Đa thức Chebyshev loại 3
Wn(cos x) : Đa thức Chebyshev loại 4
Tn∗(x) : Đa thức Chebyshev thu gọn loại 1
Un∗(x) : Đa thức Chebyshev thu gọn loại 2
Vn∗(x) : Đa thức Chebyshev thu gọn loại 3
Wn∗(x) : Đa thức Chebyshev thu gọn loại 4
Tn(x) : Đa thức Chebyshev lõi bận n, hệ số cao nhất là 1
Ea : Elip tiêu chuẩn
E : Elip tổng quát
sinh(x) : Hàm sin hyperbolic
cosh(x) : Hàm cosin hyperbolic
tanh(x) : Hàm tang hyperbolic
coth(x) : Hàm cotang hyperbolic

csc(x) 5
sec(x)
csch(x) : Hàm nghịch đảo của sin(x)
d(Ak, Al) : Hàm nghịch đảo của cos(x)
∥f ∥E∞ : Hàm nghịch đảo của sinh(x)
∠ABC : Khoảng cách từ đỉnh Ak đến đỉnh Al
⌊x⌋ : Giá trị tuyệt đối lớn nhất của hàm f trên E
: Góc ABC
k=1 n (xk) : Phần nguyên của số thực x
k=1 n (xk) : Tổng của các số hạng xk khi k nhận giá trị từ 1 đến n
maxx∈A P (x) : Tích của các thừa số xk khi k nhận giá trị từ 1 đến n
: Giá trị lớn nhất của đa thức P (x) khi x chạy khắp A

6

Chương 1

Tính chất hình học của nghiệm
đa thức Chebyshev

Mục đích của chương này là trình bày một tính chất mới về bản chất hình
học của các đa thức Chebyshev. Để chuẩn bị cho mục đích này một vài phân
tích nhân tử đặc biệt của hiệu các đa thức Chebyshev cũng được đề cập trong
chương.

1.1 Đa thức Chebyshev và các tính chất cơ bản

Trong mục này giới thiệu thêm một tính chất cơ bản của đa thức Chebyshev
có liên quan đến bản chất giải tích-hình học của các nghiệm của chúng. Chúng
ta sẽ thấy ở đây một mối quan hệ sâu hơn giữa độ dài đường chéo của các đa
giác đều và tổng các nghiệm dương của bất kỳ loại đa thức Chebyshev nào trong
bốn loại được giới thiệu ở dưới.
1.1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Ta định nghĩa bốn loại đa thức Chebyshev là các đa thức bậc
n thoả mãn các công thức như sau: Với mọi n ∈ N

7

Loại 1: Tn(cos x) = cos(nx), x ∈ R,

Loại 2: Un(cos x) = sin((n + 1)x), x ∈ R\ kπ|k ∈ Z ,
sin x

cos 1 x x ∈ R\ (2k + 1) π|k ∈ Z ,
Loại 3: Vn(cos x) = n+ , x ∈ R\ 2kπ|k ∈ Z .

sin 2 x
Loại 4: Wn(cos x) = x ,
cos
2

1
n+

2
x
sin
2

Để cho gọn, ta định nghĩa các đa thức Chebyshev thu gọn như sau:

Tn∗(x) := 2Tn x ,
2

Un∗(x) := Un x ,
2

Vn∗(x) := Vn x ,
2

Wn∗(x) := Wn x
2

với mọi n ∈ N. Chú ý rằng,

• Tn∗(x) cịn gọi là đa thức Vieta-Lucas (xem[7, 8]) hay đa thức Dickson,

• Un∗(x) cịn gọi là đa thức Vieta-Fibonacci (xem [8]).

1.1.2 Tính chất

Tính chất 1.1 ([8]). Các đa thức Tn(x), Un(x) có bậc n, hệ số cao nhất lần lượt
là 2n−1 và 2n.

Tính chất 1.2 ([8]). Tn(x), Un(x) là hàm chẵn khi n chẵn, là hàm lẻ khi n lẻ.

Tính chất 1.3 ([8]). Tn+1(x) = 2xTn(x) − Tn−1(x).

Tính chất 1.4 ([8]). Với mọi n ∈ N, θ ∈ C, θ̸ = 0, (1.1)
Tn∗(θ + θ−1) = θn + θn−1.

8 (1.2)
(1.3)
iπ

Tính chất 1.5 ([8]). Với ξ = e 2n−1

T2∗n−1(x) − T2∗n−1(θ + θ−1) = T2∗n−1(x) − θ2n−1 − θ−2n+1

2n−2

= (x − θξ2k − θ−1ξ−2k),

k=0

iπ

và với ζ = e2n , với mọi n ∈ N, θ ∈ C, θ̸ = 0,
(−1)nT2∗n(ix) + T2∗n(θ + θ−1) = (−1)nT2∗n(ix) + θ2n + θ−2n

2n−1

= (x − θζ2k+1 + θ−1ζ−2k−1).

k=0

Chứng minh. Để chứng minh (1.2) ta áp dụng công thức de Moivre

eiθ n = (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ),

với nθ = 2kπ, ta được

eiπ2k = eiπ(−2k) = 1.

Do đó kết hợp với (1.1) ta có

iπ2k(2n − 1) −iπ2k(2n − 1)

T ∗2n−1(θζ2k + θ−1ζ−2k) = θ2n−1 · e 2n − 1 − θ−2n+1 · e 2n − 1

= θ2n−1 + θ−2n+1.

Đây là một trong những tính chất đặc biệt của đa thức Tn∗(x). □

Từ tính chất trên, ta có được một số kết quả sau:

Mệnh đề 1.1 ([9]). i) Với mọi φ ∈ R,

T2∗n−1(x) − 2 cos((2n − 1)φ) = 2n−2 2kπ ,
x − 2 cos φ +
2n − 1
k=0

ii) Với φ̸ = kπ, k ∈ Z,

T2n−1 ∗ (x) − T2n−1 ∗ (2 csc φ)

2n−2 2kπ 2kπ

= x − 2 csc φ · cos 2n − 1 + 2i cot φ · sin 2n − 1 ,

k=0

9

iii) Với α̸ = π + kπ, k ∈ Z,
2

(−1)nT2n∗ (ix) + T2n∗ (2 sec α)

= 2n−1 (2k + 1)π (2k + 1)π
x + 2 tan α cos − 2i sec α sin ,
2n 2n

k=0

iv) Với α̸ = 0,

(−1)nT2n∗ (ix) + T2n∗ (coth α)

= 2n−1 (2k + 1)π (2k + 1)π
x + 2 csch α cos − 2i coth α sin .
2n 2n
k=0

Chứng minh. ii) Ta có

T2n−1 ∗ (x) − T2n−1 ∗ (2 csc φ) = T2n−1 ∗ (x) − T2n−1 ∗ tan φ + cot φ
2 2

= T2n−1 ∗ (x) − tan2n−1 φ − cot2n−1 φ .
2 2

iπ

Áp dụng công thức (1.2) với ξ = e2n−1 ta được

2n−2 φ 2k φ −2k

T2∗n−1(x) − T2∗n−1(2 csc φ) = x − tan 2 · ξ + cot 2 ·ξ

k=0

2n−2 φ φ

= x − tan i2kπ −i2kπ
· e 2n−1 − cot · e 2n−1 .
2 2
k=0

Sử dụng công thức de Moivre ta suy ra e 2n−1 iπ = cos 2kπ + i sin 2kπ thay vào
2n − 1 2n − 1

biểu thức trên ta được

2n−2 φ φ

x − tan i2kπ −i2kπ
· e 2n−1 − cot · e 2n−1
2 2
k=0

2n−2 φ 2kπ 2kπ

= x − tan 2 · cos 2n − 1 + i sin 2n − 1 −

k=0

− cot φ · cos −2kπ + i sin −2kπ

2 2n − 1 2n − 1

2n−2 φ φ 2kπ φ φ 2kπ
x − tan + cot . cos + i · − tan + cot . sin

= 2 2 2n − 1 2 2
2n − 1
k=0
2n−2 x − 2 csc φ · cos 2kπ + 2i cot φ. sin 2kπ ,

= 2n − 1 2n − 1

k=0

10

với φ̸ = kπ, k ∈ Z.

iii) Ta nhận thấy

2 1 + tan2 α 1 + tan2 α
2 sec α = = 2+ 2
α α
cos α 1 − tan2 1 − tan2
2 2

α2 α α 2 α

1 + tan − 2 tan 1 − tan + 2 tan
= 2 2 α α + 2α 2

1 − tan 1 + tan 1 − tan α
2 2 2 1 + tan

2

πα πα
= tan + + tan − .
42 42

Thay vào vế trái của đẳng thức ta được

(−1)nT2n∗ (ix) + T2n∗ (2 sec α)

= (−1)nT2n∗ (ix) + T2n∗ tan π − α + tan π + α
42 42

= (−1)nT2n∗ (ix) + tan2n π − α + tan2n π + α
42 42

2n−1 x + tan πα · ζ2k+1 + tan πα · ζ−2k−1 (do ( 1.3))
− +
=
42 42
k=0

2n−1 x + tan πα iπ(2k+1) πα −iπ(2k+1)
− +
= · e 2n + tan · e 2n
42 42
k=0

2n−1 π α (2k + 1)π (2k + 1)π
= x + tan − · cos + i sin
42 2n 2n

k=0

πα −(2k + 1)π −(2k + 1)π
+ tan + · cos + i sin
42 2n 2n

2n−1 πα πα (2k + 1)π
· cos
= x + tan( + − tan −
42 42 2n
k=0

πα πα (2k + 1)π
− i · tan + + tan − . sin
42 42
2n

= 2n−1 (2k + 1) π (2k + 1) π
x + 2 tan α. cos − 2i sec α. sin ,
2n 2n
k=0

với α̸ = π + kπ, k ∈ Z.
2
iv) Sử dụng biến đổi coth α = coth α + tanh α . □
2 2

11

1.1.3 Nghiệm của đa thức Chebyshev thu gọn

Các nghiệm dương của các đa thức Tn∗, Un∗, Vn∗, W∗ được liệt kê lần lượt bên

n

dưới đây:

(2k − 1) π n
tk,n = 2 cos 2n , k = 1, 2, 3, . . . , 2 ,

kπ n
uk,n = 2 cos n + 1 , k = 1, 2, . . . , ,

2

(2k − 1) π n+1
vk,n = 2 cos 2n + 1 , k = 1, 2, 3, . . . , 2 ,

2kπ n
wk,n = 2 cos 2n + 1 , k = 1, 2, 3, . . . , .

2

n có thể được suy ra
Ta chú ý rằng các không điểm của tk,n, k = 1, 2, . . . ,

2

iπ iπ
từ (1.1) với θ = e 4n−2 và từ (1.2) với θ = e 4n .

1.2 Tính chất hình học của đa thức Chebyshev

Định lý 1.1 ([9]). Cho n ∈ N, n ≥ 4 và A0, A1, . . . , An−1 là các đỉnh của n-giác

đều P có cạnh bằng 1.
π

Nếu x = và d (Ak, Al) là độ dài khoảng cách từ đỉnh Ak đến đỉnh Al của P
n

thì ta có

(i) Với 1 ≤ m ≤ n ,
2
sin (mx)
d (A0, Am) = sin x = Um−1(cos x),

(ii) Với 1 ≤ m + 1 ≤ n ,
2

cos 1
d (A0, Am+1) − d (A0, Am) = m+ x

(iii) Với 2 ≤ m + 1 ≤ n , 2
2
x = Vm(cos x),
cos

2

d (A0, Am+1) − d (A0, Am−1) = 2 cos(mx) = Tm(cos x),

12

(iv) Với 2 ≤ 2m ≤ n ,
2

m

d (A0, A2m) = 2 cos (2k − 1) x ,

k=1

(v) Với 1 ≤ 2m + 1 ≤ n
,

2

m

d (A0, A2m+1) = 1 + 2 cos(2kx).

k=1

Chứng minh. Gọi R là bán kính đường trịn ngoại tiếp n-giác đều P tâm O.

Khi đó áp dụng định lý sin trong tam giác A0A1Ak nội tiếp đường tròn tâm O

1 1 2π π

(0 < k < n), với x = ∠A0AkA1 = ∠A0OA1 = · = , ta có
2 2n n

d (A0, A1) = 2R ⇒ 1 = 2R ⇒ R = 1 .

sin x sin x 2 sin x

Khi đó

(i) Với 1 ≤ m ≤ n ,
2

d(A0, Am) = 2R = 2 · 1 = 1 .
sin(mx) 2 sin x sin x

Suy ra d(A0, Am) = sin(mx) = Um−1(cos x).
sin x

(ii) Với 1 ≤ m + 1 ≤ n ,
2

(i) sin (m + 1) x sin (mx)
d(A0, Am+1) − d(A0, Am)= −
sin x sin x

x 1
2 sin cos m+ x

2 2

= xx

2 sin cos
22

cos 1
= m+ x

2
x
cos
2

= Vm(cos x).

13

(iii) Với 2 ≤ m + 1 ≤ n ,
2

d (A0, Am+1) − d (A0, Am−1)

= d (A0, Am+1) − d (A0, Am) + d (A0, Am) − d (A0, Am−1)

cos 1 1
= m + x cos m−1+ x

2 2
x
x + cos

2
cos 2

1 1
cos m + x cos m − x

2 2

= x + x

cos 2 cos 2

2 cos(mx) · cos x

= x 2 = 2 cos(mx) = 2Tm (cos x) .

cos 2

(iv) Ta biến đổi vế trái đẳng thức bằng cách chèn các đỉnh thứ 2(m − k) với

1 ≤ k ≤ m, 2 ≤ 2m ≤ n , thì được:
2

d(A0, A2m)

= d(A0, A2m) − d(A0, A2m−2) + d(A0, A2m−2) − d(A0, A2m−4) + d(A0, A2m−4)−

· · · + d(A0, A2) − d(A0, A0)

m

= (d(A0, A2k) − d(A0, A2k−2))

k=1
m

(iii)

= 2 cos((2k − 1)x)

k=1
m

= 2 cos((2k − 1)x).

k=1

(v) Biến đổi tương tự như (iv), với 1 ≤ 2m + 1 ≤ n , ta được
2

d(A0,A2m+1)

= d(A0, A2m+1) − d(A0, A2m−1) + d(A0, A2m−1) − d(A0, A2m−3)

+ d(A0, A2m−3) − . . . + d(A0, A3) − d(A0, A1 + d(A0, A1)

m

= (d(A0, A2k+1) − d(A0, A2k−1)) + d(A0, A1)

k=1

14

m
(iii)

= 2 cos(2kx) + 1

k=1
m

= 1 + 2 cos(2kx).

k=1

□

Bằng cách so sánh số hạng của các tổng iv) và v) với nghiệm của bốn loại đa

thức Chebyshev thu gọn T∗ , U∗ , V∗ , W∗ ta thu được hệ quả sau

n n n n

Hệ quả 1.1 ([9]). (i) Với 2 ≤ 2m ≤ n ta có
2

m

 tk,r nếu n = 2r

nếu n = 2r + 1.


d(A0, A2m) = k=1
m

 vk,r


k=1

(ii) Với 1 ≤ 2m + 1 ≤ n ta có
2

m

 uk,r nếu n = 2(r + 1)
nếu n = 2r + 1.


d(A0, A2m+1) = k=1
m

 wk,r


k=1

Kết luận chương:
Như vậy, trong Chương 1, các tính chất của các không điểm của đa thức

Chebyshev thu gọn đã được mơ tả, đó là độ dài đường chéo của một n-giác đều
với cạnh bằng 1 bằng tổng các nghiệm dương tương ứng của đa thức Chebyshev
thu gọn. Các công thức phân tích của hiệu các đa thức Chebyshev cũng đã được
trình bày cụ thể.

15

Chương 2

Định lý Chebyshev đối với các elip
trong mặt phẳng phức

Một trong những sự kiện cơ bản là các đa thức Chebyshev Tn(x) là các giá trị
gần đúng tối ưu của hàm khơng trên đoạn [−1, 1]. Ít được biết đến hơn, nhưng
vẫn là một thực tế đã được chứng minh, đó là đa thức phức tương ứng Tn(z) là
các giá trị gần đúng tối ưu của hàm khơng trên bất kỳ hình elip nào trong mặt
phẳng C với tiêu điểm −1 và +1. Điều này được phát biểu ngầm trong [3] và có
thể tìm thấy một biến thể của nó trong [6], trong đó giải pháp dự định sử dụng
lý thuyết về các ký số Chebyshev và xây dựng trên tính chất tách của tập lồi.

Chương này trình bày những nguyên lý cơ bản đầu tiên về chủ đề “Đa thức
Chebyshev và các elip trong C” như đã đề cập và chứng minh rằng các hình
elip phức có thể được phân tích về cơ bản bằng cùng một bộ cơng cụ giống như
những gì đã được sử dụng cho các khoảng trên đường thẳng thực.

16

2.1 Xấp xỉ đều đến 0 trên [−1, 1]

2.1.1 Đa thức Tn(x)

Từ Định nghĩa 1.1 của đa thức Chebyshev loại 1, Tn(cos(x)), ta định nghĩa

hàm Tn(x) với x = cos(θ), được cho bởi công thức

Tn(cos(θ)) = cos(nθ), 0 ≤ θ ≤ π. (2.1)

Kết hợp (2.1) với hệ thức

cos(nθ) + cos((n − 2)θ) = 2 cos(θ) cos((n − 1)θ)

ta nhận được

Tn(x) = 2xTn−1(x) − Tn−2(x). (2.2)

Cơng thức (2.2) cho phép ta tính tốn quy nạp được tất cả Tn(x) bắt đầu từ
T0(x) và T1(x). Chẳng hạn như

T0(x) = 1,
T1(x) = x,
T2(x) = 2x2 − 1,
T3(x) = 4x3 − 3x.
Đồng thời, từ (2.2) ta dễ dàng nhận ra một số tính chất của Tn(x):

i) Tn(x) là một hàm đa thức bậc n với hệ số cao nhất là 2n−1,

ii) Tn là một hàm đối xứng, hàm chẵn khi n chẵn, hàm lẻ khi n lẻ,

iii) Tại n + 1 điểm

kπ (2.3)

x = cos , k = 0, 1, . . . , n,

n

các giá trị của Tn(xk) = (−1)k luân phiên giữa 1 và −1, trong đó, xk là một

dãy giảm nghiêm ngặt, bắt đầu từ x0 = 1 và kết thúc tại xn = −1. Do đó,